Implémentation Analogique de Dérivateur

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1 REPUBLIQUE ALGERIEE DEOCRATIQUE ET POPULAIRE IISTRE DE L ESEIGEET SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIETIFIQUE UIVERSITE ETOURI DE COSTATIE FACULTE DES SCIECES DE L IGEIEUR DEPARTEET D ELECTROIQUE d Ordre :.. Sére :... EOIRE DE AGISTER Préenté Pr r DAOUD IDIOU Opton : Trteent du Sgnl THEE Ipléentton Anlogque de Dérvteur et d Intégrteur d'ordre Frctonnre Vrble Soutenu le : 4 / / 8 Exné Pr le Jury : Prédent : Dr.. Khdj Profeeur Unverté de entour Contntne Rpporteur : Dr. A. Chref Profeeur Unverté de entour Contntne Exnteur : Dr. A. Benn Profeeur Unverté de entour Contntne Exnteur : Dr. A. Djoub C B Unverté de Ou-El-Bough Année 8 / 9

2 I DEDICACES Je déde ce éore A e cher prent pour tout le crfce conent, pour leur outent durnt toute e nnée d'étude. Pour leur bonté et leur our. A e œur et e frère. e nèce, e neveux, e beux frère. A toute flle qu ' dé dn e étude. A e collègue de l prooton et e. A tou le ebre du lbortore de Trteent du Sgnl Idou Doud

3 II Reerceent Je reerce Allh tout punt qu ' donné l force et l volonté pour pouvor fnr ce éore de gter Je ten à reercer profondéent on encdreur : le profeeur ABDELFATAH CHAREF pour l confnce qu l ccordée, e encourgeent, et e préceux conel. J expre grttude enver r. OHAED KHAADJA profeeur à l unverté de entour de Contntne de vor ft l honneur d ccepter de préder le jury Je reerce r. ABDELHAK BEIA, Profeeur à l unverté entour de Contntne, d vor ccepter fre ptre du jury Je ten à reercer Dr. ABDELBAKI DJOUABI, d vor ccepter de juger ce trvl en tnt qu exnteur. Je ten à reercer, tou ceux qu 'ont enegné durnt toute e étude et en prtculer e enegnnt à l unverté de Contntne Enfn, je ten u à reercer tou ce qu ont dé de pré ou de lon à l rélton de ce odete trvl.

4 III SOAIRE Introducton Générle... Chptre I :Opérteur d'ordre Frctonnre....3 I.. Introducton u clcul frctonnre.3 I.. Opérteur d'ordre frctonnre...3 I.. Défnton de Renn-Louvlle (R-L..4 I.. Défnton de Grundwld-Letnov (G-L...4 I..3 Défnton de Cputo...5 I.3 Quelque proprété de l dérvton non entère.5 I.4 L trnforée de Lplce....5 I.4. Trnforée de Lplce de l'ntégrle d'ordre frctonnre...5 I.4. Trnforée de Lplce de l dérvée d'ordre frctonnre..6 I.4.. Défnton de Renn-Louvlle...6 I.4.. Défnton de Cputo...6 I.4..3 Défnton de Gründwld-Letnov.. 6 I.5 Exeple de clcul de dérvée d'ordre frctonnre....7 I.5. Dérvton d'ordre frctonnre d un conu (ou d un nu...7 I.5. Dérvton non entère d une foncton nuoïdle orte..7 I.6 éthode d pproxton de opérteur d ordre frctonnre..7 I.6. éthode Générle d'pproxton de opérteur ntégro-dfferentel d'ordre frctonnre....7 I.6. éthode de Crlon... 8 I.6.3 éthode de tud.8 I.6.4 L éthode d Outloup...8 I.6.5 L éthode de Chref...9 Chptre II: Approxton Anlogque De Opérteur d Ordre Frctonnre.. II. Approxton de l ntégrteur d ordre frctonnre... II.. Exeple d un ntégrteur d ordre frctonnre. 3 II. Approxton de l opérteur dérvteur d ordre Frctonnre.5 II.. Exeple d un dérvteur d ordre frctonnre..7

5 IV II.3 Ipléentton pr de crcut électrque nlogque..8 Chptre III: Ipléentton Anlogque Vrble.. III. ntroducton... III. Ipléentton nuérque en tructure de Frrow. III.3. Intégrteur d ordre frctonnre vrble... III.3. Clcul de coeffcent de l nterpolton polynole III.3. Exeple llutrtf....6 III.4Dérvteur d ordre frctonnre vrble III.4. Clcul de coeffcent de l nterpolton polynole.33 III.4. Exeple llutrtf...34 Chptre IV Applcton De Opérteur d'ordre Frctonnre Vrble IV. Introducton.39 IV. Répone teporelle d'un opérteur d'ordre frctonnre...39 IV.3 Dérvton d'ordre frctonnre de quelque foncton uuelle 4 IV.3. L dérvée frctonnre d un échelon...4 IV.3. L dérvée frctonnre d un rpe...4 IV.3.3 L dérvée frctonnre d un conu.4 IV.3.4 L dérvée frctonnre d un nu.43 IV.3.5 L dérvée frctonnre d un nu orte...44 IV.4 ntegrton d'ordre frctonnre de quelque foncton uuelle...46 IV.4. L ntegrle frctonnre d une pulon...46 IV.4. L ntegrle frctonnre d un échelon 47 IV.4.3 L ntegrle frctonnre d une rpe.48 IV.4.4 L ntegrle frctonnre d un conu.49 IV.4.5 L ntegrle frctonnre d un nu. 5 Concluon Générle..5 Référence..54

6 V Lte de fgure.55 Fgure II- Trcé de Bode de l'pltude de l ntégrteur d ordre Frctonnre et de l foncton rtonnelle de on d pproxton Fgure II- Trcé de Bode de l phe de l ntégrteur d ordre frctonnre et de l foncton rtonnelle de on d pproxton Fgure II-3 Trcé de Bode de l'pltude du dérvteur d ordre frctonnre et l foncton rtonnelle de on d pproxton Fgure II-4 Trcé de Bode de l phe du dérvteur d ordre frctonnre et l foncton rtonnelle de on d pproxton 8 Fgure II.5 Réeu équvlent d'un ntégrteur d'ordre frctonnre..9 Fgure II.6 Réeu équvlent d'un dérvteur d'ordre frctonnre.. Fgure III. Ipléentton en tructure de Frrow du fltre nuérque RIF... Fgure III. L'nterpolton polynole u en de ondre crré de coeffcent h de l'opérteur ntégrteur d'ordre frctonnre.8 Fgure III.3 L'nterpolton polynole u en de ondre crré de coeffcent h5 de l'opérteur ntégrteur d'ordre frctonnre.8 Fgure III.4 L'nterpolton polynole u en de ondre crré de coeffcent h de l'opérteur ntégrteur d'ordre frctonnre.9 Fgure III.5 L'nterpolton polynole u en de ondre crré de coeffcent h5 de l'opérteur ntégrteur d'ordre frctonnre.9 Fgure III.6 Fgure III.7 odule de l foncton d pproxton de l opérteur Intégrteur d ordre.3 frctonnre à l orte de l tructure de Frrow... 3 Phe de l foncton d pproxton de l opérteur Intégrteur d ordre.3 frctonnre à l orte de l tructure de Frrow...3 Fgure III.8 L'nterpolton polynole u en de ondre crré de coeffcent g de l'opérteur dérvteur d'ordre frctonnre. 36 Fgure III.9 L'nterpolton polynole u en de ondre crré de coeffcent 5 g de l'opérteur dérvteur d'ordre frctonnre....36

