Dans la suite de l exercice on s intéresse seulement aux puces livrées aux clients.

Transcription

1 Exercice Ue etreprise fabriqe des pces électroiqes qi sot tilisées por des matériels assi différets qe des téléphoes portables, des lave-lige o des atomobiles. À la sortie de fabricatio, % d etre elles présetet défat et sot doc élimiées. Les pces restates sot livrées ax cliets. O dit q e pce a e drée de vie corte si cette drée de vie est ifériere o égale à 000 heres. O observe qe 2% des pces livrées ot e drée de vie corte. O ote L l évèemet «La pce est livrée». O ote C l évèemet «La pce a e drée de vie corte c est-à-dire ifériere o égale à 000 heres».. O tire a hasard e pce fabriqée par l etreprise. a. Doer la valer PL(C). 0,02 b. Qelle est la probabilité qe la pce soit livrée et ait e drée de vie strictemet spériere à 000 heres? 0,9 0,98 c. Qelle est la probabilité qe la pce soit élimiée o ait e drée de vie corte à la sortie de la chaie de fabricatio? 0,0+0,02 0,9 Das la site de l exercice o s itéresse selemet ax pces livrées ax cliets. 2. O appelle X la variable aléatoire correspodat à la drée de vie e heres d e telle pce. O sppose qe X sit e loi expoetielle de paramètre. O pet motrer qe 0, a. Calcler la probabilité q e pce ait e drée de vie spériere à heres. O arrodira le résltat à 0 3 près. 0,89 b. Calcler P(20000 X 30000). O arrodira le résltat à 0 3 près. Iterpréter ce résltat. La probabilité q e pce ait e drée de vie comprise etre et heres est de 0,22 3. Les igéiers de l etreprise ot mis a poit ovea procédé de fabricatio. O sppose q avec ce ovea procédé la probabilité q e pce livrée doée ait e drée de vie corte est égale à 0,003. O prélève a hasard 000 pces prêtes à être livrées - O admettra qe ce prélèvemet de 000 pces reviet à effecter tirage avec remise de 000 pces parmi l esemble de totes les pces électroiqes prodites par l etreprise et prêtes à être livrées. O appelle Y la variable aléatoire égale a ombre de pces ayat e vie corte das cet échatillo. a. Jstifier qe Y sit e loi biomiale de paramètres = 000 et p = 0,003. Répétitio d expérieces idépedates (tirage avec remise) de Berolli. b. E(Y) = p = 4 c. P(40 Y 0) 0,89.

2 Exercice 2 Soit la site défiie sr N par : 0 0 et ) a) Motrer qe l o pet écrire : 2. 4 b) Motrer par récrrece qe, por tot, 0 Vrai por = 2( +4) = Spposos 0 < qe et motros qe 0 + <. 0 < < > < <. La propriété est iitialisée et héréditaire, elle est doc vraie por tot. 2) O admet qe la site est croissate. a) Motrer qe la site est covergete vers e limite l. est croissate et majorée par doc elle coverge. b) O admet qe cette limite l vérifie f ( l) l où Détermier la valer de l. 2l + 3 l+4 2x 3 ( x) x 4 f. = l 2l + 3= l² + 4l l² + 2l 3 = 0 pis résoltio avec. Comme 0 <, la soltio 3 e pet être retee doc l = v. 3 3) Soit la site v défiie sr N par : a) Motrer qe la site v est géométriqe de raiso dot o détermiera le premier terme. v + = = b) Exprimer v, pis v = = e foctio de. v = +3 et doc = -3v v - = 3 c) Retrover alors la limite de Comme lim + = 0, détermiée a 2)b). lim = + +4 = + v +4 T S BB COR.doc Page 2 / 7

3 4) O cherche à détermier la valer de N à partir de laqelle alors l algorithme sivat : a) Recopier l algorithme et compléter les istrctios effacées. Traitemet Tat qe U >0 6 faire N+N (2U+3)/(U+4)U fi b) Qelle valer de N affiche l algorithme. 9 l 0 6. O propose Exercice 2 Por cex qi fot la spécialité Ce problème a por objet l étde de dex méthodes de chiffremet. A chaqe lettre de l alphabet est associé iqe etier compris etre 0 et 2 de la faço sivate : à la lettre A et associée 0, à la lettre B est associé,, à la lettre Z est associé 2. Cet etier est appelé rag de la lettre. Partie A : chiffremet moographiqe. U exemple. Das cette qestio, o décide de coder chaqe lettre d mot par ombre y défii comme sit : Si est le reste de la divisio eclidiee de 8x par 369. a. Motrer qe (8,369) est e clé de codage valable (Motrer qe dex lettres différetes e pevet pas être codées par la même lettre) 8a 8b (369) 8(a b) 0 (369) comme 8 et 369 sot premier etre ex : a b 0 (369) a b (369) et comme les dex sot compris etre 0 et 369, x = y b. Coder le mot GAUSS Décodage. a. Motrer q il existe etier atrel f tel qe 8f (369). f = 70 il sffit de lire dex liges e dessos!! b. Motrer qe x yf (369). O dit qe f est e clé de décodage associée à la clé de codage (8,369). 8x y (369) 8xf yf (369) x yf (369) c. Motrer qe 70 est e clé de décodage associée à la clé de codage (8,369) = 4060 = d. U mot de 6 lettres a été codé avec la clé de codage T S BB COR.doc Page 3 / 7

