Méthode semi-analytique pour les effets du temps dans les poutres mixtes acier-béton

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1 Méthode emi-analytique pour le effet du temp dan le poutre mixte acier-béton uang-huy Nguyen 1, Mohammed Hjiaj 1, Brian Uy 1 Laboratoire de Génie ivil et Génie Mécanique INA de Renne, 0 avenue de Butte de oëme Renne edex, France quang-huy.nguyen@en.ina-renne.fr hool of Engineering, Univerité de Wetern ydney Penrith outh D NW 1797, Autralia RÉUMÉ. Une méthode emi-analytique et développée pour l analye de effet du temp dan le poutre mixte acier-béton oumie aux charge de ervice. La méthode propoée et baée ur la théorie de la vicoélaticité linéaire avec prie en compte du vieilliement. Elle conite à combiner le relation de comportement dicrètiée avec le équation différentielle d équilibre et de compatibilité. Aini, la olution propoée et exacte en epace mai dicrète en temp. On en déduit une matrice de rigidité exacte à chaque piquet de temp. ette méthode permet d évaluer la reditribution de contrainte entre la dalle de béton et le profilé métallique au cour du temp dûe au fluage et/ou au retrait du béton de la dalle. Un comportement élatique linéaire et adopté pour l acier et le connecteur tandi qu une loi de type intégral et adoptée pour le fluage de béton. ABTRAT. An emi-analytical method i developed for the time-dependent analyi of compoite beam with partial hear interaction under ervice load. The propoed méthode i baed on the theory of linear vicoelaticity in which the aging phenomena i taken into account. It conit in combining the dicretized contitutive relationhip with the equation of the equilibrium and compatibility. Thu, the propoed olution i exact in pace but approached in time. Therefore the exact tiffne matrix at each tep of time can be deduced. Thi method propoed allow evaluate the tre reditribution between the concrete lab and teel beam in time a a reult of creep and/or hrinkage of concrete. A linear elatic law i adopted for the teel and the connector while the integral-type creep law i adopted for the concrete. MOT-LÉ : Poutre mixte acier-béton, olution analytique, Fluage, Effet du temp KEYWORD: teel-concrete compoite beam, loed form olution, reep, Time effet.

2 XXVI e Rencontre Univeritaire de Génie ivil. Nancy, 4 au 6 juin Introduction De no jour, le poutre mixte acier-béton ont largement utiliée dan le domaine du génie civil (pont et bâtiment. Leur comportement à court-terme et longterme et fortement influencé par le effet du temp (fluage et retrait qui e produient dan la dalle de béton. L interaction entre le effet du temp et la connexion rend le problème à analyer complexe. Pour décrire le effet du temp, le modèle de vicoélaticité linéaire parait adéquat, pour autant que le vieilliement et pri en compte (Bazant, 1973, (Nguyen et al., 007. Dan cet article, le modèle EB-FIP 1990 (EB-FIB, 1993 era utilié. La forme intégrale de ce modèle et dicrètiée à l aide d un chéma de type trapèze. Le équation de comportement dicrète aini obtenue ont enuite combinée avec le equation d équilibre et de compatibilité. La olution du ytème d équation différentielle permet de calculer le champ de déplacement et d effort interne. A partir de cette olution, la matrice de rigidité "exacte" et déduite. L article e termine par l analye d une poutre mixte à deux travée. Notamment, le réultat obtenu ont comparé à ceux de Dezi (Dezi et al., Poutre mixte avec interaction partielle : équation fondamentale Le comportement d un corp déformable à un intant t doit atifaire troi groupe d équation qui ont le équation d équilibre et de compatibilité, aini que la loi de comportement. Dan cette ection, nou rappelon le équation fondamentale qui régient le comportement de poutre mixte acier-béton avec connexion partielle. Nou conidéreron que la dalle de béton et le profilé métallique e comportent l un et l autre comme une poutre en flexion compoée plane qui atifait l hypothèe cinématique de Navier-Bernoulli. Le indice c, et c e rapportent repectivement à la dalle, au profilé métallique et à la connexion ituée à l interface acier-béton..1. Equilibre onidéron l équilibre d un élément de poutre mixte de longueur infinitéimal dx oumi à une charge uniformément répartie p 0 (figure 1. Le équation d équilibre pour un tel élément écrivent : x N c (x, t + D c (x, t = 0 [1] x N (x, t D c (x, t = 0 [] T (x, t = x (M(x, t + HN (x, t [3] ( x M(x, t + H x D c (x, t + p 0 = 0 [4] où (i x = i / x i, H = h 1 + h et la ditance entre l axe de référence de la dalle et du profilé, T = T c + T et M = M c + M. N c, T c, M c,n, T, M ont

