CHAPITRE 4. COMPORTEMENT «ELASTIQUE» : PARAMETRES E,G,ν ET LIMITES DES APPROCHES CLASSIQUES

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1 CHAPITRE 4. COMPORTEMENT «ELASTIQUE» : PARAMETRES E,G,ν ET LIMITES DES APPROCHES CLASSIQUES 4.1. Introduction Modules de déformation E et G : éléments bibliographiques Définition des modules de déformation Evolution des paramètres avec la déformation Différents facteurs d influence Influence de l état du matériau 180 a) Influence de la granulométrie 180 b) Influence de l indice des vides Influence des contraintes 183 a) Pression de confinement P c 183 b) Contraintes principales 185 c) Précisaillement Influence de la vitesse de sollicitation Modules maximaux expérimentaux à l état isotrope de contraintes Modules expérimentaux «quasi-statiques» 191 a) Modules d Young maximaux «quasi-statiques» 192 b) Modules de cisaillement maximaux «quasi-statiques» Modules expérimentaux «dynamiques» 196 a) Modules d Young «dynamiques» 197 b) Modules de cisaillement «dynamiques» Comparaison avec des expressions issues de la bibliographie 201 a) Influence de la pression de confinement 201 b) Influence de l indice des vides Conclusion Détermination du coefficient de Poisson à l état de contrainte isotrope Coefficient de Poisson calculé à partir des modules «quasi-statiques» Coefficient de Poisson calculé à partir des modules «dynamiques» Evolution des modules maximaux en fonction de l état de contrainte Etat de contraintes sans rotation d axes principaux 209 a) Evolution du module d Young en fonction de la contrainte axiale 210 b) Evolution du module de cisaillement en fonction de la contrainte axiale 213 c) Conclusion Etat de contraintes avec rotation des axes principaux 216 a) Essais de type «torsion pure» 216 b) Essais de type «torsion à K 0» Conclusion 219

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3 4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G,ν 4.1. INTRODUCTION 4. Comportement «élastique» : paramètres E,G,ν et limites des approches classiques 4.1. Introduction Dans ce chapitre, l étude porte sur les paramètres classiques de comportement des sols, que sont le module d Young E, le module de cisaillement G et le coefficient de Poisson ν. Ces paramètres sont liés au modèle défini par Hooke pour modéliser un comportement élastique linéaire isotrope. Ce modèle fut un des premiers utilisés pour définir le comportement des sols avant rupture. De nos jours, l évolution des connaissances sur le comportement des sols restreint l utilisation de l hypothèse de comportement élastique linéaire à un domaine pour lequel les déformations demeurent faibles. Cette notion de faibles déformations est évidemment subjective et dépend du degré de précision de l appareillage. Au-delà, de ce domaine de petites déformations, la rigidité du sol évolue avec la déformation appliquée et cette évolution devient fortement non-linéaire. La notion de module d Young et de cisaillement peut néanmoins être étendue. Pour chacun d eux, il est alors possible de définir des modules sécants et des modules tangents, pour une sollicitation monotone et des modules équivalents pour une sollicitation cyclique. Dans un premier temps, une revue des différents paramètres qui influent sur les modules est proposée. Les résultats expérimentaux sont ensuite étudiés, en s intéressant d abord à l influence de la pression de confinement et de l indice des vides sur les modules déterminés à l état isotrope de contrainte. L évolution des modules en fonction de l état de contrainte est étudiée par la suite. Les modules «dynamiques» et «quasi-statiques» sont étudiés parallèlement. 177

4 4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G,ν 4.2. ELEMENTS BIBLIOGRAPHIQUES 4.2. Modules de déformation E et G : éléments bibliographiques Afin de modéliser le comportement des sols, des lois simples ont d abord été développées en se fondant sur des paramètres devenus classiques pour définir le comportement des sols, le module d Young et le module de cisaillement. Une définition de ces paramètres est d abord proposée. Ensuite, une revue des différents facteurs susceptibles d influencer ces deux paramètres est présentée à partir des résultats trouvés dans la littérature Définition des modules de déformation Les modules de déformation classiquement utilisés sont le module d Young E et de cisaillement G. La rigidité d un sol étant fortement liée à la déformation appliquée, il convient de définir plusieurs paramètres pour la caractériser. Le module d Young, E, est obtenu par la relation entre le déviateur de contraintes (q) et la déformation axiale (ε a ) lors d essais triaxiaux classiques. De la même façon, le module de cisaillement, G, peut être obtenu par la relation entre la contrainte de cisaillement (τ) et la distorsion (γ) lors d essais de cisaillement pur. La figure 4.1 présente le cas d un essai triaxial pour lequel un déviateur de contrainte q est appliqué (q=σ v -σ h, σ v contrainte verticale et σ h contrainte horizontale) et une déformation verticale ε a correspondante est observée, pour des chargements monotones et des chargements cycliques. Cette figure permet d illustrer comment la réponse non linéaire du matériau, en terme de rigidité, peut être décrite à l aide des différents modules d Young. Les définitions des différents modules d Young, obtenus lors d essais triaxaiux classiques et des différents modules de cisaillement, obtenus lors d essais de cisaillement pur sont les suivantes (ces définitions sont classiques et reconnues internationalement [Yamashita et al, 2001]) : les modules d Young et de cisaillement sécants : les modules d Young et de cisaillement tangents : les modules d Young et de cisaillement maximaux : E sec =Erreur!, G sec =Erreur! (4.1) E tan =Erreur!, G tan =Erreur! (4.2) E max =Erreur!(q=0), G max =Erreur!(τ=0) (4.3) les modules d Young et de cisaillement équivalents : E eq =Erreur!, G eq =Erreur! (4.4) L indice «SA» dans l équation 4.4 est le raccourci pour «simple amplitude», ce qui correspond à l amplitude pic à pic. 178

