1 Moment magnétique d un aimant permanent

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1 Lycée Nava, Spé 2. Éectromagnétsme. 06. Meux ferromagnétques Meux ferromagnétques Dans ce chaptre, on s ntéresse aux meux magnétques et pus partcuèrement aux matéraux ferromagnétques, très présents dans a probématque de a converson de pussance. L objectf est de proposer une reformuaton des équatons de Maxwe pus adaptée à étude de ces meux. 1 Moment magnétque d un amant permanent 1.1 Cartes de champ magnétque Sur a fgure c-dessous, on constate que es gnes de champ magnétque d un amant (à gauche) sont smares à cees créées par une spre (à drote). N S Sot a a tae caractérstque de amant ou de a bobne. À une dstance r grande devant a, es gnes de champ de amant et de a spre sont dentques. Auss, dans cette approxmaton, on assme amant et a spre à des dpôes magnétques de moment magnétque M. S ou Remarques : e moment magnétque s exprme en A.m 2 dans e système nternatona d untés ; en présence d un bobnage de N spres, M = N S ; pour une bobne de 1000 spres, comme pour un amant usue, e moment magnétque est de ordre de 1 à 10 A.m 2 ; dans une vson cassque (non réaste), on peut envsager que e moment magnétque de amant est créé par es éectrons en rotaton autour des noyaux qu forment autant de bouces de courant. Expresson du champ magnétque et carte de champ On consdère un dpôe magnétque de moment magnétque M = M u z stué à orgne O. En un pont M(r, θ, ϕ) de espace, on peut montrer que e champ magnétque créé par e dpôe a pour composantes : B r = µ 0 cos θ M2 4π r 3, B θ = µ 0 4π Msn θ r 3, B ϕ = 0 En expotant es symétres et queques ponts partcuers, on obtent a carte des gnes de champ magnétque créées par e dpôe magnétque à grande dstance : N S M 1.2 Moment magnétque Moment magnétque d une bouce de courant ou d un amant Pour une bouce de courant pane, démtant une surface d are S, et parcourue par un courant, on défnt e moment magnétque : M = S e vecteur surface S étant orenté conformément au courant. En premère approxmaton, e champ magnétque créé par a Terre peut être assmé à un champ magnétque dpoare. En France, son ntensté est de ordre de 50 µt. Cette vaeur peut être comparée au champ magnétque créé par un 1

2 soénoïde : 10 à 100 mt sans noyau de fer doux, de ordre de 1 T avec noyau de fer doux. 1.3 Actons subes par un dpôe magnétque I est ben connu que amant d une boussoe s orente dans e champ magnétque terrestre. Expressons (résutats adms) Très généraement, un dpôe magnétque pacé dans un champ magnétque extéreur B ext possède une énerge potentee : I en résute : une force exercée sur e dpôe : E p = M. B ext un moment exercé sur e dpôe : Γ = M Bext Conséquences f = gradep = ( M. ) grad Bext Le moment exercé par e champ magnétque extéreur tend à agner e moment magnétque sur e vecteur B ext ; a force exercée par e champ magnétque extéreur tend à attrer amant vers es zones de champ ntense. Ces deux effets contrbuent à dmnuer énerge potentee du système. rotaton M de amant B ext u θ z M x B ext dépacement de amant Schéma de gauche : Γ = MB sn θ u z, e moment tend à ramener e dpôe e ong de a drecton du champ magnétque. Schéma de drote : on consdère un champ magnétque B ext = B ext (x) u x f = ( M. ) grad Bext = M B ext(x) u x x 2 Équatons de Maxwe dans un meu magnétque Dans toute a sute, on se pace dans ARQS et on négge e courant de dépacement vs à vs des autres termes de équaton de Maxwe-Ampère. 