7 Fgure III. L'nterpolton polynole u en de ondre crré de coeffcent g de l'opérteur dérvteur d'ordre frctonnre...37 Fgure III. L'nterpolton polynole u en de ondre crré de coeffcent g 5 de l'opérteur dérvteur d'ordre frctonnre...37 Fgure III. odule de l foncton d pproxton de l opérteur Dérvteur d ordre.65 frctonnre à l orte de l tructure de Frrow...38 Fgure III.3 Phe de l foncton d pproxton de l opérteur Dérvteur d ordre.65 frctonnre à l orte de l tructure de Frrow 38 Fgure IV- Dérvton d'ordre frctonnre d un échelon pour de dfférent ordre..4 Fgure IV- Dérvton d'ordre frctonnre d une rpe pour de dfférent ordre...4 Fgure IV-3 Dérvton d'ordre frctonnre d un conu pour de dfférent ordre...43 Fgure IV-4Dérvton d'ordre frctonnre d un nu pour de dfférent ordre...44 Fgure IV-5 Dérvton d'ordre frctonnre d un nu ort pour de dfférent ordre...45 Fgure IV-6 L ntégrle d'ordre frctonnre d pulon pour de dfférent ordre...47 Fgure IV-7 L ntégrle d'ordre frctonnre d un échelon pour de dfférent ordre..48 Fgure IV-8 L ntégrle d'ordre frctonnre d une rpe pour de dfférent ordre..49 Fgure IV-9 L ntégrle d'ordre frctonnre d un co(π t pour le dfférent ordre...5 Fgure IV-9 L ntégrle d'ordre frctonnre d un n(π t pour le dfférent Ordre.. 5 VI

8 VII Réué : Ce trvl trte l pléentton vrble nlogque du dérvteur et de l ntégrteur - (pour < < d ordre frctonnre. L pproche propoée et bée ur l éthode d pproxton de Chref de ce opérteur pr de foncton rtonnelle nlogque. L nouvelle pléentton et donnée ou l fore de l tructure de Frrow pour obtenr un dérvteur et d ntégrteur d ordre frctonnre vrble.

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10 Introducton Générle Introducton Générle Le concept de opérteur d ordre frctonnre été défn ux 9 ècle pr Renn et Louvlle. Leur but devt prolonger l dérvton ou ntégrton d ordre frctonnre en eploynt non euleent un ordre enter égleent de ordre non enter. Beucoup de ytèe phyque ont ffché un coporteent dynque d ordre frctonnre, tel que le ytèe vcoéltque, l polrton électrode électrolyte, polrton d nterfce, le coporteent crdque []. A cue de leur repréentton pr de foncton de trnfert rrtonnelle, le opérteur d ordre frctonnre ont été rgnleent étudé. Dn le dernère nnée un ntérêt condérble été porté u clcul frctonnre pr l pplcton de ce concept dn dfférent done de l phyque et de l ngénere [-8], où on pu trouver un progrè gnfnt de trvux théorque qu peuvent ervr coe fondton pour un nobre d pplcton dn ce done. Donc, un grnd effort été ft pour eyer de ettre en prtque le réultt déjà étbl, et un trvl de recherche ntenf et encore en cour dn plueur done d ngénere pour l pplcton de ce concept d ordre frctonnre. Toute le pléentton nlogque extnte dn l lttérture de l ntégrteur d ordre frctonnre H I ( et du dfférentteur d ordre frctonnre G D ( ont de pléentton fxe, c'et-à-dre que le crcut nlogque repréentnt ce opérteur ont de foncton de l ordre. C'et-à-dre que lorqu on vre l ordre le pléentton nlogque ne ont plu vlde, l fut donc chnger toute le pléentton nlogque. Alor, le problèe et celu de l pléentton nlogque de ce opérteur d ordre frctonnre pr de pléentton d ordre vrble, c'et-à-dre que le crcut nlogque repréentnt ce opérteur ont ndépendnt de l ordre. C'et-à-dre que lorqu on vre l ordre l pléentton nlogque rete toujour vlde. Et coe on l déjà entonné l pléentton nlogque d ordre vrble de ce opérteur d ordre frctonnre n exte p pr contre leur pléentton nuérque d ordre vrble peut être obtenue pr l utlton de l feue technque dte tructure de Frrow [9].

11 Introducton Générle Alor, l'objectf de ce trvl et l pléentton le opérteur du dérvteur et de l ntégrteur d'ordre frctonnre vrble, pour L pproche propoée et bée ur l éthode d pproxton de Chref [] de ce opérteur pr de foncton rtonnelle nlogque. L'pléentée de dérvteur et l ntégrteur d ordre frctonnre en utlnt l tructure de Forrow [9] pour obtenr une pléentton de dérvteur et d ntégrteur d ordre frctonnre vrble. De ulton ont obtenue pour déontrer l effccté et l utlté de cette pproche et le réultt obtenu ont u préenté et dcuté. Le trvux rélé et le réultt obtenu fnt l objet de ce éore ont préenté coe ut : Le preer chptre préente le défnton et le be théorque de ce trvl de recherche. Le deuxèe chptre trte l pproxton de opérteur d'ordre frctonnre, on préenté une éthode ple qu et l éthode de Chref qu conte à pproxer, pour une bnde de fréquence donnée. Dn le troèe chptre, nou étudon l'pléentton de ce opérteur vec l nouvelle pléentton ou fore de tructure de Frrow. Le qutrèe chptre et réervé à l pplcton de l éthode propoée ur le foncton le plu uuelle : l échelon, nuoïdle, et foncton nuoïdle orte.

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13 Chptre I Opérteur D ordre Frctonnre Opérteur D ordre Frctonnre I.. Introducton u clcul frctonnre Le clcul d'ordre frctonnre (ntégrton et dfférentton d'ordre rbtrre, p nécereent un nobre enter et un veux concept qu dte de l'époque de Cuchy, Renn Louvlle et Letnov u 9èe ècle. Il été utlé en écnque depu le nnée 93 et en électroche depu le nnée 96. Et plu trd plueur thétcen et phycen ont étudé le opérteur dfférentel et le ytèe d'ordre frctonnre [-]. Générleent le dérvée et le ntégrle d ordre enter ont de nterprétton phyque et géoétrque clre, qu plfent de nère gnfctve leur utlton pour réoudre de problèe pplqué dn de dver done de l cence. L dfférentton et l'ntégrton d'ordre frctonnre n ont ucune nterprétton géoétrque et phyque cceptble pendnt plu de 3 n. Et coe l ont une générlton de noton de l dfférentton et de l'ntégrton d'ordre entère, l ert lor dél d vor de telle nterprétton phyque et géoétrque qu fournront égleent le len de nterprétton clque de dfférentton et d'ntégrton d opérteur d'ordre enter. I.. Opérteur d'ordre frctonnre [-4] Le clcul frctonnre et une générlton de l'ntégrton et de l dfférentton à l'opérteur fondentl d'ordre non enter t D t où t et t ont de lte de l'opérton. L'opérteur ntégro-dfférentel contnu et défn coe : t D t d dt t ( dτ t >,, <, Où R et l'ordre de l'opérton. Il exte plueur défnton thétque pour l'ntégrton et l dérvton d'ordre frctonnre. Ce défnton ne ènent p toujour à de réultt dentque ont équvlente pour un lrge pnel de foncton. (I. 3

14 Chptre I Opérteur D ordre Frctonnre I.. Défnton de Renn-Louvlle (R-L Défnton : Soent R vec >, t R et f une foncton locleent ntégrble défne ur[ t,. L'ntégrle d'ordre de f de borne nféreuret et défne pr : RL t I t t f (t. ( t τ f ( τ dτ ( (I- Γ t vec t x y t et Γ (. et l foncton g d'euler défne pr : Γ( x y e dy, x > Défnton : Soent R vec >, n un enter potf, t R et f une foncton locleent ntégrble défne ur[ t,. L dérvée d'ordre de f de borne nféreur t et défne pr : RL t Dt f (t Où le nobre enter n et tel que ( n < < n. t n d n. ( t τ f ( τ dτ n ( n dt Γ (I-3 Cette dérvée d'ordre frctonnre peut u être défne à prtr de l'équton (I- coe ut : RL t Dt (t t n d ( n f { I f ( t } (I-4 n dt. I.. Défnton de Grundwld-Letnov (G-L L dérvée d'ordre frctonnre d'ordre > de G-L et donnée pr : GL t Dt f (t l t t h ( ( f ( t. h h h (I-5 Où []. dénote l prte entère d un nobre réel, h et l pérode d échntllonnge et le coeffcent ( ont donné pr : Γ( (I-6 Γ(. Γ( L défnton de Gründwld-Letnov de l ntégrton d ordre frctonnre et forulée coe ut : GL t I t GL f (t D t f ( t t l t t h (I-7 h ( h ( f ( t. h 4