3 XXVI e Rencontre Univeritaire de Génie ivil. Nancy, 4 au 6 juin p 0 M M + dm H N T z c x c D T + dt N + dn V H N M x M + dm N + dn T dx z T + dt Figure 1 Elément de longueur infinitéimal de poutre mixte. repectivement le effort normaux, le effort tranchant et le moment fléchiant, et D c et l effort de ciaillement à l interface (figure 1... Equation de compatibilité La courbure et la déformation axiale d une ection ont reliée aux déplacement par le relation cinématique. En petit déplacement et en l abence de oulèvement de la dalle par rapport du profilé, ce relation écrivent : ε c (x, t = x u c (x, t [5] ε (x, t = x u (x, t [6] κ(x, t = ( x v(x, t [7] d c (x, t = u (x, t u c (x, t + H x v(x, t [8] avec u le déplacement axial, v déplacement vertical, ε c la déformation axiale uivant l axe de référence de ection de la dalle, ε la déformation axial uivant l axe de référence de ection du profilé, κ la courbure et d c le gliement..3. Loi contitutive Dan cet article, on adopte un comportement élatique linéaire pour l acier du profilé métallique, le armature et le connecteur. Une loi de type intégral baée ur

4 4 XXVI e Rencontre Univeritaire de Génie ivil. Nancy, 4 au 6 juin 008. le principe de uperpoition dan le temp de Boltzemann (1874 et adoptée pour le fluage de béton : t ε(t = ε h (t + σ(t 1 J(t, t 1 + J(t, τ dσ(τ [9] t + 1 où J(t, τ et la fonction de fluage définie comme la déformation à l intante t due à une contrainte unitaire appliquée oudainement à l âge τ. La relation contitutive du béton [9] et dicrètiée en utiliant le chéma trapézoïdal uivant : où : σ (n ( = E (n ε (n ε (n h + Ψ n,i σ (i [10] E (n = J n, J n,1 if i = 1 J Ψ n,i = n,n + J n, J n,n + J n, J n,i+1 J n,i 1 if i > 1 J n,n + J n, [11] La relation contitutive dicrète en temp pour la ection de poutre mixte peut être obtenue à partir de loi contitutive uniaxiale de différent compoant. Elle écrit ou la forme matricielle uivante : D (n = k (n e (n e (n h D i [1] + où k (n déigne la matrice de rigidité de la ection à l intante t n, e (n h déigne la déformation de la ection dûe au retrait et D i traduit l hitoire antérieure de effort interne. 3. olution emi-analytique En combinant le équation d équilibre [1-4], le équation de compatibilité [5-8] et le relation contitutive [1], on obtient le ytème d équation différentielle uivant : x (5 u (n µ n x (3 x (3 v (n = ζ (n u (n c = u (n 4 x (4 u (n u (n (EA x ( k c = ζ (n 1 + ζ (n 3 Ψ n,i x ( N co (i [13] + ζ (n 5 x ( u (n + ζ (n 6 Ψ n,i x N (i co [14] u (n + H x v (n [15]

5 XXVI e Rencontre Univeritaire de Génie ivil. Nancy, 4 au 6 juin Tou le paramete non défini dan l article ont détaillé dan la référence (Nguyen, 008. La réolution du ytème d équation [13-15] nou fournit le expreion de u (n c, u (n et v (n ue l on injecte dan le équation de compatibilité [5-8] pour déduire le déformation généraliéeui à leur tour ont injectée dan la relation contitutive [1] pour calculer le effort interne. Le réultat final et : u (n c u (n = X (n c (n + Z c (n (x + = X (n (n + Z (n (x + v (n = X (n v (n + Z v (n (x + (n = X (n (n + Z (n (x + N (n c N (n = Y (n N c (n + R (n N c (x + = Y (n N (n + R (n N (x + M (n = Y (n M (n + R (n M (x + T (n = Y (n T (n + R (n T a (n,i c a (n,i a (n,i v a (n,i ( (x + a (n,i N c a (n,i N a (n,i M a (n,i T inh(µ i x + b (n,i c coh(µ i x inh(µ i x + b (n,i coh(µ i x inh(µ i x + b (n,i v coh(µ i x inh(µ i x + b (n,i coh(µ i x inh(µ i x + b (n,i N c coh(µ i x inh(µ i x + b (n,i N coh(µ i x inh(µ ix + b (n,i M coh(µ ix inh(µ i x + b (n,i T coh(µ i x ( n ( n 1 1 ( n ( n 5 5 ( n ( n 8 8 ( n ( n ( n ( n 6 6 ( n ( n 4 4 ( n ( n 3 3 L ( n ( n 7 7 Figure Elément de poutre mixte. A partir de expreion de champ de déplacement et d effort interne qui ont exacte en epace, on peut facilement déduire l expreion de la matrice de rigidité,

