34. Aborder des questions relatives au hasard

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1 3. Aborder des questions relatives au hasard 7 Mémento Reprendre contact Des exemples d expériences aléatoires : lancer un dé, jouer à Pile ou Face, jouer au loto, tirer une boule dans une urne opaque Une expérience aléatoire est une expérience pour laquelle on connaît, a priori tous les résultats possibles, mais quand on réalise l expérience on ne sait pas lequel de ces résultats va se produire. Les résultats possibles d une expérience aléatoire sont les issues de l expérience. Obtenir une ou plusieurs issues constitue un événement. Exemple : On lance une pièce de monnaie. C est une expérience aléatoire : on sait que la pièce peut tomber sur Pile ou Face mais en la lançant on ne peut pas prévoir sur quel côté elle va tomber. Les issues de l expérience sont Pile et Face. Obtenir Pile est un événement. Exemple : Lancer un dé à faces est une expérience aléatoire : le dé peut tomber sur ou ou 3 ou ou 5 ou mais en le lançant on ne peut pas prévoir sur quelle face il va tomber. Les issues possibles sont ; ; 3 ; ; 5 et. Obtenir ou 3 est un événement. Obtenir un nombre pair est un événement. Aborder la notion Dans un jeu, on peut estimer les chances de réalisation d un événement en utilisant les mots impossible, probable et certain. Exemple 3 : Au loto, on connaît toutes les combinaisons possibles. Il est peu probable de gagner car le nombre de combinaisons est très grand. Mais gagner n est pas impossible. Exemple : Voici trois urnes opaques différentes. On tire une boule au hasard dans chaque urne. Ici, il est très probable de tirer une boule bleue car les boules bleues sont beaucoup plus nombreuses que les rouges. Ici, il est certain de tirer une boule bleue car il n y a que des boules bleues. Ici, il est impossible de tirer une boule bleue car il n y en a pas. Un jeu est équitable si les participants ont autant de chances de gagner au départ. Vidéo de cours Parmi les expériences ci-dessous, lesquelles sont des expériences aléatoires? Pour celles qui le sont, citer des issues possibles. a. Le temps qu il fera demain. b. La note que j aurai au prochain contrôle de maths. c. La face obtenue lors d un lancer de dé à faces. d. Jouer à «papier caillou ciseaux». e. Tirer une carte dans un jeu de 3 cartes. f. La face obtenue quand je lance un dé à faces. Attribuer à chacune des situations ci-dessous, l un des termes suivants : impossible, certain, peu probable ou très probable. a. Trouver un billet de 0 par terre aujourd hui. b. Noël aura lieu cette année le 5 décembre. c. Il va neiger pendant la première semaine du mois de janvier. d. Obtenir en lançant un dé ordinaire à faces. e. Un élève de votre classe a son anniversaire demain. 3 Voici un diagramme en bâtons représentant les risques de précipitations pendant un après-midi de novembre. Risque de précipitations 7 % h 8 % h 85 % 8 h 0 % 0 h a. Donner une plage horaire pendant laquelle il est très probable qu il pleuve cet après-midi-là. b. À partir de quelle heure est-il peu probable de voir arriver la pluie?

