Électrostatique. E = q E = conséquences V = Force F = q E

Transcription

1 Partie V : électromagnétisme Chapitre 1 Électrostatique I Liens entre charges électriques et champ électrique Charges Champ E - ponctuelle q - ρ, σ, λ dq = ρ dv, dq = σ ds, dq = λ dl Symétries, invariances E = E = q 4πɛ 0 r 2 er V conséquences dq 4πɛ 0 r 2 er - Direction de E - Variables dont E dépend II III Potentiel électrostatique V charge ponctuelle q V = q 4πɛ 0 r Lignes de champ, tubes de champ, surfaces équipotentielles lignes de champ E = gradv B E dl = (V A B V A) V = cst IV Théorème de Gauss Choix d une surface de Gauss Charge Q int Φ E = S E ds = Q int ɛ 0 Flux de E sortant de la surface S fermée - Exemples - Modèle du condensateur plan V Énergie potentielle électrostatique F dérive du potentiel E p = qv E c + qv = cst Force F = q E Champ E VI Analogie avec la gravitation (à colorier avec une couleur par partie lors de la relecture du cours, si besoin voir la version couleur sur Internet) Plan du cours I - Liens entre charges électriques et champ électrique 1 - Charge ponctuelle et champ créé 2 - Distribution continue de charges et champ créé 3 - Symétries et invariances de la distribution de charges et conséquences pour E II - Le potentiel électrostatique V 1 - Circulation de E et potentiel V 2 - Potentiel électrostatique pour une charge ponctuelle III - Lignes de champ, tubes de champ, surfaces équipotentielles 1 - Définitions 2 - Liens entre lignes de champ et surfaces équipotentielles IV - Théorème de Gauss 1 - Le théorème 2 - Exemples de distributions suffisamment symétriques 3 - Modélisation du condensateur plan V - Énergie potentielle électrostatique VI - Analogie avec la gravitation Partie V, chapitre 1, fiche introduction 1 / 5 Pierre de Coubertin TSI

2 Ce qu il faut connaître (cours : I) 1 Ce qui caractérise un champ électrostatique. L unité du champ E. Un ordre de grandeur. 2 3 La loi de Coulomb. Le principe de superposition L expression de Q tot, et de E, résultant d une distribution de charges volumique, surfacique ou linéique, à l aide d intégrales. Les définitions d un plan de symétrie ou d antisymétrie et des invariances d une distribution de charges, leurs conséquences sur E. (cours : II) Définition de la circulation du champ E le long d un chemin. Relation rot E = 0. Relation E = grad V. Relation B A E dl = B grad V dl = (V A B V A ). Conséquences : la circulation de E entre deux points fixes ne dépend pas du chemin suivi mais uniquement du potentiel V en ces points ; la circulation de E sur un chemin fermé est nulle. 10 L expression en coordonnées cartésiennes de l opérateur gradient. 11 Le potentiel V (r) créé par une charge ponctuelle. (cours : III) 12 Définition d une ligne de champ. Allure et sens pour une charge ponctuelle > 0 ou < Définition d une surface équipotentielle Propriétés liant lignes de champ et surfaces équipotentielles : elles sont orthogonales, V décroit le long d une ligne de champ, et E est plus intense là où les équipotentielles se resserrent. (cours : IV) Définition du flux de E à travers une surface orientée. Théorème de Gauss. (cours : V) 17 L expression de l énergie potentielle électrostatique d une charge placée dans un champ E ext. 18 (cours : VI) Les analogies entre gravitation et électrostatique. Ce qu il faut savoir faire (cours : I) 19 Étant donnée un ensemble de charges ponctuelles, ou une distribution continue de charges : (i) Donner l expression du champ E résultant. (ii) Identifier les plans de symétrie ou d antisymétries et les invariances de la distribution, puis dans un second temps en tirer des conséquences sur E. (iii) Exprimer la charge totale Q tot de la distribution. TD II et III. (i) : Expression du champ créé par une charque q placée à l origine? (ii) : On considère un plan infini uniformément chargé. Symétries et invariances? en déduire la dépendance spatiale de E et sa direction. Partie V, chapitre 1, fiche introduction 2 / 5 Pierre de Coubertin TSI

