VII LES GAZ, partie E

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1 Chitre VII Les gz, rtie : xercices ge i/vii VII LS GAZ, rtie L exercice de niveu A ide à l rentissge du modèle de l tmoshère isotherme. C est l bse sur lquelle s uient les exercices de niveu B qui suivent. Les qutre remiers exercices étudient l équilibre d une colonne d ir considéré comme un gz rfit constitué de molécules identiques de msse m, de msse moléculire molire M 9 g.mol -1, en équilibre dns le chm de esnteur terrestre g considéré comme uniforme et vlnt 9,8 N.kg -1 et de temérture T(z) récisée dns chque exercice. Donnée : constnte des gz rfits, R = 8,314 J.K -1.mol -1. xercice de niveu A xercice VII-A1 L temérture est uniforme, T(z) = cste. L temérture = 15 C est choisie comme l temérture de cette tmoshère. L ression u niveu de l mer (z = ) est () = 113 hp. Clculer l ression u sommet de l verest (z = 885 m). L loi fondmentle de l Hydrosttique s écrit en tennt comte de l uniformité du chm de esnteur : d( z) ( z) g( z) dz ( z) Un volume élémentire dv, entournt un oint d ltitude z, contient une msse élémentire d(msse(z)) et une quntité de gz élémentire dn(z). L msse volumique locle s écrit : dmsse( z) Mdn( z) ( z) D rès l éqution d étt des gz rfits, et en tennt comte de l uniformité de l temérture, nous ouvons écrire our le volume élémentire dv : ( z) dv dn( z) R T ( z) dn( z) dn( z) ( z) dv n remlçnt dns l exression de l msse Mdn( z) M( z) ( z) dv Donc en remlçnt dns l loi fondmentle de M( z) d( z) Cette éqution se récrit sous l forme de l éqution différentielle vérifiée r l ression : d ( z) ( z) dz C est une éqution différentielle, linéire homogène du remier ordre à coefficients constnts, dont l solution générle est : ( z) Aex z L constnte A se détermine grâce à l donnée de l ression () en z = : () Aex() A Finlement, nous obtenons l loi du nivellement brométrique : ( z) () ex z L ression u sommet de l verest vut donc dns ce modèle isotherme : x 9,8 x ex hp x (73 15) 354 hp Cette ression est fible mis moins que celle d un modèle lus réliste. Voir exercice VII-B1.

2 Chitre VII Les gz, rtie : xercices ge ii/vii xercices de niveu B Les trois exercices de niveu B introduisent différentes vritions de l temérture de l tmoshère. n effet elles déendent de l météo et r conséquent certins modèles sont lus dtés que d utres selon les jours ou les heures et selon l lge d ltitude considérée. xercice VII-B1 On considère que dns l trooshère l temérture T vrie vec l ltitude z suivnt l loi cidessous où et sont des constntes : T = Le coefficient est elé grdient de temérture.. Déterminer les constntes et schnt que l temérture u niveu de l mer (z = ) est de 15 C et vut -56 C à 11 km d ltitude. Préciser leurs unités. b. tblir l loi de vrition vec z de l ression tmoshérique. On noter () l ression tmoshérique u niveu de l mer (z = ) qui vut 113 hp. c. Clculer l temérture et l ression u sommet du Mont verest (z = 885 m).. L constnte l même dimension que l temérture T. Son unité légle est donc le kelvin. C est l temérture u niveu de l mer et elle vut : T( z ) K 88 K Le roduit z l dimension d une temérture. Donc l constnte est homogène à une temérture divisée r une longueur ; son unité légle est donc le K.m -1. L constnte est donnée r l éqution : T ( z 11km) K.km 6, 5 K.km b. L loi fondmentle de l Hydrosttique s écrit en tennt comte de l uniformité du chm de esnteur : d( z) ( z) g( z) dz ( z) Un volume élémentire dv, entournt un oint d ltitude z, contient une msse élémentire d(msse(z)) et une quntité de gz élémentire dn(z). L msse volumique locle s écrit : dmsse( z) Mdn( z) ( z) D rès l éqution d étt des gz rfits, et en tennt comte de l loi de vrition de l temérture, nous ouvons écrire our le volume élémentire dv : ( z) dv dn( z) R T ( z) ( z) dv dn( z) R dn( z) ( z) dv R n remlçnt dns l exression de l msse Mdn( z) M( z) ( z) dv R Donc en remlçnt dns l loi fondmentle de M( z) d( z) R C est une éqution différentielle à vribles sérbles : d dz R On intègre de z = à z =h, vrint lors de () à (h) : ( h) () ( h) () ln ( h) ln () R ln d h dz R d h d R hln ( h) h ln ln () R h ( ) ln ln () ( h) () h h R R