15 Chptre I Opérteur D ordre Frctonnre I..3 Défnton de Cputo Cputo ntrodut une utre forulton de l dérvée d'ordre frctonnre défne pr : C t Dt f (t I n D n t ( n f ( τ f ( t dτ n n (I-8 Γ( ( t τ t vec n et un enter potf vérfnt l'néglté ( n < < n. I.3 Quelque proprété de l dérvton non entère Le prncple proprété de opérteur d'ordre frctonnre ont le uvnte [] :. S f ( z et une foncton nlytque de z, lor dérvée d'ordre frctonnre D f (z et une foncton nlytque de z et.. Pour n, où n et un enter, l'opérton D f (z donne le êe réultt que l dfférentton clque d'ordre enter n. 3. Pour l'opérton D f (z et l'opérteur dentté : D f ( z f ( z 4. L dfférentton et l'ntégrton d'ordre frctonnre ont de opérton lnére : D ( z D f ( z bd g( z (I-9 f ( z D bg (I- I.4 Trnforée de Lplce [,3] I.4. Trnforée de Lplce de l'ntégrle d'ordre frctonnre ou coenceron pr l trnforée de Lplce de l'ntégrle d'ordre frctonnre de Renn-Louvlle d'ordre > défne pr (I. qu'on peut écrre coe une convoluton de foncton I f Γ( f (t g( t t et t ( t D f ( t τ f ( τ dτ t * f ( t (I- Γ( ( t L trnforée de Lplce de l fonctont et [5]: { t } Γ( Γ( G( L (I- donc l trnforée de Lplce de l'ntégrle de Renn-Louvlle L { I [ f ( t ]} F( (I-3 5

16 Chptre I Opérteur D ordre Frctonnre De l êe fçon l trnforée de Lplce de l ntégrle d ordre frctonnre défn pr Gründwld-Letnov et Cputo et u donné pr l équton (I-3 : I.4. Trnforée de Lplce de l dérvée d'ordre frctonnre ou cton dn ce qu ut l trnforée de Lplce de dfférente défnton de l dérvée. I.4.. Défnton de Renn-Louvlle Avec n { D f ( t } F( [ D f ( t ] L (I-4 n < < n cette trnforée de Lplce de l dérvée de Renn-Louvlle et ben connue. on pplcblté en prtque et ltée à cue de l'bence d'nterprétton phyque de vleur lte de dérvée d'ordre frctonnre pourt. t I.4.. Défnton de Cputo n { } D f ( t F( L f (I-5 L'vntge prncpl de l défnton de Cputo pr rpport à celle de Renn- Louvlle et qu'elle peret de condérer de condton ntle conventonnelle fcle à nterpréter telle que y ( y, y ( y etc. De plu, l dérvée de Cputo d'une contnte et bornée (égle à, lor que l dérvée de Renn-Louvlle d'une contnte n'et p bornée à t.l eule excepton et qund on prend t coe pont de déprt (lte nféreure dn l défnton de Renn-Louvlle. Cependnt, qund on 'ntéree à de proceu trntore, on ne peut p ccepter de plcer le pont de déprt à ; dn ce c l défnton de Cputo eble être l plu pproprée qund on l copre ux utre. ( I.4..3 Défnton de Gründwld-Letnov L { D f ( t } F( (I-6 6

17 Chptre I Opérteur D ordre Frctonnre Rerque L réoluton de équton dfférentelle d'ordre frctonnre vec l trnforée de Lplce e ft de l êe nère qu'vec le équton dfférentelle d'ordre enter. I.5 Exeple de clcul de dérvée d'ordre frctonnre I.5. Dérvton d'ordre frctonnre d un conu (ou d un nu En utlnt le ft qu un conu (rep. un nu et égl à l prte réelle (rep. gnre d une exponentelle, et que l opérteur dérvée non entère et lnére [], on peut déterner fcleent l dérvton frctonnre d ordre d un conu (rep. un nu. ( D [ w. t ϕ ] co( ( D [ w. t ϕ ] n( π w co( w. t ϕ (I-7 π w n( w. t ϕ (I-8 I.5. Dérvton non entère d une foncton nuoïdle orte En utlnt le ft qu un nu et égl à l prte gnre d une exponentelle et que l opérteur dérvé d'ordre frctonnre et lnére [], on trouve l relton uvnte : ( D [ w. t.exp( t / ] n( τ n( w ψ t τ (I-9 Α. t.exp( / Avec Α. w, et ψ Arg. w (I- τ τ I.6 éthode d pproxton de opérteur d ordre frctonnre Dn ce qu ut nou llon préenter quelque éthode d pproxton de l opérteur d ordre frctonnre, vec un ntérêt prtculer à l éthode de l foncton ngulère [] qu er entèreent détllée dn le chptre II. I.6. éthode Générle d'pproxton de opérteur ntégro-dfferentel d'ordre frctonnre En générl [6], une pproxton rtonnelle de l foncton obtenue en utlnt l'expnon de frcton contnue de foncton : H ( peut être 7

18 Chptre I Opérteur D ordre Frctonnre H h ( ( H l ( ; ; ω >> ω << (I- Où H h ( et l'pproxton pour le hute fréquence ( ω >>, et ( l'pproxton pour le be fréquence ( ω <<. H l I.6. éthode de Crlon [6] Cette éthode e be ur l'hypothèe uvnte : / ( H ( (I- L éthode de l'tértve de newton èner à une équence d'pproxton de H ( coencer de l vleur ntle H (, une foncton rtonnelle pproxée et obtenue ou l fore : H ( H ( H ( ( (I-3 ( H ( I.6.3 éthode de tud L éthode propoée dn [6] et bée ur l'pproxton d'une foncton rrtonnelle pr une foncton rtonnelle obtenue pr l CFE et l'juteent de l foncton orgnle dn un eneble de pont logrthqueent epcé. En uppont que le pont cho ont,,,, L, l'pproxton prend l fore : H ( ( L, (I-4 ( ( ( ou v, v ( H (, v ( 3 v ( (I-5 I.6.4 L éthode d Outloup L éthode [];[6];[6] et bée ur l pproxton de l foncton de l fore: Pr l foncton rtonnelle uvnte : H ( R, (I-6 8

19 Chptre I Opérteur D ordre Frctonnre H ( C ω ω (I-7 En utlnt le forule de ynthèe uvnte :.5.5 ω α ωu ; ω α ωu (I-8 ω ω ω ω αη > ; η > ; α > ω ω ω ω ( ω ω ( αη log ; log ( αη (I-9 logα (I-3 log Avec ωu l fréquence du gn unté tel que, ω u ωhωb ωh etω b ont le fréquence trntore hute, et be repectveent. I.6.5 L éthode de Chref Cette éthode propoée dn [], et bée ur l pproxton d une foncton de l fore : H ( (I-3 p T vec < <, on peut réécrre l foncton de l équton (I-3 coe ut: z H ( l (I-3 pt p où ( et le nobre totl de ngulrté qu peut être déterné pr l bnde de fréquence du ytèe. L'équton (I-3 peut être tronquée à un nobre fn, et l'pproxton devent : z H ( (I-33 pt p Le pôle et le zéro de l foncton de ngulrté peuvent être obtenu coe ut : Avec p pt b, p p. b, z.p (.b (I-34 ( 9

20 Chptre I Opérteur D ordre Frctonnre ω log( x p nt eger log(.b (I-35 [y /( ] [y /.] [y /( ], b,.b, Ou y et l erreur d pproxton et ω x et l bnde de fréquence d pproxton.

