Eléments de géométrie vectorielle et analytique. Demi-droite, segment de droite. Positions relatives de droites dans le plan. Postulat.

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1 léments e géométrie vectorielle et analytique Présentation provisoire Pierre Mathonet Département e Mathématique Faculté es Sciences Liège, le 4 mars 25 2 Points, roites, plans Les éfinitions onnées sont en général valables en géométrie plane, ou en géométrie ans l espace. Quan une propriété n est vraie qu en géométrie plane, on avertit en iniquant Dans le plan.... Un point est un objet géométrique qui n a pas extension ans l espace : il n a pas épaisseur et pas e longueur ( un point est ce qui ne comporte aucune partie ). 2 Une roite est un ensemble e points alignés, qui n a pas e largeur, et qui s éten à l infini ans les eux sens. Visualisation : un stylo, prolongé à l infini par la pensée. 3 Un plan est un ensemble infini e points. Il n est pas courbe. Visualisation : une table, prolongée à l infini par la pensée. Postulat Par eux points istincts et, il passe une et une seule roite. ette roite est notée. Par trois points,, e l espace, non alignés (non sur une même roite) il passe un et un seul plan. On le note. 3 Demi-roite, segment e roite L ensemble es points une roite compris entre eux points et (inclusivement) e cette roite est appelé segment e roite (ou segment). On le note [, ]. lors et sont les extrémités u segment [, ]. 2 haque point une roite étermine eux parties sur cette roite. es parties sont es emi-roites. La emi-roite éterminée par et contenant est notée [,. Le point est alors l origine e la emi-roite [,. Représentation : es roites et, un segment [, D], une emi-roite [, F : F D 4 Positions relatives e roites ans le plan Dans le plan, eux roites et 2 ont l intersection est un singleton {I} sont ites sécantes (au point I). Dans le cas contraire, elles sont ites parallèles, et on note // 2. ttention : quan les roites et 2 sont confonues (égales), elles sont parallèles. Dans le plan, si eux roites et 2 sont parallèles, alors toute roite sécante à l une est sécante à l autre. 2 Dans le plan, si eux roites 3 et 4 sont sécantes, toute parallèle à l une est sécante à l autre.

2 Voyez : 2 Postulat (uclie) Le postulat le plus célèbre Par un point (extérieur) à une roite, on peut mener une et une seule parallèle à cette roite. et 4 3 ela va être utile pour construire es cooronnées cartésiennes es points u plan. 5 6 Repères et cooronnées cartésiennes u plan Nous avons appris à représenter les nombres naturels, entiers, rationnels puis réels sur une roite. On a onc une corresponance entre les points e la roite et les nombres réels. O 3 La notion e repère cartésien u plan prolonge cette iée. Voyez : O 2 p 2() 2 5, 2 p () Formalisation Un repère cartésien u plan est la onnée : D un couple e roites (, 2 ) sécantes en un point O. e point est l origine u repère tanis que et 2 en sont les axes; 2 D un point istinct e O sur la roite ; 3 D un point 2 istinct e O sur la roite 2. La onnée es points et 2 permet orienter les roites et 2, et établir une grauation sur chaque axe. La parallèle à l axe 2 tracée par un point coupe l axe en un point p () appelé projection e sur, parallèlement à 2. La parallèle à l axe tracée par un point coupe l axe 2 en un point p 2 () appelé projection e sur 2, parallèlement à. 7 On associe un nombre réel a à p () et un nombre a 2 à p 2 (). insi au point correspon un couple e nombres (a, a 2 ). 8 Les nombres réels a et a 2 associés à p () et p 2 () sur leurs axes graués sont l abscisse et l oronnée e. On note : (a, a 2 ).

3 Formalisation II Le couple (a, a 2 ) formé par l abscisse et l oronnée un point est le couple e cooronnées e ans le repère onné. Par habitue, on note x l abscisse et y l oronnée un point u plan. On note aussi x le premier axe u repère et y le secon. L association point u plan couple e cooronnées est une bijection (on it aussi corresponance biunivoque ) : eux points istincts ont es cooronnées istinctes; tout couple e nombres réels (a, a 2) est le couple e cooronnées un point. y Vecteurs liés : éfinition géométrique Les éfinitions suivantes sont valies ans le plan ou ans l espace. Un vecteur lié en un point est un couple (, ). De manière équivalente, il est éfini par un segment orienté e vers. On le note parfois et on le représente par une flèche e à. Deux vecteurs liés en. a 2 9 O ette bijection permet e représenter e manière géométrique une situation où il n y a que es nombres, et e traiter e manière algébrique une situation géométrique. a x n physique, le vecteur peut représenter une force, en mathématique, on peut le voir comme une translation. quipollence et vecteurs libres Des vecteurs (, ) et (, D) liés en et en sont équipollents si D est un parallélogramme, ou s ils sont équipollents à un même troisième. On note alors (, ) (, D). Opérations sur les vecteurs (libres) ition : on a + = (c est la relation e hasles). ette éfinition est inépenante u représentant u vecteur. D Remarque : on n a pas ici (, ) (D, ) : l orre a e l importance. Un vecteur libre est un ensemble e vecteurs liés équipollents entre eux. hacun e ces vecteurs liés est un représentant u vecteur libre en question. On note aussi le vecteur libre représenté par (, ). Si (, ) (, D), et D représentent la même force. F 2 L aition est associative; Le vecteur (libre) est neutre pour l aition. On le note. est le vecteur nul. lors l opposé u vecteur est. On le note aussi. On éfinit alors la soustraction u v e eux vecteurs par u v = u + ( v ).

