a(t)e iet e +i p x + a (t)e +iet on peut exprimer le champs comme operateur developé sur les operateurs de creation et d annihilation

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1 1 La QED: théorie de jauge abélienne On part d une symétrie globale du Lagrangien d un fermion de Dirac libre. On impose qu elle se comporte de façon logique et on obtient l electromagnetisme classique,l interaction photon-électronélectron, et un photon de masse nul. 1.1 Commentaires par rapport à la Quantification On vise la construction d un Lagrangien, on ne s attardera pas sur la quantification. Vous avez vu qu on peut quantifier un champs scalaire φ comme l oscillateur harmonique. Pour un champs réele, qui a une décomposition de fourier: φ( x,t) = d 3 p (2π) 3 a(t)e iet 2E e +i p x + a (t)e +iet 2E e i p x on peut exprimer le champs comme operateur developé sur les operateurs de creation et d annihilation ˆφ( x,t) = d 3 p e â iet (2π) 3 p e +i p x +â e +iet p e i p x 2E 2E Ca ne fonctionne pas tres bien en QED, et plutot mal en QCD. Y a problème que les champs de jauge ont 4 composantes, mais les bosons de jauge n on que deux polarisations physiques, dont faudrait éviter de quantifier les parties superflues des champs. Une quantification qui fonctionne bien, est dite intégral des chemins. Pour ca, on part du Lagrangien. Donc, ce qu on fait dans ce cours est cohérent, mais on ne fera pas les étapes quantification. L idée de integral des chemins, c est qu en physique quantique, pour obtenir l amplitude de passer de A à B, on peut sommer sur tout les chemins de A à B, avec poid exp{i d 4 xl}. En QFT, on somme sur tout les configurations de champs, avec poid e i d 4 xl, donc on n a besoin que de L.

2 1.2 Transformations de jauge Lagrangien pour un champs fermionique de Dirac ψ: L = ψ (iγ µ µ m)ψ (1.1) invariance sous transformation globale de phase ψ e iqω ψ, ψ e iqω ψ, (1.2) ( Q est operateur de charge: Qψ = +ψ,q ψ = ψ), et ω R est une constante (independent de x). Les {e iω } forment une representation du groupe U(1) (matrices unitaires de dim 1)

3 Les transformation globales sont particulières: pareils a tout les points de l espace-temps. Comment deux points très éloignés savent elles qu il faut faire la même transformation au même moment? Plus logique: invariance sous transformations locales, décrites par ω(x): ψ(x) e iω(x) ψ(x); ψ(x) e iω(x) ψ(x). (1.3) dites transformation de jauge. Mais le Lagrangien n est plus invariant! Après la transformation d éqn eq. (1.3), on a ψe iω(x) (iγ µ µ m)e iω(x) ψ = ψ (iγ µ µ m)ψ ψ(x)γ µ [ µ ω(x)]ψ(x). (1.4) Le problème = la dérivée γ µ µ. Donc: changer la dérivée, ou abandonner notre symétrie. On définit une dérivée covariante D µ = µ +ieqa µ (1.5) telle que, quand ψ(x) e iω(x) ψ(x) D µ e iω(x) D µ e iω(x) (1.6) cad: le champs vectorielle A µ, dite champs de jauge se transforme selon eqa µ eq(a µ +δa µ (x)) = eq A µ +Q µ ω(x). (1.7) La symétrie locale est préservé, au prix d un nouveau champs, qui a les interactions du potentielle électromagnetique. On a retrouvé la partie fermionique du Lagrangien de la QED! (avec interactions photon-électron).

4 Il faut des termes cinétiques pour le champs A µ (le photon). Sinon, il n a pas de dynamique (pas de propagation dans le temps), et on peut s en débarrasser. deux facons de voir: 1) les eqns de mouvement (Euler-Lagrange) sont algebriques; ont les resoud pour exprimer A µ en fonction des autres champs. 2) On peut faire explicitement l integrale des chemins. CestermescinétiquesdevraientêtreinvariantdeLorentz(scalaire)etdejauge,etdedimensionmasse 4. On peut définir F µν i e [D µ,d ν ] = i e [ µ, ν ]+[ µ,a ν ]+[A µ, ν ]+ie[a µ,a ν ] = µ A ν ν A µ (1.8) (dérivée agit seulement sur A) qui est invariant de jauge et de dimension 2. Donc on peut mettre af µν F µν dans le Lagrangien, avec a = 1/4 pour recuperer les eqns de Maxwell. Donc a partir d une symetrie, (et Maxwell pour la valeur de a) on a le Lagrangien de la QED: L = 1 4 F µνf µν +ψ (iγ µ ( µ +ieqa µ ) m)ψ. (1.9)

