Dynamique et Vibrations

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Paule St-Amand
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1 Plan du cours Chapitre 5: Vibrations Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck Université de Montpellier Cours HLME

2 Plan du cours Introduction 1 Introduction 2

3 Motivations Introduction Equations du mouvement (PFD) = Equations différentielles du second ordre, en général non linéaires et par conséquent exceptionnellement résolubles analytiquement Petits mouvements autour d un Equilibre stable, absolu ou relatif. Linéarisation théorie mathématique cohérente nous fournissant l ensemble des solutions Petits mouvements d importance pratique considérable : vibrations dans les machines tournantes, les véhicules (confort vibratoire et acoustique), les ouvrages du génie civil... Catastrophe si système hors domaine des petits mouvements, sous l effet d excitations exceptionnelles (séisme, résonance).

4 Exemples simples Introduction

5 Exemples simples Introduction

6 Objectifs et Méthodologie générale Objectifs Déterminer la forme du mouvement de la structure en fonction Du temps t De la fréquence de l excitation Méthodologie générale Equations du mouvement Linéarisation des équations du mouvement. Résolution des équations linéarisées du mouvement.

7 Différents modèles Introduction Milieu Discret : Nombre finis de degrés de liberté (ddl)

8 Différents modèles Introduction Milieu Discret : Nombre finis de degrés de liberté (ddl)

9 Différents modèles Introduction Milieu Discret : Nombre finis de degrés de liberté (ddl) Milieu Continu : nombre de ddl. Exemples : cordes, poutres, plaques...

10 Différents modèles Introduction Milieu Discret : Nombre finis de degrés de liberté (ddl) Milieu Continu : nombre de ddl. Exemples : cordes, poutres, plaques...

12 Equations du mouvement. Application du Principe Fondamental de la Dynamique : Pour tout système matériel Σ, dans un repère galiléen G, le torseur des efforts extérieurs est égal au torseur dynamique, T ( Σ Σ) = D(Σ/G) Linéarisation des équations du mouvement. Résolution des équations différentielles linéaires à coefficients constants.

13 Systèmes Introduction Ã 1 paramètre : exemples Figure: Ressort-Amortisseur Figure: Pendule

15 Vibrations libres Introduction Sollicitation Aucune force extérieure F(t)=0 = Libre Position et/ou vitesse initiales non nulles

16 Vibrations libres Introduction Réponse Sollicitation Aucune force extérieure F(t)=0 = Libre Position et/ou vitesse initiales non nulles Vibration naturelle de la structure Sans amortissement : mouvement périodique Avec amortissement : mouvement pseudo périodique amorti

17 Exemple1 : masse ressort sans amortisseur Le mouvement est uniquement un mouvement de translation paramétré par x position de la masse par rapport à l origine. Forces extérieures : pesanteur mg x, force de rappel k( x L) x PFS (résultante) : 0 = k m ( x L) + g ; Position d équilibre : x 0 = m k g + L Changement d origine en x 0 : x = x + x 0 PFD (résultante) : mẍ(t) + k(x(t) + x 0 ) mg = 0 = ẍ(t) + k m x(t)

18 ẍ(t) + ω0 2 x(t) = 0 avec ω 0 = k m Solution : 3 écritures équivalentes

19 ẍ(t) + ω0 2 x(t) = 0 avec ω 0 = k m Solution : 3 écritures équivalentes x(t) = X 1 exp(iω 0 t) + X 2 exp( iω 0 t)

20 ẍ(t) + ω0 2 x(t) = 0 avec ω 0 = k m Solution : 3 écritures équivalentes x(t) = X 1 exp(iω 0 t) + X 2 exp( iω 0 t) x(t) = A cos ω 0 t + B sin ω 0 t

21 ẍ(t) + ω0 2 x(t) = 0 avec ω 0 = k m Solution : 3 écritures équivalentes x(t) = X 1 exp(iω 0 t) + X 2 exp( iω 0 t) x(t) = A cos ω 0 t + B sin ω 0 t x(t) = X cos(ω 0 t φ)

22 ẍ(t) + ω0 2 x(t) = 0 avec ω 0 = k m Solution : 3 écritures équivalentes x(t) = X 1 exp(iω 0 t) + X 2 exp( iω 0 t) x(t) = A cos ω 0 t + B sin ω 0 t x(t) = X cos(ω 0 t φ) Les constantes (X 1, X 2 ) ou (A, B) ou (X, φ) sont déterminées par les 2 c. i. : x(t = 0) = x 0, ẋ(t = 0) = v 0.

23 Exemple2 : pendule sans amortisseur OG = L x Torseur cinématique : { Torseur cinétique : Torseur dynamique : { Ω = θ z0 V (G) = L θ y m V (G) = ml θ y } } σ(g) = I θ G z0 { m Γ(G) = ml θ y ml θ 2 x δ(g) = I G θ z 0 }

24 Exemple2 : pendule sans amortisseur Torseur des effs exts : { R mg y0 = (R x + mg cos θ) x + (R y mg sin θ) y M(G) = R OG = LR y z0 } Position d équilibre : PFS = Torseur des efforts extérieurs =0 { R = mg y0 M(G) = LR y z0 = 0 mgl sin θ z 0 Position d équilibre : sin θ = 0 θ = 0 ou θ = π

25 Théorème de la résultante : R x + mg cos θ = ml θ 2 R y mg sin θ = ml θ Théorème du moment dynamique : LR y = I G θ θ vérifie l équation non linéaire suivante : (I G + ml) θ + Lmg sin θ = 0 Linéarisation autour de la position d équilibre θ = 0 : (I G + ml) θ + Lmgθ = 0 θ + ω 2 0 θ = 0, ω 0 = Lmg I G +ml

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