OPERATIONS ELEMENTAIRES SUR LES LIGNES OU LES COLONNES D'UNE MATRICE - APPLICATIONS

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1 Oértos éémetres sur es ges ou es cooes due mtrce - ctos OPERTIONS ELEENTIRES SUR LES LIGNES OU LES COLONNES DUNE TRICE - PPLICTIONS NOTTIONS : K désger u cors K désger ue mtrce crrée dordre sur K K désger ue mtrce à ges et cooes à coeffcets ds K O oter bse coque de K I désger mtrce detté de K E j Pour eter ture o u, N désger tous es eters tures féreurs ou égu à Oértos éémetres défto mtrce dffté Sot N tout éémet, K D dg,,,,,, où est e ème osto N, o ssoce mtrce dffté rorétés, N K, D GL Pour doé, D est u morsme de groues de K, ds GL démostrto det K doc D GL D Soet, β K D β dg,, β,,, dg,,,,,, dg,,, β,,, D D β téorème Pour tous o ote démostrto et d d d j j j j j s s K, N, K, D se dédut de e mutt ème ge de r j j D d j D K otos D b j d b d cr d s j j j j j b j j S DUCHET - wwwesofrst /

2 Oértos éémetres sur es ges ou es cooes due mtrce - ctos S S j, b j j j, b téorème Pour tous K, N, K, D se dédut de e mutt ème cooe de r o ote c c démostrto : ogue à cee cocert es ges défto mtrce de trsvecto Sot N tout éémet, j,λ N N K te que j, o ssoce mtrce de trsvecto U λ I λ E rorétés, j, λ N N K te que j, λ SL U Pour, j doé vec j, λ λ est u morsme de groues de K, ds SL démostrto det U λ doc λ SL U U λ ξ I λ ξ E U U λ U ξ I λe I ξe I ξe λe λξe I λ ξ E cr E téorème Pour tous K,, j N, te que j, λ K, U λ se dédut de r λ j démostrto et U λ u r s r s j r s r s s r s et r, s, j u r s s r s λ s r, s, j Notos U λ b b r s S S q u r q q s r s r s r, b u r, b r s s u r r r s s u r s j s s λ j s S DUCHET - wwwesofrst /

3 Oértos éémetres sur es ges ou es cooes due mtrce - ctos téorème Pour tous K,, j N, j, λ K, U λ se dédut de r c c λc j démostrto : ogue à cee cocert es ges défto mtrce de ermutto Sot N tout éémet σ de S, o ssoce mtrce de ermutto m sσ j δ σ j sσ j m σ où téorème Pour tous K,, j N, j de e écget es ges et j o ote, s o désge r σ ermutto τ, j, σ se dédut j démostrto et Notos b q m σ b σ m q S {, j} q où : b m S : b m j j j S j : b j m j sσ sσ m téorème Pour tous K,, j N, j de e écget es cooes et j o ote c c démostrto ogue à cee cocert es ges, s o désge r σ ermutto τ, j, σ se dédut j ctos Sot K Nous os ous téresser : - u ccu du rg de ; - u ccu de det orsque ; - à résouto du système du tye X B où B K ; - u ccu de orsque est ue mtrce crrée versbe O résout fcemet ces robèmes s est ue mtrce crrée, trgure suéreure cest-à-dre S DUCHET - wwwesofrst /

4 Oértos éémetres sur es ges ou es cooes due mtrce - ctos, s > j, j Ds ce cs, o : rg ; det ; X B est u système de Crmer trgure dot souto uque,, sobtet e ccut de roce e roce,,, O ecte doc souto X B, doc mtrce Ds e cs géér, o se rmèe u cs rtcuer à de doértos éémetres sur es ges et es cooes ce qu se trdut r des mutctos à guce et à drote r des mtrces du tye D, σ, U λ, e ret so deffectuer es cgemets écessres ermutto dcoues ou dvso du détermt r u scre Lemme du vot de Guss Toute mtrce K à remère cooe o ue, eut être trsformée r ue comosto de trsvectos à guce e ue mtrce de forme :, K s et où rg rg s et démostrto s, s, o se rmèe u beso u cs où e effectut oérto où est ue ge de de remer terme o u e este cr remère cooe de est o ue O effectue esute es oértos, our O be rg rg cr rm es vecteurs ges de mtrce, e remer vecteur rtet s à vect e,, e où e,, e rerésete bse coque doc rg rg De us, es mtrces de trsvecto étt versbes, o rg rg L métode de Guss Sot K à remère cooe o ue eut être trsformée r comosto de trsvecto à guce e ue mtrce du tye :, s > et >, où es sot o us rg rg s > et > S DUCHET - wwwesofrst /

