BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session 2014 MATHÉMATIQUES. Série ES ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ. Durée de l épreuve : 3 heures.

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1 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Sessio 04 MATHÉMATIQUES Série ES ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Durée de l épreuve : heures Coeiciet : 7 Les calculatrices électroiques de poche sot autorisées, coormémet à la réglemetatio e vigueur Le sujet est composé de 4 eercices idépedats Le cadidat doit traiter tous les eercices Das chaque eercice, le cadidat peut admettre u résultat précédemmet doé das le tete pour aborder les questios suivates, à coditio de l idiquer clairemet sur la copie Le cadidat est ivité à aire igurer sur la copie toute trace de recherche, même icomplète ou o ructueuse, qu il aura développée Il est rappelé que la qualité de la rédactio, la clarté et la précisio des raisoemets etrerot pour ue part importate das l appréciatio des copies Avat de composer, le cadidat s assurera que le sujet comporte bie pages umérotées de à

2 EXERCICE ( poits) Commu à tous les cadidats Das tout l eercice, les résultats serot arrodis à 0 près Les parties A, B et C peuvet être traitées idépedammet Deu roues sot disposées sur le stad d u orai Elles sot toutes deu partagées e 0 secteurs idetiques La première comporte secteurs rouges, bleus et verts La deuième comporte 7 secteurs oirs et jaues Quad o ait tourer ue de ces deu roues, u repère idique, lorsqu elle s arrête, u secteur Pour chacue des deu roues, o admet que les 0 secteurs sot équiprobables Le orai propose le jeu suivat : o ait tourer la première roue et, lorsqu elle s arrête, o cosidère la couleur du secteur idiqué par le repère Si c est le rouge, le joueur a perdu et la partie s arrête Si c est le bleu, la partie cotiue ; le joueur ait tourer la deuième roue : si le repère idique u secteur jaue, le joueur a gagé u lot et s il idique u secteur oir, le joueur a perdu Si c est le vert, la partie cotiue ; le joueur ait tourer la deuième roue : si le repère idique u secteur oir, le joueur a gagé u lot et s il idique u secteur jaue, le joueur a perdu Partie A : Le joueur ait ue partie O ote les évèemets suivats : R : «Le repère de la première roue idique la couleur rouge» ; B : «Le repère de la première roue idique la couleur bleue» ; V : «Le repère de la première roue idique la couleur verte» ; N : «Le repère de la deuième roue idique la couleur oire» ; J : «Le repère de la deuième roue idique la couleur jaue» ; G : «Le joueur gage u lot» ) Costruire u arbre podéré décrivat la situatio ) Calculer la probabilité P( B J ) de l évéemet B J ) Démotrer que la probabilité P ( G) que le joueur gage u lot est égale à 0, 4) Le joueur a gagé u lot Calculer la probabilité que le repère de la deuième roue idique u secteur oir Partie B : U joueur ait quatre parties successives et idépedates O rappelle que la probabilité de gager u lot est égale à 0, Détermier la probabilité que ce joueur gage u seul lot sur ces quatre parties Partie C : Durat le week-ed, u grad ombre de persoes ot teté leur chace à ce jeu O ote X le ombre de parties gagées durat cette période et o admet que X suit la loi ormale N ( 4 ;) Détermier : ) la probabilité : P ( 40 < X < 0) ; ) la probabilité qu au mois 0 parties soiet gagées durat le week-ed 4 ) O ote Z la variable aléatoire déiie par : Z = X a) Quelle est la loi suivie par Z? P 40 < X < 0 = P < Z < b) Motrer que : ( ) ( )

3 EXERCICE ( poits) Cadidats ayat suivi l eseigemet de spécialité U chaueur-livreur réside e Italie das la ville d Aoste Quatre ois par mois, so employeur l evoie livrer du matériel iormatique das la ville de Florece Il est établi que le trajet e camio coûte, e carburat, 0, euro au kilomètre Le chaueur dispose d u budget mesuel de 00 euros pour so carburat Ce qu il réussit à écoomiser lui permet de toucher ue prime P équivalete e i de mois Il cosulte doc la carte routière ci-dessous pour optimiser ses trajets Le graphe ci-dessous idique les distaces etre diéretes villes d Italie : Aoste, Mila, Parme, Turi, Gèes, La Spézia, Bologe et Florece Chaque ville est désigée par so iitiale Partie A : Etude du trajet ) Détermier, à l aide d u algorithme, le trajet le plus court etre Aoste et Florece ) Détermier le budget carburat écessaire au quatre voyages aller-retour du mois (à l euro près) E déduire le motat de la prime P qui lui sera versée e i de mois, à l euro près Partie B : Traversée de Parme Durat so trajet, le chaueur est obligé de traverser Parme et ses très ombreu eu tricolores Lorsque le eu est orage, le chaueur se comporte comme lorsqu il est rouge, il s arrête Il sait que s il se présete à u eu, il se produit les évèemets suivats : Si u eu est vert ( V ), la probabilité que le suivat soit vert vaut 0,8 Si u eu est orage ou rouge ( R ), la probabilité que le suivat soit vert vaut 0, Pour tout etier, o ote : v l état : «le ième eu est vert» et r l état : «le ième eu est rouge ou orage» P = v r l état probabiliste pour le ième eu ( ) Le er eu est vert doc l état iitial est ( 0) P = ) Représeter la situatio par u graphe probabiliste ) Doer la matrice de trasitio M (les sommets serot ragés das l ordre : V puis R ) ) Motrer que pour tout etier o a : v+ = 0,8v + 0, r 4) E déduire que pour tout etier o a : v = 0,v 0, ) O cosidère la suite ( ) a) Motrer que ( ) + + u déiie pour tout etier par : u v 0, 6 u est géométrique de raiso 0, et de terme iitial u = 0, 4 b) Motrer que pour tout etier aturel o a : v = 0,4 0, + 0, 6 c) Détermier la limite e l iii de ( ) = v et doer l état stable ( v r) P =