6 6 XXVI e Rencontre Univeritaire de Génie ivil. Nancy, 4 au 6 juin 008. dite "exacte", en interprétant le degré de liberté aux extrémité de l élément comme de condition aux limite pour le équation ci-deu. ette matriceui repréente la relation entre le vecteur de déplacement nodaux q et le vecteur de force nodale (figure, va enuite être utiliée dan une procédure élément fini claique. oit un élément de la poutre mixte comme le montre la figure, en appliquant le condition aux limite, le vecteur de déplacement et le vecteur de force peuvent être exprimé comme uit : q = X (n (n + Z (n [16] = Y (n (n + R (n [17] où la matrice X (n et définie par : [ X (n = [X (n c (0] T... [X (n (L] T ] T On procède de la même manière pour la détermination de Z (n, Y (n et R (n. En réolvant l équation (16 pour (n et en l introduiant enuite dan l équation (17, on obtient : K (n q (n = (n + (n 0 [18] où K (n = Y (n (X (n 1 repréente la matrice de rigidité exacte au temp t n et (n 0 = K (n Z (n R (n repréente le vecteur de force nodale dû à la charge répartie p 0 et à l hitoire de contrainte. 4. Application p0 = kn/m mm 5 m 5 m mm mm mm Figure 3 aractéritique géométrique de la poutre mixte étudiée par Dezi La méthode emi-analytique, repréentée précédemment, et maintenant appliquée à une poutre mixte à deux travée conidérée par Dezi (Dezi et al., ette poutre et oumie à une charge répartie p 0 = 64.56kN/m à l intante t 1 = 30 jour. Le retrait et uppoé commencer à l âge t h = 30 jour et le temp final de l analye et de 5550 jour. La fonction de fluage recommandée par EB-FIB 1990 (EB-FIB,

7 XXVI e Rencontre Univeritaire de Génie ivil. Nancy, 4 au 6 juin R(t [kn] p 0 R(t Propoed model Dezi 1993b Time [day] Figure 4 Evolution de la réaction de l appui intermédiaire au cour du temp 1993 et conidérée pour décrire le comportement du béton. La figure (4 montre l évolution de la réaction de l appui intermédiaire au cour du temp. La réaction obtenue R(t et évidente car il y a une reditribution de effort interne dû au fluage et retrait du béton. On oberve ur la figure (4 que le réultat obtenu par (Dezi et al., 1993 à l aide de la méthode de différence finie avec 40 élément ont trè proche de ceux obtenu par notre approche emi-analytique R(t [kn] p 0 R(t Propoed model Dezi 1993b 30 day 5550 day tiffne of the connector [kn/mm²] Figure 5 Evolution de la réaction de l appui intermédiaire en fonction de la rigidité de connecteur La figure (5 montre l évolution de la réaction d appui intermédiaire en fonction de la rigidité de connecteur. En accord avec le réultat de Dezi (Dezi et al., 1993, nou obervon une coïncidence de deux courbe pour une connexion trè faible et

8 8 XXVI e Rencontre Univeritaire de Génie ivil. Nancy, 4 au 6 juin 008. une connexion trè rigide. p 0 0 Deflection [mm] x [m] 30 day 5550 day; creep 5550 day; creep+hrinkage Figure 6 Ditribution de la flèche La ditribution de la flèche le long de la poutre à 30 jour (avant retrait et fluage et à 5550 jour et illutrée par la figure (6. On analye l effet du fluage eul et l effet du fluage combiné au retrait. On contate que le fluage engendre une augmentation de la flèche maximale de l ordre de 7% tandi que l on oberve une augmentation de la flèche maximale de l ordre de 64% lorque le retrait également pri en compte. 5. oncluion Une méthode emi-analytique pour l analye de effet du temp dan le poutre mixte acier-béton a été préenté dan cette article. Le réultat obtenu ont en accord avec ceux obtenu par Dezi. Par ailleur, il reort que l effet combiné du retrait et du fluage augmente de façon conidérable la flèche maximale. 6. Bibliographie Bazant Z. P., «omparion of approximate linear method for concrete creep», J. truct.engrg. Div., vol. 100, n 9, p , EB-FIB, Model ode 1990 : Deign ode, London : Thoma Telford, Dezi L., Tarantino A. M., «reep in compoite continuou beam. II. Parametric tudy», J. truct. Engrg., vol. 119, n 7, p , Nguyen. H., Modéliation numérique du comportement de poutre mixte acier-béton, PhD thei, Intitut National de cience Appliquée de Renne, 008. Nguyen. H., Hjiaj M., Uy B., «Time effect analyi of compoite beam uing a mixed F. E. formulation», Third International onference on tructural Engineering, Mechanic and omputation (EM 007, p , 007.