Exercices sur les variables aléatoires discrètes

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1 Exercces sur les varables aléatores dscrètes U QCM est costtué de c uestos déedates avec our chaue uesto réoses ossbles Il y a ue réose exacte et ue seule ar uesto ) U caddat réod au hasard Chaue boe réose lu raorte ot et chaue mauvase ou absece de réose lu fat erdre x (x comrs etre 0 et ) O aelle Z le ombre de boes réoses et le total des ots u eut être égatf a) Quelle est la lo de Z? Précser les caractérstues de cette lo E e focto de x b) Doer ue relato lat Z et E dédure c) Pour uelles valeurs de x a-t-o E 0? ) Le caddat réod ecore au hasard à toutes les uestos mas lorsue le total de ses ots est égatf, so ombre de ots est rameé à 0 Sot Y le score fal du caddat E Y Détermer la lo de Y et Ue ure cotet 6 boules rouges et boules blaches U jeu cosste à trer successvemet sas remse deux boules de l ure S les deux boules sot de la même couleur, le joueur gage u euro ; s elles sot de couleurs dfféretes, le joueur erd u euro O ote la varable aléatore u à chaue trage de deux boules assoce le ga algébrue e euros ) Détermer la lo de robablté de ) E dédure our uelle valeur de le jeu est éutable * O cosdère u QCM comortat 0 uestos avec réoses ossbles ar uestos ; l y a ue seule réose ossble ar uesto Arès ue remère sére de réoses, o attrbue u ot ar réose juste au caddat et o lu offre la ossblté de réodre ue deuxème fos our corrger ses erreurs, e lu attrbuat ot ar réose juste cette fos Durat les deux hases de l exérece, le caddat réod au hasard aux uestos Détermer tel ue la moyee de ce tye de caddat sot de 5 sur 0 Idcatos : O ote le ombre de réoses justes arès la remère sére et le ombre de réoses justes au deuxème assage O ote la ote au test Justfer ue et détermer tel ue E 5 O lace das ue ure sx boules umérotées de 0 à 5, dscerables au toucher L exérece cosste à trer smultaémet tros boules ) Quel est le ombre de trages ossbles? ) Sot la varable aléatore u, à chaue exérece, red comme valeur le lus grad des uméros ortés sur les tros boules trées a) Détermer lao de robablté de, so esérace et sa varace b) Calculer la robablté our ue ree ue valeur strctemet suéreure à 5 ) Démotrer ar récurrece ue, our tout eter aturel o ul, o a : et ) U sac cotet jetos umérotés de à ( eter aturel tel ue ) O extrat smultaémet deux jetos du sac Sot la varable aléatore u à chaue trage assoce le lus grad des deux ombres scrts sur les deux jetos trés a) Détermer la lo de robablté de la varable aléatore b) Calculer l esérace mathématue de c) Calculer la varace de 6 Ue ure cotet boules ( est u eter aturel tel ue ) : deux sot blaches, les autres sot ores Elles sot, à art cela, detues et o suose ue les trages sot tels ue chaue boule a la même robablté d être trée O vde l ure e trat les boules, ue à ue sas les remettre O désge ar la varable aléatore égale au rag de la remère boule blache trée ) Quel est l esemble des valeurs rses ar? ) Calculer la lo de robablté de ) Calculer l esérace mathématue de O raelle ue : 6 7 Sot u eter aturel suéreur ou égal à Deux joueurs A et B coveet du jeu suvat, u se résete comme ue successo de artes : Au déart, A et B mset chacu et lacet chacu ue èce arfatemet éulbrée S A amèe «le» et B amèe «face», le jeu s arrête, A gage et récuère la totalté de l arget ; S B amèe «le» et A amèe «face», le jeu s arrête, B gage et récuère la totalté de l arget Das les autres cas, la arte est ulle, les joueurs doublet la mse et egaget ue ouvelle arte Et as de sute, jusu à ce u l y at u gagat ou ue la -ème arte s achève sur u ul (auuel cas les joueurs récuèret leurs mses resectves) Pour tout eter aturel comrs etre et, o cosdère les évéemets : A : «le jeu se terme à la -ème arte ar le ga de A» ; B : «le jeu se terme à la -ème arte ar le ga de B» ; C : «la -ème arte est ulle» O ote