5 4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G,ν 4.2. ELEMENTS BIBLIOGRAPHIQUES Dévitaeur de contraintes q M Module tangent au point M Modules équivalents fonction de l'amplitude des cycles 2σ SA 2ε SA P Module équivalent au point P Module sécant au point M Déformation axiale FIGURE 4.1 : Définition des différents modules Evolution des paramètres avec la déformation Dans l analyse du comportement des sables, les rigidités sont représentées classiquement en fonction du logarithme de la déformation. Cette représentation des modules, qui porte le nom de ses auteurs Seed-Idriss, permet d illustrer leur évolution en fonction du niveau de déformation. La diminution des modules de déformation avec l augmentation de l amplitude des déformations est ainsi mise en évidence (Figure 4.2). Dans le cas de sollicitations cycliques, la courbe de dégradation associe les modules équivalents aux amplitudes de déformation. FIGURE 4.2 : Représentation de type Seed-Idriss des modules sécants et équivalents, [Tatsuoka et Shiuya, 1991] Dans la suite, une revue des différents facteurs influençant ces paramètres de comportement est proposée. 179

6 4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G,ν 4.2. ELEMENTS BIBLIOGRAPHIQUES Différents facteurs d influence Dans cette partie, les principaux facteurs influençant les paramètres de comportement des sols décrits dans la littérature sont détaillés. Tatsuoka et Shibuya [1991] ont énuméré les principaux facteurs intervenant sur les propriétés des sols et des roches mesurées en laboratoire : la non-homogénéité du matériau, particulièrement sensible sur les roches fissurées, le remaniement des échantillons, que ce soit la destruction partielle lors du prélèvement des échantillons ou par densification lors de la manipulation en laboratoire, l anisotropie lors de la mise en place de l échantillon (avant consolidation), le niveau de déformation auquel est appliqué le cycle, en raison des fortes irréversibilités des matériaux constituant les sols dès les faibles déformations, le chemin de consolidation (isotrope, anisotrope...), le temps de consolidation, la pression moyenne, le chemin de contrainte suivi lors du cisaillement (rotation des axes principaux ), la nature du chargement appliqué (cyclique ou monotone, drainé ou non drainé) et de la vitesse de sollicitation. Ces paramètres ne sont pas tous de même nature. Il faut distinguer en effet, ceux qui relèvent des erreurs ou approximations expérimentales, ceux qui concernent l histoire subie par le matériau, ceux qui portent sur le comportement au cours de la mesure. Il convient de s intéresser aux paramètres qui ne dépendent pas de l expérience, et qui peuvent donc être considérés comme intrinsèques aux matériaux. Dans le cas du sable, il faut prendre en compte l état du matériau (granulométrie et nature des grains, mise en place du matériau, indice des vides) et les sollicitations auxquelles le matériau est soumis au cours de son histoire (la pression moyenne ou les différentes contraintes, la rotation des contraintes, la vitesse des sollicitations ) Influence de l état du matériau a) Influence de la granulométrie Il semble intuitivement raisonnable de croire que la granulométrie a une influence sur la structure de l assemblage des grains et donc sur la rigidité d un tel assemblage. Il n existe cependant que très peu d informations sur l influence de la granulométrie sur le comportement des sables en faibles déformations. Hameury [1995] observe une décroissance plus rapide de la rigidité avec le niveau de déformation pour des sables à granulométrie étalée. Il compare la courbe de décroissance du module de cisaillement et celle de l augmentation de l amortissement du sable de Quiou avec celles du sable d Hostun à granulométrie plus serrée. La granulométrie semble influencer l évolution de l amortissement avec la distorsion. Cependant, elle ne modifie pas la valeur de l amortissement dans le domaine des petites déformations. 180

7 4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G,ν 4.2. ELEMENTS BIBLIOGRAPHIQUES Yasin et al [1999] présentent une étude sur deux types de sable (Toyoura du Japon et Silver Leighton Buzzard du Royaume-Uni). Pour chaque sable, deux groupes d échantillons sont réalisés avec du sable acheté à différentes périodes. Des différences importantes sont obtenues lors d essais de compression plane à faible niveau de confinement alors que les différences de granulométrie, de forme des grains, de densité minimum et maximum, entre les deux groupes pour chaque sable sont très faibles. b) Influence de l indice des vides L influence de l indice des vides e sur l évolution des modules d Young et de cisaillement se traduit généralement par une fonction nommée f(e). Hardin et Richart (1963) sont parmi les premiers à étudier l influence de l indice des vides sur les différents modules à partir de mesures de propagation d onde. Ils montrent qu une relation linéaire lie la célérité des ondes mesurée c et l indice des vides e, pour une pression de confinement constante P c : c=a (b-e) P c n/2 (4.5) A partir de cette observation, ces auteurs déduisent que les modules de cisaillement dépendent de l indice des vides par l intermédiaire d une fonction de la forme générale : f(e) = Erreur! (4.6) avec a et b deux constantes dépendant du matériau [Hardin et al, 1969]. Plusieurs auteurs adoptant la même forme pour la fonction d indice des vides proposent des valeurs empiriques pour a et b dans le cas de nombreux matériaux et notamment le sable d Hostun. Ces valeurs sont obtenues à partir d essais quasi-statique ou dynamique. Quelques expressions des fonctions f(e) sont présentées dans le tableau 4.1 ainsi que le type d essais ayant permis de les obtenir. Type d essai Matériau Module interpolé Auteurs Fonction d indice des vides f(e) Essai triaxial Essai triaxial Essai triaxial de précision et colonne résonnante Essai triaxial de précision et colonne résonnante Essai triaxial de précision et colonne résonnante divers matériaux dont les sables propres G G Hardin et Drnevich [1972] Iwasaki et Tastuoka [1977] Erreur! Erreur! Sable d Hostun E Rivera [1988] Erreur! Sable d Hostun E Charif [1991] Erreur! Sable d Hostun G Hameury [1995] Erreur! TABLEAU 4.1 : Formulation empirique des modules d Young et de cisaillement pour le sable d Hostun en fonction de l indice des vides e et de la pression moyenne P par différents auteurs 181

