2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert

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1 2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2. Opérateurs non bornés: définitions et propriétés élémentaires Soit H un espace de Hilbert et A un opérateur dans H, c est-à-dire, une application linéaire définie sur un espace vectoriel D(A) H à valeurs dans H. Dans la suite, on suppose que D(A) est dense dans H. Exemple 2.. Soit H = L 2 (R) etd(a) ={u H : xu H}. OndéfinitA par (Au)(x) = xu(x) pour u D(A). Alors A est un opérateur linéaire non borné avec un domaine de définition dense. Le graphe d un opérateur A : D(A) H est un sous-espace vectoriel dans H H défini par Γ(A) = [u, f] H H : u D(A),f = Au. L opérateur A est dit fermé si Γ(A) est fermé dans l espace H H muni du produit scalaire ([u,u 2 ], [v,v 2 ]) = (u,v )+(u 2,v 2 ) et de la norme correspondante. Si A est un autre opérateur dans H tel que Γ(A) Γ(A ), alors A est appelé extension de A. Dans ce cas, on écrit A A. Il est claire que A est une extension de A si et seulement si D(A) D(A ) et Au = A u pour u D(A). L opérateur A est dit fermable s il existe une extension fermée de A. Proposition 2.2. Soit A un opérateur fermable. Alors il existe une extension Ā de A telle que Ā A pour toute autre extension fermée A.Deplus,Γ(Ā) = Γ(A). Démonstration. Soit A une extension fermée de A. Alors Γ(A ) Γ(A) et donc Γ(A ) Γ(A). On conclut que Γ(A) ne contient pas d éléments de la forme [,f]avecf =. On définit un opérateur B par D(B) ={u H :ilexistef H tel que [u, f] Γ(A)}, Bu = f, où f est l unique vecteur tel que [u, f] Γ(A). Il est évident que Γ(B) =Γ(A) et Γ(B) Γ(A ) pour toute extension fermée A. Donc, B = Ā. Dans la suite, on appelle Ā la fermeture de A. Signalons qu il existe des opérateurs qui ne sont pas fermables. Définition 2.3. Soit A un opérateur fermé dans H. L ensemble résolvant de A, noté ρ(a), est constitué de tous les nombres λ C tels que l opérateur λi A est une bijection de D(A) surh avec un inverse borné. Si λ ρ(a), l opérateur R λ (A) =(λi A) est appelé la résolvante de A au point λ. Le complémentaire de ρ(a) dans C, noté σ(a), s appelle le spectre de A. 7

2 Exercice 2.4. Montrer que si A est un opérateur fermé et λi A est une bijection de D(A) surh, alors (λi A) est continu. Indication: utiliser le théorème du graphe fermé; voir le théorème III.2 dans [RS8]. Théorème 2.5. Soit A un opérateur fermé dans un espace de Hilbert H. Alors ρ(a) est un ensemble ouvert, et la relation (.2) alieu. La démonstration de ce résultat est tout à fait analogue à celle du théorème.5 concernant le cas des opérateurs bornés. 2.2 Opérateurs symétriques et auto-adjoints Définition 2.6. Soit A un opérateur dans un espace de Hilbert H. On note D(A ) l ensemble des vecteurs v H pour lesquels il existe f H tel que (Au, v) =(u,f) pour tout u D(A). (2.) Pour tout v D(A ) on pose A v = f, oùf désigne le vecteur vérifiant (2.). On appelle A l opérateur adjoint de A. Exercice 2.7. Montrer les propriétés suivantes: (i) u D(A )sietseulementsi (Au, v) Cv pour tout u D(A); (ii) si A B, alors A B. Théorème 2.8. Soit A un opérateur dans H. Alors les propriétés suivantes ont lieu: (i) A est fermé. (ii) A est fermable si et seulement si D(A ) est dense, et dans ce cas Ā = A. (iii) Si A est fermable, alors (Ā) = A. Démonstration. (i) On définit un opérateur unitaire V : H H H H par V [u, v] =[ v, u]. Il est facile à vérifier que V (E )=V (E) pour tout sous-espace E H H. La définition de l opérateur adjoint implique que Γ(A )=V Γ(A). (2.2) Comme V Γ(A) est toujours fermé, on conclut que A est fermé. (ii) Supposons que D(A ) est dense. Alors Γ(A) = Γ(A) = V 2 Γ(A) = V Γ(A ) = Γ(A ), (2.3) où on a utilisé la relation (2.2). La proposition 2.2 implique que Ā = A. Réciproquement, si D(A ) n est pas dense dans H, alors il existe un vecteur w = telquew D(A ). Dans ce cas, [w, ] Γ(A ), d où on voit que 8

