CORRIGÉ. Le nombre de tours effectués par les roues.

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1 EXERCICES DE RÉVISION LES FONCTIONS La variable indépendante, la variable dépendante et la représentation d une relation 1. Dans chaque situation décrite, précisez la variable indépendante et la variable dépendante. a) Un automobiliste utilise un compte-tours pour déterminer le nombre de tours effectués par les roues de son véhicule selon la distance parcourue. Variable indépendante : La distance parcourue. Le nombre de tours effectués par les roues. b) Cette semaine, l essence ordinaire coûte 1,075 $/L. Lorsqu on fait le plein, la quantité d essence et le prix à payer s affichent sur l écran de la pompe. Variable indépendante : La quantité d essence. Le prix à payer. c) La facture d électricité indique la consommation et la somme à payer. Variable indépendante : La consommation d électricité. La somme à payer. d) Lorsqu on prend un taxi, le compteur débute à 3,15 $. Ensuite, la somme à payer s ajuste en fonction de la distance parcourue. Variable indépendante : La distance parcourue. La somme à payer. e) Jenny est abonnée à un service d autos communautaires. Elle paye en fonction du temps d utilisation. Variable indépendante : Le temps d utilisation. La somme à payer. f) On vide l eau d une baignoire et on s intéresse à la quantité d eau restante en fonction du temps écoulé depuis que le bouchon a été enlevé. Variable indépendante : Le temps écoulé depuis que le bouchon a été enlevé. La quantité d eau qui reste dans la baignoire. 1

2 La variable indépendante, la variable dépendante et la représentation d une relation (suite) 2. Complétez le tableau suivant. a) y = 6 3x Équation Table de valeurs Graphique x y b) y = 3x + 2 x y c) y = 5x + 10 x y

3 L équation d une droite, la recherche d une valeur et les propriétés d une relation linéaire 1. Remplissez le tableau ci-dessous en précisant d abord si les relations sont linéaires. Si c est le cas, calculez leur taux de variation et indiquez si elles sont croissantes ou décroissantes. Règle Relation linéaire Taux de variation Croissante ou décroissante a) y = 2,4 7x Oui 7 Décroissante b) y = 7,6 Oui 0 Ni croissante ni décroissante c) y = 5x! 9 Oui 5 Croissante d) x = 6,7 Non 0 Ni croissante ni décroissante e) y 8 = 4x Oui 4 Croissante f) y = 3,2 x Oui 3,2 Décroissante 2. Dans quelle relation linéaire du numéro 1 les deux grandeurs sont-elles directement proportionnelles? y = 3,2 x 3. Complétez les tables de valeurs suivantes. Indiquez ensuite si les relations sont croissantes ou décroissantes, et expliquez pourquoi. a) y = 3x + 5 b) y = 24 2x x y x y ,5 9, ,25 11,75 6, La relation est croissante, car le taux La relation est décroissante, car le taux de variation est 3. de variation est 2. 3

4 Le concept de fonction, la règle de correspondance d une fonction, la représentation d une fonction et le domaine et l image d une fonction 1. Parmi les relations suivantes, lesquelles sont des fonctions? a, c et d. a) On associe une température exprimée en degrés Celsius à son expression en degrés Fahrenheit. b) On associe à un nombre tous ses multiples. c) On associe à un nombre pair le nombre impair précédent. d) On associe à un nombre entier son carré. e) On associe à un nombre premier tous ses diviseurs. 2. Dans le plan cartésien ci-contre, tracez le graphique représentant les fonctions f, g et h définies par les règles suivantes. f(x) = 9 5x g(x) = 8 h(x) = 6x 3. Trouvez la valeur de l image de 2, 10 et 0 pour les fonctions définies au numéro 2. a) f( 2) 19 d) f(10) 41 g) f(0) 9 b) g( 2) 8 e) g(10) 8 h) g(0) 8 c) h( 2) 12 f) h(10) 60 i) h(0) 0 4. Précisez la ou les fonctions directement proportionnelles parmi celles du numéro 2. h 5. Quelle est l image de la fonction g définie au numéro 2? {8} 6. En vous référant aux fonctions f, g et h définies au numéro 2, complétez l énoncé suivant à l aide des mots croissante, décroissante, constante. f est décroissante, g est constante et h est décroissante. 4