8 4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G,ν 4.2. ELEMENTS BIBLIOGRAPHIQUES Hicher [1996] explique que la constante a dépend de la nature du milieu granulaire étudié, à savoir la composition minéralogique et la forme des grains, ainsi que la distribution des grains. Des essais réalisés sur le même sable avec des granulométries différentes ont montré que ce paramètre a augmente lorsque le coefficient d uniformité C u (D 10 /D 60 ) diminue. Pour la constante b, qui dépend aussi de la nature du sol, les valeurs sont généralement comprises entre 1 et 4. Hicher propose en outre des expressions simplifiées pour la fonction f(e) en fonction du type de sol (Figure 4.3). Pour des sables ou des argiles avec une faible limite de liquidité (W L <50%), la fonction peut s écrire : f(e) = Erreur! (4.7) FIGURE 4.3 : Evolution du module d Young en fonction de l indice des vides et de la pression moyenne pour différents sables et argiles, [Hicher, 1996] d après Bard [1993] Dano [2001] utilise la même forme hyperbolique pour définir l influence de l indice des vides sur le module de cisaillement du sable de Fontainebleau déterminés par propagation d ondes. Il montre en outre que le module de cisaillement semble influencé par l état dilatant ou contractant dans lequel se trouve le sable. La figure 4.5 présente ainsi les valeurs du module de cisaillement déterminées au cours d un essai de compression triaxiale sur sable lâche. La valeur du module augmente jusqu à ce que le taux de déformation volumique s annule. 182

9 4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G,ν 4.2. ELEMENTS BIBLIOGRAPHIQUES FIGURE 4.4 : Evolution du module de cisaillement (déterminés par propagation d onde) au cours d un essai triaxial sur sable lâche [Dano, 2001] Influence des contraintes Afin d étudier le comportement d un sol en approchant au plus près la réalité, les essais de laboratoire doivent pouvoir reproduire les contraintes auxquelles ce sol serait soumis sur le terrain. Dans le cas des échantillons artificiels recréés en laboratoire, il faut tenir compte de l histoire ancienne des contraintes inévitablement subie par le matériau, lorsqu il est en place sur le terrain. De plus, un matériau est généralement testé afin de prédire son comportement sous des sollicitations nouvelles, mises en jeu lors d une utilisation future, qu il faut être capable de reproduire en laboratoire. Afin de prédire le comportement d un sol, il faut donc être capable de déterminer la réponse à de nombreuses sollicitations complexes. Pour le sable, différentes études ont permis de limiter le nombre de facteurs à prendre en compte afin de modéliser son comportement pour des sollicitations relativement simples. Ainsi, pour des chargements monotones, deux paramètres interviennent généralement : la contrainte moyenne et le rapport des contraintes principales. L influence de sollicitations plus complexes, tels que des chargements cycliques a aussi fait l objet de plusieurs études. Cette étude se limite à l influence d un cisaillement simple applicable pour des sollicitations avec un nombre de cycles qui demeure peu élevé. a) Pression de confinement P c Le plus souvent, les expériences réalisées dans le domaine des petites déformations sont menées sur des échantillons à partir d un état de contrainte isotrope. Les modules d Young et de cisaillement dépendent alors de la pression de confinement au travers d une fonction puissance [Hardin et Richart, 1963], [Iwasaki et Tatsuoka, 1977], [Jamiolkowski et al, 1994], [Hicher, 1996], [Jovicic et Coop, 1997], [Yamashita et al, 2000]. En tenant compte de l indice des vides et de la pression de confinement, les autres paramètres restant fixes, l expression du module de cisaillement s écrit : 183

10 4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G,ν 4.2. ELEMENTS BIBLIOGRAPHIQUES G max = f(e).p c m (4.8) En réalité la valeur de l exposant m varie avec le niveau de déformation cyclique. Yasuda et Matsumoto [1993] mesurent sur le sable de Toyoura des valeurs comprises entre 0,4 et 0,53 pour des déformations de 10-5 à Tatsuoka [1985] reprend également plusieurs études sur le sable de Toyoura et trace l évolution de l exposant m avec l amplitude de la déformation, en l occurrence, la distorsion, m étant calculée à partir du module de cisaillement (Figure 4.5). FIGURE 4.5 : Evolution de l exposant de la pression moyenne, m, en fonction de la distorsion pour le module de cisaillement du sable de Toyoura [Tatsuoka, 1985] Pour des déformations cycliques de l ordre de 10-5, l exposant m se situe aux alentours de 0,5 et semble croître avec le niveau de déformation cyclique. De même, Biarez et Hicher [1994] et Hicher [1996], en s appuyant sur des essais réalisés par Bard [1993] sur différents géomatériaux, retiennent la valeur de 0,5 pour l exposant m, en petites déformations cycliques (Figure 4.3). Cette valeur de 0,5 est couramment utilisée pour le sable d Hostun [Hardin et Drnevich, 1972], [Rivera, 1988], [Charif, 1991]. Enfin, Hameury [1995] détermine avec plus de précision l exposant m à partir d essais triaxiaux de précision et d essais à la colonne résonnante et fixe sa valeur à 0,46. La pression de confinement a donc une influence sur la valeur maximale des modules. Elle influence aussi les courbes de dégradation des modules, représentant l évolution des modules en fonction du niveau de déformations. Plus la pression de confinement est faible, plus la décroissance de la rigidité avec le niveau de déformation est accentuée. Ceci est constaté par Hameury [1995] sur le sable Hostun RF dense avec des essais à la colonne résonnante sur des échantillons à différents niveaux de pression de confinement. Il apparaît qu une pression moyenne effective élevée retarde la décroissance du module. Ce phénomène a été observé pour les résultats des essais réalisés au cours de cette étude. Ces résultats ont été présentés au Chapitre 3, lors de l analyse des essais. 184