2 Imaginer a. une expérience aléatoire dont l un des événements est impossible. b. une expérience aléatoire dont l un des événements est certain. c. une expérience aléatoire dont l un des événements est probable. Pour les exercices 5 à 7, Maria et Alexandre s affrontent en lançant un dé à faces. Celui qui obtient le plus grand nombre gagne la partie. Recopier et compléter chaque phrase en utilisant les mots probable, certain ou impossible. 5 Alexandre a obtenu 3 au lancer de dé. a. Quelles issues permettraient à Maria d obtenir la victoire? b. Il est que Maria gagne cette partie. Maria a obtenu au lancer de dé. a. Quelles issues permettraient à Alexandre d obtenir la victoire? b. Il est qu Alexandre ne perdra pas la partie. 7 Alexandre a obtenu au lancer de dé. a. Quelles issues permettraient à Maria d obtenir la victoire? b. Il est que Maria gagne la partie. Pour les exercices 8 et 9, Claire et Jérémy tirent à tour de rôle une boule dans leur urne opaque. Le premier qui tire une boule rouge remporte la partie. Après l avoir tirée, ils remettent la boule dans l urne. 8 Voici la composition des deux urnes lors de la première manche. Jérémy Claire 3. Aborder des questions relatives au hasard a. Jérémy dit à Claire : «Il est plus probable que tu gagnes la partie.». Est-ce vrai? Pourquoi? b. Que faudrait-il faire pour que le jeu soit équitable? 9 Voici la composition des deux urnes lors de la seconde manche. Claire tire une boule noire. Bilan Proposition A B C. Lors d'une bataille de dé à six faces, j'obtiens, alors :. Je lance un dé à six faces et j'obtiens, alors : 3. Je joue à Pile ou Face avec une pièce équilibrée :. Une urne opaque contient boules vertes et 3 boules bleues. Jérémy Claire a. Combien d issues permettent à Jérémy de gagner cette manche? b. Ce jeu est-il équitable? 0 Ryan et Sofia décident de jouer à la roue de loterie. Chacun choisit une couleur avant de lancer la roue. Lorsque la roue s arrête, la flèche désigne la couleur gagnante. il est impossible que mon adversaire gagne. il est certain que je vais obtenir au prochain lancer. j'ai autant de chances d'obtenir Pile que Face. Il est plus probable que je tire une boule verte. a. Quelles sont les issues de cette expérience aléatoire? b. Sofia choisit la couleur «Bleu». Combien d issues lui permettent de gagner? c. Ryan choisit la couleur «Orange». Combien d issues lui permettent de gagner? d. Ce jeu est-il équitable? Ryan et Sofia jouent avec cette roue. a. Quelles sont les issues de cette expérience aléatoire? b. Quelle couleur faut-il choisir pour avoir le plus de chances de gagner? Il y a toujours une ou plusieurs bonnes réponses. Les trouver toutes. une seule issue permet à mon adversaire de faire match nul. il est impossible que j obtienne au prochain lancer. il est plus probable que la pièce tombe sur Pile. Il est plus probable que je tire une boule bleue. il est certain que je gagne la partie. je ne peux pas connaître à l'avance le résultat du prochain lancer. il est plus probable que la pièce tombe sur Face. Je peux savoir à l'avance la couleur de la boule que je vais tirer. Faire le point 77

3 35. Mettre en relation fréquence et probabilité 78 Mémento Reprendre contact Aborder la notion. Fréquence En répétant un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence d un événement se stabilise autour d un nombre. Ce nombre, qui est toujours compris entre 0 et, est la probabilité de voir l événement se réaliser. Exemple : Dix personnes P P P 0 lancent des pièces. Chaque personne effectue 0 lancers, puis 00 lancers, puis 000 lancers. On s intéresse à l événement «Obtenir Pile». Voici les résultats présentés sur trois graphiques. 0,75 0 Chaque personne effectue 0 lancers. Fréquence de Pile P P P3 P P5 P P7 P8 P9 P0 0,75 0 Chaque personne effectue 00 lancers. Fréquence de Pile P P P3 P P5 P P7 P8 P9 P0 0,75 0 Chaque personne effectue 000 lancers. Fréquence de Pile P P P3 P P5 P P7 P8 P9 P0 En réalisant un très grand nombre de lancers, la fréquence de Pile se stabilise autour de. Par conséquent la probabilité de l événement «Obtenir Pile» est.. Probabilité Un événement peut être placé sur une échelle des probabilités. Obtenir Pile Événement impossible 0 La probabilité d un événement peut s exprimer sous forme décimale, sous forme fractionnaire ou par un pourcentage. Probabilité d obtenir Pile = = = = 50 % Exemple : Lorsque l on lance un dé à faces, les issues 3 5, ont la même probabilité de se réaliser :. C est une situation d équiprobabilité. Événement certain Les fréquences se stabilisent autour de. 3. Estimer une probabilité Dans certains cas, on ne peut faire qu une estimation de la probabilité d un événement en réalisant un grand nombre de fois l expérience aléatoire. Exemple 3 : On lance un volant de badminton. Il tombe sur la jupe OU sur la tête. Pour estimer la probabilité de l événement «Le volant tombe sur la tête», on est obligé de réaliser un grand nombre de lancers de volant et d observer la stabilisation de la fréquence. Vidéo de cours On possède un dé à faces colorées. On lance 00 fois le dé et on note à chaque fois la couleur de la face obtenue. Le diagramme en bâtons ci-dessous donne la répartition de ces 00 lancers Déterminer la fréquence d apparition : a. de la couleur orange b. de la couleur verte On suppose que le dé est équilibré.. Quelle est la probabilité d obtenir : a. la couleur orange? b. la couleur verte? 3. Expliquer l écart entre les fréquences observées et les probabilités. On considère une urne opaque contenant des boules vertes, rouges et bleues. On effectue 00 tirages dans l urne. a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous. Boules Nombre d apparitions 7 70 Fréquence d apparition b. Voici la composition de l urne. Sur une échelle de probabilité, placer les trois événements suivants : Obtenir une boule verte, Obtenir une boule rouge, Obtenir une boule bleue. c. Expliquer l écart entre les fréquences obtenues à la question a. et les probabilités de la question b.. 0