5 Le concept de fonction, la règle de correspondance d une fonction, la représentation d une fonction et le domaine et l image d une fonction (suite) 7. Paul veut acheter des bonbons à l unité vendus 0,10 $ chacun. Il dispose de 2 $ et s intéresse au nombre de bonbons obtenus en fonction f du prix payé en dollars. a) Précisez la variable indépendante et la variable dépendante. Variable indépendante : Le prix payé ($). Le nombre de bonbons obtenus. b) Quelle est la règle de correspondance associée à cette situation? y = 10x, où x représente le prix payé ($) et y le nombre de bonbons obtenus. c) Établissez une table de valeurs illustrant cette situation. Plusieurs réponses possibles. Exemple : Prix payé ($) 0 0,10 0,20 0,50 0,70 1,00 1,50 1,70 2,00 Nombre de bonbons d) Dans ce contexte, quels sont le domaine et l image de la fonction f? dom f = {0, 0,10, 0,20, 0,30,, 2} ima f = {0, 1, 2, 3, 4,, 20} e) Dans ce contexte, que signifie f(1,40)? f(1,40) indique le nombre de bonbons obtenus pour 1,40 $. f) Quelle est la valeur de f(1,40)? 14 g) Pour quelle valeur de x a-t-on f(x) = 17? Pour x = 1,70. h) Que signifie le résultat obtenu en g)? Il en coûte 1,70 $ pour obtenir 17 bonbons. 5

6 Les fonctions définies par parties CORRIGÉ Les deux graphiques ci-dessous illustrent les fluctuations d une action en Bourse. La fonction f correspond à la valeur en dollars canadiens d une action de la compagnie Francbois x mois après l achat fait par Martin. La fonction g correspond à la valeur d une action de la compagnie Grosbonnet x mois après l achat fait par Justin. a) Trouvez les règles associées à chacune des parties de ces fonctions. 1) f 1 (x) = 30x ) g 1 (x) = 20x ) f 2 (x) = 12x 6 6) g 2 (x) = 100 3) f 3 (x) = 90 7) g 3 (x) = 25x! 162,5 4) f 4 (x) = 8) g 4 (x) = b) Déterminez le domaine et l image des fonctions f et g. 1) dom f = [0, 20] 3) dom g = [0, 22] 2) ima f = [0, 120] 4) ima g = [0, 150] 6

7 Les fonctions rationnelles de la forme f(x) = (où x! 0 et k ) 1. Les tables de valeurs suivantes sont celles de fonctions rationnelles. Complétez-les et donnez la règle de chacune. a) x f(x) b) x g(x) c) x h(x) , , , ,25 f(x) =, x! 0 g(x) =, x! 0 h(x) =, x! 0 2. Pourquoi la fonction g définie au numéro 1 est-elle représentée par une courbe? Parce que ses taux de variation ne sont pas constants. Par exemple :. 3. Pourquoi la fonction f définie au numéro 1 est-elle décroissante? Parce que ses taux de variation sont négatifs. Par exemple : = Tracez le graphique des fonctions f et h définies au numéro 1. 7

8 Le nuage de points et la relation entre deux grandeurs 1. a) Tracez un nuage de points à partir de la table de valeurs suivante. x y , ,4 6 19, ,7 b) Quel type de relation peut-on associer à ce type de nuage? Une relation linéaire. c) Trouvez l équation associée à cette relation. Équation : y = 1,31x + 11,86. Démarche : Moyenne des coordonnées de la première moitié des points : x = = 2,5 y = = 15,125 (2,5, 15,125) Moyenne des coordonnées de la seconde moitié des points : x = = 6,5 y = = 20,35 (6,5, 20,35) Taux de variation : a = 1, soit = = 1, b = 11,86, soit 15,125 = 1, (2,5) + b. 8

9 Les modes de représentation et l analyse de la situation 1. Tania fait développer ses photographies chez Photoplusplus et paie 0,22 $ pour chacune. Robert, pour sa part, client de Bellesphotos, débourse 0,12 $ par photographie, mais il doit payer des frais de 12 $ pour l utilisation du logiciel. Représentez cette situation : a) à l aide d un système d équations ; c) par un graphique. y 1 = 0,22x y 2 = 0,12x + 12 b) par une table de valeurs ; x y 1 y ,10 12, ,20 13, ,40 14, , ,70 16, ,60 21, Utilisez les résultats du numéro 1 pour répondre aux questions suivantes. a) Pour quel nombre de photographies développées y a-t-il une différence de coût de 4 $? 80 photos. b) Pour quel nombre de photographies développées le coût de développement est-il identique? 120 photos. c) Laquelle des entreprises choisiriez-vous pour faire développer 100 photographies? Expliquez pourquoi. Il faudrait choisir Photoplusplus, car le coût serait de 22 $ au lieu de 24 $. 9