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22 Chptre II Approxton Anlogque De Opérteur d Ordre Frctonnre Approxton Anlogque De Opérteur d Ordre Frctonnre II. Approxton de l ntégrteur d ordre frctonnre L foncton de trnfert de l opérteur ntégrle d ordre frctonnre et repréentée dn le done fréquentel pr l foncton rrtonnelle uvnte : H I (II- ( Avec jω l fréquence coplexe et et un nobre potf tel que < <. Dn une bnde de fréquence donnée[ ω b, ω h ], cet opérteur d ordre frctonnre peut être odelé pr un pôle à punce frctonnre (PPF coe ut : H K I ( S on uppoe que pour [ ] Avec K ( / ω I c H ωc ω ω,ω on ω >> b h ω c, on peut écrre : K ωc K ω I I c ( H ( I (II- (II-3 et ω c et l fréquence de coupure du PPF qu et obtenue à prtr de l be fréquence ω b pr l relton ω. ω. c Dn le but de repréenter le PPF de l équton (II-, et pr conéquent l ntégrteur d ordre frctonnre, pr un ytèe lnére nvrnt dn le tep l et nécere d pproxer foncton de trnfert rrtonnelle pr une foncton rtonnelle [],[7]. L éthode d pproxton conte à pproxer l pente de -db/dec ur le trcé de Bode du PPF pr un nobre de lgne en de zg-zg produnt une lternnce de pente - db/de et db/dec correpondnt à une lternnce de pôle et de zéro ur l xe réel négtve du pln tel que p < z < p < z <... < z - < p. D où l pproxton uvnte : H ( b K I z K I (II-4 ω c p

23 Chptre II Approxton Anlogque De Opérteur d Ordre Frctonnre Le p et le z ont le pôle et le zéro de l pproxton. En utlnt une éthode grphque [], le pôle et le zéro de l pproxton vèrent ou une fore d une progreon géoétrque. Cette éthode grphque d pproxton coence pr une erreur d pproxton y en db et une bnde de fréquence d pproxtonω ω. Le nobre de pôle d pproxton et donné pr [] : x h ω log x p prte entere log ( b (II-5 L'rrngeent de ngulrté (pôle-zéro et étbl elon le deux progreon géoétrque uvnte : ( b p p, pour,,..., ( b p z, pour,,..., Où et b ont ppelé le rpport de poton, leur expreon en foncton de y et ont donnée pr : y (, Et le preer pôle p et le preer zéro z ont donné pr [] : b p ω c b, z p Afn de connître l contrbuton de chque pôle u proceu de relxton. On dot décopoer l foncton rtonnelle en oe de frcton éléentre : H ( KI y ( b p h. (II-6 ( b p ( b p Ou` le coeffcent h ont le rédu et qu ont déterné pr : j j ( b p j KI K I. ( b p j j, j ( b p j, j h ( j ( b p ( b.,,,... (II-7 ( j ( ( b

24 Chptre II Approxton Anlogque De Opérteur d Ordre Frctonnre II.. Exeple d un ntégrteur d ordre frctonnre Pour le but d llutrton prenon un exeple nuérque pour un ntégrteur d ordre frctonnre repréenté pr : H I (.55 Pour obtenr l foncton rtonnelle d pproxton de cet opérteur d ordre frctonnre,on uppoe que l bnde de fréquence [, ω ] [.rd /,.rd ] ω ; b h / et pour une erreur y db, ω c.ω b. rd/ et K pr ute le odèle PPF de cet opérteur d ordre frctonnre et donné pr : I H (. 55 x -5 On chot l erreur d pproxton du PPF pr une foncton rtonnelle y db et l bnde fréquentelle d pproxton ω ω rd, le prètre, b, x h / p, z et peuvent être fcleent clculé et l ont donné coe ut :.668,b.599, p.38* 5 rd/, 5 z.565* rd/ et 5. Le pôle et le zéro de l pproxton ont donné pr le équton uvnte: (. p.38* , pour,,.5 z.565* 5 (.5354, pour,,.4 Le trcé de Bode de l foncton rtonnelle d pproxton ont préenté dn l fgure uvnte. 3

25 Chptre II Approxton Anlogque De Opérteur d Ordre Frctonnre Fgure (II- : Trcé de Bode de l'pltude de l ntégrteur d ordre Frctonnre.55 et de l foncton rtonnelle de on d pproxton Phe Apltude Fgure (II- : Trcé de Bode de l phe de l ntégrteur d ordre frctonnre et de l foncton rtonnelle de on d pproxton.55 On peut obervé fcleent que le trcé de Bode de l foncton de trnfert de l opérteur d ordre frctonnre et leur pproxton ont uperpoe dn l plge de fréquence [.rd /,.rd / ec], l pente de l foncton d pproxton de l opérteur ntégrteur d ordre frctonnre à une pente de -db/dec (-, et l phe de -49.5, (. π / ce qu plque l jutee de l pproxton. 4

26 Chptre II Approxton Anlogque De Opérteur d Ordre Frctonnre II. Approxton de l opérteur dérvteur d ordre frctonnre L foncton de trnfert de l opérteur dérvteur d ordre frctonnre et repréentée dn le done fréquentel pr l foncton rrtonnelle uvnte : G D ( (II-8 Avec jω : l fréquence coplexe et : et un nobre potve tel que <<.Dn une bnde de fréquence donnée[ ω b, ω h ] cet opérteur peut être odelé pr un zéro à punce frctonnre (ZPF coe ut [7] : G ( S on uppoe que pour ω [, ] K D ωc (II-9 ω b ω h on ω >> ω c, on peut écrre : K G D ωc ωc D ( K (II- Avec KD c ω et ω c et l fréquence de coupure de ZPF qu et obtenue à prtr de l be fréquence ω b pr l relton ωc. ω b. Dn le but de repréenter le zéro d ordre frctonnre de l équton (II-9, et pr conéquent le dérvteur d ordre frctonnre, pr un ytèe lnére nvrnt dn le tep, l et nécere d pproxer foncton de trnfert rrtonnelle pr une rtonnelle. L éthode d pproxton conte à pproxer l pente de db/dec ur le trcé de Bode du ZPF pr un nobre de lgne en Zg-Zg produnt une lternnce de pente db/de cet db/dec correpondnt à une lternnce de pôle et de zéro ur l xe réel négtve du pln tel que z <p <z <p <... <z - <p [7]. D où l pproxton uvnte : G ( K D ω c K D z p (II- En utlnt une éthode grphque ple [], le pôle et le zéro de l pproxton vèrent ou une fore d une progreon géoétrque. Cette éthode grphque d pproxton coencé pr une erreur d pproxton y en db et une bnde de fréquence d pproxton ω d pproxton et donné pr [7]: x ω h. Le nobre de pôle 5

27 Chptre II Approxton Anlogque De Opérteur d Ordre Frctonnre prte entere ω log p log x ( b (II- L'rrngeent de ngulrté (pôle-zéro et étbl elon le deux progreon géoétrque uvnte : Avec : z ωc b p z. et ( b z ( b z z, pour,,..., p, pour,,..., Pr conéquent, l foncton rtonnelle d pproxton dn une bnde de fréquence donnée er : G D ( ( b z K D K (II-3 D ω c ( b z G Pour de ron concernnt l rélton, on v développer ( éléentre, lor : G D ( Clculnt le rédu de pôle, on obtent : Avec G K D, et g G D en foncton ( b z K (II-4 D ( b z ( G j K D g ( j ( ( b p ( j ( ( b z ( ( b j, j Pour (II-5,,..., (II-6 6

28 Chptre II Approxton Anlogque De Opérteur d Ordre Frctonnre II.. Exeple d un dérvteur d ordre frctonnre Sot l opérteur dérvteur d ordre frctonnre uvnt : G D (.35 De l êe fçon que l exeple de PPF, le odèle ZPF du dérvteur d ordre frctonnre et donné pr : G (.35 Avec : K D, [, ω ] [,rd ] ω, ω c.ω b b h / On chot l erreur du ZPF pr une foncton rtonnelle y db et l bnde 6 fréquentelle d pproxton ω x ω h rd /, le prètre, b, p, z et peuvent être fcleent clculé et l ont donné coe ut :.45, b.937, p.98 rd/, z.3895 rd/ et 4 Le pôle et le zéro de l pproxton ont donné pr le équton uvnte : p.98(.754, pour,,.4 z.3895(.754, pour,,.4 Le trcé de Bode de l foncton rtonnelle d pproxton ont préenté dn l fgure uvnte Apltude Fgure (II-3 : Trcé de Bode de l'pltude du dérvteur d ordre frctonnre et l foncton rtonnelle de on d pproxton.35 7