2.1 Amantaton d un meu On consdère un matérau magnétque ; au sen de ce matérau, on soe un pett voume dτ qu possède un moment magnétque δ M, on défnt e vecteur amantaton, pus smpement «amantaton», seon : 2.2 Courants d amantaton M = δ M dτ On admet que es effets magnétques de cette amantaton sont équvaents à a présence de courants és : j é = rot M Les courants d amantaton ou «courants és» sont assocés aux dpôes magnétques au sen du matérau par opposton aux courants bres, es éectrons qu crcuent dans e matérau. 2.3 Équaton de Maxwe-Ampère et exctaton magnétque Au sen du matérau magnétque, e vecteur densté de courant j a deux orgnes : e courant de conducton, dû au dépacement des éectrons bres, auque on assoce a densté de courant j bre ; e courant d amantaton qu modése es proprétés magnétques du matérau, auque on assoce a densté de courant j é. Dans e cadre de ARQS et pour un matérau magnétque, équaton de Maxwe prend a forme : ( ) rotb = µ0 j = µ 0 j bre + j é = µ 0 j bre + µ 0rotM ( ) C est à dre : B rot M = j bre. µ 0 On est aors ncté à ntrodure un nouveau champ vectore, appeée vecteur exctaton magnétque, ou pus smpement «exctaton magnétque», défn seon : 2

3 H = B µ 0 M L équaton de Maxwe-Ampère s exprme aors smpement à ade du vecteur exctaton magnétque : rot H = j bre 2.4 Les équatons de Maxwe dans un meu magnétque Dans un meu magnétque et dans e cadre de ARQS, es équatons de Maxwe s écrvent : Équaton de Maxwe-Gauss : dv E = ρ ε 0 (équaton nchangée, ρ est a pror nue dans un meu magnétque) Équaton de Maxwe-Thomson : dv B = 0, équaton nchangée, B est à fux conservatf. Équaton de Maxwe-Faraday : rote = B, équaton nchangée. t Équaton de Maxwe-Ampère : roth = j bre Cette dernère équaton amène à puseurs remarques mportantes : exctaton magnétque s exprme en A.m 1 ; dans un meu non magnétque, M = 0, H = B/µ0 et on retrouve équaton de Maxwe-Ampère habtuee ; sous forme ntégrae, équaton de Maxwe-Ampère condut au théorème d Ampère pour un meu magnétque : H.d = I bre,enacé Cette équaton montre mportance pratque de exctaton magnétque car c est ee qu est ée aux courants bres, grandeur mesurée par ampèremètre et drectement accessbe à expérmentateur. Enfn a reaton H B = M qu se réécrt µ ( M ) B = µ 0 + H montre que es 0 sources du champ magnétque sont es courants bres et amantaton. Reaton consttutve du matérau : pour résoudre e probème, faut ben sûr dsposer d une équaton spécfant es caractérstques magnétques du matérau, c est à dre d une équaton reant M (ou B) à H. Pour a pupart des matéraux (paramagnétques, damagnétques), une amantaton ne peut exster qu en présence de courants bres. Pour certans matéraux, une amantaton peut perdurer en absence de courants bres, on pare de matéraux ferromagnétques. 3 Les meux ferromagnétques 3.1 Défnton Les matéraux ferromagnétques sont caractérsés par exstence de moments magnétques permanents mcroscopques qu nteragssent fortement. Ces moments ont tendance à s agner même en absence d exctaton magnétque. Le fer, e cobat, e ncke et un certan nombre de eurs aages sont ferromagnétques. Seon eurs caractérstques, s peuvent servr à a réasaton d amants permanents ou de transformateurs. 3.2 Cyce d hystéréss Prncpe L objectf est de représenter M en foncton de H, ou B en foncton de H, ce qu est équvaent compte tenu de a reaton B ( M = µ 0 + H ). v Pour cea, à ade d une bobne, on mpose une exctaton magnétque (va un courant bre ) à un matérau ferromagnétque et on mesure e champ magnétque résutant. Le déta de a réasaton pratque est expqué en annexe et sera présenté en expérence de cours. Courbe de premère amantaton et cyces d hystéréss On s ntéresse pour nstant au cyce représenté sur a fgure de gauche. Courbe de premère amantaton : partant d un matérau désamanté (M = 0, B = 0), on augmente, donc H. On observe une augmentaton du champ magné- 3