x, y et z les robabltés resectves des évéemets A, B et C ) Calculer x, y et z ) Pour tout eter aturel comrs etre et, exrmer x, y et z e focto de ) O cosdère la varable aléatore égale au ombre d euros ms e jeu lors de la arte u coclut le jeu (c est-à-dre récuérés ar le gagat ou artagés etre les deux joueurs das le cas où le jeu s achève sur u ul) S le jeu s achève à la -ème arte, o a as : a) Doer l exresso de la lus grade valeur ue eut redre b) Calculer P (o ourra remaruer ue la -ème arte s est achevée sur u ul) c) Pour eter aturel comrs etre et, exrmer l évéemet à l ade des évéemets A et B E dédure P d) Calculer l esérace mathématue et la varace de

2 8 Ue ure cotet 5 boules blaches et 5 boules ores O e rélève successvemet et avec remse, état u eter aturel suéreur ou égal à O cosdère les deux évéemets suvats : A : «o obtet des boules des deux couleurs» et B : «o obtet au lus ue boule blache» ) Calculer la robablté des évéemets A, B et A B ) Étuder le ses de varato de la sute u défe ar u E dédure our uelle valeur de les évéemets A et B sot déedats Parte A O s téresse à la roducto d u arbre fruter doé O sat ue lors de l aée 000, l arbre a doé ue boe récolte S lors d ue aée, l arbre doe ue boe récolte, l aée suvate, l doe ue boe récolte avec la robablté et l e doe ue mauvase avec la robablté S ar cotre lors d ue aée, l arbre doe ue mauvase récolte, l aée suvate, l doe ue boe récolte avec la robablté et ue mauvase récolte avec la robablté O ote la robablté de l évéemet «l arbre doe ue boe récolte durat l aée 000 ) Exrmer e focto de ) Doer l exresso de e focto de Parte B L exlotat agrcole réalse e vedat la récolte de l arbre fruter cosdéré das la arte A, u bééfce u est de : 00 s la récolte est boe ; 0 s la récolte est mauvase Pour tout eter aturel, o ote G la varable aléatore rerésetat le ga e euros de l agrculteur our cet arbre lors de l aée 000 ) Détermer la lo de robablté de G et calculer so esérace e focto de ) Quelle est la somme totale S des gas ue eut esérer l agrculteur, our les dx remères aées de récolte sur cet arbre, de 000 à 00? Doer la valeur exacte de S us doer ue valeur arochée à u euro rès 0 U sac cotet tros boules umérotées resectvemet 0, et, dscerables au toucher O tre ue boule du sac, o ote so uméro x et o la remet das le sac ; us o tre ue secode boule, o ote so uméro y et o la remet das le sac Toutes les boules ot la même robablté d être trées À chaue trage de deux boules, o assoce das le la mu d u reère orthoormé O,, j le ot M x ; y O désge ar D le dsue fermé de cetre O et de rayo ) Placer das le la mu du reère O,, j les ots corresodats aux dfférets résultats ossbles ) Calculer la robablté des évéemets suvats : A : «le ot M est sur l axe des abscsses» ; B : «le ot M aartet au cercle de cetre O et de rayo» ) Sot la varable aléatore u, à chaue trage de deux boules, assoce la somme x a) Détermer la lo de V b) Calculer E et y c) Calculer la robablté de l évéemet C : «le ot M aartet au dsue D» ) O tre c fos de sute, de faço déedate, deux boules successvemet et avec remse O obtet as c ots du la Quelle est la robablté de l évéemet F : «au mos u de ces ots aartet au dsue D»? 5 ) O reouvelle fos de sute, de faço déedate, le trage de deux boules successvemet et avec remse O obtet as ots du la Détermer le lus ett eter aturel strctemet ostf tel ue la robablté de l évéemet : «au mos l u de ces ots aartet à D» sot suéreure ou égale à 0, Ue etrerse est sécalsée das la fabrcato e sére d u artcle U cotrôle de ualté a motré ue chaue artcle rodut ar l etrerse ouvat réseter deux tyes de défaut : u défaut de soudure avec ue robablté égale à 0,0 et u défaut sur u comosat électroue avec ue robablté égale à 0,0 Le cotrôle a motré auss ue les deux défauts étaet déedats U artcle est dt défectueux s l résete au mos l u des deux défauts ) Calculer la robablté