29 Chptre II Approxton Anlogque De Opérteur d Ordre Frctonnre Phe Fgure (II-4 : Trcé de Bode de l phe du dérvteur d ordre frctonnre et l foncton rtonnelle de on d pproxton On vot ben que dn l plge de fréquence [,rd / ], l pente de l foncton d pproxton de l opérteur d ordre frctonnre à une pente de 7dB/dec (, et l phe de 3.5 (. π /, ce qu plque l jutee de l pproxton..35 II.3 Ipléentton pr de crcut électrque nlogque L pproxton de l opérteur ntégrteur d ordre frctonnre dn une bnde fréquentelle donnée pr une foncton rtonnelle l fore : H ( KI ωc K I z p (II-7 L décopoton en éléent ple de l foncton rtonnelle pproxnt l ntégrteur d ordre frctonnre H I ( donne : Η ( h p Avec le h ont le rédu de pôle donné pr l équton (II-7, (II-8 8

30 Chptre II Approxton Anlogque De Opérteur d Ordre Frctonnre Cet équton correpond à l pédnce d un réeu RC du type Foter ere fore dont le ché et repréenté coe ut : I( R R... R V( C C C L pédnce de ce réeu et : Alor RC R h R Z ( (II-9 R C p R h C ph Pour,,..., (II- De l êe fçon, l pproxton de l opérteur dérvée d ordre frctonnre dn une bnde fréquentelle donnée pr une foncton rtonnelle l fore : ( G K D KD. KD. ωc z p (II- L décopoton en éléent ple de l foncton rtonnelle pproxnt le dérvteur d ordre frctonnre G D ( donne : g G ( G (II- p Avec le g ont le rédu de pôle donné pr l équton (II-6 9

31 Chptre II Approxton Anlogque De Opérteur d Ordre Frctonnre Cette équton correpond à l dttnce d un réeu du type Foter ee fore dont le ché et repréenté coe ut : L dttnce de ce réeu et de l fore : P C R ( C R ( Y (II-3 Alor,,... pour G R p g R g C R G C g C R p p P (II-4 R C R C R P R ( I C ( V

32

33 Chptre III Ipléentton Anlogque Vrble Ipléentton Anlogque Vrble III. Introducton Toute le pléentton nlogque extnte dn l lttérture de l ntégrteur d ordre frctonnre H I ( et du dfférentteur d ordre frctonnre G D ( ont de pléentton fxe, c'et-à-dre que le crcut nlogque repréentnt ce opérteur ont de foncton de l ordre. C'et-à-dre que lorqu on vre l ordre le pléentton nlogque ne ont plu vlde, l fut donc chnger toute le pléentton nlogque. Alor, le problèe qu nou ntéree et celu de l pléentton nlogque de ce opérteur d ordre frctonnre pr de pléentton d ordre vrble, c'et-àdre que le crcut nlogque repréentnt ce opérteur ont ndépendnt de l ordre. C'et-à-dre que lorqu on vre l ordre l pléentton nlogque rete toujour vlde. Et coe on l déjà entonné l pléentton nlogque d ordre vrble de ce opérteur d ordre frctonnre n exte p pr contre leur pléentton nuérque d ordre vrble peut être obtenue pr l utlton de l feue technque dte tructure de Frrow [9]. III. Ipléentton nuérque en tructure de Frrow Sot H(z l foncton de trnfert d un fltre nuérque RIF qu et donné pr : H Y ( z L ( z hp ( z (III. E( z où h p (, L, ont le coeffcent de l répone pulonnelle de H(z et qu ont tou foncton d un certn prètre p. Frrow propoé d'exprer chque coeffcent h p ( du fltre RIF ou l fore d'un polynôe en p d'ordre coe ut [9]: h p ( j j p (III. j où tou coeffcent j du polynôe ont ndépendnt du prètre p. L foncton de trnfert H(z peut donc être réécrte coe ut : H L L j j j ( z j p z j z p G j ( z. p (III.3 j j j

34 Chptre III Ipléentton Anlogque Vrble où L G (z z, j (III.4 j ont le foncton de trnfert de fltre nuérque RIF à coeffcent contnt et ndépendnt du prètre p. A prtr de l équton (III.3, l foncton H(z et e ou l fore uvnte : Y(z H(z G (z p[g (z p[g (z L p[g (z pg (z]] L]] (III.5 E(z L foncton de trnfert H(z du fltre nuérque peut ntennt être pléenter pr une tructure dte tructure de Frrow de l fgure (III. coe ut : j Fgure (III. : Ipléentton en tructure de Frrow du fltre nuérque RIF Avec cette tructure on peut dre que le fltre H(z une pléentton vrble en prètre p, c'et-à-dre que vec l êe pléentton on peut vor H(z pour dfférente vleur du prètre p. Alor, en nprnt de cette tructure de Frrow dn le done nuérque nou llon dérvé une tructure lre pour le opérteur d ordre frctonnre dn le done nlogque. III.3 Intégrteur d ordre frctonnre vrble De l équton (II.6, l pproxton de l ntégrteur d ordre frctonnre et donnée ou l fore uvnte :

35 Chptre III Ipléentton Anlogque Vrble H ( h ( p ( (III.6 où le pôle p ( et le rédu h (, pour, ont de foncton de l ordre frctonnre ( < <. En nprnt de l tructure de Frrow dn le done nuérque, on ft une nterpolton polynole en pour tou le coeffcent h ( coe ut : h ( (III.7 où le coeffcent du polynôe en de h ( ont ndépendnt du prètre. L foncton de trnfert H( peut donc être réécrte coe ut : lor, H ( (III.8 p ( p ( vec H ( G ( (III.9 G (, pour (III. p ( Coe on peut le rerquer que le foncton G (, pour, ont toute dépendnte de l ordre frctonnre prce que le pôle p ( dépendent de. Pr conéquent le fore de H( de l équton (III.9 ne peut p être pléenter ou l fore de l tructure de Frrow. Alor pour que toute le foncton G ( oent ndépendnte de l ordre l fut que tou le pôle p ( oent fxe, c'et-à-dre lorqu on ft vrer l ordre on grde toujour le êe pôle de l pproxton de l ntégrteur d ordre frctonnre. Dn l ecton (II., l éthode de clcul de pôle de l pproxton de l ntégrteur d ordre frctonnre pr une foncton rtonnelle et expoée. Donc, pour une erreur y en db choe, le pôle de l pproxton pour un certn ordre ont donné pr : 3

36 Chptre III Ipléentton Anlogque Vrble ( b p ( p, pour,,..., (III. où le prètre et b ont foncton de y et et ont donné pr : y (, b y et p et le preer pôle d pproxton défn prélbleent. Pour un econd ntégrteur d ordre frctonnre ( < < et pour une erreur y en db choe, le pôle de l pproxton ont u donné pr : où et b ont donnée pr : p ( b ( p, pour,,..., (III. y (, b y Pour grntr l églté de pôle de équton (III. et (III. de deux pproxton quelque ot le ordre on dot vor p ( p ( (,,,...,, c'et-à-dre : cel condut à : ( b p ( b p b p ( b p ( y ( x y y ( y x donc le erreur d pproxton y et y et le ordre et ont lé pr l relton uvnte : ( ( y y (III.3 Une fo le pôle d pproxton fxé, l devennent ndépendnt de l ordre, donc le foncton G ( de l équton (III. devennent toute ndépendnte de l ordre frctonnre. Pr conéquent l équton (III.9 peut être pléenter ou l fore de l tructure de Frrow. Alor on rélé un ntégrteur d ordre frctonnre à ordre vrble. 4

37 Chptre III Ipléentton Anlogque Vrble III.3. Clcul de coeffcent de l nterpolton polynole L nterpolton polynole en pour tou le coeffcent h ( de l équton (III.6 et donnée pr l équton (III.7 coe ut : h (, pour où ont le ( coeffcent du polynôe en de h (. Pour déterner ce coeffcent on dot réoudre le ytèe d équton lnére à ( nconnu obtenu en chont ( pont dfférent de l ordre. On cherche donc l unque polynôe de degré pnt pr le pont { j, h ( j }. Le pont j (j,,, étnt tou dtnct. Donc pour,,,, on ur : j h ( (III.4 j Alor pour j,,, et,,,, on peut écrre : pour j (.... h. h (..... h (..... pour j h (..... h (..... h (..... pour j h (..... h (..... h (