3 (iii) : On considère une sphère de rayon R uniformément chargée en surface (densité de charge surfacique σ), quelle est la charge totale portée? Même question si uniformément chargée en volume (densité de charge volumique ρ) (cours : II) Retrouver l expression du potentiel V créé par une charge ponctuelle. On considère une charge ponctuelle q placée en O. On donne grad V = dv dr e r en coordonnées sphériques pour un champ V ne dépendant que de r. Démontrer l expression du potentiel V créé par cette charge. (partir de l expression, connue, de E) 21 Étant donné l expression du potentiel électrostatique V, calculer l expression du champ E. Si coordonnées sphériques ou cylindriques : l expression de l opérateur gradient est fournie. On donne V = V 0 z/l (coordonnées cartésiennes), calculer E. 22 Calculer une différence de potentiel par circulation du champ électrostatique (le champ E étant donné). On considère le champ E(x, y, z) = E 0 e z (E 0 = cst). Donner l expression de la différence de potentiel entre les points A(0, 0, 0) et B(d, 0, h). 2 (cours : III) 23 Étant donnée une distribution de charges, tracer l allure des lignes de champ électrostatique. Respecter en particulier les conséquences des symétries et invariances de la distribution. 24 Étant donnée une carte des lignes de champ électrostatique, tracer l allure des surfaces équipotentielles (et vice-versa). Savoir repérer les zones de champ forts à partir des équipotentielles. Pour ce point et le précédent : TD III (q.3), et exemples sur la fiche de début de chapitre. 25 (cours : IV) Théorème de Gauss : reconnaître les situations suffisamment symétriques où il est utile, puis s en servir Établir l expression du champ électrostatique créé en tout point de l espace par une sphère uniformément chargée en volume. Même question pour un cylindre infini uniformément chargé en volume. Puis pour un plan infini uniformément chargé en surface. (voir cours) TD V. On modélise un condensateur par deux plans parallèles uniformément chargés et supposés infinis. Donner l expression du champ électrique entre les deux plans. Définir puis établir la capacité du condensateur. Voir TD VI. Démontrer qu à l extérieur d une distribution de charge à symétrie sphérique de charge totale Q tot, le champ électrostatique est le même que celui qui serait créé par une charge ponctuelle Q tot placée en son centre. Décomposer une distribution de charge a priori complexe en somme de distributions plus simples afin de calculer le champ électrique par superposition. Exemple avec le cas du condensateur : on le considère comme la somme de deux plans pour lesquels on connait le champ E créé. TD VII (cours : V) Démontrer l expression de l énergie potentielle électrostatique d une charge placée dans un champ E ext (cours). 29 L utiliser lorsque c est pertinent. TD VIII 30 (cours : VI) Utiliser le théorème de Gauss dans le cas de la gravitation. TD IX 1. Q tot = 4πR 2 σ et Q tot = (4/3)πR 3 ρ. 2. V A V B = B A E dl = B A E 0 e z dl. Or ( e z dl) = dz. Donc V A V B = B A E 0dz = E 0 (z B z A ) = E 0 h, soit encore V B V A = E 0 h. Partie V, chapitre 1, fiche introduction 3 / 5 Pierre de Coubertin TSI

4 Documents Constantes physiques intervenant dans la théorie de l électrostatique : Vitesse de la lumière dans le vide : c = m s 1. Permittivité du vide : ɛ 0 = F m 1 (aussi appelée permittivité diélectrique du vide). Charge élémentaire : e = C (la charge d un proton est +e, celle d un électron e). Autres constantes physiques : Masse d un électron : m e = kg (on retiendra kg), d un proton : m p = kg. Constante universelle de gravitation : G = m 3 kg 1 s 2. 0 Introduction à la partie sur l électromagnétisme Les entités de bases : Charges et champs La présence de charges, en mouvement ou non, est à l origine d un champ électromagnétique E(M, t), B(M, t). En retour, ce champ électromagnétique agit sur les charges via la force de Lorentz F = q charge ( E + v charge B), où les champs E et B sont pris à l endroit où se situe la charge. Force entre deux charges La force qui s exerce entre deux charges est transmise par l intermédiaire des champs E et B. Il n y a donc pas d action instantanée : si on bouge une charge, le champ électromagnétique est modifié de proche en proche jusqu à l autre charge (vitesse c dans le vide). C est similaire à la propagation de vagues à la surface d un lac. Unités E : V/m (volts par mètres) B : T (tesla) q : C (coulomb) Deux domaines d étude restreints : L électrostatique : étude des situations avec uniquement un champ électrique E stationnaire (pas de champ magnétique). Ceci implique une distribution de charges fixes dans le référentiel d étude. C est l objet du chapitre 1. La magnétostatique : étude des situations avec uniquement un champ magnétique B stationnaire (pas de champ électrique). Ceci implique une distribution de courants dont l intensité ne varie pas dans le temps et portés par des fils fixes dans le référentiel d étude. C est l objet du chapitre 2. On étudiera la situation générale (champs E et B à la fois, dépendant du temps) dans le chapitre 3, en exposant la théorie de l électromagnétisme. Le postulat de départ sera alors les équations de Maxwell. Les situations électrostatique et magnétostatique seront alors vues comme des cas particuliers. Partie V, chapitre 1, fiche introduction 4 / 5 Pierre de Coubertin TSI

5 III Exemples de lignes de champ et surfaces équipotentielles Figure 1 : Lignes de champ pour deux charges placées en regard À compléter : le signe des charges, et l allure des équipotentielles. Figure 2 : Effet de pointe : équipotentielles au dessus du sol en présence d un arbre À compléter : tracer des vecteurs E (attention à rendre compte du fait que E n est pas uniforme). Conclure en cas de foudre. Figure 3 : Lignes de champ pour deux plans de charges opposées Ceci modélise la situation dans un condensateur. On remarque que loin des bords, les lignes de champ sont toutes selon le même axe, ce qui justifie de négliger les effets de bord dans ce domaine de l espace. À compléter : tracer quelques équipotentielles. Partie V, chapitre 1, fiche introduction 5 / 5 Pierre de Coubertin TSI