4 3 Quand on lance une punaise, elle tombe sur la pointe ou sur le dos. On a lancé 900 fois une punaise et on a représenté les fréquences de l issue «Sur la pointe» dans le graphique ci-dessous. 0 Fréquence d apparition de l issue Pointe 0,0 0,30 0,0 0,0 Nombre de lancers cumulés a. Décrire l allure du nuage de points entre 0 et 300 lancers, puis entre 00 et 900 lancers. b. D après le graphique, estimer la probabilité de l événement «La punaise tombe sur la pointe.» On a réalisé 000 tirages dans un sac qui contient des jetons qui sont soit jaunes, soit verts, soit rouges, soit bleus. Après chaque tirage, on a remis le jeton dans le sac. Les fréquences d apparitions sont lisibles dans le graphique ci-dessous. Fréquence d apparition 0,9 0,8 0,7 0, 0, 0,3 0, 0, Nombre de tirages a. Quelle est la couleur la plus présente dans le sac? Justifier la réponse. b. D après le graphique, estimer la probabilité d obtenir chacune des couleurs. 35. Mettre en relation fréquence et probabilité Pour les exercices 5 à 7, on considère une urne opaque qui contient des boules vertes et des boules rouges. Pour chaque exercice : a. Tracer une échelle des probabilités de longueur cm. b. Placer les événements «Obtenir une boule rouge» et «Obtenir une boule verte». Bilan 5 7 Proposition A B C. Je lance une pièce de monnaie 0 fois de suite. J obtiens 5 Pile et 5 Face. On fait tourner la roue et on s intéresse à la couleur du secteur sur lequel la roue s arrête.. On a lancé fois une pièce de monnaie. La fréquence d apparition de Face est de 5 %. Je n'ai pas obtenu autant de Pile que de Face. Ma pièce est truquée. C'est une situation d'équiprobabilité. la couleur bleue est 8. Il est très probable que ma pièce soit truquée. 8 On fait tourner la roue ci-contre et on s intéresse à la couleur du secteur sur lequel la roue s arrête.. Quelles sont les issues de cette expérience aléatoire?. Est-ce une situation d équiprobabilité? Expliquer. 3. Quelle est la probabilité : a. d obtenir un secteur vert? b. d obtenir un secteur orange? c. d obtenir un secteur bleu? 9 Il y a toujours une ou plusieurs bonnes réponses. Les trouver toutes.. 3. Je dois réaliser un très grand nombre de fois cette expérience pour me prononcer. la couleur orange est plus grande que celle d'obtenir la couleur bleue. la couleur bleue est 50 %. Il est plus probable qu'au prochain lancer on obtienne Pile. Au prochain lancer, la probabilité d'obtenir Face est plus élevée que celle d obtenir Pile. la couleur bleue est plus grande que celle d'obtenir la couleur orange. la couleur bleue est. Il est plus probable qu'au prochain lancer on obtienne Face. Faire le point 79