10 La résolution d un système d équations linéaires Trouvez algébriquement la solution des systèmes d équations suivants. Laissez les traces de votre démarche. a) y = 3x + 9 y = 4x 7 3x + 9 = 4x 7 3x 4x + 9 = 4x 7 4x 3x 4x = 4x 7 4x 9 x = 16 c) y = 5x 7 x = 16 y = 3x + 9 y = 3(16) + 9 y = 57 47x = 56 Solution : (16, 57) Solution : b) y = 0,2x 1,2 y = 2x 12,2 d) 0,2x 1,2 = 2x 12,2 0,2x 2x 1,2 = 2x 2x 12,2 2,2x 1,2 + 1,2 = 12,2 + 1,2 2,2x = 11 x = 5 y = 2(5) 12,2 y = 2,2 Solution : (5, 2,2) Solution : 10

11 Les modes de représentation CORRIGÉ Anick et Sacha comparent les coûts de leurs forfaits téléphoniques. Anick paie 10,50 $ de frais fixes, auxquels s ajoutent des frais de 0,49 $ la minute pour les appels faits entre 9 h et 18 h les jours de semaine. Sacha paie 12,95 $ de frais fixes, auxquels s ajoutent des frais de 0,28 $ la minute pour les appels faits entre 9 h et 18 h les jours de semaine. On s intéresse au coût des forfaits en fonction du nombre de minutes d utilisation du téléphone entre 9 h et 18 h les jours de semaine. Utilisez un outil technologique pour représenter cette situation selon les trois façons demandées et reproduisez les résultats obtenus sur cette fiche. a) Système d équations y 1 = 0,49x + 10,50 y 2 = 0,28x + 12,95 b) Table de valeurs x y 1 y 2 c) Graphique 0 10,5 12, ,99 13, ,48 13, ,97 13, ,46 14,07 11

12 La résolution d un système d équations linéaires par une table de valeurs Soit le système d équations suivant. y 1 = 0,6x + 14 y 2 = 2x + 16,24 Comment peut-on trouver la solution de ce système à partir de la table de valeurs ci-contre, si celle-ci a été obtenue à l aide d un outil technologique? x y 1 y 2 5 6, ,24 11,6 3 10,24 12,2 2 12,24 12,8 1 14,24 13,4 0 16, ,24 14,6 On s intéresse aux valeurs de x à partir de 2, car c est à cet endroit que l on constate que les écarts des valeurs des variables dépendantes (y 1 et y 2 ) passent d une diminution à une augmentation. On choisit une nouvelle graduation, soit 0,1 à partir de 2. On obtient alors la table de valeurs ci-contre. On constate que, lorsque x = 1,6, les valeurs de y 1 et de y 2 sont égales et valent 13,04. La solution de ce système d équations est donc ( 1,6, 13,04). x y 1 y ,24 12,8 1,9 12,44 12,86 1,8 12,64 12,92 1,7 12,84 12,98 1,6 13,04 13,04 1,5 13,24 13,1 1,4 13,44 13,16 12

13 La résolution d un système d équations linéaires à l aide du graphique 1. Représentez les systèmes d équations linéaires suivants sur un outil technologique de votre choix et spécifiez le type de droites correspondant à chacun des systèmes. a) y 1 = 3x + 9 y 2 = 5x + 9 d) y 1 = 5x + 7 y 2 = 5x! 7 Droites qui se rencontrent en un point. b) y 1 = 3x + 25 y 2 = 0,5x Droites qui se rencontrent en un point. c) y 1 = 2x + 7 y 2 = 2x + 5 Droites qui se rencontrent en un point. Droites qui se rencontrent en un point. e) y 1 = 4x + 9 y 2 = 4x! 15 Droites parallèles et disjointes. f) y 1 = 2,1 x + 9 y 2 = Droites confondues. 2. À l aide du graphique obtenu avec un outil technologique, trouvez la solution du système suivant. Expliquez brièvement votre démarche. y = 0,258x + 26 y = 1,269x + 32 Après avoir tracé le graphique des deux droites sur la calculatrice à affichage graphique, on choisit la fonction Calculate, puis on opte pour Intersect et on suit les étapes proposées jusqu à l obtention de l intersection (identification des deux droites, essai et intersection). Solution : (3, , 27, ) 13