3 Chitre VII Les gz, rtie : xercices ge iii/vii Cette reltion est vrie quelque soit l ltitude h donc : ( z) () z R L ression décroît bien vec l ltitude. Remrque : J i détillé le clcul dns un but exlictif. Avec l hbitude on eut sns roblème suter quelques-unes des lignes de ce clcul. Pr exemle les deuxième, troisième et cinquième lignes. c. Dns ce modèle, u sommet du Mont verest, l temérture vut : T z T 88 6, 5.8, 85 K T 3 K 43 C Qunt à l ression, elle vut : 88 6, 5.8, hp , ,5.1 hp Cette ression est encore lus fible que celle révue r le modèle de l tmoshère isotherme. Voir les rerésenttions grhiques de l temérture et de l ression en fonction de l ltitude à l fin des exercices de niveu B. xercice VII-B On considère que l temérture T vrie vec l ltitude z suivnt l loi ci-dessous où et sont des constntes : T 1. Préciser les unités des constntes et. b. tblir l loi de vrition vec l ltitude z de l ression tmoshérique. On noter () l ression tmoshérique u sol.. L constnte est homogène à l inverse d une longueur uisque le roduit z est sns dimension ; son unité légle est donc le m -1. L constnte est de même dimension que l temérture T et son unité légle est donc le kelvin. C est l temérture u sol. b. L loi fondmentle de l Hydrosttique s écrit en tennt comte de l uniformité du chm de esnteur : d( z) ( z) g( z) dz ( z) Un volume élémentire dv, entournt un oint d ltitude z, contient une msse élémentire d(msse(z)) et une quntité de gz élémentire dn(z). L msse volumique locle s écrit : dmsse( z) Mdn( z) ( z) D rès l éqution d étt des gz rfits, et en tennt comte de l loi de vrition de l temérture, nous ouvons écrire our le volume élémentire dv : ( z) dv dn( z) R T ( z) ( z) dv dn( z) R 1 dn( z) ( z) dv R 1 n remlçnt dns l exression de l msse Mdn( z) M( z) ( z) dv R 1 Donc en remlçnt dns l loi fondmentle de M( z) d( z) R 1 C est une éqution différentielle à vribles sérbles : d dz R z 1 On intègre de z = à z =h, vrint lors de () à (h) : ( h) () ( h) d h dz R 1 z () d h R 1/ 1 d 1 z ln ( h) ln () 1 h 1 R ( h) ln 1 h1 () R ( h) () ex 1 h 1 R

4 Chitre VII Les gz, rtie : xercices ge iv/vii Cette reltion est vrie quelque soit l ltitude h donc : ( z) () ex 1 1 R L ression décroît bien vec l ltitude. Remrque : J i détillé le clcul dns un but exlictif. Avec l hbitude on eut sns roblème suter quelques-unes des lignes de ce clcul. Voir les rerésenttions grhiques de l temérture et de l ression en fonction de l ltitude à l fin des exercices de niveu B. xercice VII-B3 Dns le modèle de l tmoshère isentroique, l vrition de temérture vec l ltitude n est s donnée mis l ir est crctérisé r l éqution d étt des gz rfit et ussi r l reltion : V constnte Le coefficient isentroique est une constnte et vut environ 1,4 our l ir. Cette reltion ermet de déterminer à l fois les vritions de l temérture et de l ression vec l ltitude. On noter P et T, resectivement l ression tmoshérique et l temérture u sol.. Montrer que le roduit 1- T est constnt. b. Étblir l loi de vrition vec l ltitude z de l ression tmoshérique. c. n déduire l loi de vrition de l temérture vec l ltitude.. n combinnt l éqution d étt des gz rfits et l reltion isentroique : V C n C 1 T C nr C ' L constnte C se détermine ici grâce ux données u sol : 1 1 ' T C P T b. L loi fondmentle de l Hydrosttique s écrit en tennt comte de l uniformité du chm de esnteur : d( z) ( z) g( z) dz ( z) Un volume élémentire dv, entournt un oint d ltitude z, contient une msse élémentire d(msse(z)) et une quntité de gz élémentire dn(z). L msse volumique locle s écrit : dmsse( z) Mdn( z) ( z) D rès l éqution d étt des gz rfits, nous ouvons écrire our le volume élémentire dv : ( z) dv dn( z) R T ( z) dn( z) ( z) dv ( z) n remlçnt dns l exression de l msse Mdn( z) M( z) ( z) dv ( z) Donc en remlçnt dns l loi fondmentle de M( z) d( z) ( z) Grâce à l reltion isentroique, l temérture s exrime en fonction de l ression : P T ( z) z ( ) 1 n reortnt dns l loi fondmentle de 1 1 d( z) ( z) dz 1 P T M( z) ( z) d( z) P P d( z) ( z) dz C est une éqution différentielle à vribles sérbles : 1 d P dz 1 On intègre de z = à z =h, vrint lors de P à P : P 1 1 h P P d dz P 1 1 P P h 1 1