4 tque jusqu à une saturaton (au nveau mésoscopque, ensembe des domanes magnétques sont aors agnés avec exctaton magnétque). B B courbe de premère amantaton H c B sat B r H c H reaton néare B= µ H H µ r peut attendre 10 5 pour un matérau doux (ben évdemment µ r = 1 pour e vde). 3.3 Pertes d une bobne à noyau On cherche à évauer es pertes d énerge au sen d une bobne entourant un noyau ferromagnétque. La bobne est assmée à un soénoïde nfn, on appee S sa secton, sa ongueur et N e nombre de spres. v matéraux durs matéraux doux Lorsque exctaton dmnue, e pont représentatf ne décrt pas a même courbe. S on utse une exctaton snusoïdae, a courbe est cee d un cyce d hystéréss. La courbe présente deux ponts remarquabes : e champ rémanent B r : tradut a persstance du champ magnétque et de amantaton en absence d exctaton ; exctaton coerctve H c (ou "champ coerctf") : c est a vaeur à donner à H pour annuer e champ magnétque. Meux durs et meux doux On dstngue deux types de meux en foncton de aure du cyce : Les matéraux durs : e cyce d hystéréss est arge et e champ coerctf éevé (H c > 10 4 A.m 1 ), avec des champs rémanents B r de ordre du tesa ; dffces à désamanter, s sont utsés comme amants permanents. Exempes : acer, aages tes que Anco (Fe, Co, N, A). Les matéraux doux : e cyce d hystéréss est étrot et e champ coerctf est fabe (H c 10 A.m 1 ), s sont faces à désamanter. On es utse comme noyaux dans es transformateurs (exempe : Fer+3% scum). En premère approxmaton, hors saturaton, on modése ces matéraux doux par une reaton consttutve néare entre e champ magnétque et exctaton magnétque : B = µh = µ 0 µ r H Dans cette expresson, µ désgne a perméabté et µ r a perméabté reatve du meu. Dans a pratque, es pertes sont de tros types : Les pertes cuvre : ces pertes sont assocées aux résstances de enrouement comme pour une bobne sans noyau. Les pertes fer : ces pertes se produsent au sen du noyau ferromagnétque, ees se décomposent en deux aspects : Les pertes par courant de Foucaut : e champ magnétque varabe dans a carcasse crée un champ éectrque (Maxwe-Faraday) et des courants nduts en voume ( j = σ E) qu entraînent une dsspaton par effet Joue ( j. E = σe 2 ). Cette pussance augmente comme e carré de a fréquence, on peut mter cette dsspaton en feuetant e matérau en tôes mnces séparées par des couches d soant. I est auss possbe d utser des matéraux magnétques soants comme es ferrtes. Les pertes dues à hystéréss : La bobne reçot une pussance nstantanée : p H = v avec v = e comme ndque e schéma éectrque équvaent de a bobne : v On ne tent pas compte de a résstance des fs, ce terme ayant été prs en compte dans es pertes cuvre. La force éectromotrce est e = dφ db = NS dt dt. Pour un soénoïde nfn, e théorème d Ampère appqué pour H et es courants bres condut à : H = N. e 4

5 En combnant ces expressons, on obtent pour a pussance nstantanée : p H (t) = v = e = dφ db = NS dt dt H db = S H N dt S = V représente e voume du noyau ferromagnétque. Sur une pérode, a pussance moyenne dsspée vaut : P H = 1 T p H (t)dt = V T H(t) db T T dt dt = V HdB P H = V T T Are cyce 0 0 cyce C est à dre, pour a pussance voumque (avec f a fréquence) : P H,v = f HdB cyce L are du cyce sera d autant pus fabe que e matérau est doux. En concuson, e noyau d une bobne subssant une exctaton snusoïdae (par exempe a carcasse d un transformateur) dot : être réasé, dans tous es cas, à ade de matéraux doux (cyce étrot, pertes hystéréss fabes), en prvégant, à basse fréquence, des matéraux feuetés (rédure es pertes par courant de Foucaut), en prvégant, à haute fréquence, des ferrtes (oxyde de fer+autres oxydes) qu sont des matéraux soants (absence de courants de Foucaut). 