Intégration et probabilités ENS Paris, TD8 Formule du changement de variable Corrigé. 0 Petite question

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1 Itégratio et probabilités ENS Paris, -3 TD8 Formule du chagemet de variable Corrigé Petite questio Soit µ ue mesure positive sur (,B()) et g : + ue foctio mesurable.. O suppose que pour toute foctio mesurable f : + o a f ()µ(d) = f ()g()d. Que dire de µ?. O suppose maiteat que µ est fiie et que pour toute foctio cotiue borée f : + o a f ()µ(d) = f ()g()d. Que dire de µ? Et si o e suppose plus que la mesure µ est fiie?. Si o pred f = A avec A B(), o voit que µ(a) = g()d. A Aisi µ est la mesure de desité g par rapport à la mesure de Lebesgue.. O va motrer que la coclusio est la même. Si a < b, cosidéros φ k () = (kd(,]a,b[ c )), qui est ue foctio lipschitziee tedat simplemet e croissat vers ]a,b[. Aisi, φ ()µ(d) = φ ()g()d, et d après le théorème de covergece mootoe, ceci implique µ(]a,b[) = g()d. ]a,b[ E particulier, ceci impose que g est itégrable. E utilisat le lemme de la classe mootoe, o coclut que µ(a) = g()d A Pour des questios, demade de précisios ou eplicatios, hésitez pas à m evoyer u mail à igor.kortchemski@es.fr, ou bie à veir me voir au bureau V4.

2 pour tout borélie A. Aisi µ est ecore la mesure de desité g par rapport à la mesure de Lebesgue. Si la mesure µ est pas fii mais fiie sur tous les compacts (ce qui reviet à fire que g est localemet itégrable), il est aisé d adapté le raisoemet précédet pour obteir ue coclusio idetique. E revache, si o e fait aucue hypothèse sur µ, le résultat tombe e défaut, comme le motre le cotre-eemple suivat (dû à Omar Mohse). O commece par costruire ue foctio positive mesurable g d itégrale ifiie (pour la mesure de Lebesgue) sur tout itervalle ouvert. Soit (r ) ue éumératio des ratioels, et cosidéros la foctio mesurable h() = < r r <. Posos g = h. O vérifie que h est itégrable, ce qui implique h < p.p. et doc g < p.p. E revache, o vérifie que pour tous a < b : g()d =. ]a,b[ Soit alors µ la mesure de comptage sur, de sorte que pour tous a < b : = µ(]a,b[) = g()d. () ]a,b[ Maiteat, si f : + est ue foctio cotiue borée, écrivos f comme limite croissate de foctios e escalier : f = lim k= ] if k [f ] k, k+, k+ Le théorème de covergece mootoe et () fourisset f ()µ(d) = f ()g()d. [. Cepedat il est pas vrai que µ(a) = g()d pour tout borélie A. E effet : A = µ({}) g()d =. {} Mesure image appel (mesure image). Soiet (E,A,µ) u espace mesuré, (F,B) u espace mesurable et φ : E F ue foctio mesurable. O rappelle que l o défiit sur (F,B) ue mesure ν φ appelée mesure image de µ par φ par ν φ (B) = µ(φ (B)), B B. O rappelle que pour tout foctio mesurable f : F +, o a f ()ν φ (d) = F f (φ())µ(d). E