5 Oértos éémetres sur es ges ou es cooes due mtrce - ctos L costructo srrête orsque ttet veur tee que cooe ue ou ou est à remère costructo L costructo se ft r récurrece à rtr de Lorsque o obtet mtrce s cette mtrce est de forme, o srrête so o que e emme récédet à sous mtrce de : eeme de ccu de rg Ds R, o cosdère es vecteurs suvts : u,,,, u u u Sot,,,,,,,,,,,, O rg rg u,, u quos métode de Guss : O effectue es oértos,,, O obtet : Doc et Sur, o effectue es oértos :,, o obtet : Doc et o effectue sur oérto f dobter u coeffcet o u à remère ge, remère cooe, ce qu doe : " Sur ", o effectue, ce qu doe : S DUCHET - wwwesofrst /

6 Oértos éémetres sur es ges ou es cooes due mtrce - ctos Doc et o srrête o doc obteu mtrce O doc rg rg roosto Toute mtrce GL eut être trsformée r trsvectos à guce e ue mtrce versbe, trgure suéreure, cest-à-dre e ue mtrce du tye : T, vec o doc det det T démostrto O utse métode de Guss o srrête orsque ttet veur tee que, ou est à remère cooe ue Suosos que o srrête orsque ttet veur tee que est à remère cooe ue o obteu ue mtrce de forme : T, vec K, à remère cooe ue O ors det det T det déveoemets successfs suvt remère cooe s det cr est à remère cooe ue, doc det, ce qu est mossbe O srrête doc orsque ttet veur O ors obteu ue mtrce de forme océe roosto Toute mtrce GL eut être trsformée r trsvectos à guce e ue mtrce versbe dgoe démostrto Pr trsvectos à guce o trsforme e ue mtrce de forme T t Notos T t o effectue es oértos j our o obtet ue T mtrce de forme : T, où T est ue mtrce trgure suéreure versbe so e sert s versbe cr det det T, T K s S DUCHET - wwwesofrst /

7 Oértos éémetres sur es ges ou es cooes due mtrce - ctos S DUCHET - wwwesofrst / O tère e rocédé sur T jusquà obter ue mtrce T à u éémet O s obteu ue mtrce dgoe versbe Ccu du détermt due mtrce O utse métode de Guss uter à guce r ue mtrce de trsvecto e cge s e détermt cr es mtrces de trsvecto sot de détermt Ccuos e détermt de mtrce O effectue es oértos éémetres,, o obtet : O effectue es oértos éémetres, O obtet : O effectue oérto éémetre O obtet mtrce B r coséquet, det det B ccu de verse due mtrce Prce : GL I O mute à guce r des mtrces de trsvecto que o oter q T,,T e utst métode récédete our vor T T q sot ue mtrce dgoe versbe de forme,, dg B vec O ors T q I T B o mute à guce r D D Comme I B D D, o q T T D D B Eeme : Ccuos verse de mtrce O st quee est versbe drès eeme récédet cr so détermt est o u I sufft doc deffectuer es mêmes oértos éémetres sur et mtrce detté

8 Oértos éémetres sur es ges ou es cooes due mtrce - ctos S DUCHET - wwwesofrst 8/ Oértos éémetres Effets sur mtrce Effets sur mtrce detté

9 Oértos éémetres sur es ges ou es cooes due mtrce - ctos S DUCHET - wwwesofrst / Doc Résouto de système déquots éres O erfectoe métode de Guss emme Toute mtrce K o ue, eut être trsformée à de doértos éémetres e ue mtrce de forme : où, et s rg rg et s K démostrto S est à remère cooe o ue, e résutt est déjà rouvé So : sot c remère cooe o ue de e este cr est o ue O effectue c c et o est rmeé u cs récédet L métode de Guss devet : Sot K o ue eut être trsformée à de doértos éémetres e ue mtrce du tye :, où > > rg us o sot es et s et, L costructo srrête orsque ttet veur tee que ou ou est ue costructo L costructo se ft r récurrece à rtr de Lorsque o obtet mtrce : s cette mtrce est de forme, o srrête so o que e emme récédet à sous mtrce de

10 Oértos éémetres sur es ges ou es cooes due mtrce - ctos S DUCHET - wwwesofrst / Eeme de résouto du système déqutos éres : Résoudre e système suvt : Ce système sécrt mtrceemet : XB, vec, X et B Nous os quer métode de Guss méorée à mtrce, e ret so deffectuer es modfctos écessres sur B Cest rso our quee ous os trver vec mtrce B Oértos éémetres Effet sur B

11 Oértos éémetres sur es ges ou es cooes due mtrce - ctos S DUCHET - wwwesofrst / c c, ce qu etrîe ue ermutto des coues et : c c, ce qu etrîe ue ermutto des coues : O srrête O obtet e système suvt : O obtet drectemet es veurs de,, : ; ; L remère équto doe ors doc, yt ue veur rbtrre esembe des soutos du système est doc K,,,,,