Statistiques à une variable. On étudie une série à caractère quantitatif. Chaque valeur x i a pour effectif n i. n 1 + n

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1 7 ème secondaire maths 3 1 Statistiques à une variable A)Rappels sur les paramètres statistiques: On étudie une série à caractère quantitatif. Chaque valeur x i a pour effectif n i Si on note N l effectif total : N = n i p i=1 = n 1 + n n p La moyenne arithmétique de la série notée x est un indicateur de tendance centrale : x = p i=1 n i x i N = n 1 x 1 + n 2 x x p n p n 1 + n n p. Lorsque la série est regroupée en classe, on utilise le centre des classes pour le calcul de la moyenne. Cas particulier : Lorsqu une population est partagée en deux sous populations d effectifs n 1 et n 2 et de moyennes respectives x 1 et x 2 alors la moyenne globale est : x = n 1x 1 + n 2 x 2 n 1 + n 2 Exercice 1. Une entreprise comprend 8 hommes et 4 femmes. Le salaire moyen des hommes est 1 678,75 et le salaire moyen des femmes est 1 457,33. Quel est le salaire moyen global dans cette entreprise? L écart type d une série statistique est une mesure de la dispersion liée à la moyenne. Elle rend compte de la répartition des données autour de la moyenne. Définition : L écart type σ d une série est un indicateur de dispersion des valeurs de la série autour de la moyenne. σ = n 1 (x 1 x)2 + n 2 (x 2 x) n p (x p x) 2. n 1 + n n p La variance est le carré de l écart type. Plus l écart type est grand, plus les valeurs sont dispersées.

2 2 Exercice 2: Deux élèves A et B décident de comparer leurs notes : Les notes de l élève A sont 8 ;11 ;6 ;13 ;12 ;9 et 11. Les notes de l élève B sont 10 ;7 ;7 ;13 ;13 ;8 et 12 Calculer m A ;m B ;σ A et σ B. Interpréter. Exercice 3 On a mesuré la longueur en mm des noix d un lot : Calculer la moyenne et l écart type? Propriétés Soient (x i ;n i ) i=1...k, une série, soient a et b deux réels non nuls ; soient la moyenne et l écart type de cette série. Si on additionne un même nombre b à tous les termes de la série alors la moyenne est augmentée de ce nombre. Si on multiplie tous les termes de la série par un même nombre a alors la moyenne est multipliée par ce nombre. (ax + b) = ax + b Si on additionne un même nombre b à tous les termes de la série alors l écart type reste inchangé. Si on multiplie tous les termes de la série par un même nombre a alors l écart type est aussi multiplié par ce nombre. σ ax+b = aσ x Exercice 4 La série des salaires dans une entreprise a pour moyenne 1200 et pour écart type 200. Quelle est la valeur de la moyenne x' lorsque chaque salaire est augmenté de 40? a) x' =1240 b) x' = 48000

3 3 Quelle est la valeur de l écart type σ ' lorsque chaque salaire est augmenté de 40? a) σ ' = 200 b) σ ' = 8000 La série des salaires dans une entreprise a pour moyenne 1200 et pour écart type 200. Quelle est la valeur de la moyenne x' lorsque chaque salaire est augmenté de 4%? a) x' =1204 b) x' =1248 Quelle est la valeur de l écart type σ ' lorsque chaque salaire est augmenté de 4%? a) σ ' = 204 b) σ ' = 208 Exercice 5 L'histogramme ci- contre donne la répartition des différentes tailles des élèves d'une classe. Dresser un tableau des tailles regroupées en classes d'amplitude 10, avec les effectifs et les centres des classes. Calculer la taille moyenne t et l'écart type s. Montrer que plus de 90% des élèves ont une taille comprise dans l'intervalle [t 2s ; t + 2s]. Le mode est la valeur du caractère qui correspond au plus grand effectif (ou la plus grande fréquence). La classe modale est la classe du caractère qui correspond au plus grand effectif pour une série à caractère continu L'étendue est l'écart entre la valeur minimale et la valeur maximale du caractère.

4 4 La médiane est la valeur du caractère étudié qui découpe la liste des valeurs rangées par ordre croissant en deux listes de même effectif. Définition : Soit x1, x2,..., xn une série statistique de n valeurs rangées dans l ordre croissant. La médiane est la valeur de rang (n+1)/2 si n est impair, ou, la moyenne de celles de rangs n/2 et (n+1)/2, si n est pair. Les quartiles notés Q1 et Q3 sont les valeurs du caractère étudié qui découpent la liste des valeurs rangées par ordre croissant en quatre listes de même effectif. Définition : Soit x1, x2,..., xn une série statistique de n valeurs rangées dans l ordre croissant. Le premier quartile Q1 est la plus petite valeur xj de la série, telle qu au moins 25 % des valeurs sont inférieures ou égales à Q1. Le troisième quartile Q3 est la plus petite valeur xj de la série, telle qu au moins 75 % des valeurs sont inférieures ou égales à Q3. L'intervalle [Q1 ; Q3] est appelé intervalle interquartile. Son étendue Q3 Q1 est appelée écart interquartile : c'est une mesure de la dispersion liée à la médiane. Exemple : On donne les notes obtenues à un examen par 27 candidats : Note Effectif N=27 est impair. 28/2=14 donc la médiane est la 14 ème valeur soit médiane = ,25 = 6,75 le premier quartile est donc la 7 ème valeur ainsi Q1 = ,75 = 20,25 le troisième quartile est donc la 21 ème valeur ainsi Q3 = 14 L intervalle interquartile est 14-6=8 Remarques :Le terme de «deuxième quartile» n'est pas utilisé : il correspond à la médiane de la série statistique. Exercice 6 Déterminer la médiane, le premier et troisième quartile et l écart interquartile de chacune des deux séries suivantes Série A : Série B Note Effectif

