est positive et continue On admet que l aire du domaine compris entre la courbe de et l axe des abscisses dans un RON vaut 1

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1 TS Lois normales Cours La loi de probabilité la plus utilisée en statistique est la loi normale, encore appelée loi de Gauss, ou de Laplace-Gauss. C est une distribution théorique, en ce sens qu'elle est une idéalisation mathématique qui ne se rencontre jamais exactement dans la nature. Mais de nombreuses distributions réellement observées s en rapprochent et sont représentées par une courbe en forme de «cloche» (c est-à-dire des distributions avec beaucoup d individus autour de la moyenne, de moins en moins au fur à mesure qu on s en éloigne, et ceci de façon symétrique). I. Loi normale centrée réduite 1. Théorème de Moivre-Laplace (cf TD) Théorème ( admis) Soit et Soit la variable aléatoire qui suit la loi binomiale On pose, variable centrée réduite associée à Alors, pour tous réels et tels que, on a : 2. Définition La variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite notée si elle admet pour densité de probabilité la fonction définie sur par : On note Remarques : La fonction définie sur par est positive et continue On admet que l aire du domaine compris entre la courbe de et l axe des abscisses dans un RON vaut 1 Conséquence Pour tous réels a, b : 1

2 Interprétation du théorème de Moivre Laplace : Pour suffisamment grand, la probabilité d un évènement associé à une loi binomiale peut être approchée par la probabilité d un évènement associé à la loi normale centré réduite 3. Calcul de probabilités La fonction est paire donc sa courbe est symétrique par rapport à l axe des ordonnées et : P( Exercice : est une variable aléatoire qui suit la loi La densité de probabilité de cette loi est représentée ci-contre. 1. Quelle probabilité est égale à l aire de la surface verte? 2. Représenter et l exprimer à l aide de 3. Représenter et l exprimer à l aide de En déduire en fonction de On en déduit : Pour tout réel : = 2

3 Pour tout réel Exemple : suit une loi. On donne. En déduire et On ne connaît pas de primitive de, donc on ne sait pas calculer explicitement l intégrale de. Les valeurs des probabilités seront calculées à l aide de la calculatrice ( ou d une table ) Exemple : Exercices : 5 page 401 ; 25 page Intervalle centré en 0 de probabilité donnée Théorème Soit une variable aléatoire X suivant la loi normale centrée réduite et. Il existe un unique réel > 0 tel que Preuve : ROC Par symétrie de la courbe de : Où G est une primitive de sur qui s annule en 0. G est continue et strictement croissante ( pour tout sur [0 ;+ [ D où le tableau de variations de 2G :

4 Soit, alors 1- appartient à ]0 ;1[ D après le théorème de la bijection, pour tout nombre, il existe un unique >0 tel que (, c est-à-dire : Exemple : Déterminer et à 10-2 près. Valeurs remarquables à connaître Une variable suivant la loi fluctue donc à 95% entre -1,96 et 1,96, et à 99% entre -2,58 et 2,58 On cherche tel que ( ) Avec la calculatrice : La calculatrice TI affiche le réel tel que Menu STATS DIST >>Norm >>Invrse Tail :Central Area :0,95 1 ; 0 Casio TI 2de var(distrib) puis 3. FracNormale(0,975, 0, 1 ) Soit : FracNormale( probabilité, espérance, écart-type) 5. Espérance et variance Définition L espérance d une variable aléatoire qui suit est : 4

5 Propriété L espérance d une variable qui suit est nulle Preuve : [ ] ( ) De même : = ( ) Par passage à la limite : Définition Propriété ( admise ) Si sui la loi, alors sa variance est : II. Loi normale 1. Définition Soit et. La variable aléatoire suit une loi normale ) si la variable aléatoire suit la loi normale centré réduite est appelée variable aléatoire centré réduite associée à Remarque : la loi est une loi à densité, donc il existe une fonction définie sur telle que pour tous nombres réels :. La fonction n est pas au programme. Exemple : Soit une variable aléatoire suivant la loi a. Quelle est la loi de b. Exprimer l évènement à l aide de c. Que vaut à 10-4 près? En déduire à 10-4 près. 5

6 2. Propriétés ( admises ) Si suit une loi normale, alors : ( espérance) ( écart-type ) Remarque : le paramètre représente la variance Importance de la valeur de Donc quand prend les valeurs -2, -1, 0, 1,2, prend les valeurs Ceci suggère que la densité de probabilité de est représentée par une courbe en cloche dont l axe de symétrie est, et qui est plus ou moins étiré horizontalement selon la valeur de Le paramètre est un paramètre de position : il localise la zone où les réalisations de ont le plus de chances d apparaitre Le paramètre est un paramètre de dispersion : plus est élevé, plus les réalisations de sont dispersées autour de l espérance Exemples de calculs de probabilités avec la loi normale Casio TI Syntaxe Menu STATS DIST, Norm Menu Distrib Puis choisir normalfrép ou FracNormale P (a<x<b) Choisir Ncd : NormCD(a,b,, ) normalfrép(a,b,, ) Nombre réel k tel que P(X<k)=c Choisir InvN : invnormcd(c,, ) FracNormale ( c,, ) 1. 6

7 Propriété 2. Lors d un test de connaissances, 70% des individus ont un score inférieur à 60 points. De plus, les résultats suivent une loi normale d écart-type. Calculer l espérance de cette loi normale. 3. Les intervalles «un, deux ou trois sigmas» Si suit une loi, sa dispersion autour de dépend de de la manière suivante : 0,68 0,95 0,997 La probabilité d obtenir une valeur de distante de plus de 3 de la moyenne est quasi-nulle Exemple : Si suit la loi, les réalisations de fluctuent à plus de 95% dans l intervalle [4 ;16] 7

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