11 4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G,ν 4.2. ELEMENTS BIBLIOGRAPHIQUES b) Contraintes principales Roesler [1979] réalise des essais de propagation d ondes de cisaillement sur du sable, sous un état anisotrope de contraintes. Les ondes sont polarisées suivant les directions principales de contrainte. Il montre que leur célérité dépend uniquement des contraintes principales dans les directions de propagation et de polarisation. La vitesse de ces ondes reste indépendante de la troisième contrainte principale. Pour traduire cette dépendance, il propose d utiliser plusieurs formulations de la vitesse de propagation V s : ou bien V s = K σ a na σ b nb (4.9) V s = K Erreur! (4.10) où σ a est la contrainte principale dans la direction de propagation, σ b celle dans la direction de polarisation (σ c étant la troisième contrainte principale) et K est un facteur de proportionnalité (dépendant d autres paramètres tels que l indice des vides ou la pression de confinement). De la relation existante entre le module de cisaillement et la célérité des ondes de cisaillement, on peut déduire l expression du module de cisaillement : G ab = K σ a ma σ b mb (4.11) ou G ab = K Erreur! (4.12) où K est un facteur de proportionnalité (qui peut dépendre des autres paramètres). Hardin et Blandford [1989] proposent alors d exprimer la dépendance du module de cisaillement vis à vis de l état de contrainte pour un matériau normalement consolidé par la relation : G = K f(e) σ i ni σ j nj (4.13) où K est un paramètre qui dépend du matériau, et σ i et σ j les contraintes principales agissant dans le plan où G est mesuré. Pour les ondes de compression, la direction de propagation coïncide avec celle de polarisation, si bien que Hardin et Blandford [1989] proposent la formulation suivante du module d Young, par analogie avec le cas des ondes de cisaillement : E i = K σ i n (4.14) où K est un facteur de proportionnalité. Cela implique que le module d Young dans une direction est une fonction unique de la contrainte normale dans cette direction. Lo Presti [1995] confirme ce fait pour des argiles à l aide d essai triaxiaux ainsi que Hoque et al [1996] pour les sables. Ces derniers réalisent plusieurs essais triaxiaux sur un échantillon à section rectangulaire. Ils mesurent ainsi le module d Young dans la direction verticale E v et dans la direction horizontale E h. Ils déterminent l influence des contraintes horizontales σ h et verticales σ v sur chacun de ces modules. Sur la figure 4.6 sont ainsi représentées d une part, l évolution du module d Young E v en fonction de la contrainte verticale σ v pour différents niveaux de contrainte horizontale σ h et d autre part, l évolution du module d Young E h en fonction de la contrainte horizontale σ h pour différents niveaux de contrainte verticale σ v. 185

12 4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G,ν 4.2. ELEMENTS BIBLIOGRAPHIQUES Les auteurs parviennent à la conclusion que le module d Young dans une direction n est influencé que par la contrainte dans cette direction. Les relations suivantes sont exprimées : E v = E v0.f(e).σ v nv et E h = E h0 f(e).σ h nh (4.15) et (4.16) avec E v0 et E h0 le module d Young dans la direction verticale, respectivement horizontale, à l état isotrope et n v et n h les valeurs des exposants. FIGURE 4.6 : Relations E v en fonction de σ v pour différentes valeurs de σ h et relations E h en fonction de σ h pour différentes valeurs de σ v [Hoque et al, 1996] c) Précisaillement Hardin et Drnevich [1972] ont réalisé une campagne d essais à la colonne résonnante et d essais de cisaillement simple sur cylindre creux. Il apparaît que le module de cisaillement a tendance à être plus faible pour le premier cycle de chargement sur un matériau déjà cisaillé. Mais l influence de ce cisaillement disparaît après une dizaine de cycles de chargement. Tatsuoka et Shibuya [1991] présentent trois essais monotones de cisaillement simple sur sable de Toyoura lâche : tout d abord sur un échantillon non cisaillé (τ at =0), ensuite sur un échantillon cisaillé dans le sens du cisaillement monotone (τ at =+10 kpa) et enfin sur un échantillon cisaillé dans le sens contraire au cisaillement monotone (τ at =-10 kpa). La contrainte axiale est maintenue à 167 kpa dans les trois cas. Le chemin du cisaillement initial est donné sur la figure 4.7b. Il apparaît (figure 4.7a) que le module de cisaillement maximum est relativement identique pour les trois essais. Toutefois, l évolution du module de cisaillement tangent (figure 4.7c), immédiatement après le début du cisaillement monotone est influencée par le cisaillement initial. L influence s atténue 186

13 4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G,ν 4.2. ELEMENTS BIBLIOGRAPHIQUES pour des niveaux plus élevés de distorsion puisque les modules des trois essais se rejoignent par la suite. a) b) c),, FIGURE 4.7 : Effet d un cisaillement initial sur le comportement du sable de Toyoura lâche en faibles déformations : a) Relation contrainte-déformation, b) Chemin de sollicitation, c) Dégradation du module tangent avec la distorsion [Tatsuoka et Shibuya, 1991] 187

14 4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G,ν 4.2. ELEMENTS BIBLIOGRAPHIQUES Influence de la vitesse de sollicitation L influence de la vitesse de sollicitation est un facteur important pour l étude des sols présentant des caractéristiques visqueuses, par exemple, des sols argileux. Les paramètres mécaniques peuvent varier de façon importante en fonction notamment de la durée de consolidation. Il a longtemps été supposé que dans le domaine des très petites déformations, le sable était élastique et que son comportement ne dépendait pas de la vitesse de sollicitation. Hardin et Drnevich [1972] montrent que pour une plage de fréquence de 0,1 à 260 Hz, les variations de rigidité mesurées sous des sollicitations cycliques restaient négligeables pour des déformations inférieures à Hoque et al [1996] mesurent les modules de plusieurs sables à l aide d un essai triaxial sur de grands échantillons. Il montrent que dans la gamme de fréquence choisie, les modules de faibles déformations ne sont que peu influencés par la vitesse de déformation. La figure 4.8 présente le rapport des modules déterminés avec une fréquence de 0,0066 Hz et ceux avec une fréquence de 0,1 Hz. Le rapport très proche de 1 permet aux auteurs de conclure que les effets de la fréquence sont négligeables sur la mesure des modules. FIGURE 4.8 : Rapport des modules déterminés dans la direction verticale à l aide d essais triaxiaux pour une fréquence de 0,0066 Hz et 0,1 Hz en fonction de la pression moyenne [Hoque et al, 1996] Toutefois, les effets de la vitesse de sollicitations peuvent intervenir. Di Benedetto et Tatsuoka [1997] ont réalisé des essais de fluage (Figure 4.9) et ont mis en évidence l apparition de déformations visqueuses non négligeables après un certain temps même pour des niveaux de déformation de l ordre de Ils concluent qu il existe des effets dus à la vitesse de sollicitation sur le sable dans le domaine des petites déformations et que ces effets ne varient d un matériau à un 188