38 Chptre III Ipléentton Anlogque Vrble 6 Sot ou fore trcelle: h h h h h h h h h L L L L L L L L K K K. ( ( ( ( ( ( ( ( ( (III.5 On peut écrre le ytèe d'équton ou l fore : H U A (III.6 Coe l trce U n et p en générl une trce crrée, lor on : ( H U U U A T T (III.7 L trce U et une trce de Vnderonde lor l trce crrée ( U U T et nverble tnt que le pont j (j,,, ont dtnct. Vu l coplexté du clcul de trce A de l équton (III.7, l éthode utlé pour réoudre ce problèe d nterpolton et l technque d juteent de l courbe dn le but d obtenr un polynôe de degré qu pproxe chque rédu h ( (,,...,, dn le en de ondre crrée. Pour ce but, on utlé l routne de tlb dénoée polyft. III.3. Exeple llutrtf Coe exeple on condère l concepton d un ntégrteur d ordre frctonnre vrble dn l bnde fréquentelle[ ] [ ] rd rd h b /, /, ω ω. L pproxton de l ntégrteur d ordre frctonnre et donnée ou l fore uvnte : ( p p p h H ( ( ( ( Pour réler l ntégrteur d ordre frctonnre vrble, l fut en preer leu fxer le pôle p ( de l pproxton pu clculer le coeffcent. Pour fxer le pôle, on chot l ordre.95. Donc, pour une erreur y. db, ω c.ω b rd/ et ω x ω h rd/, le prètre p,, b et de l pproxton ont donné pr :

39 Chptre III Ipléentton Anlogque Vrble y (.5849 y, b.45, p ω b. 9 et 9 c Alor le pôle p de l pproxton ont donné pr : (. p.9 637, pour,,..., Et de l équton (II.7 le coeffcent h (.95 (pour,,, ont donné pr : j h (.95 K I.95 Avec ( / ( /. K ω. I c ( j ( ( j ( (.637 j, j Pour l concepton d un utre ntégrteur d ordre frctonnre d ordre donné (< < tel que.95 vec le êe pôle pproxton p (pour,,, quel que ot l vleur de l ordre, l erreur d pproxton y de l équton (III.3 dot être égle à y.5 (-. Le prètre, b et de l pproxton ont donné pr : y (, y b et 9 Avec (b ( b et le coeffcent h ( (pour,,, ont clculé pr : Avec K ( / ω I c h (. Donc on ur : h ( l j K I ( j ( j ( ( b j, j ( b j l ( j ( j ( (.637 j, j (.637 Le degré du polynôe d nterpolton et cho tel que l erreur d nterpolton et nféreure à une vleur donnée pour une bonne pproxton. Fgure (III. - (III.5 7

40 Chptre III Ipléentton Anlogque Vrble h Fgure (III.L'nterpolton polynole u en de ondre crré de coeffcent h de l'opérteur ntégrteur d'ordre frctonnre h Fgure (III.3L'nterpolton polynole u en de ondre crré de coeffcent h5 de l'opérteur ntégrteur d'ordre frctonnre. 8

41 Chptre III Ipléentton Anlogque Vrble.5..5 h Fgure (III.4L'nterpolton polynole u en de ondre crré de coeffcent h de l'opérteur ntégrteur d'ordre frctonnre h Fgure (III.5L'nterpolton polynole u en de ondre crré de coeffcent h5 de l'opérteur ntégrteur d'ordre frctonnre. Le trcé de Bode (odule et phe de l foncton de trnfert de l ntégrteur d ordre.3 frctonnre H( et de l pléentton de l ntégrteur vrble pr une tructure de Frrow pour.3 ont préenté dn le fgure (III.6 et (III.7 uvnte: 9

42 Chptre III Ipléentton Anlogque Vrble Fgure (III.6 : odule de l foncton d pproxton de l opérteur Intégrteur.3 d ordre frctonnre à l orte de l tructure de Frrow Fgure (III.7 : Phe de l foncton d pproxton de l opérteur Intégrteur.3 d ordre frctonnre à l orte de l tructure de Frrow 3

43 Chptre III Ipléentton Anlogque Vrble On peut fcleent oberver que le trcé de Bode de l foncton de trnfert de l opérteur d ordre frctonnre et décopoton en tructure de Frrow ont uperpoée dn l plge de fréquence[, rd / ec], l foncton d pproxton et l opérteur ntégrteur d ordre frctonnre ont de pente de -6 db/dec (-, et de phe de -7 (.π / ce qu plque l jutee de l pproxton. III.4 Dérvteur d ordre frctonnre vrble prtr de l foncton de décopoton de l foncton rtonnelle en oe de frcton éléentre [équton (II.5]. G ( G g ( p ( (III.8 où le pôle p ( et le rédu g (, pour, ont de foncton de l ordre frctonnre ( < <. En nprnt de l tructure de Frrow dn le done nuérque, on ft une nterpolton polynole en pour tou le coeffcent g ( coe ut : : g ( (III.9 où le coeffcent ont le coeffcent de l foncton polynol g ( ont ndépendnt du prètre. l foncton de trnfert peut être récrte coe ut : G( G (III. p ( lor G ( G G p ( F ( (III. Schnt que le foncton de trnfert réultnte F ( ont de polynôe d'ordre F ( pour,, L (III. p ( 3

44 Chptre III Ipléentton Anlogque Vrble Coe on peut le rerquer que le foncton F (, pour, ont toute dépendnte de l ordre frctonnre prce que le pôle p ( dépendent de. Pr conéquent le fore de G( de l équton (III. ne peut p être pléenter ou l fore de l tructure de Frrow. Alor pour que toute le foncton F ( oent ndépendnte de l ordre l fut que tou le pôle p ( oent fxe, c'et-à-dre lorqu on ft vrer l ordre on grde toujour le êe pôle de l pproxton de dérvteur d ordre frctonnre. Dn l ecton (II., l éthode de clcul de pôle de l pproxton de dérvteur d ordre frctonnre pr une foncton rtonnelle et expoée. Donc, pour une erreur y en db choe, le pôle de l pproxton pour un certn ordre ont donné pr : ( b p ( p, pour,,..., (III.3 où le prètre et b ont foncton de y et et ont donné pr : (, y b y et p et le preer pôle d pproxton défn prélbleent. Pour un econd dérvteur d ordre frctonnre ( < < et pour une erreur y en db choe, le pôle de l pproxton ont u donné pr : où et b ont donnée pr : p ( b ( p, pour,,..., (III.4 y (, y b Pour grntr l églté de pôle de équton (III.3 et (III.4 de deux pproxton quelque ot le ordre on dot vor p ( p ( (,,,...,, c'et-à-dre : cel condut à : ( b p ( b p b p ( b p ( y ( x y y y ( x donc le erreur d pproxton y et y et le ordre et ont lé pr l relton uvnte : 3

45 Chptre III Ipléentton Anlogque Vrble ( ( y y (III.5 Une fo le pôle d pproxton fxé, l devennent ndépendnt de l ordre, donc le foncton F ( de l équton (III. devennent toute ndépendnte de l ordre frctonnre. Pr conéquent l équton (III. peut être pléenter ou l fore de l tructure de Frrow. Alor on rélé un dérvteur d ordre frctonnre à ordre vrble. III.4. Clcul de coeffcent de l nterpolton polynole L nterpolton polynole en pour tou le coeffcent g ( de l équton (III.8 et donnée pr l équton (III.9 coe ut : g (, pour où ont le ( coeffcent du polynôe en de g (. Pour déterner ce coeffcent on dot réoudre le ytèe d équton lnére à ( nconnu obtenu en chont ( pont dfférent de l ordre. On cherche donc l unque polynôe de degré pnt pr le pont { j, g ( j }. Le pont j (j,,, étnt tou dtnct. Donc pour,,,, on ur : g ( (III.6 Alor pour j,,, et,,,, on peut écrre : pour j g (..... g (..... Pour j g (..... g (..... g (

