Factorisation. Résolution de

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1 Factorsaton LU Pour smpl er la présentaton de l'algorthme, on ne va pas tenr compte d'éventuelles permutatons, n de l'ntalsaton des lu() de Sclab c. help lu. Note la commande permutatons, Factorsaton LU L = n ; U = O pour = à n pour j = + à n lj = aj =a pour j = à n uj = aj pour j = + à n pour k = + à n ajk = ajk lj uk unn = ann l =. produt une matrce de Quel est le nombre de multplcatons+addtons nécessares? Résoluton de A = b Applquons la actorsaton Factorser O ( n ) LU à la résoluton du système. A en A = LU. L~ = b. ~ Résoudre un système trangulare supéreur U = (L b ) Ans = U Résoudre un système trangulare néreur Coût Résoluton de deu systèmes trangulares et décomposton LU. O (n ) + O ( n ) = O ( n ) Note on a smpl é en ne tenant pas compte des permutatons, nécessares dans le cas général.

2 Applcatons de la actorsaton LU Comment calculer det(a)? comben coûte l'évaluaton de det (A)? LU À partr de la décomposton det on obtent mmédatement (A) = n Y = u Le coût de calcul du détermnant est donc lée à la décomposton LU, c-à-d O ( n )! La actorsaton LU permet de résoudre pluseurs systèmes = br A, où br peut varer. Applcatons de la actorsaton LU Eemple Pour détermner = e n e =[zeros(,-), A S, A l su t de résoudre les n systèmes., zeros(,n-)]', est la -ème colonne de A 8 Coût de l'nverson O ( n ) + no (n ) = O ( n ). alors Concluson En pratque, pour résoudre A = b, on ne calculera jamas A En Sclab les commandes det() et nv() utlsent une décomposton oncton.! LU, avec pvot partel degetr. de la lbrare Lapack l este beaucoup d'autres méthodes de résoluton numérques d'un système d'équatons lnéares pour des matrces symétrques, dagonales par blocs, creuses,..., on trouve souvent des algorthmes adaptées et plus e caces que la méthode générale de actorsaton LU.

3 Erreurs lors de la résoluton de systèmes lnéares On consdère A =BB@ B C C avec det 9 A (A) = + On pose ( A + A) = Alors det C C A 4. Des erreurs relatves de un mllème rendent la matrce A presque sngulère! La matrce A est mal condtonnée elle n'est pas lon d'une matrce non nversble. Erreurs lors de la résoluton de systèmes lnéares La matrce nverse A S on résout le système b = = B A =b avec BC B C, on obtent comme 5 C C A = BC B 4 B5C B 7 C C, on obtent comme soluton = B C b = Donc pour une matrce mal condtonnée, les solutons du système lnéare varent beaucoup, même pour de pettes varatons de b!

4 ntégraton numérque Sot [a; b]! R, une oncton contnue. On cherche à calculer une valeur approchée de l'ntégrale ( ) = b a (t ) dt Cec est utle s l'on ne connaît pas d'epresson analytque (smple) d'une prmtve de ou s celle c est trop complquée à détermner et que l'on a unquement beson de la valeur numérque de ( ). ntégraton numérque appromaton [a; b] a = < < < N = b On consdère une subdvson de l'ntervalle Alors, NX + ( ) = = (t ) dt l aut calculer au moyen de ormules approchées les quanttés + (t ) dt

5 ntégraton numérque Sot ; + ( ) l'appromaton de + (t ) dt, on obtent la ormule de quadrature N ( ) = NX = ; + ( ) C'est une appromaton de l'are comprse entre le graphe de le segment [a; b] et. Qualté de l'appromaton k s elle est eacte pour les polynômes de degré néreur ou égal à k, et s elle est ausse pour au mons un polynôme de degré k +. S est en plus k + os contnûment dérvable, on montre que Une méthode d'ntégraton numérque est dte d'ordre j ( ) N ( )j = O hk + où h= ma ( N + ) Méthodes de quadrature à un pont Sot [ ; ], on at l'appromaton suvante + + (t )dt ( + ) ( ) =, on obtent la méthode des rectangles à gauche ; s = +, on obtent la méthode des rectangles à drote ; s = + +, on obtent la méthode du pont mleu. S

6 Méthodes de quadrature à un pont rectangles à gauche est d'ordre et s'écrt La méthode des NG ( ) = la méthode des ND ( ) = = ( + ) ( ) ; rectangles à drote est d'ordre et s'écrt NX = la méthode du NX ( ) ( + ) = + N X = ( ) ( ) ; pont mleu est d'ordre et s'écrt NM ( ) = NX = ( + ) + + Méthodes de quadrature à un pont Eemple S la oncton est dé ne [ ] content la subdvson de l'ntervalle a; b c.-à-d. = [ (), (),..., (N+)], avec ()=a et (N+)=b, alors et s le vecteur, G = sum( (($)-($-)).* ( ($-) ) ) ; D = sum( (($)-($-)).* ( ($) ) ) ; M = sum( (($)-($-)).* ( (($-)+($))/ ) ) ;

7 Méthodes de quadrature à deu ponts Pour [; ], Pour + (t )dt ( ) ( ( + ) + ( + ) ( )) =, on obtent la NT ( ) = méthode du trapèze NX = ( + ) ( ) + ( + ) C'est une méthode d'ordre. Méthode de Smpson C'est une méthode de quadrature à tros ponts, basée sur l'appromaton + (t )dt ( + ) ( ) ( ) + Ans NS ( ) = N X = ( + ) ( ) La méthode de Smpson (7-7) est d'ordre. + ( ) +

8 Remarques On consdère souvent une subdvson régulère de l'ntervalle [a; b] = a + b N a; = ;;N Dans ce cas, le pas est constant et vaut Dans Sclab N. dverses onctons sont prévues pour l'ntégraton numérque. à partr des ponts pour les onctons ((),y()) nttrap() et ntspln() ;. à partr d'une oncton pour les onctons et de l'ntervalle ntg() et [a b ] ntegrate(). ;