5 5 B) Indicateurs de tendance centrale et indicateurs de dispersion. 1) Indicateurs de tendance centrale - Le mode d une série statistique est la valeur la plus fréquente. - La médiane d une série statistique de n valeurs classées par ordre croissant est : la valeur du milieu si n est impair, la demi- somme des deux valeurs du milieu, si n est pair. (50% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à la médiane) - La moyenne d une série statistique est obtenu e en divisant la somme des valeurs par l effectif total. ( En remplaçant toutes les valeurs de la série par la moyenne, la somme total est la même) 2) Indicateurs de dispersion - L étendue d une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série. - Le premier quartile Q1 et le troisième quartile Q3 sont les deux plus petites valeurs de la série telles qu au moins 25%, pour Q1 et 75% pour Q3 des valeurs leur soient inférieures ou égales. L écart interquartile Q3- Q1 est un indicateur de dispersion associé à la médiane. (C est l écart maximal entre les valeurs de la moitié centrale de la série ; plus l écart interquartile est grand, plus la dispersion est importante) - l écart type ( sigma) fourni par la calculatrice est un indicateur de dispersion associé à la moyenne. (Plus l écart type est grand, plus la dispersion est importante) C) Résumer une série statistique On peut résumer une série statistique, c est à dire donner une tendance globale, par : - Le couple (médiane ; écart interquartile) qui n est pas sensible aux valeurs extrêmes : on le privilégie donc quand on étudie une série dont les valeurs extrêmes sont moins importantes ou moins significatives que les valeurs centrales ; - Le couple (moyenne ; écart type), qui est sensible aux valeurs extrêmes : on le privilégie donc quand on étudie une série dont les valeurs extrêmes sont aussi importantes ou aussi significatives que les autres. Dans les deux cas, on utilise un indicateur de tendance centrale ( la moyenne ou la médiane) et un indicateur de dispersion ( l écart interquartile ou l écart type). Exercice 7 Pour chacune des deux situations suivantes, dire s il est préférable de résumer la série statistique correspondante par le couple (médiane ; écart interquartile) ou par le couple ( moyenne ; écart type). Situation 1 : On étudie la série statistique des salaires et allocations chômage des Français en 2014 en vue d en observer les inégalités. Situation 2 : On étudie les résultats d une enquête d un fabricant de chaussures portant sur la taille de chaussure de ses clients afin de déterminer la production de quelles pointures privilégier.

6 6 Exercice 8 Un groupe de 8 élèves a obtenu les moyennes suivantes en mathématiques au cours du premier semestre de l'année scolaire : 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 12. 1) Déterminer la moyenne et l'écart type de la série, ainsi que la médiane et l'écart interquartile. 2) Au deuxième trimestre, deux nouveaux élèves rejoignent le groupe, avec des moyennes respectives de 4 e t14. a) Déterminer les paramètres statistiques de la nouvelles série. b) Quelle est à 1 % près la variation en pourcentage de chacun des paramètres? Lequel des deux couples d'indicateurs paraît le moins sensible, le plus robuste aux valeurs extrêmes, entre moyenne/écart type et médiane/écart interquartile? Le diagramme en boîte la boîte à moustache Une échelle étant choisi, le diagramme en boîte est formé d un rectangle dont les extrémités représentent les premier et troisième quartiles. Cette «boîte» est partagée par un trait vertical représentant la médiane. Elle est prolongée, à gauche et à droite, par deux traits horizontaux, appelés les «moustaches» dont les extrémités sont le minimum et le maximum.

7 7 Exercice 9 Une maternité a étudié les tailles de bébés à terme au cours d une année. Elle constate que 10% des bébés ont une taille inférieure ou égale à 44 cm, que 10% ont une taille supérieure ou égale à 54cm. Un quart des bébés mesure plus de 52 cm et les trois quarts plus de 47 cm. De plus la moitié des bébés mesurent 49 cm. Représenter ces données par un diagramme en boîte. Exercice 10 Représenter cette séries par un diagramme en boîte: Série A : 1 2,5-3 4,2-5, ,

8 8 Exercice 11 Série 1 série 2 Compléter le tableau Moyenne Ecart type Mode Etendue médiane Q3 Q1 Série 1 Série 2 Exercice 12 Associer ces trois diagrammes en boîte à moustaches aux histogrammes donnés ci-dessous.

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