46 Chptre III Ipléentton Anlogque Vrble 34 Pour j g..... ( g..... ( g..... ( Sot en notton trcelle: g g g g g g g g g L L L L L L L L K K K. ( ( ( ( ( ( ( ( ( (III.7 On peut écrre le ytèe d'équton ou l fore : G U A (III.8 Coe l trce U n et p en générl une trce crrée, lor on : ( G U U U A T T (III.9 L trce U et une trce de Vnderonde lor l trce crrée ( U U T et nverble tnt que le pont j (j,,, ont dtnct. Vu l coplexté du clcul de trce A de l équton (III.9, l éthode utlé pour réoudre ce problèe d nterpolton et l technque d juteent de l courbe dn le but d obtenr un polynôe de degré qu pproxe chque rédu g ( (,,...,, dn le en de ondre crrée. Pour ce but, on utlé l routne de tlb dénoée polyft. III.4. Exeple llutrtf Coe exeple on condère l concepton d un ntégrteur d ordre frctonnre vrble dn l bnde fréquentelle[ ] [ ] rd rd h b /,. /., ω ω. L pproxton de dérvteur d ordre frctonnre et donnée ou l fore uvnte : ( p g G G ( ( p G ( Pour réler une dérvteur d ordre frctonnre vrble, l fut en preer leu fxer le pôle p ( de l pproxton pu clculer le coeffcent. Pour fxer le pôle,

47 Chptre III Ipléentton Anlogque Vrble 6 on chot l ordre.. Donc, pour une erreur y. db, ω c.ω b rd/ et ω x ω h rd/, le prètre p,, b et de l pproxton ont donné pr : y (.55 b.5849 Alor le pôle p de l pproxton ont donné pr : y (. 6 ωc.35* et 8 p b p.35* 6 66, pour,,..., Et de l équton (II.5 le coeffcent g (. (pour,,, ont donné pr : g (. K D j 6.35* 6. Avec ( ((. 5 K ω. D c (.66 ( j ( j ( (.66 j, j ( Pour l concepton d un utre dérvteur d ordre frctonnre d ordre donné (< < tel que. vec le êe pôle pproxton p (pour,,, quel que ot l vleur de l ordre, l erreur d pproxton y de l équton (III.5 dot être égle à y. (-. Le prètre, b et de l pproxton ont donné pr : y (, y b et 8 Avec (b ( b et le coeffcent g ( (pour,,, ont clculé pr : Avec K ( ω D c g (. Donc on ur : g ( K D j pà ( b (.35* ( j ( j ( ( b j, j (.66 ( b 6 j 6 ( j ( j ( (.66 j, j (.66 35

48 Chptre III Ipléentton Anlogque Vrble Le degré du polynôe d nterpolton et cho tel que l erreur d nterpolton et nféreure à une vleur donnée pour une bonne pproxton. Fgure (III.8 - (III. Fgure (III.8L'nterpolton polynole u en de ondre crré de coeffcent g de l'opérteur dérvteur d'ordre frctonnre. Fgure (III.9L'nterpolton polynole u en de ondre crré de coeffcent g5 de l'opérteur dérvteur d'ordre frctonnre. 36

49 Chptre III Ipléentton Anlogque Vrble Fgure (III.L'nterpolton polynole u en de ondre crré de coeffcent g de l'opérteur dérvteur d'ordre frctonnre. Fgure (III.L'nterpolton polynole u en de ondre crré de coeffcent g 5 de l'opérteur dérvteur d'ordre frctonnr 37

50 Chptre III Ipléentton Anlogque Vrble Le trcé de Bode de l foncton de trnfert de l opérteur dérvteur frctonnre 65 et de on pléentton à l orte de l tructure de Frrow ont préenté dn le fgure uvnte: Fgure (III. odule de l foncton d pproxton de l opérteur Dérvteur.65 d ordre frctonnre à l orte de l tructure de Frrow Fgure (III.3 Phe de l foncton d pproxton de l opérteur Dérvteur d ordre.65 frctonnre à l orte de l tructure de Frrow 38

51 Chptre III Ipléentton Anlogque Vrble On peut obervé fcleent que le trcé de Bode de l foncton de trnfert de l opérteur d ordre frctonnre et décopoton en tructure de Frrow ont uperpoée dn l plge de fréquence[.,. rd / ec], l foncton d pproxton en tructure de Frrow et l opérteur dérvteur d ordre frctonnre à de pente de 3dB/dec (, et l phe de -58.5, (π/ ce qu plque l jutee de l pproxton. 39

52

53 Chptre IV Applcton De Opérteur d'ordre Frctonnre Vrble Applcton De Opérteur d'ordre Frctonnre Vrble IV. Introducton Au cour du précédent chptre, l'ntérêt de l'pléentton nlogque en tructure de Frrow été déontré pour l rélton d'un dérvteur (ntégrteur d ordre frctonnre vrble borné en fréquence. L'objectf de ce chptre et d'utler le proprété nlyée précédeent pour clculer l répone teporelle d opérteur d ordre frctonnre. Donc nou préenton dn l ute l'lgorthe de clcul de l orte de opérteur d ordre frctonnre vrble. IV. Répone teporelle d'un opérteur d'ordre frctonnre Plueur lgorthe ont été développé pour clculer l orte du odel rtonnel de l opérteur d ordre frctonnre, l ont bé générleent ur l foncton de trnfert ou ur l repréentton d epce d étt [6],[8]. Dn notre c, on coencé pr l foncton de trnfert frctonnre, l foncton rtonnel nlogque et obtenu on replçnt chque opérteur d ordre frctonnre pr une pproxton entère dn une bnde de fréquence ben défne, coe on ontré dn le deuxèe chptre. L rélton (pléentton d'un dérvteur (ntégrteur d ordre frctonnre vrble borné en fréquence et fte en utlnt l tructure de frrow ( troèe chptre. Donc on à : E( G( Y( Avec E( l entrée de l opérteur d ordre frctonnre, Y( orte, et H( foncton de trnfert. On Y ( G ( E( (IV- frrow Donc y ( ( t L G ( E( (IV- frrow 39

54 Chptre IV Applcton De Opérteur d'ordre Frctonnre Vrble IV.3 Dérvton d'ordre frctonnre de quelque foncton uuelle IV.3. L dérvée frctonnre d un échelon L foncton Echelon unté uvnte : pour t > e ( t u( t pour t < Dn ce c E (, donc l orte y(t et donnée pr : y( t L ( G frrow ( E( Avec G frrow ( et donnée pr l équton (III.6 coe : (IV-3 pour,, L ( G frrow G F ( (IV-4 Donc l orte et donnée pr: y F ( (IV-5 p ( t L ( G (IV-6 p p exp( pt y( t G (IV-7 L fgure obtenue de dérvton d ordre frctonnre d un échelon et l uvnt : 4

55 Chptre IV Applcton De Opérteur d'ordre Frctonnre Vrble Fgure (IV- Dérvton d'ordre frctonnre d un échelon pour de dfférent ordre. IV.3. L dérvée frctonnre d un rpe On e (t t pour t > pour t < E (, donc l orte y(t et donnée pr : y ( t L ( G (IV-8 p [ exp( pt ] y( t G t (IV-9 L fgure de dérvton d'ordre frctonnre d une rpe et repréentée pr : 4

56 Chptre IV Applcton De Opérteur d'ordre Frctonnre Vrble Fgure (IV- Dérvton d'ordre frctonnre d une rpe pour de dfférent ordre. IV.3.3 L dérvée frctonnre d un conu On ontré que l dérvton d'ordre frctonnre d un conu de pulton ω vec un déphge ϕ (chptre I, et équvlente à l relton uvnte []: co( ω e( t t ( D [ ω. t ϕ ] co( π ω co( ω. t ϕ (IV- pour t >, lor E ( pour t <, donc l orte y(t et donnée pr : ω y( t L ( G ω p ω co( t C exp( pt D co( t Φ (IV- y( t G ω ω (IV- p vec C, p ω 3 pω p D et Φ tn ( p ω ω l fgure uvnte repréente l orte vec co( ω e( t t pour t > pour t < : 4