5 Chitre VII Les gz, rtie : xercices ge v/vii P 1 P P 1 1 h P 1 1 P P 1 h Cette reltion est vrie quelque soit l ltitude h donc : 1 1 ( z) P 1 z L ression décroît bien vec l ltitude. Remrque : J i détillé le clcul dns un but exlictif. Avec l hbitude on eut sns roblème suter quelques-unes des lignes de ce clcul. c. L temérture s en déduit imméditement en remlçnt dns l exression de l temérture celle de l ression : 1 z ( ) T ( z) T P h 1 ( z) 1 1 z P 1 T ( z) T 1 z 1 T ( z) T z R Dns le modèle isentroique, l temérture vrie de fçon ffine vec l ltitude mis le grdient de temérture n s l même vleur que dns le modèle de l exercice VII-B1. Il vut : 1 ' R ' ' 3 1, ,8 1 1, 4 8, K.km K.m L temérture diminue lus vite dns ce modèle que dns celui de l exercice VII-B1. Voir les rerésenttions grhiques de l temérture et de l ression en fonction de l ltitude à l ge suivnte. 1 Altitude en km B1 B Temérture en C B3

6 Chitre VII Les gz, rtie : xercices ge vi/vii B1 B B3 Pression en hp Altitude en km Ces rerésenttions grhiques s'étendent dns toute l trooshère our montrer leurs llures. n rélité l trooshère n est s modélisble ussi simlement. xercice de niveu C L exercice de niveu C utilise l sttistique de Mxwell-Boltzmnn our retrouver l ression interne d un gz réel. xercice VII-C1 n liqunt l loi sttistique de Mxwell-Boltzmnn, l ression u sein d un gz réel eut s écrire en notnt l énergie otentielle r mole de molécules : ex L énergie otentielle d interction entre les molécules est roortionnelle u nombre de molécules r unité de volume. On note k l constnte de roortionnlité : N k V. Interréter le fcteur en remrqunt que c est l vleur de l ression lorsque l énergie otentielle d interction entre les molécules est nulle. b. Justifier qulittivement l exression de l énergie otentielle d interction. c. Aux ressions usuelles, l énergie otentielle d interction est fible devnt le fcteur. Justifier. d. Donner le déveloement limité de l ression u remier ordre, l vrible étnt /. Mettre l ression sous l forme : n n e. n déduire l exression de l ression interne du gz réel.

7 Chitre VII Les gz, rtie : xercices ge vii/vii. est l ression qu urit une mole de gz rfit dns les mêmes conditions de temérture uisque dns un gz rfit les molécules n intergissent s et donc l énergie otentielle d interction est nulle. b. Plus le nombre de molécules est grnd dns un volume donné et lus chque molécule subit un grnd nombre d interctions. Donc lus l énergie otentielle est grnde. Plus le volume V est grnd our un nombre de molécules donné et lus l distnce entre molécules est grnde ce qui moindrit chque interction. Donc lus l énergie otentielle est fible. Quntittivement, il fudrit rouver l reltion de linérité entre l ression et l densité moléculire N/V. c. Aux ressions usuelles, l interction entre molécules est fible cr le gz réel s écrte eu du gz rfit. Donc l énergie otentielle est fible devnt le fcteur et l exonentielle est roche de 1. d. Le déveloement limité u remier ordre de l ression s écrit : 1 De lus l ression vérifie l éqution d étt des gz rfits : n V n remlçnt dns le déveloement limité : n n n n e. L énergie otentielle d interction est roortionnelle à l densité moléculire : k N n k N A n remlçnt dns l exression de l ression, on obtient : n kn An L éqution d étt se récrit : kn An V n V L exression de l ression interne est donc : A kn n n i kn A V V Cette étude ermet de mettre en évidence l ression interne et de montrer qu elle est roortionnelle à (n/v).