3 [,w] V Γ(A ). La relation (2.3) montre maintenant que [,w] Γ(A), et donc A n est pas fermable. (iii) Si A est fermable, alors A = A = A =(Ā). Définition 2.9. Un opérateur A dans un espace de Hilbert est dit symétrique si A A, c est-à-dire, D(A) D(A ), Au = A u pour u D(A). Il est claire que A est symétrique si et seulement si (Au, v) =(u, Av) pour u D(A). Un opérateur A est dit auto-adjoint si A = A Exercice 2.. Montrer les propriétés suivantes : (i) Si A est symétrique, alors A fermable et A A A. (ii) Si A est fermé et symétrique, alors A = A A. (iii) Si A est auto-adjoint, alors A = A = A. Théorème 2.. Soit A un opérateur symétrique dans H. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes: (i) A est auto-adjoint. (ii) A est fermé et Ker(A ± ii) ={}. (iii) Im(A ± ii) =H. Démonstration. (i) (ii) Comme l opérateur A est auto-adjoint, il est fermé. Si A u = ±iu, alors Au = ±iu et (Au, u) =±i(u, u). Comme (Au, u) estréel, on conclut que u =. (ii) (iii) Montrons d abord que Im(A i) est dense dans H. Supposons que v Im(A i). Alors ((A i)u, v) = pour tout u D(A). Donc, (Au, v) =(u, iv) pour tout u D(A), d où on voit que v D(A )eta v = iv. Comme Ker(A + i) ={}, on conclut que v =. Montrons maintenant que Im(A i) est fermé. Soit {u n } D(A) unesuite telle que (A i)u n g. On veut montrer que g Im(A i). Comme (A i)u 2 = Au 2 + u 2, 9

4 on voit que la suite {u n } converge vers un élément u et Au n converge g + iu. En utilisnat le fait que A est fermé, on conclut que u D(A) etau = g + iu. Donc, (A i)u = g. L espace vectoriel Im(A i) étant dense et fermé, il est confondu avec H. La démonstration de la relation Im(A + i) = H est analogue. (iii) (i) Il faut montrer que D(A ) D(A). Soit u D(A ). Alors il existe v D(A) telque(a i)v =(A i)u. Comme A A, on voit que (A i)(u v) =. (2.4) L argument utilisé dans la démonstration de l implication (ii) (iii) montre que si Im(A+i) =H, alors Ker(A i) ={}. Ilrésultede(2.4) queu = v D(A). Donc, D(A ) D(A), et l opérateur A est auto-adjoint. Définition 2.2. Soit A un opérateur symétrique. On dit que A est essentiellement auto-adjoint si sa fermeture est auto-adjoint. Corollaire 2.3. Soit A un opérateur symétrique dans H. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes: (i) A est essentiellement auto-adjoint. (ii) Ker(A ± ii) ={}. (iii) Im(A ± ii) est dense dans H. Exercice 2.4. Démontrer le corollaire. Exemple 2.5. Considérons un opérateur A dans L 2 (, ) défini par D(A) =H (, ), (Au)(x) =iu (x). Il est facile à voir que A A. Calculons A. Montrons d abord que si v L 2 (, ) et ψ (x) v(x) dx = pour tout ψ C (, ), (2.5) alors v const. En effet, toute fonction ϕ C (, ) est représentable sous la forme ϕ(x) =ψ (x)+ ϕ(y) dy ϕ (x), où ϕ C (, ) est une fonction telle que ϕ dx =. Il résulte de (2.5) que ϕ vdx= ψ vdx+ ϕdy ϕ vdx= c ϕdy, (2.6) où c = ϕ vdx. Comme (2.6) est vrai pour toute fonction ϕ C (, ), on conclut que v c.

