La vie des étoiles. Problème: expliquer une source dʼénergie énorme pendant des milliards dʼannées. Impossible à expliquer avant le XX ème siècle

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1 La vie des étoiles Problème: expliquer une source dʼénergie énorme pendant des milliards dʼannées Impossible à expliquer avant le XX ème siècle

2 Temps chimique C + 2O CO 2 typiquement: e chim ~ 1 ev ~ J/molécule énergie disponible ~ M.e chim /µ temps de vie «chimique»: t chim ~ M " e chim L " µ ~ 104 ans

3 Le théorème du viriel Très général: systèmes auto-gravitants en équilibre Relie: énergie potentielle E pot et énergie cinétique E cin Applications: étoiles amas globulaires amas galaxies En moyenne temporelle: E pot + 2 " E cin = 0

4 Applications: rayonnement dʼun astre température interne dʼun astre E = E cin + E pot E cin ~ 3 2 M µ kt E pot ~ " 3 5 GM 2 R E cin ~ " 1 2 # E pot (viriel) E ~ E pot 2 dʼoù: T ~ 1 5 " GMµ kr L ~ # E ~ # 3 10 " GM 2 R 2 " R en fait au centre: T centre ~ GMµ 2kR

5 Temps de Kelvin-Helmholtz L ~ " 3 10 # GM 2 R 2 # R AN: $ L ~ 4 "10 26 W & % M ~ 2 "10 30 kg # & ' R ~ 7 "10 5 km # T centre ~ 10 7 K $ % R ~ " 50 m/an Si L uniquement dû à contraction gravitationnelle, Alors durée de vie = temps de Kelvin-Helmholtz: t K" H ~ Ṙ R ~ 107 ans temps court (NB: ok pour Jupiter)

6 Equilibre dʼune étoile Analyse dimensionnelle: P grav ~ 3 8" # GM 2 R 4 P grav ~ P therm + P Fermi où: P therm = P particules + P photons

7 Pression thermique P therm = (n e + n p )kt = 2n p kt ~ 2" m p kt T ~ GMm p 5kT M = 4 3 "#R3 dʼoù: P therm ~ 3 10" # GM 2 R 4 ~ P grav! donc: le chauffage de lʼétoile via le viriel est suffisant pour équilibrer le poids (sur le temps de Kelvin-Helmholtz )

8 Temps nucléaire Equivalence masse-énergie: (Einstein) E=mc 2 Transformation hydrogène-hélium: - - p + + p + + p + + p + " H e e + + 2# + 2$ e perte de masse: m p = uma m He = uma 4 m p - m He ~ m p ΔE nuc ~ m p c 2 par proton fusionné

9 énergie disponible dans le Soleil: enveloppe radiative zone nucléaire f ~ 0.1 E nuc ~ f " " Mc 2 t nuc ~ 7 "10 #4 Mc 2 L ~ 1010 ans pour le Soleil NB: "E chim ~ 1 ev "E nuc ~ 1 MeV

10 Réactions thermonucléaires: la barrière coulombienne température interne (viriel): quand R on a T T ~ 1 5 " GMµ kr E = 1 2 m pv "# $ e2 r r min E % = 1 2 m pv % 2 = E r min = 1 4"# $ e2 r min

11 mais: dʼoù: AN: 1 2 m pv 2 " ~ 3 2 kt T ~ 2 3k " 1 4#$ " e 2 r min ' 1 ) 4"# = 9 $109 usi ) ( e =1.6 $10 %19 C ) ) r min ~ 10 %15 m ~ 1 Fermi * & T nuc ~ K «you need a hot place»!