4 Appcatons 4.1 Bobne à noyau de fer doux Prncpe de étude On enroue une bobne de N spres autour d un matérau ferromagnétque de forme toroïdae : B µ r =1 + Γ 1 Γ 2 µ r >> 1 Matérau néare : on suppose un matérau ferromagnétque, homogène, sotrope et néare (fer doux) : B = µ 0 µ r H Modèe sans fute : on suppose que es gnes de champ magnétque sont canasées par e matérau ferromagnétque qu se comporte comme un tube de champ magnétque (schéma de gauche). Le fux magnétque est donc e même à travers toute secton du tore. Justfcaton (schéma de drote) : e contour Γ 1, de ongueur 1 et e contour Γ 2, de ongueur 2, représentent des gnes de champ, en conséquence : H.d = Hnt 1 et H.d = Hext 2 Γ 1 Γ 2 Ces deux contours enacent es mêmes courants, e théorème d Ampère assure que : H nt 1 = H ext 2 = N Les ongueurs 1 et 2 étant vosnes, on peut consdérer que H nt H ext. Dans e matérau, B nt = µ 0 µ r H nt ; à extéreur, B ext = µ 0 H ext, on en dédut : B ext B nt = H ext µ r H nt 1 µ r 1 Le champ magnétque est ben ocasé au sen du matérau ferromagnétque. Pour smpfer es cacus, on supposera de pus que a norme du champ magnétque est homogène dans tout e matérau. Inductance propre Le ong d une gne de courant ntéreure au tore, e théorème d Ampère s écrt : H = N H = N Pour ce matérau doux, on en dédut e champ magnétque : B = µ 0 µ r H donc B = µ 0µ r N Le fux tota du champ magnétque à travers es N spres de a bobne vaut : Φ = B NS Φ = µ 0µ r N 2 S Par défnton, nductance propre est ée au fux propre seon Φ = L : L = µ 0µ r N 2 S Dans cette expresson S est a secton drote du matérau ferromagnétque, sa ongueur moyenne et µ r sa perméabté reatve. L nductance propre de a bobne est donc consdérabement augmentée par a présence du noyau de fer doux (µ r 1). 5

6 Énerge magnétque et densté voumque d énerge magnétque Connassant nductance propre de a bobne à noyau de fer doux, on en dédut énerge magnétque stockée au sen du matérau ferromagnétque : E m = 1 2 L2 = 1 µ 0 µ r N 2 S 2 = 1 ( ) µ0 µ r N 2 S = B2 V 2 2µ 0 µ r 2µ 0 µ r avec V e voume du matérau. B 2 2µ 0 µ r représente a densté d énerge voumque au sen de ce matérau ferromagnétque doux non saturé. On admettra a générasaton de ce résutat à une géométre queconque. L énerge magnétque stockée dans un ferromagnétque doux, non saturé, est : B 2 E m = dτ 2µ 0 µ r 4.2 Éectroamant Prncpe V Un éectroamant est un crcut magnétque, amenté par une bobne (N spres, ntensté ) enrouée autour du crcut. Le crcut magnétque est nterrompu par une ou puseurs zones nommées entrefer. e entrefer L objectf est d obtenr un champ magnétque ntense et ben défn au sen de entrefer. Champ magnétque et exctaton magnétque créés On note avec un ndce e es champs dans e vde au nveau de entrefer et avec un ndce es champs à ntéreur du ferromagnétque. On admettra que es gnes de champ magnétque sont orthogonaes à nterface dans un entrefer. Champ magnétque : e champ magnétque étant à fux conservatf, e fux à travers une secton drote du matérau ferromagnétque est éga au fux à travers une secton drote de entrefer. B e S = B S B e = B Exctaton magnétque : on appque e théorème d Ampère pour une gne de courant, on appee a ongueur dans e matérau ferromagnétque et e a ongueur dans entrefer. H.d = N H e e + H = N C On obtent e jeu d équatons : B e = B ; H e e + H = N ; B e = µ 0 H e La dernère reaton tradut smpement e fat que e vde est un meu néare non magnétque (µ r = 1). Pour résoudre e probème, est nécessare de connaître a reaton ant B et H au sen du matérau magnétque. Meu magnétque doux néare non saturé Pour un matérau supposé néare, B = µ 0 µ r H, on en dédut : B e e + B e = N B e = µ 0N µ 0 µ 0 µ r e + µ r En consdérant µ r 1 (pouvant attendre 10 5 ), expresson se smpfe seon : B e µ 0N e Un entrefer étrot permet d obtenr un champ magnétque partcuèrement ntense pouvant attendre des vaeurs de ordre du tesa. Meu magnétque rée Dans e cas généra, faut effectuer une résouton graphque à ade du cyce d hystéréss sachant que e système d équatons condut à équaton : B e + H = N B = µ 0N µ 0 µ 0 e e H Les soutons correspondent à ntersecton de a drote et du cyce d hystéréss. Les soutons à courant nu correspondent au cas d un amant permanent. 6

7 courant non nu courant nu Annexe. Tracé expérmenta d un cyce d hystéréss On cherche à représenter, pour un matérau ferromagnétque, a courbe donnant e champ magnétque (ou amantaton) en foncton de exctaton magnétque. Dspostf expérmenta Pour réaser a courbe B = B(H), on utse e dspostf présenté c-dessous : C N 1 spres 1 N2 spres u R Exctaton magnétque : R B u 1 u 2 X Γ 2 noyau ferromagnétque L exctaton magnétque se cacue à partr du théorème d Ampère appqué au contour Γ de ongueur : H = N N 2 2 H = N N 2 2 N 1 1 Pour a dernère expresson, on suppose que ntensté est très fabe au secondare ( sufft pour cea que a résstance d entrée de ntégrateur sot suffsamment R 1 H + R 2 v s Y grande). Le courant au prmare est mesuré grâce à a résstance R : u R = R 1 u R = R H N 1 La tenson u R (observée en voe X de oscoscope) est proportonnee à H. Champ magnétque : La tenson u 2 au secondare est ée au champ magnétque seon : u 2 = e 2 = dφ dt = N 2S db dt Pour des fréquences tees que ω 1/(R 2 C), e montage à ampfcateur opératonne se comporte comme un ntégrateur : v s (t) = 1 u 2 (t)dt v s (t) = N 2S R 1 C R 1 C B(t) La tenson en sorte de ALI est donc proportonnee au champ magnétque (v s et B étant de moyenne nue, a constante d ntégraton est nue). Capactés exgbes : À partr d une formue fourne exprmant e champ d un dpôe magnétque, décrre e champ créé par un amant à grande dstance et représenter quatatvement es gnes de champ magnétque. Utser es expressons fournes de énerge potentee, de a résutante et du moment. Décrre quatatvement évouton d un dpôe magnétque dans un champ extéreur. Cter ordre de grandeur du champ géomagnétque en France. Défnr e champ d amantaton d un meu magnétque. Assocer à une dstrbuton d amantaton une densté de courants és équvaente j é = rot M (reaton admse). Défnr exctaton magnétque H et écrre équaton de Maxwe-Ampère dans un meu magnétque. En dédure quatatvement que es sources de H sont es courants éectrques bres, et que es sources de B sont es courants éectrques bres et amantaton. Représenter aure des cyces d hystéréss (H, M) et (H, B) d un meu ferro- 7

8 magnétque. Dstnguer meu dur et meu doux, cter des exempes. Tracer e cyce d hystéréss d un meu ferromagnétque. Modéser un meu doux par une reaton consttutve néare. Défnr a perméabté reatve et donner un ordre de grandeur. Crcut magnétque avec ou sans entrefer : décrre aure des gnes de champ dans un crcut magnétque sachant que es gnes de champs sortent orthogonaement à nterface dans un entrefer. En appquant e théorème d Ampère et a conservaton du fux magnétque, exprmer e champ magnétque produt dans entrefer d un éectroamant. Bobne à noyau de fer doux modésé néarement : étabr expresson de nductance propre de a bobne à noyau, vérfer expresson de énerge magnétque E mag = B 2 2µ 0 µ r dτ Perte d une bobne à noyau rée : exprmer e en entre are du cyce hystéréss et a pussance moyenne absorbée. Décrre es dfférents termes de perte d une bobne à noyau : pertes fer par courants de Foucaut et par hystéréss, pertes cuvre. 8