15 4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G,ν 4.2. ELEMENTS BIBLIOGRAPHIQUES autre que par leur niveau et le temps nécessaire pour les observer. Lors de périodes de fluage par exemple, les modules sécants ou tangents dépendent donc (au moins localement) de la vitesse de sollicitation. Ces phénomènes sont aussi susceptibles d influencer la mesure des propriétés élastiques dans le domaine des petites déformations. L application d une période de fluage permet d obtenir des cycles stabilisés et de s affranchir de ces phénomènes ce qui permet de mesurer les propriétés en petites déformations à l aide de sollicitations cycliques Déviateur axial (kpa) over stress Périodes de fluage Déformation axiale (%) 0 0,1 0,2 0,3 0, Déviateur axial (kpa) Début du fluage Emax 240 Fin du fluage 232 Déformation axiale (%) 0,18 0,2 0,22 Et FIGURE 4.9 : Essai triaxial de fluage sur le sable Hostun (P c =80 kpa) [Di Benedetto et a., 2000] Tous ces phénomènes dépendant du temps sont décrits plus en détails dans le Chapitre

16 4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G,ν 4.3 MODULES MAXIMAUX EXPERIMENTAUX A L ETAT ISOTROPE 4.3. Modules maximaux expérimentaux à l état isotrope de contraintes Dans cette partie, l étude porte sur les modules maximaux déterminés à l état isotrope de contraintes, à l aide de l appareil «T4CStaDy». Cet état isotrope des contraintes est observé dans l échantillon lors de la phase de mise sous confinement des échantillons. L étude de ces modules doit permettre de déterminer l influence de la pression moyenne, et l influence de l indice des vides sur les modules. Les modules maximaux sont obtenus expérimentalement par deux méthodes différentes. La première méthode permet d obtenir les modules «quasi-statiques» en appliquant des sollicitations cycliques axiales et de torsion de différentes amplitudes. Dans le cadre de notre campagne expérimentale, les modules équivalents ont été déterminés pour différents états de contraintes à partir de sollicitations cycliques (Chapitre 2). Les différentes amplitudes des cycles appliqués ont permis d obtenir les modules d Young et de cisaillement en fonction de différents niveaux des sollicitations, qui couvrent une gamme de déformation de quelques 10-6 jusqu à quelques 10-4, selon les essais. Les résultats obtenus pour chaque essai peuvent être représentés sous la forme de «courbes de dégradation» des modules en fonction de la déformation. Par exemple, les figures 4.10a et 4.10b présentent respectivement l évolution des modules d Young E EQ zz et celle des modules de cisaillement G EQ θz, en fonction respectivement de la déformation axiale ε SA a et de la distorsion, γ SA, déterminés à différents niveaux de contraintes lors de l essai de type «torsion pure» T a) Module de cisaillement (MPa) Point 0 - Tau=0 kpa Point 1 - Tau=20 kpa 20 Point 2 - Tau=45 kpa Point 3 - Tau=0 kpa 10 Point 4 - Tau=-40 kpa Point 5 - Tau=0 kpa Point 6 - Tau=20 kpa Point 7 - Tau=40 kpa Distorsion (10-6 ) b) Module d'young (MPa) Point 0 - Tau=0 kpa Point 1 - Tau=20 kpa 50 Point 2 - Tau=45 kpa Point 3 - Tau=0 kpa Point 4 - Tau=-40 kpa Point 5 - Tau=0 kpa Point 6 - Tau=20 kpa Point 7 - Tau=40 kpa Déformation axiale (10-6 ) FIGURE 4.10 : Evolution des modules d Young E EQ zz (a) et de cisaillement G EQ θz (b) en fonction de la déformation pour l essai de type «torsion pure» sur sable dense (e=0,66) et à pression de confinement P c =80 kpa Ces modules présentent des valeurs limites maximales pour des déformations inférieures à Ces valeurs limites correspondent aux modules maximaux, E max et G max, qui sont qualifiés par la suite de modules maximaux «quasi-statiques». Les valeurs limites des modules à l état isotrope de contraintes permettent de déterminer les modules maximaux E max, 0 et G max,

17 4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G,ν 4.3 MODULES MAXIMAUX EXPERIMENTAUX A L ETAT ISOTROPE La seconde méthode utilisée est celle qui consiste à déterminer la vitesse de propagation des ondes dans le matériau. Les modules ainsi obtenus sont qualifiés de modules «dynamiques» E dyn et G dyn et sont comparés aux modules quasi-statiques Modules expérimentaux «quasi-statiques» Pour tous les essais de la campagne expérimentale, présentés en détail au Chapitre 3, les échantillons ont été préparés de manière identique et ne diffèrent initialement que par leur indice des vides, e 0. Ils ont ensuite été confinés pour atteindre un état de contrainte isotrope (σ z =σ θ =σ r =P), préalable à tout cisaillement. Deux catégories d essais sont distingués pour les résultats obtenus lors des mesures quasi-statiques, compte-tenu des évolutions de l appareil «T4CstaDy» (cf. paragraphe 3.4). La première catégorie regroupe les essais réalisés avec le système actuel de mesure des déformations (cibles fixées sur deux anneaux et 14 capteurs de déplacements, voir Figure 2.19). Les résultats d essais précédents sont aussi présentés. Ils ont été réalisés avec l ancien système de fixation des cibles (fixées sur des épingles piquées dans l échantillon et seulement 12 capteurs de déplacement). Ils constituent la deuxième catégorie. Les modules maximaux d Young et de cisaillement déterminés pour un état de contrainte isotrope sont présentés dans le tableau 4.3 pour les essais les plus récents et dans le tableau 4.2 pour les plus anciens. Pour chaque essai, l indice des vides initial e 0 est indiqué ainsi que la pression de confinement P c qui définit l état de contrainte isotrope. Il faut noter que pour quelques essais, les modules ont été mesurés à différents niveaux de pression P c lors de la mise en confinement. Les différents cycles réalisés alors sont restés dans le domaine des très faibles déformations (inférieures à ) pour ne pas perturber l échantillon. Essais P c (kpa) e 0 Module d Young maximal E 0 max (MPa) Module de cisaillement maximal G 0 max (MPa) T , K , T , K , T , C ,75 0,75 0, T , C , TABLEAU 4.2 : Modules d Young et de cisaillement maximaux «quasi-statiques» à l état isotrope de contrainte, déterminés par des sollicitations cycliques axiales et de torsion (essais réalisés avec l ancien système de mesure des déformations) 191