4 EXERCICE (4 poits) Commu à tous les cadidats Cet eercice est u questioaire à choi multiples Il est costitué de quatre questios idépedates Pour chacue des questios posées, ue seule des quatre réposes proposées est eacte Recopier le uméro de chaque questio et idiquer la répose choisie Aucue justiicatio est demadée Ue répose eacte rapporte poit, ue répose ausse ait perdre 0, poit et l absece de répose apporte i elève aucu poit Partie A : O doe ci-dessous, das u repère orthoormé la courbe représetative ( C ) d ue octio déiie et dérivable sur [ 0 ; + [ La courbe ( C ) passe par les poits ( 0 ; 0) 8 O et A ; e ; 4 La tagete à ( C ) e O est la droite ( T ) qui passe par le poit de coordoées ( ) La tagete à ( C ) e A est parallèle à l ae des abscisses vaut : a) 4 b) 0, ) Le ombre '( 0) = ) Le ombre I déii par ( ) 0 Partie B : a) [ ; ] b) [ ; ] I d appartiet à : c) 0 d) 4 c) [ ; 9] d) [ ; ] 9 = e Soit g la octio déiie (et dérivable) sur IR par : ( ) ( ) ) L image de l par g est : a) 8l 4 b) 4l 4) La primitive de g qui s aule e 0 est : a) G( ) = ( t)dt G = e b) ( ) g c) 0 d) 8 l + 4 G = e c) ( ) G = 4e + d) ( ) ( ) 4 4

5 EXERCICE 4 (6 poits) Ue etreprise abrique et ved à des particuliers des paeau solaires photovoltaïques produisat de l électricité Elle e produit chaque mois etre 0 et 00 Soit la octio déiie sur l itervalle [ 0, ; ] par : ( ) = 8l + 6 Si représete le ombre de cetaies de paeau solaires abriqués et vedus, alors o admet que ( ) représete le bééice mesuel de l etreprise, e milliers d euros O suppose que est dérivable sur [ 0, ; ] (o ote ' sa octio dérivée) et que ' est dérivable sur [ 0, ; ] (o ote '' sa octio dérivée) O ote C la courbe représetative de das u repère ) Etude des variatios de a) Motrer que, pour tout ombre [ 0, ; ] o a '( ) = b) Etudier le sige de '( ) sur l itervalle [ 0, ; ] c) E déduire le tableau de variatios de la octio sur l itervalle [, ; ] ) Etude du sige de a) Calculer ( ) b) Motrer que sur l itervalle [ 9 ; ] l équatio ( ) = 0 0 admet ue solutio uique α Détermier ue valeur approchée de α à 0 près c) E déduire le sige de ( ) pour tout apparteat à l itervalle [ 0, ; ] ) Détermier l équatio de la tagete T à C au poit d abscisse 4) Quels sot le ombre miimal et le ombre maimal (arrodis à l uité) de paeau que l etreprise doit produire et vedre pour être bééiciaire? ) Das cette questio, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative même o ructueuse, sera prise e compte das l évaluatio L etreprise peut-elle réaliser u bééice mesuel de ? Justiier la répose 8 6) O admet que pour tout ombre [ 0, ; ] o a ''( ) = a) Etudier le sige de '' sur [ 0, ; ] b) Que peut-o e déduire? c) Eric airme que C est au dessus de T A-t-il raiso? (justiier la répose) 7) Motrer que la octio F déiie sur [ 0, ; ] par : F( ) = l 0 8) Détermier la valeur moyee du bééice mesuel de l etreprise, arrodie à la cetaie d euros, lorsque celle-ci produit et ved etre 00 et 800 paeau solaires est ue primitive de sur [, ; ]