4 3 5 Multiplication scalaire (par es nombres) : xemple : calcul e 2 = +. On trouve t.q. = 2 2 ela permet e éfinir n pour n entier positif. 3 On pose naturellement =, et ( n) = (n ). 4 On a ainsi éfini la multiplication par les nombres entiers, on peut l étenre aux rationnels (via le théorème e Thalès), puis aux réels. es opérations inuisent es opérations sur les vecteurs liés en un point, puisque tout vecteur lié en éfinit un unique vecteur libre, et vice-versa. ela onne lieu à la célèbre règle u parallélogramme. On it qu un vecteur v est multiple un vecteur u s il existe un réel r tel que v = r u. On montre que, quel que soit v, v =, onc est multiple e tour vecteur. ombinaisons linéaires et milieu un segment n combinant les eux opérations, on peut former es multiples et es sommes e plusieurs vecteurs. Les règles e priorité concernant les aitions, multiplications et parenthèses sont celles éjà rencontrées. La combinaison linéaire es vecteurs u,..., u n avec les coefficients réels r,..., r n est le vecteur u = r u + + r n un. Dans la pratique, on a rarement (sauf les mathématiciens) besoin e consiérer es combinaisons linéaires e plus e trois vecteurs, pour faire e la géométrie ans l espace. On écrit alors r u + s v ou r u + s v + t w. Soit [, ] un segment e roite. Le milieu e [, ] est l unique point M tel que M = M 4 Propriétés es opérations L aition et la multiplication par les scalaires satisfont les propriétés suivantes (on note u, v,... es vecteurs quelconques) L aition e eux vecteurs est un vecteur et la multiplication un vecteur par un nombre est un vecteur; 2 L aition est associative : on a ( u + v ) + w = u + ( v + w ) pour tous vecteurs u, v, w ; 3 L aition amet un élément neutre satisfaisant + u = u + = u pour tout vecteur u ; 4 Tout vecteur u amet un opposé u pour l aition, satisfaisant u + ( u ) = ( u ) + u = ; 5 L aition est commutative : on a u + v = v + u pour tous vecteurs u, v ; 6 La multiplication scalaire istribue l aition es vecteurs : on a r( u + v ) = r u + r v pour tous vecteurs u, v et r R; 7 La multiplication scalaire istribue l aition es réels : on a (r + s) u = r u + s u pour tous r, s R et tout vecteur u ; 8 On a r(s u ) = (rs) u pour tous r, s R et tout vecteur u ; 9 On a u = u pour tout vecteur u. omposantes e vecteurs associées à un repère On consière un repère, éterminé par trois points O,, 2. On note e = O et e 2 = O 2. Tout vecteur (libre) u se écompose e manière unique comme u = u e + u 2 e2, où u, u 2 sont es nombres réels. On note u : (u, u 2 ). e sont les composantes e u ans le repère. u 2 e y 2 u e x O Remarque : Le couple ( e, e 2 ) est la base associée au repère. u

5 omposantes e combinaisons linéaires ition es couples ou triplets e réels L ensemble R 2 est formé es couples e nombres réels : R 2 = {(x, y) : x, y R}. Si u : (u, u 2 ), v : (v, v 2 ) et r R, alors L ensemble R 3 est formé par les triplets e nombres réels : u + v : (u + v, u 2 + v 2 ), et r u : (ru, ru 2 ). R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R}. n particulier pour tous r, s R, r u + s v : (ru + sv, ru 2 + sv 2 ). On écrit ces couples ou triplets avec la virgule comme séparateur sauf si cela prête à confusion. ition ans R 2 : (a, a 2) + (b, b 2) = (a + b, a 2 + b 2). 7 Preuve : Si u = u e + u 2e2, v = v e + v 2e2, alors u + v = (u + v ) e + (u 2 + v 2 ) e 2, et r u = (ru ) e + (ru 2 ) e 2. Suggestion : Dessinez cette proposition. 8 Multiplication ans R 2 : Soustraction : r(a, a 2 ) = (ra, ra 2 ). (a, a 2) (b, b 2) = (a b, a 2 b 2). Les mêmes opérations sont éfinies sur R 3. es opérations ont les propriétés listées à la page 6 pour les vecteurs. Lien avec les cooronnées Soit un repère cartésien éfini par O, et 2. Vu la éfinition es composantes et es cooronnées, on a le lien suivant. Pour tout point u plan, les cooronnées e ans un repère sont les composantes e O ans ce repère. Si est un autre point u plan, on a O + = O, ou Repère e l espace est la même histoire... Il faut seulement trois axes graués. On les étermine avec quatre points O,, 2, 3 non situés ans un même plan. On note e = O, e 2 = O 2, e 3 = O 3. Tout point e l espace est éterminé par trois cooronnées, mais on oit utiliser es plans pour le voir. = O O. Dans un repère, si : (a, a 2 ) et si : (b, b 2 ), alors : (b, b 2 ) (a, a 2 ). Tout vecteur u e l espace se écompose e manière unique comme combinaison linéaire e e, e 2 et e 3. Les coefficients e la combinaison linéaire sont les composantes u vecteur u ans le repère. Les raisonnements tenus pour les vecteurs u plan s étenent pour es vecteurs e l espace. 9 2