18 4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G,ν 4.3 MODULES MAXIMAUX EXPERIMENTAUX A L ETAT ISOTROPE Essais P c (kpa) e 0 Module d Young maximal E 0 max (Mpa) Module de cisaillement maximal G 0 max (Mpa) C , K , C , K , C , T , T , C , K , C ,86 0,86 0,86 0,86 0,86 0, T , C , K , TABLEAU 4.3 : Modules d Young et de cisaillement maximaux «quasi-statiques» à l état isotrope de contrainte, déterminés par des sollicitations cycliques axiales et de torsion Différentes interpolations ont été réalisées à partir de ces résultats et des formules suivantes, déduites de l étude bibliographique précédente : E 0 =α E Erreur!P n E (4.17) G 0 =α G Erreur!P n G (4.18) Les trois paramètres α E, β E et n E sont déterminés pour le module d Young et α G, β G et n G pour le module de cisaillement, en minimisant l écart entre les résultats expérimentaux et l interpolation, par la méthode des moindres carrés. a) Modules d Young maximaux «quasi-statiques» Les résultats obtenus pour le module d Young sont présentés dans le tableau 4.4. Trois interpolations sont proposées. La première interpolation prend uniquement en compte les anciens essais. La deuxième interpolation est basée uniquement sur les essais réalisés au cours de cette étude. Enfin, la troisième interpolation tient compte de tous les essais réunis, sans aucune distinction. La moyenne et l écart type des différences relatives Erreur!entre les valeurs expérimentales des modules E exp et les valeurs données par l interpolation E cal sont aussi reportés dans le tableau

19 4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G,ν 4.3 MODULES MAXIMAUX EXPERIMENTAUX A L ETAT ISOTROPE Essais Anciens essais (8) Nouveaux essais (13) Essais réunis (21) Nombre de mesures Formule E 0 (MPa) (P en MPa) Erreur moyenne Ecart Type Erreur!P 0,566-0,3 % 6,2 % Erreur!P 0,495 0,3 % 9,4 % Erreur!P 0,384-1,2 % 12,5 % TABLEAU 4.4 : Différentes interpolations des modules d Young maximaux à l état isotrope Des différences nettes apparaissent entre les anciens essais et les essais réalisés au cours de cette étude. Elles s expliquent naturellement par les changements apportés au système de mesure des déformations et l ajout des deux nouveaux capteurs pour la mesure des déformations axiales. Il faut donc se méfier de la formule obtenue en réunissant les résultats de la totalité des essais, qui n a pas de réelle signification. Afin de traduire graphiquement l influence de l indice des vides, les modules d Young maximaux initiaux, normalisés par la pression de confinement P c élevée à la puissance 0,495, sont comparés à la fonction d indice des vides f(e). Les résultats sont présentés sur la figure La puissance appliquée à la pression de confinement et la fonction f(e) sont celles déterminées à l aide des essais effectués pour cette étude. Les modules d Young obtenus lors des essais réalisés précédemment ne sont pas correctement modélisés par cette fonction d indice des vides. Leur valeurs sont en effet plus élevées, ce qui a justifié les changements opérés sur l appareil «T4CStaDy» E 0 max/p 0, Ecart type: 9 % 400 f(e) =350 (2,6-e)² 1+e Valeurs expérimentales 200 Valeurs expérimentales (ancien système de mesure) 0 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 Indice des vides e FIGURE 4.11 : Modules d Young «quasi-statiques» maximaux à l état isotrope, normés par la pression de confinement comparés à la fonction f(e) Les modules normalisés par la fonction f(e) dépendant de l indice des vides sont présentés sur la figure 4.12 afin de montrer l influence de la pression de confinement. A nouveau, les modules déterminés lors des essais précédents avec l ancien système de mesure se détachent et présentent des valeurs plus élevées. 193

20 4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G,ν 4.3 MODULES MAXIMAUX EXPERIMENTAUX A L ETAT ISOTROPE E 0 max/f(e) (MPa) 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 P^0,495 Ecart type: 9 % Valeurs expérimentales 0,1 Valeurs expérimentales (ancien système de mesure) Pression de confinement (kpa) FIGURE 4.12 : Modules d Young «quasi-statiques» maximaux à l état isotrope normés par la fonction f(e) en fonction de la pression de confinement b) Modules de cisaillement maximaux «quasi-statiques» Une démarche identique à celle utilisée pour réaliser l interpolation des modules d Young maximaux «quasi-statiques» est suivie pour les modules de cisaillement maximaux. Les essais sont d abord séparés suivant leur ancienneté (c est-à-dire suivant le dispositif de mesure des déplacements verticaux utilisé) pour présenter deux interpolations différentes. Puis, une interpolation sur la totalité des essais est présentée. Cette dernière est sans doute plus intéressante pour les modules de cisaillement que pour les modules d Young. Les résultats obtenus pour ces modules ne doivent en effet pas ou très peu être affectés par le changement de dispositif de mesure. Contrairement aux modules d Young, le nombre de capteurs utilisés pour la mesure des modules de cisaillement est resté identique et la différence entre l ancien et le nouveau système de fixation des cibles affecte moins la mesure des déplacements orthoradiaux. Le tableau 4.5 regroupe les résultats obtenus pour ces interpolations, ainsi que la moyenne et l écart type des erreurs relatives Erreur! des modules de cisaillement expérimentaux G exp et des modules calculés à l aide de l interpolation proposée G cal. Essais Nombre de mesures Formule G 0 (MPa) (P en MPa) Erreur moyenne Ecart Type Anciens essais (7) Erreur!P 0,421-0,3 % 6,3 % Nouveaux essais (13) Erreur!P 0,467 0,1 % 10,6 % Essais réunis Erreur!P 0,454-0,2 % 10,3 % 194