4 (8,369). Décoder ce mot : FERMAT il sffit de chercher das le tablea de la calclatrice! Partie B : Chiffremet de Hill a b Das tote cette partie la matrice A est défiie par A = où a, b, c d c et d désiget 4 réels. La méthode tilisée tilise chiffremet par bloc de dex lettres por coder mot comportat ombre pair de lettres : O choisi 4 etiers atrels a, b, c et d. O ote x la première lettre d bloc et y le rag de la dexième lettre d bloc. x = ax + by O défii les etiers x et y de la maière sivate : y = cx + dy. Le rag de la première lettre codée est le reste de la divisio eclidiee de x par 26, Le rag de la dexième lettre codée est le reste de la divisio eclidiee de y par 26.. Tradire le système x = ax + by y = cx + dy est appelée matrice de codage. S = A X avec S = 2. O doe : a = 4, b = 3, c = et d = 4. par e relatio matricielle à l aide de la matrice A qi x y x et X = y a. Détermier A l iverse de la matrice A. A = b. Coder le mot BEZOUT : XEMZHU c. Décoder le mot SFXMOJ e précisat la méthode employée. FIELDS e tilisat A S =X T S BB COR.doc Page 4 / 7

5 Exercice 3 Das tot ce qi sit, m désige ombre réel qelcoqe. Partie A Soit f la foctio défiie et dérivable sr l esemble des ombres réels IR telle qe : f (x) = (x +)e x.. Calcler la limite de f e + et. lim x +=+ lim x + x ex = + doc lim f (x) =+ par + x + prodit lim x f (x) = FI par prodit. O développe lim x x ex = 0 (formle d cors) lim x ex = 0, doc par somme lim x f (x) = 0 2. O ote f la foctio dérivée de la foctio f sr IR. Démotrer qe por tot réel x, f (x) = (x +2)e x. Forme v : f (x) = e x + (x +)e x = (x +2)e x. 3. Dresser le tablea de variatio de f sr IR. voir ci cotre : Partie B O défii la foctio g m sr IR par : g m (x) = x + me x et o ote C m la corbe de la foctio g m das repère (O ; i, j ) d pla.. a. Démotrer qe g m (x) = 0 si et selemet si f (x) = m. x + me x = 0 x + = me x (x +)e x = m b. Dédire de la partie A, sas jstificatio, le ombre de poits d itersectio de la corbe Cm avec l axe des abscisses e foctio d réel m. Il y a doc dex poits d itersectio si 0 > m > e 2, si m = e 2 o m >0 et 0 sio. 2. O a représeté e aexe les corbes C 0, C e et C e (obtees e preat respectivemet por m les valers 0, e et e). Idetifier chace de ces corbes sr la figre de l aexe e jstifiat. La corbe est C e car - e < e 2, doc elle e cope pas l axe des abscisses, la corbe 2 est C 0, si m = 0 c est e foctio affie. 3. Étdier la positio de la corbe Cm par rapport à la droite D d éqatio y = x + sivat les valers d réel m. g m (x) (x +) = me x. La corbe est doc a desss 4. de la droite si m est égatif et e dessos sio. a. O appelle D 2 la partie d pla comprise etre les corbes C e, C e, l axe (Oy) et la droite x = 2. Hachrer D 2 sr l aexe. Voir ci cotre : b. Das cette qestio, a désige réel positif, D a la partie d pla comprise etre C e, C e l axe (Oy) et la droite Δ a d éqatio x = a. O désige T S BB COR.doc Page / 7

6 par A(a) l aire de cette partie d pla, exprimée e ités d aire. Démotrer qe por tot réel a positif : A(a)= 2e 2e a. Ue primitive de g m (x) est x² + x + me x A(a) = 0a g e (x)dx g e (x)dx = [2e e x ] a 0 = 2e 2e a E dédire la limite de A(a) qad a ted vers +. lim A(a) = 2e a + Exercice 4 Les parties A et B sot idépedates 3 2 O cosidère l éqatio (E) : z (4 i) z (7 i) z 4 0, où z désige ombre complexe. Partie A : ) a) Motrer qe (E) admet e soltio réelle évidete, otée z. z = car (4 + i) + (7 + i) 4 = 0 b) Détermier les dex ombres complexes a et b tels qe, por tot complexe z, o 3 2 ait : z 4 i) z (7 i) z 4 z z z 2 2iaz b (z )(z 2 2i)(az + b) ( = (z² 2z 2iz z i)(az + b) = (z² 3z 2iz i)(az + b) = az 3 3az² 2aiz² + 2az +2aiz + bz² 3bz 2biz + 2b +2bi = az 3 (3a + 2ai b)z² + (2a + 2ai 3b 2bi)z + 2b +2bi o a doc a =, b = i 2) Résodre (E). S = {, 2 + 2i, i} Partie B : Das le pla mi d repère orthoormal direct O, v,, o cosidère les trois poits A, B et C d affixes respectives, 2 2i et i. ) Représeter A, B et C. 2) Détermier le modle et l argmet de E dédire la atre d triagle OBC i i = 2i so modle est doc 2 et so 2 2i i argmet /2. Le triagle est doc rectagle, car. T S BB COR.doc Page 6 / 7

7 ( OC, OB ) = arg( OB ) arg( OC OB ) = arg ( ). OC 3) Qe représete la droite (OA) por le triagle OBC? Jstifier. C est la bissectrice. arg( OC ) =, arg( OA ) = 0. Doc ( OC, OA )= 4 4 4) O doe le poit D d affixe 2. Qelle est la atre de OCDB? C est trapèze rectagle. CD = + i = OB doc c est trapèze, l agle droit a déjà été jstifié. 2 T S BB COR.doc Page 7 / 7