5 Supposons maintenant que v D(A ). Alors il existe f L 2 (, ) tel que iϕ vdx= ϕ f dx pour tout ϕ C (, ). En intégrant par parties, on obtient x iϕ i v + f(y) dy dx = pour tout ϕ C (, ), d où on conclut que v(x) = i x f(y) dy + C. Donc, si v D(A ), alors v L 2 (, ) et A v = iv. Réciproquement, si v H (, ), alors iu vdx= iu v dx = Ainsi on a montré que D(A )=H (, ) et A v = iv. u iv dx. L opérateur A est fermé (exercice) et donc n est pas essentiellement autoadjoint. Y-a-t-il des extensions auto-adjointes de A? Exercice 2.6. Soit α C, α =. On définit A α par D(A α )={u H (, ) : u() = αu()}, (A α u)(x) =iu (x). Montrer que A α est une extension auto-adjoint de A. Proposition 2.7. (a) Soit A : D(A) H un opérateur auto-adjoint qui est une bijection sur son image dense dans H. Alors l opérateur inverse A est aussi auto-adjoint. (b) Soit A un opérateur symétrique tel que D(A) =H. AlorsA = A. (c) Soit A un opérateur tel que (Au, v) =(u, Av) pour tous u, v D(A) et Im(A + λi) =H pour un réel λ. AlorsledomainedeA est dense et A = A. Démonstration. (a) La formule (2.2) impliquequea = A si et seulement si V Γ(A) = Γ(A). Introduisons l opérateur U : H H H H par la formule U[u, v] =[u, v]. Comme Γ(A )=UΓ(A), on on doit montrer que V (UΓ(A)) = UΓ(A). Cette relation est une conséquence immédiate d autoadjonction de A et l égalité UV = VU. (b) On a A A et D(A) =H, d où on conclut que A = A. (c) Comme Im(A + λi) =H, on a Ker(A + λi) ={}, d où on voit que l opérateur A + λi est inversible. Son inverse est un opérateur symétrique défini partout, donc il est auto-adjoint. La relation D(A) = Im(A + λi) =Ker(Im(A + λi) = {} implique que D(A) est dense dans H. D après le point (a), l opérateur A + λi est aussi auto-adjoint, ce que donne l auto-adjonction de A.

6 2.3 Paire de Freidrichs On décrit maintenant une approche générale qui permet de construire des opérateurs auto-adjoints. Soit H un espace de Hilbert et V un espace de Banach réflexif avec une injection dense et continue V H. D après le théorème de Riesz, on peut identifier H avec son dual H, et on a donc les injections continues V H = H V. On appelle (V,H) unepaire de Friedrichs. Lemme 2.8. L injection H V est dense. Démonstration. On note, la dualité entre V = V et son dual V. Supposons qu il existe f : V C tel que f,u = pour tout u H. Si on note u l élément de V défini par u, alors on peut écrire f, u = u,v f =(u, v f ) = pour tout u H, où v f V est l élément associé à f par l isométrie V V. Il s ensuit de la relation ci-dessus que v f = et dons f =. Exemple 2.9. Soit H = L 2 (R) etv = L p (R,ω) l espace de fonctions mesurable u : R C telles que u p L := u(x) p ω(x) dx <, p ω R où p ]2, + [ etω est une fonction positive telle que ω 2/(p 2) (x) dx <. Alors (V,H) est une paire de Friedrichs, et on a V = L q (R,ω q/p ). Soit A : V V une application linéaire continue vérifiant la condition Au, v = Av, u pour tous u, v V. (2.7) On définit un opérateur (non borné) dans H par la règle D(Â) ={u V : Au H}, Âu = Au. La relation (2.7) implique immédiatement que (Âu, v) =(u, Âv), mais D(Â) n est pas dense dans le cas général, et on ne peut donc pas parler de la symétrie et de l auto-adjonction de A. Le point (c) de la proposition 2.7 implique immédiatement le résultat suivant. Proposition 2.2. Supposons qu il existe λ R tel que Im(Â+λI) =H. Alors le domaine de  est dense et  = Â. Exemple 2.2. Soit V un espace de Hilbert et A : V V un opérateur définie par la formule (Au)(v) =(v, u) V, u,v V. (2.8) C est une isométrie, car d après le théorème de Riesz, l image de A est confondue avec V, et pour tout u V on a Au V = sup v V (Au)(v) = sup v V (u, v)v = uv. Il s ensuit que Im  = H, et l opérateur  est auto-adjoint. l opérateur auto-adjoint associé à la paire (V,H). On appelle  2