12 Effet tunnel E nuc ~ 1 Fermi r min r ~1 MeV permet de descendre la limite de fusion à T ~ 10 8 K, encore trop chaud

13 mais: distribution maxwelienne des vitesses n ces particules en réactions nucléaires v permet de descendre la limite de fusion à T ~ 10 7 K, bien NB: si notaux plus lourds, répulsion Z 2 : T~10 7 Z 2 K

14 Le cycle proton-proton - p + + p + " D + + e + + # e D + : deutéron fusion: interaction forte désintégration p + n+e + : interaction faible u d u u d d très faible probabilité u " d + e + + # e

15 interaction forte: D + + p + " 3 H ++ e + # 3 H ++ e + 3 H ++ e " 4 H ++ e + p + + p + en reprenant lʼéquation précédente p + + p + " D + + e + + # e on a le bilan total du: cycle proton-proton (ou p-p) 4 p + " 4 H e e + + 2# + 2$ e annihilation avec e - énergie neutrinos sʼéchappent du Soleil

16 le cycle proton-proton e + e + " e " e = proton = neutron " "

17 Le cycle CNO devient plus efficace que le cycle p-p quand T augmente (i.e. pour des étoiles plus massives que le Soleil) 12 C + 1 H " 13 N + # 13 N " 13 C + e + + $ e 13 C + 1 H " 14 N + # 14 N + 1 H " 15 O + # 15 O " 15 N + e + + $ e 15 N + 1 H " 12 C + 4 H bilan: idem cycle p-p 1 H + 1 H + 1 H + 1 H " 4 H e + 2# + 2e + + 2$ e

18 p + 4 H e ++ p + 12 C " " e 15 N 13 N e + e + 15 O " e 13 C le cycle CNO: Hautes températures (étoiles massives) " 14 N " p + p +

19 déficit des neutrinos solaires expérience Gallex: prévu: 132 SNU observé: 79±11 SNU SNU= 1 neutrino interaction per second for target

20 fermions et bosons fermions: spin demi-entier (1/2 h, 3/2 h, 5/2 h) obéissent au principe d'exclusion de Pauli bosons: individualistes spinentier (0 h, h, 2 h) pas d'exclusion grégaires NB. tous les bosons intermédiaires sont des bosons, mais la réciproque n'est pas vraie

21 "x. "p x # h Principe d'incertitude d'heinsenberg s'applique à toutes les particules, relie des quantités conjuguées: "t."e # h etc h: constante de Planck ~ J. sec h: h/2π

22 conséquence: pression de Fermi p x p max x exercice: montrer que p max ~ h n 1/3

23 La pression de Fermi (ou de dégénérescence) "p x "x ~ h p x ~ h/"x NB. "x = n #1/ 3

24 pression: si gaz classique (v << c): P F = nv x p x p x = mv x dʼoù: P F = h2 m n 5 / 3 pression de Fermi due à des fermions de masse m et avec une densité de n fermions m -3 fondamental pour la stabilité des planètes, naines blanches, étoiles a neutrons

25 cas particulier d'un milieu globalement neutre contenant des noyaux de charge Z+, de masse atomique A et des électrons de masse m e: formule générale: P F = h2 m n 5 / 3 NB: m e << m p, donc P F (e) >> P F (p) neutralité electrique: n e = Zn noyaux essentiel de la masse dans nucléons: " ~ An noyaux m p

26 pression de Fermi due aux électrons: P F (e " ) = 2 h2 m e # % $ Z A & ( ' 5 / 3 # % $ ) m p & ( ' 5 / 3 (NB: la pression de Fermi des électrons domine la pression due aux protons à cause de 1/m e >> 1/m p )

27 La masse stellaire minimum température centrale dʼune étoile composée dʼhydrogène (viriel): température T cent ~ GMm p 2kR démarrage réactions nuc K stade stellaire stade proto-stellaire temps Kelvin-Helmholtz temps

28 Paradoxe: tout astre devrait devenir une étoile pour R suffisamment petit réponse: limite à la contraction imposée par la pression de Fermi P F (e " ) = 2 h2 m e de ρ M/R 3 on tire: # Z & % ( $ A' P F (e " ) ~ K # M 5 / 3 avec toujours : P therm ~ 3 4$ # GM 2 R 4 5 / 3 # % $ ) & ( ' m p 5 / 3 R 5 Pa, où K =10 6 usi