57 Chptre IV Applcton De Opérteur d'ordre Frctonnre Vrble Fgure (IV-3 Dérvton d'ordre frctonnre d un conu pour de dfférent ordre IV.3.4 L dérvée frctonnre d un nu l dérvton d'ordre frctonnre d un nu de pulton ω vec un déphge ϕ (chptre I, et équvlente à l relton uvnte[]: ( D [ ω. t ϕ ] n( n( ωt e( t ω Donc E ( ω l orte et donnée pr : y( t L ( G ω π ω n( ω. t ϕ (IV-3 pour t > pour t < ω p ω ω n( t C exp( pt D n( t Φ (IV-4 y( t G ω ω (IV-5 43

58 Chptre IV Applcton De Opérteur d'ordre Frctonnre Vrble p ω vec C, p ω pω p D et Φ tn ( p ω ω n(πt pour t > On poe que : e( t pour t < L fgure uvnte réprénte l orte Fgure (IV-4 Dérvton d'ordre frctonnre d un nu pour de dfférent ordre IV.3.5 L dérvée frctonnre d une foncton nuodle orte L dérvton d'ordre frctonnre d une foncton nuodle orte produt de foncton exponentelle et nuoïdle du type exp( tn( ω t, et équvlente à l relton uvnte [] : ( D [ exp( tn( ω t ] A exp( tn( ωt ψ (IV-6 Avec Α ω et ψ Arg ( ω (IV-7 44

59 Chptre IV Applcton De Opérteur d'ordre Frctonnre Vrble exp( n(, Donc pour ( t ω e t t, y( t L ( G ω ( ω pour t > pour t < ω E (, lor :, ( ω p ω ( ω (IV-8 exp( tn( t C exp( pt D exp( tn( t Φ y( t G ω ω (IV-9 p ω Avec C p p ω, D p p ω ω p et Φ pω tn ( p ω exp( 5tn(πt On prend coe exeple e( t donnée pr l fgure uvnte : pour t >, l orte et pour t < Fgure (IV-5 Dérvton d'ordre frctonnre d un nu ort pour de dfférent ordre 45

60 Chptre IV Applcton De Opérteur d'ordre Frctonnre Vrble IV.4 ntegrton d'ordre frctonnre de quelque foncton uuelle Dn ce êe contexte, nou von développé de progre qu content à clculer l ntegrton d'ordre frctonnre de quelque foncton uuelle : l échelon, l foncton nuoïdle (conu, nu, foncton nuoïdle ort. IV.4. L ntegrle frctonnre d une pulon pour t l foncton pulon et donnée pr : e ( t pour t On t que l trnforée en L d une pulon et donnée pr : E ( Donc l orte et : y Avec ( ( ( t L H ( E( frrow H frrow et l foncton de trnfert à l orte de cette nouvelle tructure, et qu et défne coe ut: H frrow ( G ( (IV- Avec G ( pour,, L (IV- p Donc l orte et donnée pr: y( t L ( (IV- p y( t p exp( pt (IV-3 Le réultt de l ntégrle d'ordre frctonnre d pulon et donné pr : 46

61 Chptre IV Applcton De Opérteur d'ordre Frctonnre Vrble Fgure (IV-6 L ntégrle d'ordre frctonnre d pulon pour de dfférent ordre IV.4. L ntegrle frctonnre d un échelon L foncton Echelon unté uvnte : pour t > e ( t u( t. pour t < L trnforée d un échelon et : E( Donc l orte et donnée pr : y( t L ( (IV-4 p y ( t ( exp( pt (IV-5 Le réultt de l ntégrle d'ordre frctonnre de l échelon unté et donné pr : 47

62 Chptre IV Applcton De Opérteur d'ordre Frctonnre Vrble Fgure (IV-7 L ntégrle d'ordre frctonnre d un échelon pour de dfférent ordre IV.4.3 L ntegrle frctonnre d une rpe On à t e ( t Donc E ( l orte et donnée pr : pour t > pour t < y( t L ( (IV-6 p y ( t ( exp( p t t (IV-7 p p Le réultt obtenu de l ntégrle d'ordre frctonnre d une rpe et donné pr : 48

63 Chptre IV Applcton De Opérteur d'ordre Frctonnre Vrble Fgure (IV-8 L ntégrle d'ordre frctonnre d une rpe pour de dfférent ordre IV.4.4 L ntegrle frctonnre d un conu Sot : Donc co( ωt e( t E ( ω l orte et donnée pr : pour t > pour t < y( t L ( ω p (IV-8 y( t C exp( p t D n( ω t Φ (IV-9 p vec C, p ω p p D et Φ tn ( p ω ω 49

64 Chptre IV Applcton De Opérteur d'ordre Frctonnre Vrble Fgure (IV-9 L ntégrle d'ordre frctonnre d un co(π t pour le dfférent ordre IV.4.5 L ntegrle frctonnre d un nu Sot : Donc n( ωt e( t ω E ( ω l orte et donnée pr : pour t > pour t < y t L ω ( ( ω p (IV-3 y( t C exp( p t D co( ω t Φ (IV-3 pω vec C, p ω 5 p p D et Φ tn ( p ω ω

65 Chptre IV Applcton De Opérteur d'ordre Frctonnre Vrble Le réultt obtenu de l ntégrle d'ordre frctonnre d un conu et donné pr : Fgure (IV-9 L ntégrle d'ordre frctonnre d un n(π t pour le dfférent ordre 5

66

67 Concluon Générle Concluon Générle Toute le pléentton nlogque extnte dn l lttérture de l ntégrteur d ordre frctonnre H I( et du dfférentteur d ordre frctonnre D G ( ont de pléentton fxe. Alor, le problèe et celu de l pléentton nlogque de ce opérteur d ordre frctonnre pr de pléentton d ordre vrble. L pléentton nlogque d ordre vrble de ce opérteur d ordre frctonnre n exte p pr contre leur pléentton nuérque d ordre vrble peut être obtenue pr l utlton de l feue technque dte tructure de Frrow. Dn ce éore, nou von préenté une nouvelle éthode de ulton et d pléentton d opérteur d ordre frctonnre vrble en utlnt une tructure dte tructure de Frrow en e bnt ur l foncton rtonnelle d pproxton de l éthode de Chref. Le chptre I trte prncpleent le dfférente noton d opérteur d ordre frctonnre, nou von coencé pr deux défnton le plu récente, qu ont l défnton de Grunwld-Letnov et l défnton de Renn-Louvlle et on ntrodut quelque proprété de l dérvton non entère. Enfn nou von préenté quelque pproche de l opérteur d ordre frctonnre dn le c contnu. Le chptre II trte l pproxton de opérteur d ordre frctonnre pr une foncton rtonnelle dn le c nlogque. L éthode utlée dn cette pproxton et celle de Chref. L ntégrteur d ordre frctonnre - (<< et repréenté pr un pôle à punce frctonnre (PPF dn une bnde de fréquence ben déternée enute le PPF et pproxé pr une foncton rtonnelle. Le dérvteur d ordre frctonnre (<< et repréenté pr un zéro à punce frctonnre (ZPF. De exeple nuérque ont été préenté. Dn le chptre III nou von expoé l nouvelle technque d pléentton de opérteur d ordre frctonnre ou l fore de l tructure de Frrow qu condut à l pléentton de opérteur d ordre frctonnre vrble. Le chptre IV et réervé à l pplcton de l éthode décrte dn le chptre III ux foncton uuelle tel que l échelon, l rpe, l foncton nuoïdle, et l foncton nuoïdle orte. 5

68 Concluon Générle A prtr de ce réultt obtenu en peut conclure que le trvux ynt bout à l pproxton de ytèe d ordre vrble ont effectveent vérfé et prouvent que cette éthode et non euleent rgoureue elle er u fructueue pr on pplcton dn dfférent done de l cence et de l technologe. Alor coe perpectve, on uggère l pplcton de cette technque dn le done du trteent du gnl, de l dentfcton et l conde de ytèe d ordre frctonnre. 53

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