7 2.4 Formes quadratiques et extension de Friedrichs Soit D H un sous-espace vectoriel dense et Q : D D C une fonction hermitienne, c est-à-dire, Q(αu + βv,w) =αq(u, w)+βq(v, w) pour tous u, v, w D, α, β C, Q(u, v) = Q(v, u) pour tous u, v D. Dans ce cas, on dit que Q est une forme quadratique avec le domaine D et on note Q(u) =Q(u, u). Si Q est une autre forme quadratique avec un domaine D telle que D D, Q(u, v) =Q (u, v) pour tous u, v D, alors Q est appelé une extension de Q. Dans ce cas, on écrit Q Q. Exercice Montrer qu une forme quadratique est uniquement définie par ses valeurs sur la diagonale. Plus précisément, Q(u, v) = 4 Q(u + v) Q(u v)+iq(u + iv) iq(u iv), u,v D. Définition Une forme quadratique est dite semi-bornée inférieurement (ou simplement semi-bornée) s il existe une constante M R telle que Q(u, u) M u 2 pour tout u D. (2.9) Une forme quadratique semi-bornée Q est dite fermée si l espace D est complet par rapport à la norme u Q = Q(u)+(M + )u 2 /2. Il est claire qu une suite {u n } Dconverge vers un élément u Dpour la norme Q si et seulement si u n u dans H et Q(u n u). Exercice Une forme quadratique semi-bornée Q est fermée si et seulement si elle vérifie la propriété suivante: (P) Soit u H et {u n } Dune suite telle que u n u, Q(u n u m ) quand m, n. (2.) Alors u Det Q(u n u). Proposition Soit Q une forme quadratique fermée avec un domaine D. Alors (D,H) est une paire de Friedrichs. En particulier, on peut construire l opérateur auto-adjoint associé à (D,H); voir l exemple 2.2. Le reste de ce paragraphe est consacré à l étude de formes quadratiques qui possèdent une extension fermée naturelle et auxquelles on peut associer un opérateur auto-adjoint. 3

8 Définition La forme quadratique Q est dite fermable s il existe une extension (semi-bornée) fermée de Q. Proposition Soit Q une forme quadratique fermable vérifiant l inégalité (2.9). AlorsilexisteuneextensionferméeminimaledeQ, etellevérifie(2.9). Démonstration. Soit Q une extension fermée de Q définie sur D. On note D D l adhérence de D pour la norme Q et Q la restriction de Q à D. Par construction, un élément u H appartient à D si et seulement s il existe une suite {u n } Dvérifiant (2.). L exercice 2.24 implique que Q est fermée et que le domaine de définition de toute autre extension fermée contient D. Montrons que Q(u) M u 2 pour tout u D. En effet, soit u D. Alors il existe une suite {u n } Dconvergeant vers u pour la norme Q. Comme u n u u n u Q, u n Q u Q u n u Q, on voit que Q(u n )=Q(u n ) Q(u) quand n.ils ensuitque Q(u) = lim n Q(u n) lim n Mu n 2 = Mu 2. La forme quadratique Q construite dans la Proposition 2.27 s appelle la fermeture de Q. Exemple Soit H = L 2 (R) etd = C (R). On définit Q par Q(u, v) =u() v(), u,v D. Alors Q est une forme quadratique semi-bornée, mais Q n est pas fermable. En effet, soit Q une extension fermée de Q et {u n } Dune suite telle que u n dans H, u n () = pout tout n. L exercice 2.24 implique que la suite { Q(u n )} doit converger vers Q() =. Comme ce n est pas le cas, on conclut qu il n existe pas d extension fermée de Q. Chaque opérateur symétrique A définit une forme quadratique : Q(u, v) =(Au, v), u,v D(A). Proposition Soit Q une forme quadratique engendrée par un opérateur symétrique A tel que (Au, u) Mu 2 pour tout u D(A). (2.) Alors Q est fermable et sa fermeture vérifie (2.9). 4