3 Eercice. (Formule des complémets) O ote Γ la foctio défiie pour > par. Calculer la mesure image de la mesure Γ () = par l applicatio (,y) ( + ) ( + y,/( + y)).. E déduire la formule des complémets : t e t dt. a y b e (+y) {,y } d dy, Γ (a)γ (b) Γ (a + b) = t a ( t) b dt.. Soit f : + + ue foctio boréliee. O veut calculer ( ) + y, a y b e (+y) d dy. + y ( +) f Soit φ : (,y) ( +) ( + y,/( + y)), qui est u C -difféomorphisme sur + ],[ de jacobie Jac(φ)(,y) = + y. D après la formule du chagemet de variables, o a ( ) f + y, a y b e (+y) d dy ( +) + y ( )( ) a ( ) b = f + y, ( + y) ( + y) ( + y) ( + y)e (+y) ( + y) d dy ( +) + y + y + y = f (u,v)(uv) a (u uv) b ue u du dv + ],[ = f (u,v)e u u a+b v a ( v) b du dv. + ],[ Doc la mesure image par (,y) ( + y,/( + y)) de la mesure a y b e (+y) {,y>} d dy est e u u a+b v a ( v) b {u>,<v<}.. D après le théorème de Fubii-Toelli la masse totale de cette mesure est ( +) a y b e (+y) d dy = Γ (a)γ (b), et e u u a+b v a ( v) b du dv = Γ (a + b) + ],[ O trouve doc la formule des complémets. d t a ( t) b. 3

4 Calculs de lois à desité Eercice. Sur u espace de probabilité (Ω,A,P), o se doe (X,Y ) ue variable aléatoire à valeurs das.. O suppose que la loi de (X,Y ) est λµe λ µy + (,y)d dy. Détermier la loi de la variable aléatoire U = mi(x,y ).. O suppose que la loi de (X,Y ) est 4π e / { } [,π] (y)d dy. Détermier la loi de la variable aléatoire ( X cos(y ), X si(y )). 3. O suppose que la loi de (X,Y ) est Calculer la loi de la variable aléatoire réelle X Y. +y π e d dy.. Soit F : + + ue foctio boréliee. O a, e utilisat le théorème de Fubii-Toelli, E(F(U)) = λµ F(mi(,y))e (λ+µy) d dy + = λµ F()e (λ+µy) d dy + λµ F(y)e (λ+µy) d dy { y} { y } ( ) ( ) = λ F()e λ µe µy dy d + µ F()e µ λe λy dy d = (λ + µ) F()e (λ+µ) d. La variable aléatoire U est doc epoetielle de paramètre λ + µ.. Soit F : + ue foctio boréliee. O a, E ( F ( X cos(y ), X si(y ) )) = = 4π π π π f ( cos(y), si(y))e / d dy f ( cos(y), si(y))e / d dy, d après la formule du chagemet de variables utilisée avec le C -diffómorphisme suivat : (,y) + [,π] (,y) + [,π]. Puis d après la formule du passage e coordoées polaires, o a π π f ( cos(y), si(y))e / d dy = f (u,v)e (u +v )/ du dv. π La loi de ( X cos(y ), X si(y )) est doc (π) e (u +v )/ du dv. emarque : les variables X cos(y ) et X si(y ) sot idépedates et de loi N (,). 4

5 3. Soit g : + boréliee. O a ( ( )) X E g = Y π g ( ) e +y d dy. y Et (,y) (/y,y) est u C -difféormorphisme de jacobie y. Doc d après la formule de chagemets de variables puis le théorème de Fubii-Toelli, o a ( ) ( ) g e +y d dy = g y e y ( y +) y d dy y y = g (u) v e v (u +) du dv ( ) = g(u) v e v (u +) dv du = g(u) u + du. Doc ( ( )) X E g = g(u) Y π u + du, ce qui sigifie que la loi de X/Y est la loi de Cauchy, c est-à-dire la loi de desité (π( + )) par rapport à la mesure de Lebesgue. Eercice 3. Sur u espace de probabilité (Ω,A,P), o se doe ue variable aléatoire N à valeurs das de loi ( π) e / d. Calculer la loi de la variable aléatoire /N. Soit F : + + ue foctio boréliee. O a par symétrie E(F(N )) = ( ) F π e / d = ( ) F π e / d. Et + + est u C difféomorphisme de Jacobie 3 doc d après la formule du chagemet de variables, o a ( ) F e / d = F(u)e /(u) (u 3/ ) du. + + Doc la loi de /N est πu 3 e /(u) {u>} du. + Eercice 4. O cosidère ue source lumieuse poctuelle située au poit (, ) das le pla. Soit θ ue variable aléatoire défiie sur u espace de probabilités (Ω,A,P), uiforme sur ] π/,π/[. O suppose que la source émet u rayo lumieu e directio de l ae des ordoées e faisat u agle θ avec l ae des abscisses. Détermier la loi de l ordoée du poit d impact du rayo avec l ae des ordoées. Le poit d impact du rayo lumieu sur l ae des ordoées est Y = ta(t). Or φ : t ] π/,π/[ ta(t) est u C -difféomorphisme de Jacobie + ta (t). Doc, pour F : + boréliee, o a, d après la formule du chagemet de variables, π π/ π/ F(ta(t))dt = π 5 + dy F(y) + y.