21 4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G,ν 4.3 MODULES MAXIMAUX EXPERIMENTAUX A L ETAT ISOTROPE (21) TABLEAU 4.5 : Différentes interpolations des modules de cisaillement maximaux à l état isotrope Les résultats des interpolations ne montrent pas une grande différence entre la formule calculée pour les nouveaux essais seuls et celle calculée à partir de tous les essais réunis (notamment pour l exposant de la pression de confinement). La formule déterminée à partir des résultats des essais plus anciens diffère principalement à cause de la faible gamme de pression qui est prise en compte. Les figures 4.13 et 4.14 présentent l influence de l indice des vides et de la pression de confinement pour ces modules de cisaillement maximaux, à l état isotrope G 0 max/p 0, f(e) =148 (2,4-e)² 1+e Valeurs expérimentales Ecart Type : 10% 50 Valeurs expérimentales (ancien système de mesure) 0 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 Indice des vides e FIGURE 4.13 : Modules de cisaillement «quasi-statiques» maximaux à l état isotrope, normés par la pression de confinement comparés à la fonction f(e) Les modules normalisés par la fonction f(e) dépendant de l indice des vides sont présentés sur la figure 4.14 afin de montrer l influence de la pression de confinement. 195

22 4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G,ν 4.3 MODULES MAXIMAUX EXPERIMENTAUX A L ETAT ISOTROPE 0,7 0,6 G 0 max/f(e) (MPa) 0,5 0,4 0,3 0,2 Ecart Type : 10% P^0,45 Valeurs expérimentales 0,1 Valeurs expérimentales (ancien système de mesure) 0, Pression de confinement (kpa) FIGURE 4.14 : Modules de cisaillement «quasi-statiques» maximaux à l état isotrope, normés par la fonction f(e) et tracés en fonction de la pression de confinement Modules expérimentaux «dynamiques» Ces modules sont directement obtenus à l aide des mesures de vitesse de propagation d ondes. Les expressions 4.19 et 4.20 (identiques aux expressions 2.95 et 2.96 déterminées au Chapitre 2) sont utilisées pour lier les vitesses estimées aux modules de déformation : E dyn = ρ V p 2 et G dyn = ρ V s 2 (4.19 et 4.20) L analyse des mesures dynamiques, réalisée au Chapitre 3, a permis de montrer que l expression 4.19 ne permet pas d obtenir la meilleure corrélation entre les modules d Young «quasistatiques» et les modules d Young «dynamiques». Cette expression a été choisie pour sa simplicité au début de l étude, et parce qu elle ne requiert aucun hypothèse sur la valeur du coefficient de Poisson. Les valeurs qu elle fournit pour le module d Young «dynamique» sont supérieures de 10% environ aux valeurs du module d Young «quasi-statique». D autres expressions, déterminées au Chapitre 1, permettent d obtenir une très bonne corrélation entre les modules d Young «dynamiques» et «quasi-statiques». Elles sont obtenues en supposant que la propagation d ondes s effectue dans un milieu semi-infini lors de l analyse inverse, ce qui nécessite de connaître la valeur du coefficient de Poisson. Néanmoins, pour la suite de ce chapitre, les valeurs des modules d Young «dynamiques» prises en compte sont celles déterminées à l aide de l expression Il convient de garder à l esprit que ces valeurs dépendent du choix du comportement pour l analyse inverse et qu elles peuvent être abaissées d environ 10% en choisissant une loi de comportement plus appropriée à l échantillon de l appareil «T4CStaDy». Contrairement aux mesures quasi-statiques, il n est pas nécessaire de séparer les essais plus anciens des plus récents. La détermination des vitesses de propagation des ondes s est toujours effectuée de la même façon. Dans le tableau 4.6 sont regroupées les valeurs des modules de déformation dynamiques à l état isotrope, E 0, dyn et G 0, dyn. 196

23 4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G,ν 4.3 MODULES MAXIMAUX EXPERIMENTAUX A L ETAT ISOTROPE Essais P (kpa) e 0 ρ (kg/m 3 ) E 0, dyn (MPa) G 0, dyn (MPa) C , T , K , K , C , K , C ,85 0, K , C , C , T , T , C K ,74 0,74 0,74 0, K , C T T ,86 0,86 0,86 0,86 0,86 0,86 0,90 0,90 0,92 0,92 0, C , T ,98 0, K , TABLEAU 4.6 : Modules d Young et de cisaillement «dynamiques» à l état isotrope Une méthode d interpolation identique à celle utilisée pour les modules «quasi-statiques» est mise en oeuvre. Les résultats obtenus à l état de contraintes isotrope initial pour les modules d Young «dynamiques» sont présentés puis ceux pour les modules de cisaillement «dynamiques». a) Modules d Young «dynamiques» Deux interpolations ont été réalisées à partir des résultats expérimentaux des modules d Young «dynamiques» à l état isotrope de contraintes. L une prend en compte l ensemble des mesures disponibles, et la seconde exclut les résultats de deux essais K50.72 et C Les expressions obtenues sont présentées dans le tableau

24 4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G,ν 4.3 MODULES MAXIMAUX EXPERIMENTAUX A L ETAT ISOTROPE Essais Tous les essais (21) Tous les essais exceptés C50.81 et K50.72 (19) Nombre de mesures Formule G 0 (MPa) (P en MPa) Erreur moyenne Ecart Type Erreur!P 0,493-1,5 % 12,3 % Erreur!P 0,465 0,1 % 6,3 % TABLEAU 4.7 : Différentes interpolations des modules d Young dynamiques à l état isotrope Les résultats de deux essais (C50.81 et K50.72) donnent en effet des résultats très éloignés du faisceau englobant les autres valeurs. L imprécision est sans aucun doute due à la faible amplitude des signaux reçus par les capteurs piézo-électriques lors de ces deux essais. La lecture du temps de parcours de l onde n a pas pu être estimée avec suffisamment de confiance. La figure 4.15 présente l évolution des modules normés par la fonction f(e), qui permet d apprécier l influence de la pression de confinement. 0,7 0,6 Ecart type = 6% /f(e) (MPa) E 0 dyn 0,5 0,4 0,3 P^0,465 0,2 Modules d'young dynamiques mesurés 0,1 Essais: C50.81, K , Pression de confinement (kpa) FIGURE 4.15 : Modules d Young dynamiques à l état isotrope, normés par la fonction f(e) en fonction de la pression de confinement Sur la figure 4.16 sont présentés les modules d Young dynamiques normés par la pression de confinement comparés à la fonction d indice des vides f(e). 198