u u artcle fabrué ar l etrerse sot défectueux ) U ett commerçat asse ue commade d artcles à l etrerse Il veut ue, sur sa commade, la robablté d avor au mos u artcle défectueux reste féreure à 50 % Détermer la valeur maxmale du ombre d artcles u l eut commader Ue ure cotet 6 boules bleues, boules rouges et boules vertes, dscerables au toucher O tre au hasard ue boule de l ure, o ote sa couleur, us o la relace das l ure avat de rocéder au trage suvat O effectue as trages successfs Quelle est la valeur mmale de our ue la robablté de e trer ue des boules bleues sot au mos mlle fos lus grades ue la robablté de e trer ue des boules rouges? U fumeur se trouvat e le ar ossède allumettes et veut allumer ue cgarette Chaue allumette a ue robablté (avec 0 ) ue le vet l étege avat ue la cgarette sot allumée ) Quelle est la robablté our ue le fumeur allume sa cgarette? ) Sachat ue le fumeur réusst à allumer sa cgarette, uelle est la robablté ue ce sot avec la -ème ; allumette Pour uelle valeur de cette robablté est-elle maxmale? ) O ote la varable aléatore égale au ombre d allumettes utlsées a) Quelles sot les valeurs rses ar? b) Détermer la lo de robablté de Vérfer ue P c) Démotrer ue l esérace de est doée ar la formule E U sortf a drot à essas our se ualfer das u touro À chaue essa, la robablté de le réussr vaut (avec 0 ) et s le sortf réusst à se ualfer, l arrête ausstôt les essas O ote le ombre aléatore d essas effectués ) Quelle est la robablté ue ce sortf se ualfe? ) Détermer la lo de et calculer so esérace ) Sachat ue ce sortf se ualfe, uelle est la robablté ue cet évéemet se sot rodut au -ème essa?

3 5 Das u stad de tr, u joueur dsose de fléchettes ( eter aturel fxé, suéreur ou égal à ) our teter de fare éclater u ballo À chaue essa, la robablté de succès vaut, avec 0, et doc la robablté d u échec vaut O suose ue les dfféretes essas sot déedates ue les autres et ue le joueur s arrête dès ue le ballo éclate (s l éclate!) ) Sot le ombre aléatore de fléchettes utlsées ar le joueur a) Quelles sot les valeurs ue eut redre? b) Calculer P, P us P our ; Vérfer ue l o a : P c) Calculer S 0 ; o ourra cosdérer la focto f défe ar f x x Démotrer ue l esérace de est doée ar la formule E ) Sachat ue le ballo a éclaté, uelle est la robablté ue ce sot avec la -ème fléchette? 6 Ue boîte A cotet jetos ortat le uméro 0, et ue boîte B cotet jetos ortat le uméro O tre au hasard u jeto das chaue boîte et o les échage O recommece l oérato fos Sot la varable aléatore égale à la somme des jetos de la boîte A à l ssue du -ème échage,, ) Détermer la lo de et E our ) Calculer les robabltés codtoelles P / j our, 0 ;; Das la sute, o ose P 0, P et r P ) Exrmer,, r e focto de,, r ) Que vaut r? E dédure l exresso de e focto de 5 ) Détermer la lo de 6 ) Calculer les lmtes des sutes,, r et E Iterréter les résultats j 7 Ue ure cotet boules blaches et 8 boules ores U joueur tre successvemet 5 boules avec remse S l tre ue boule blache, l gage ots, so l e erd Sot le ombre de boules blaches obteues et Y le ombre de ots obteus V ) Détermer la lo de, us E et ) Exrmer Y e focto de E dédure la lo de Y, us Y ) Refare l exercce s l o suose ue le jeu est sas remse E et Y V 8 Sot u eter aturel o ul O lace fos u dé o truué dot les faces sot umérotées de à 6 et l o ote chaue fos le uméro de la face suéreure O ote le ombre de fos où le uméro obteu est ar Quelle est la robablté our ue sot u ombre mar? 0 O dsose d u dé éulbré et d ue èce truuée telle ue la robablté d aarto de «le» sot 0 ; Sot u eter aturel o ul O effectue lacers du dé Sot le ombre de fos où égale à l o obtet le uméro 6 O lace alors fos la èce Sot Z le ombre de 6 obteus lors des lacers du dé, le ombre de «le» obteu lors des lacers de la èce et Y le ombre de «face» Z V Z ) Précser la lo de Z, E et ) Détermer P / Z ) Démotrer ue s 0 ) Calculer