6 La variable aléatoire Y suit doc la loi de Cauchy.µ est la mesure de desité g par rapport à la mesure de Lebesgue. 4 Complémets (hors TD) Eercice 5. Soit A d d ue matrice symétrique défiie positive. Calculer l itégrale d e A λ d (d), où désige le produit scalaire usuel sur d et λ d désige la mesure de Lebesgue sur d. appel : / e d = π. La matrice A est symétrique défiie positive doc il eiste K ue matrice symétrique défiie positive telle que A = K. Soit φ : d K. L applicatio φ est u C difféomorphisme de d das d tel que Jac(φ) = det(k). O a doc d après le théorème du chagemet de variables, e A λ d (d) = e K K λ d (d) = (det(k)) e ( d ) d...d d. d d d D après le théorème de Fubii-Toelli o a d e ( d ) d...d d = i d ( e d ) Or pour chaque i {,...,d} o a O a doc e d = π. e A π d λ d (d) = d det(a). Eercice 6. Sur u espace de probabilité (Ω,A,P), o se doe (X,...,X ) ue variable aléatoire à valeurs das de loi [,] (,..., )d... d.. Costruire, à l aide des évèemets A σ = {X σ <... < X σ } pour σ S, variables aléatoires Y,...,Y sur (Ω,A,P) telles que pour presque tout ω Ω. Y (ω)... Y (ω) et {Y (ω),...,y (ω)} = {X (ω),...,x (ω)}. Détermier les lois des variables aléatoires (Y,...,Y ) et (Y /Y,...,Y /Y ). 6

7 . Soit i {,...,}. O peut défiir pour presque tout ω Ω, Y i (ω) = X σi (ω) {Xσ (ω)<...<x σ (ω)}. σ S E effet, la mesure de Lebesgue des hyperplas de où deu coordoées sot égales est ulle. Aisi, les variables aléatoires Y,...,Y sot bie défiies.. Soit f : [,] + ue foctio boréliee. O a E(f (Y,...,Y )) = f ( σ,..., σ )d...d σ S { σ <...< σ } =! f (,..., )d...d. { <...< } La loi de (Y,...,Y ) est doc! { <...< } d...d. Soit maiteat g :],[ + ue foctio boréliee. O a ( ( Y E g,..., Y )) ( =! g,..., ) d Y Y {< <...< <}...d. Et φ : (,..., ) { < <... < < } (,..., ), ],[ est u C -difféomorphisme de jacobie égal à (... ). Aisi, d après la formule de chagemets de variables puis le théorème de Fubii-Toelli, o a ( ( Y E g,..., Y )) =! g(u Y Y,...,u )u u3...u u du...du ],[ = ( )! g(u,...,u )u u3...u du...du. ],[ Doc la loi de (Y /Y,...,Y /Y ) est ( )!u u 3...u ],[ (u,...,u )du...du. emarque : les variables Y /Y,...,Y /Y sot idépedates, et chacue des variables Y i /Y i+ est de loi iy i ],[ (y)dy. Fi 7

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