25 4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G,ν 4.3 MODULES MAXIMAUX EXPERIMENTAUX A L ETAT ISOTROPE Ecart type = 6% E dyn /P 0, f(e) =387 (2,61-e)2 1+e 200 Modules d'young dynamiques mesurés Essais: C50.81, K ,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 Indice des vides e FIGURE 4.16 : Modules d Young dynamiques à l état isotrope, normés par la pression de confinement, comparés à la fonction d indice des vides f(e) Pour les deux figures 4.15 et 4.16, les courbes d interpolation choisies excluent les résultats des essais C50.81 et K Le fuseau de résultats pour les modules d Young dynamiques est plus étroit que celui des modules d Young quasi-statiques, ce qui montre une meilleure précision des mesures dynamiques. b) Modules de cisaillement «dynamiques» Pour le module de cisaillement, deux nouvelles interpolations sont proposées. La valeur obtenue pour le module de cisaillement dynamique lors de l essai K50.72 semble bien plus faible que la valeur attendue. Comme pour les modules d Young, il semble que les résultats de cet essai doivent être mis à l écart, au moins à l état isotrope. Les résultats des deux interpolations (avec et sans les résultats de l essai K50.72) sont présentés dans le tableau 4.8. Il n y a finalement que peu de différences entre ces résultats puisque la correction apportée ne concerne qu une valeur sur 33. Néanmoins, l écart type des erreurs relatives est tout de même plus restreint sans la valeur de l essai K Essais Tous les essais (21) Tous les essais exceptés K50.72 (19) Nombre de mesures Formule G 0 (MPa) (P en MPa) Erreur moyenne Ecart Type Erreur!P 0,472-0,1 % 10,1 % Erreur!P 0,462 0,0 % 8,9 % TABLEAU 4.8 : Interpolations des modules de cisaillement dynamiques à l état isotrope 199

26 4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G,ν 4.3 MODULES MAXIMAUX EXPERIMENTAUX A L ETAT ISOTROPE La figure 4.17 représente l influence de la pression de confinement sur les modules de cisaillement dynamiques à l état isotrope. Ceux-ci sont normalisés par la fonction d indice des vides f(e) obtenue par la seconde interpolation (ne tenant pas compte du résultat de l essai K50.72). 0,7 0,6 Ecart type = 9% G 0 dyn/f(e) (MPa) 0,5 0,4 0,3 0,2 P^0,46 0,1 Modules de cisaillement expérimentaux Module de cisaillement : essai K , Pression de confinement (kpa) FIGURE 4.17 : Modules de cisaillement dynamiques à l état isotrope, normés par la fonction f(e), en fonction de la pression de confinement La figure 4.18 présente la fonction d indice des vides obtenue, comparée aux valeurs expérimentales du module de cisaillement «dynamique» normé par la pression de confinement élevée à la puissance 0, Ecart type = 9 % G 0 dyn/p 0, f(e) =197 (2,38-e) 2 1+e Modules de cisaillement expérimentaux 50 Module de cisaillement : essai K ,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 Indice des vides e FIGURE 4.18 : Modules de cisaillement dynamiques, à l état isotrope, normés par la pression de confinement comparés à la fonction d indice des vides f(e) 200

27 4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G,ν 4.3 MODULES MAXIMAUX EXPERIMENTAUX A L ETAT ISOTROPE Comparaison avec des expressions issues de la bibliographie Plusieurs formules ont pu être calculées à partir d expressions classiques pour déterminer les modules d Young et les modules de cisaillement à l état isotrope de contraintes, dans le domaine des très petites déformations. Les modules «quasi-statiques» ont permis de déterminer l expression suivante pour le module d Young «quasi-statique» à l état isotrope de contraintes : E max, 0 = 350 Erreur!P 0,495 (4.21) Alors que les modules «dynamiques» ont permis de déterminer l expression qui suit, pour le module d Young «dynamique» à l état de contraintes isotrope : E dyn, 0 = 364 Erreur!P 0,465 (4.22) Dans la littérature, les modules maximaux à l état isotrope ont été exprimés pour le sable d Hostun par différents auteurs : E max, 0 = 1568 Erreur!P 0,5 par Rivera [1988] (4.23) E max, 0 = 940 Erreur!P 0,5 par Charif [1991] (4.24) E max, 0 = Erreur!P 0,5 par Hicher [1996] (4.25) G max, 0 = 118 Erreur!P 0,4 par Ktari [1986] (4.26) G max, 0 = 89 Erreur!P 0,46 par Hameury [1995] (4.27) Quelques comparaisons sont proposées entre les expressions déterminées au cours de cette étude et ces expressions tirées de la littérature. Les comparaisons sont menées pour les modules d Young. Hameury [1995] et Ktari [1986] donnent les expressions du module de cisaillement. Hameury [1995] propose d utiliser l hypothèse d un comportement élastique linéaire isotrope pour déterminer le module d Young. Il détermine une valeur du coefficient de Poisson de 0,22 à partir de ses résultats expérimentaux. Le même calcul est réalisé pour déterminer l expression du module d Young à partir de l expression donnée par Ktari [1986] avec une valeur du coefficient de Poisson fixée à 0,22. Dans le cas d un comportement élastique linéaire isotrope, le module d Young E et le module de cisaillement G sont liés par l expression suivante : où ν est le coefficient de Poisson. E = 2G(1+ν) (4.28) a) Influence de la pression de confinement La figure 4.19 présente l évolution des modules d Young maximaux déterminés à partir de ces différentes expressions (Equation 4.23 à 4.27) ainsi que les deux expressions déterminées lors de notre étude, à partir des mesures quasi-statiques (Equation 4.21) et dynamiques (Equation 4.22), en fonction de la pression de confinement. L indice des vides a été fixé à la valeur de 0,