5 1.3 A quoi sert ce Lagrangien? A partir de ce Lagrangien, on obtient les equations de mouvement pour ψ et A µ : Donc δl δψ δl µ δ µ ψ = (iγµ ( µ +ieqa µ ) m)ψ δl δl µ = ψγ µ eqψ + 2 δa ν δ µ A ν 4 (Fµν F νµ ) (1.10) eqn (1.10) sont les eqns de Maxwell; Donc on retrouve la physique classique du 19ieme siècle. on a retrouvé l eqn de Dirac pour ψ. La fonction de Green de cette eqn est le propagateur pour les fluctuations de ψ, qu on interprete comme des particules. Avec ce propagateur, vous calculez des diagrammes de Feynman Mais, il y a certains bemols 1. le calcul de propagateur marche pas pour le photon! 2. les fonctions de Green ne sont que pour une particule. Y- aurrait-t-il un formalisme plus adapté a plusieurs particules? Qui permettrait l annihilation et la création de particules? 3. il est difficile de relier les deux points au-dessus. Y -t il un cadre plus complet qui mettra en evidence la relation entre fluctuations/particules et champs classiques?

6 1.4 Le problème du propagateur du photon... Pour un scalaire φ, avec action S φ = d 4 xl(x) = d 4 p (2π) 4 L(p) S φ = On a fait trans de fourier en 4-d, sans se préoccuper de causalité. le propagateur sera d 4 p (2π) 4 φ( p)o(p) φ(p), (1.11) io 1 (p). (1.12) Et pour revenir à un propagateur espace-temps, il faudra évaluer l intégrale sur p 0, qui diverge sur couche. On évalue donc pour p 0 C, divergences poles, et y a 4 moyens de contourner les deux poles. Ce choix de contour decide de la direction en temps de propagation. Repeter pour le photon: 1/4F µν F µν = 1/2A µ ( g µν σ σ + µ ν )A ν + divergence totale Après trans de fourier: S A = d 4 p 1 2õ ( p) ( g µν p 2 +p µ p ν ) à ν (p) (1.13) Mais ( g µν p 2 ) +p µ p ν n a pas d inverse: ( gµνp 2 ) +pµpν p ν = 0 Ce vect. pro. nul est attendu, et l absence d inverse est attendu: 1) on a construit le Lagrangien pour etre invariant sous la trans de jauge ea µ ea µ = ea µ + µ ω, (en espace fourier ea µ ea µ = ea µ ip µ ω.) 2 le propagateur doit propager les deux polarisations du photon mais A µ a quatre composantes?

7 1.5 Le choix de jauge On s est laissé guider jusqu ici par la symetrie U(1) du Lagrangien qui a donné A µ qu on a interpreté comme le photon, et a qui on a donné des termes cinétiques pour qu il puisse se propager. Mais cette sym nous empeche de faire un propagateur de la facon usuelle. Dans les calculs classiques du potentiel electro-magnetique A µ (quand on résoud Maxwell), on brise cette symmetrie en faisant un choix de jauge. Par example, on suppose µ A µ = 0. Peut-etre ici aussi il faut choisir une jauge? On peut penser que c est incoherent avec la perspective symmetrie a tout prix. Mais dans une théorie quantique de la QED, ce n est pas le Lagrangien qui doit être invariant, c est les observables (eg elements de matrice S). Une facon de les calculer est par l integrale des chemins. Et pour faire cet integrale, il faut integrer e i Ld 4x sur tout les configurations distincts des champs. Donc, dans la mesure (sur les champs) de l integrale des chemins, il faut mettre une fonction delta, pour empecher d integrer sur des configurations qui different par une transformation de jauge. Il faut aussi un Jacobean des reparamétrisations des champs, pour que la mesure soit invariante sous reparmétrisations. Les log de cette fonction delta et du déterminant peuvent rejoindre le Lagrangien dans l exponentielle. Ils apparaissent comme des contributions au propagateur du photon qui fixent/brisent la jauge, et de curieuses particules scalaires supplémentaires, les fantômes. Les fantômes interagissent en théorie non-abelienne; mais pas en QED. On va essayer d obtenir un propagateur pour le photon en ajoutant des termes au Lagrangien. On fait ca, parcequ on peut deviner la bonne reponse: on va decouvrir qu il faut briser la sym de jauge (pas grave au niveau du Lagrangien. Pourvu que l int. des chemins, et les observables sont invariants).