9 Démonstration. Sans perte de généralité, on peut supposer que l inégalité (2.) est vérifiée avec M =. Dans ce cas, u Q =(Au, u) /2. Soit D l ensemble des vecteurs u H pour lesquels il existe une suite {u n } D(A) telleque u n u, u n u m Q quand m, n. (2.2) Il est claire que D est un espace vectoriel. De plus, comme un Q u m Q un u m Q, la suite u n Q converge. Montrons que sa limite ne dépend que de l élément u. En effet, soient {u n }, {v n } D(A) deux suites vérifiant (2.2). On pose w n = u n v n. Alors w n, w n w m Q quand m, n. (2.3) Comme on voit que w n w m 2 Q = w n 2 Q + w m 2 Q 2Re(Aw m,w n ), w n 2 Q + w m 2 Q w n w m 2 Q +2Aw m w n. (2.4) Soit ε> une constante quelconque et m un entier tellement grand que Il résulte de (2.3) (2.5) que lim sup n w n w m Q ε pour n m. (2.5) w n 2 Q ε +2Aw m lim sup w n ε. n Comme ε> était arbitraire, on conclut que lim u n Q = lim v n Q. n n Ainsi, Q s étend à D.Deplus,siu D et {u n } est une suite vérifiant (2.2), alors lim u n u Q = lim n n lim u n u m Q = m On définit maintenant une forme quadratique sur D par Q (u) = lim n Q(u n)= lim n u n 2 Q, lim u n u m Q =. (2.6) m,n où {u n } Dest une suite vérifiant (2.2). Il est claire que Q est une extension semi-bornée de Q telle que Q (u) u 2 pour tout u D. Il nous reste à montrer que Q est fermée. 5

10 Soit {u n } D une suite de Cauchy par rapport à la norme Q. Alors il existe une suite {v n } Dtelle que Alors u n v n Q 2 n pour tout n. (2.7) lim v n v m Q lim 2 m +2 n + u n u m Q =. n,m n,m Donc, {v n } est une suite de Cauchy pour les normes et Q. Comme H est complet, il existe u H tel que v n u. La définiton de D entraîne que u D.Ils ensuitquev n u pour la norme Q ; voir (2.6). L inégalité (2.7) implique que u n u pour la norme Q, et donc D est complet. Le résultat suivant montre qu une forme quadratique fermée est toujours engendrée par un opérateur auto-adjoint. Théorème 2.3. Soit Q une forme quadratique fermée semi-bornée définie sur un domaine D. Alorsilexisteununiqueopérateurauto-adjointA tel que la fermeture de la forme (Au, v), u, v D(A), estconfondueavecq. Cetopérateur est donné par D(A) ={u D: f H tel que Q(u, v) =(f,v) pour tout v D}, Au = f pour u D(A). (2.8) Démonstration. Sans perte de généralité, on peut supposer que Q vérifie (2.9) avec M =. Les espaces V = D(A) and H forment une paire de Friedrichs, et l opérateur A défini par (2.8) est l opérateur auto-adjoint associé à la paire (V,H); voir l exemple 2.2. En particulier, l image de A est confondue avec H. Il est claire que Q est une extension de la forme quadratique Q A engendrée par A. Montrons que la fermeture de Q A est confondue avec Q. Si ce n est pas le cas, alors l adhérence de D(A) pour la norme définie par Q est un sous-espace propre de D. Donc, il existe v Dtel que Q(u, v) =(Au, v) = pour tout u D(A). Il s ensuit que l image de A n est pas confondue avec H. Cette contradiction termine la démonstration. La proposition 2.29 et le théorème 2.3 permettent de construire une extension auto-adjointe pour toute opérateur symétrique semi-borné A. Enef- fet, d après la proposition 2.29, la forme quadratique définie par A est fermable. Soit Q sa fermeture et A l opérateur auto-adjoint construit dans le théorème 2.3. Alors les relations (2.8) impliquentqued(a) D(A )etla restriction de A au sous-espace D(A) est confondue avec A. L opérateur A s appelle l extension de Friedrichs pour A. Exemple 2.3. Considérons l opérateur A = d2 dx dans l espace L 2 (, ) avec 2 le domaine de définition C (, ). Alors A est un opérateur symétrique semiborné. La fermeture Q de sa forme quadratique est donnée par D Q = H (, ), Q(u, v) = 6 u vdx.

11 Il est facile à vérifier que l opérateur A construit dans le théorème 2.3 ala forme D(A) =H 2 (, ) H (, ), Au = u. L opérateur A est l extension de Friedrichs de A. 7

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