29 définissons: " = P F P therm = 4#K 3G $ 1 RM 1/ 3 (degré de dégénérescence de lʼastre) De plus (viriel): dʼoù: T cent ~ GMm p 2kR T cent ~ & 3G2 m p # ( % M 4 / 3 ) * ' 8"Kk $

30 deux possibilités: (1) T cent atteint ~ K avant que α=1 une étoile est née (2) α=1 atteint avant que T cent ~ K astre dégénéré sans réactions nucléaires

31 T cent étoiles K M > M stel cas limite M < M stel astres dégénérés cas limite: ( T nuc "15 #10 6 K = 3G2 m p % 4 / * ' M 3 stel #1 ) 8$Kk & 1 α

32 ' M stel ~ 8"K 3G # kt $ nuc ) 2 m & ( p % 3 / 4 AN: M stel ~ 0.03 M calculs plus précis : M stel ~ 0.08 M ~ 80 M J en-dessous de la masse stellaire: 13 M J < M < 80 M J qqs réactions nucléaires (L i,d) naine brune M < 13 M J aucune réaction nucléaire planète

33 80 M J 13 M J log 10 (L/L ) Burrows et al. ApJ 406, 158 (1993) et voir log 10 (âge, années)

34 masse stellaire maximum T cent P cent = P mat + P ray en général, P ray << P mat, sauf si

35 P ray = e ray 3 = 4" 3c (T cent) 4 (loi de Stefan volumique) mais: T cent = GMm p 2kR (viriel) P ray = 4" # % 3c $ Gm p 10k & ( ' 4 ) M 4 R 4 P grav = 3G 8" # M 2 R 4 donc: si M trop grand, lʼétoile explose

36 AN: $ M max ~ 9Gc ' & ) % 8"# ( 1/ 2 $ 10k & % Gm p ' ) ( 2 ~ 140M Soleil en fait: M max ~ 100M Soleil

37 100 M 0.08 M voir atunivers.free.fr

38 Relation masse-luminosité (étoiles de la séquence principale) γ γ γ γ réactions nucléaires γ γ γ γ photons visibles montrons que: L M 3

39 processus de marche au hasard l R 1 θ 1 θ 3 R 3 % ' ' & ' ' (' R 1 2 R 2 2 R 3 2 R N 2 = l 2 = 2 R 1 + l 2 + 2cos" 1 # lr 1 = 2 R 2 + l 2 + 2cos" 2 # lr 2 M = 2 R N$1 + l 2 + 2cos" N$1 # lr N$1 R 2 θ 2 où l: libre parcours moyen

40 somme membre à membre: R N 2 = Nl 2 + 2l N$1 % 1 marche au hasard: moyenne de cos θ i nulle. Donc en moyenne: cos" i # R i R N = Nl (général à tout processus de diffusion)

41 e ray V énergie de rayonnement: E ray =e ray V temps dʼévacuation: t diff t diff photon L donc: e ray V = L t diff (condition de stationnarité) mais: e ray T 4 (M/R) 4 (Stefan + viriel) T diff?

42 diffusion: R N 2 = Nl 2 sortie après: N = R2 l 2 pas temps pour sortir: mais: t diff = N l c = R2 lc l = 1 "n # 1 $ # R3 M donc: t diff " R2 l " M R

43 finalement: L ~ e ray " V # M 4 t diff R 4 $ R3 $ R M relation masse luminosité séquence principale durée de vie stellaire: L " M 3 ex: t vie ~ E nuc L " M M 3 = 1 M 2 M=40M t vie ~ /40 2 ~ ans (court!) M=0.08M t vie ~ /(0.08) 2 ~ ans (long!)

44 L/L Soleil relation masse-luminosité: L M α où α ~