8 On recommence: on a vu qu on peut écrire 1/4F µν F µν = 1/2A µ ( g µν σ σ + µ ν )A ν + divergence totale et après un trans de fourier: S A = d 4 p 2õ 1 ( p) ( g µν p 2 ) +p µ p ν à ν (p) (1.14) Mais ( g µν p 2 ) +p µ p ν n a pas d inverse: ( gµνp 2 ) +pµpν p ν = 0 Pour obtenir un propagateur, on additionne qq chose au Lagrangien qui brise la sym the jauge, par ex (choix de jauge covariante) 1 2(1 ξ) ( µa µ ) 2 (1.15) et l action pour le photon S A devient S A = d 4 p 1 2õ ( p) g µν p 2 ξ 1 ξ p µp ν à ν (p), (1.16)

9 Avec g µν p 2 + ξ 1 ξ p µp ν on retrouve le propagateur du photon: i g νρ ξ pν p ρ g µν ξ p µp ν p 2 p 2 = p 2 g ρ µ, (1.17) 1 p2. (1.18) le choix ξ = 0 est le jauge de Feynman (très pratique pour calculer). D autres choix peuvent convenir pour des buts precis: garder ξ indeterminé est utile pour démontrer l invariance de jauge d un résultat (les ξ doivent diaparaitre. Dans la jauge Feynman, on peut penser qu on propage 4 composantes du photon (le photon pas-surcoucheaurrait-ildesdegrésdelibertésupplementaire?). Mais,serappellerqueg µν = diag{1, 1, 1, 1}, donc trace = 2, et les deux composantes supp se s annulent... NB: pour calculer, il faut un choix de jauge. La réponse (si est observable) doit etre independent du choix.

10 1.6 règles de Feynman à partir du Lagrangien 1. meilleure facon d avoir des règles de Feynman, c est de prendre dans l Appendice d un bon livre. 2. autrement, on identifie un champs avec la particule entrante correspondante, le champs conjugué avec une particule sortante, et la régle de Feynman sera i le coéfficient des champs dans le Lagrangien (a des facteurs près pour champs répétés; voir 3). Donc si dans le Lagrangien apparait gφψγχ + h.c., on aurra un scalaire φ entrant, un fermion χ entrant, et un fermion ψ sortant avec règle de Feynman igγ. Pour les lignes en directions inverses, NB on multiplie par i (pas i),donc on aurra iγ 0 Γ γ pour des champs identiques, y a des facteurs de combinatoire...voir dans un livre. Par example, si un champs apparait deux fois dans un interaction (comme les masses majorana ou des scalaires réels), y a un 2 dans la regle de F, parce qu il y a 2 facons de relier cette interaction aux état asymptotiques (à t ± ). Autrefacond obtenirce2: laregledefesti laderivéedutermedanslelagrangienpraauchamps.

11 1.6.1 application à la QED On a L = ψ(i / ea/ m)ψ 1 4 F µνf µν 1. Se rappeller d eqn (1.12) que les termes cinetiques du Lagrangien sont les propagateurs inverses (à la facteur i près). Donc, sachant que le champs ψ se develope sur les modes fouriers* spinors comme (Peskin+Schroeder 3.99) ψ(x,t) = d 3 p 1 ( a s (2π) 3 p u s (p)e ip x +b s p v s (p)e ip x) 2E s on a que pour la particule sortant (le u) / p/. Donc le propagateur inverse (sans i) est p/ m, et le propagateur (maintenant avec le i) sera p/ +m i p 2 m 2. Ensuite, l interaction photon-fermion fermion aurra regle de feynman Donc, notre recette fonctionne pour la QED. ieγ µ

12 1.6.2 sommes sur la polarisation et regles pour pattes externes Il faut aussi des regles pour pattes externes...a trouver dans un livre. des regles pout faire les sommes sur les polarisations des pattes externes. En générale, les pattes externes sommées sur polarisation, sont le propagateur sans dénominateur. Mais il faut faire attention par rapport aux bosons de jauge, pcq il y divers choix de jauge possible... en jauge Feynman, le propagateur est i g µν p 2 et on peut prendre la somme sur polarisations g µν. en jauge Landau, le propagateur est i g p 2 µν p µp ν p 2 et ne pas prendre la somme sur polarisations g µν +p µ p ν /p 2, puisque p 2 = 0 sur couche... solution pour le QED: toujours prendre jauge Feynman. (on vera que c est plus complique en QCD...)