5 3. Calculer des probabilités dans un contexte simple 80 Mémento Reprendre contact Pour représenter une expérience aléatoire, on peut utiliser un arbre des issues physiques ou un arbre des probabilités. Exemple : On tire une boule au hasard dans une urne opaque. Arbre des issues boules donc issues Arbre des probabilités types de boules : rouge et verte. Probabilités d événements particuliers La probabilité d un événement certain est. La probabilité d un événement impossible est 0.. Evénements incompatibles Exemple : On lance un dé cubique à faces. Les événements «Obtenir un nombre pair» et «Obtenir 5» ne peuvent pas se réaliser en même temps. Ces deux événements sont incompatibles. Lorsque deux événements sont incompatibles, la probabilité pour que l un ou l autre se réalise est égale à la somme des probabilités de ces deux événements. Dans l exemple du lancer de dé, la probabilité de l événement «Obtenir un nombre pair ou 5» est donc égale à : 3 + =. 3 Aborder la notion 3. Evénement contraire Exemple 3 : On lance un dé cubique à faces. On s intéresse à l événement «Obtenir». La probabilité de cet événement est. L événement contraire est «NE PAS obtenir». La probabilité de l événement contraire se trouve aussi par le calcul : 5 =.. Expérience aléatoire à deux épreuves Exemple : Une urne contient deux boules vertes et une boule rouge. On tire une première boule, on note sa couleur, on la remet dans l urne, puis on tire une deuxième boule. On peut représenter cette expérience à deux épreuves grâce à des arbres. Arbre des issues Arbre des probabilités 3 Sur l arbre des issues, on lit que la probabilité d «Obtenir deux boules rouges» est 9. Sur l arbre des probabilités, on calcule le produit des probabilités le long du chemin qui conduit à obtenir deux boules rouges : = Vidéo de cours Pour les exercices et, on lance un dé à faces. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : a. Obtenir ; b. Obtenir 7 ; c. Obtenir un nombre pair ; d. Obtenir et simultanément. a. Obtenir un nombre entier ; b. Obtenir un nombre strictement inférieur à ; c. Obtenir un nombre supérieur ou égal à 5 ; d. Obtenir un nombre impair ; e. Obtenir un nombre négatif. 3 On possède un dé à faces sur lesquelles sont inscrites les lettres V A L I S E. On lance le dé et on s intéresse à la lettre qui s affiche.. Représenter cette expérience à l aide d un arbre des probabilités.. Quelle est la probabilité d obtenir : a. une voyelle? b. une consonne? c. une lettre du mot SALIVE? Une urne opaque contient 5 boules noires, 3 boules vertes et boules rouges. On tire une boule au hasard et on s intéresse à sa couleur.. Représenter cette expérience aléatoire à l aide d un arbre des probabilités.. Quelle est la probabilité d obtenir : a. une boule noire? b. une boule rouge? c. une boule rouge ou une boule noire? d. une boule verte?

6 5 Un jeu de 3 cartes est composé de couleurs : Pique, Trèfle, Carreau, Cœur. On pioche une carte au hasard.. Calculer la probabilité de piocher : a. un carreau ; b. une carte rouge ; c. un roi ; d. l as de pique.. Farhad a déjà en main l as de carreau. Calculer la probabilité de piocher un carreau. Voici un plateau d un jeu d échec. Mohamed pense à une case et Lydia doit retrouver la case choisie par Mohamed. Quelle est la probabilité que la case choisie par Mohamed soit : a. une case blanche? b. une case de la colonne B? c. une case de la 7 e ligne? d. la case avec la croix? 7 On lance la roue de loterie ci-contre. Voici trois événements : Obtenir vert. Obtenir orange. 3 Obtenir bleu ou vert. A B C D E 3. Calculer des probabilités dans un contexte simple F G H Pour chaque événement proposé, a. décrire par une phrase l événement contraire. b. calculer la probabilité de l événement contraire On considère une expérience aléatoire à deux épreuves : On pioche une boule dans une urne opaque, on note sa couleur et on remet la boule dans l urne. On pioche une nouvelle fois dans la même urne et on note la couleur de la boule.. Représenter les issues de cette expérience aléatoire à l aide d un arbre ou d un tableau.. Déterminer la probabilité de chacun des évènements ci-dessous : a. obtenir deux boules vertes ; b. obtenir deux boules de couleurs différentes ; c. obtenir une boule bleue ; d. ne pas obtenir de boules vertes. Bilan Proposition A B C. On lance deux fois de suite une pièce de monnaie.. On lance un dé à faces. On s intéresse à l évènement «Obtenir un nombre strictement plus petit que». 3. On s intéresse à la roue de loterie suivante : 3 5 La probabilité d obtenir deux fois Pile est. La probabilité de cet événement est. Les évènements «Obtenir la couleur orange» et «Obtenir un nombre pair» sont incompatibles. 9 On fait tourner deux roues de loterie de suite l une après l autre. Le montant désigné par la flèche de la re roue est le montant gagné. Sur la e roue, la couleur orange permet de doubler les gains. La couleur verte ne change pas les gains.. Représenter les issues de cette expérience aléatoire à l aide d un arbre ou d un tableau. Une issue sur quatre permet d obtenir deux fois Pile. L événement contraire est «obtenir un nombre supérieur ou égal à.» Les évènements «Obtenir la couleur verte» et «Obtenir un nombre impair» sont incompatibles Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants : a. gagner 0 à la fin de la partie ; b. gagner 0 à la fin de la partie ; c. gagner au moins 30 à la fin de la partie. 0 Il y a toujours une ou plusieurs bonnes réponses. Les trouver toutes. La probabilité d obtenir deux fois Pile est. La probabilité de l événement contraire est 3. Les évènements «Obtenir un nombre pair» et «Obtenir la couleur verte» sont incompatibles. Faire le point 8

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