P 0, alors P Z 0 our et eters aturels O dstguera deux cas : et 5 ) Démotrer ue, s 0, alors E dédure P 6 ) Détermer la lo de et la lo de Y 5 et s 6 6, alors P Z Sot ue varable aléatore reat les valeurs 0,, et telle ue 0 réel ) Pour uelles valeurs de a déft-o as ue lo de robablté? ) O suose ue la codto récédete est vérfée O cosdère alors la varable aléatore Y défe ar Y Les varables aléatores et Y sot-elles déedates? Y Y Y Calculer E, V, us E, V et Sot ue varable aléatore u sut la lo uforme sur ; 0 ; O ose Y et Z Y Détermer la lo de Y et Z Calculer la covarace de et Y Les varables aléatores et Y sot-elle déedates? P P a où a est u Ue ure cotet ue boule blache et ue boule ore O effectue des rélèvemets d ue boule de cette ure selo le rotocole suvat : arès chaue trage, la boule obteue est remse das l ure O ajoute de lus boules de la couleur de la boule u vet d être trée avat le trage suvat * ) Das cette uesto, 0 Sot Quelle est la lo de robablté du ombre de boules blaches obteues au cours des remers trages? Précser so esérace et sa varace ) Das cette uesto, Quelle est la lo de robablté du ombre de boules blaches obteues au cours des deux remers trages? des tros remers trages? Peut-o gééralser les résultats obteus? ) Das cette uesto, est chos au début de l exérece, au hasard arm les tros ombres 0,, O effectue alors deux trages et o obtet les deux fos ue boule blache Quelle est la robablté d avor chos 0??? O cosdère ures u coteet chacue des jetos umérotés de à O tre au hasard u jeto das chaue ure O aelle le lus grad des uméros obteus ; ) Détermer l mage ar la focto de réartto F de la varable aléatore de tout élémet de ) Tracer la rerésetato grahue de F lorsue et 6 ) Doer la lo de robablté de das le cas gééral

4 Sot u eter aturel o ul O lace fos ue èce de moae doat le avec la robablté ( 0 ) et face avec la robablté O aelle -chaîe de le ue sute de lacers cosécutfs ayat tous doé le, cette sute devat être suve d u face ou être la derère sute du lacer de la èce, fos O aelle Y le ombre total de -chaîes de le obteues au cours des lacers, our Exemle : s, our le lacer suvat : PPFFPPPFPFP (P rerésetat le et F rerésetat face), o a : Y, Y, Y et Y 0, our ) Détermer la lo de Y et calculer E Y ) Démotrer ue PY et calculer E Y ) O ote, la varable aléatore u vaut s ue -chaîe de le commecée au -ème lacer, u vaut 0 so, our, et, a) Calculer P, b) Démotrer ue P, our, c) Démotrer ue P, d) Exrmer Y e focto des varables, E Y, us détermer 5 Sot u eter aturel o ul Sot u réel tel ue 0 ; Sot et Y deux varables défes sur u même esace robablsé telles ue sut la lo bomale de aramètres et et Y sut la lo bomale de aramètre et Démotrer ue our tout 0 ;;, o a : P P Y 6 Sot ue varable aléatore défe sur u esace robablsé f E a Détermer le mmum de la focto a 7 U joueur débute u jeu au cours duuel l est ameé à fare successvemet luseurs artes La robablté ue le joueur erde la remère arte est de 0, Le jeu se déroule esute de la maère suvate : S l gage ue arte, alors l erd la arte suvate avec ue robablté de 0,05 S l erd ue arte, alors l erd la arte suvate avec ue robablté de 0, Pour tout eter aturel o ul, o ote E l évéemet : «le joueur erd la -ème arte» ) O aelle la varable aléatore u doe le ombre de fos où le joueur erd lors des tros remères artes O ourra s ader d u arbre odéré Détermer la lo de robablté de ; calculer so esérace et sa varace ) Pour tout eter aturel o ul, o ote la robablté de l évéemet E Exrmer e focto de ; détermer lm 8 O cosdère ams A, A,, A ( est u eter aturel fxé suéreur ou égal à ) Chacu dsose d ue èce éulbrée u l lace ue fos, our obter le ou face S le résultat d u joueur est dfféret de celu des autres, l reçot de chacu d etre eux Das tous les autres cas, la arte est ulle O ote le ga algébrue e euros de l u uelcoue des joueurs, ar exemle A ) Détermer la lo de robablté de ) Calculer l esérace mathématue et la varace de Détermer leur lmte lorsue ted vers + O dsose boules das ue ure, umérotées de à U remer joueur effectue des trages sas remse (et au hasard chaue fos arm les boules restats) jusu au remer tour où l tre la boule ortat le uméro ) Démotrer ue sut ue lo uforme ; récser so esérace ) U secod joueur etre alors e scèe Das le remer cas, ce joueur effectue trages jusu à obter la boule de lus grad uméro arm les boules restates (o ose 0 lorsu l e reste lus de boules das l ure) Quelle est la lo de? Vérfer ue P 0 La calculatrce est autorsée O suose u ue acto cotée à la bourse de Pars coûte 50 euros le 5 javer 0 Chaue jour, o cosdère ue l acto a ue robablté 0,5 d augmeter de,5 % et ue robablté de basser de, % O sut l acto edat ue érode de 00 jours O ote la varable aléatore rerésetat le ombre de hausses de l acto edat ces jours et S la varable aléatore rerésetat le cours de l acto e euros à l ssue de la érode de 00 jours ) Quelle lo sut? Doer ses aramètres ) Exrmer S e focto de ) Calculer la robablté ue l acto coûte lus de 00 euros à l ssue de la érode O doera la valeur arrode au mllème ) Calculer l esérace et la varace de S O chost ue ermutato de E ; au hasard et o ote le ombre de ses ots fxes O ote e outre F l évéemet «La ermutato chose admet our ot fxe» our tout E ) Calculer P F our tout E et F Fj P our tout ; j E avec j ) Exrmer e focto des évéemets F,, F, us e dédure l esérace mathématue de ) a) Calculer cov F ;F j b) E dédure la varace de Iégalté d Edth Kosmae our tout ; j E avec j Sot A et B deux évéemets d u esace robablsé, P ) Démotrer ue l o a : P A B P A P B P A P A P B P B Idcato : calculer la covarace de deux varables aléatores be choses ) E dédure ue l o a : P A B P A P B (égalté d Edth Kosmae) Ue ure cotet 8 boules blaches et boules ores ( est u eter aturel suéreur ou égal à ) U joueur tre successvemet avec remse 0 boules de l ure et exame leurs couleurs Pour chaue boule blache trée, l gage 5, mas our chaue ore trée, l erd 0 O ote G le ga algébrue du joueur e euros e focto de sous forme smlfée ) Calculer E G et G ) Étuder le ses de varato des sutes de terme gééral E G et ted vers + as ue leurs lmtes lorsue G

5 O effectue trages avec remse das ue ure coteat boules umérotées de à O ote,, les résultats des trages successfs et o ose Y max,, ) Détermer la focto de réartto de Y ) E dédure ue EY ) Détermer u éuvalet de E Y uad ted vers + our fxé 5 O dt u ue varable aléatore Z défe sur u esace robablsé, P est ue varable aléatore de Rademacher our exrmer u elle red ses valeurs das ; et ue P Z P Z O cosdère ue famlle R, j j de varable aléatores, défes sur u esace robablsé f Rademacher, mutuellemet déedates O cosdère la varable aléatore u est égale au détermat de la matrce carrée de terme gééral j R, j Calculer l esérace mathématue et la varace de 6 Ue ure cotet deux boules blaches et tros boules rouges O tre les boules, l ue arès l autre et sas remse, jusu à obter ue boule blache O ote le rag d aarto de la remère boule blache Détermer la lo de robablté de us calculer so esérace et sa varace, P, de 8 O cosdère deux eters aturels et suéreurs ou égaux à Ue ure cotet boules umérotées de à O effectue trages successfs d ue boule avec remse O ote Z la varable aléatore u comte le ombre de uméros dfférets obteus à l ssue des trages Calculer l esérace mathématue et la varace de Z O lace dés cubues éulbrés dot les faces sot umérotées de à 6 O ote le ombre de uméros dfférets sorts Das le cas artculer où les uméros sot les mêmes, la varable aléatore red la valeur Détermer la lo de us calculer so esérace et sa varace 0 Sot U, U,, U des ures Chaue ure U cotet boules umérotées de à O chost ue ure au hasard us das l ure chose, o tre ue boule au hasard O ote le uméro de la boule trée ) Détermer la lo de robablté de ) Calculer l esérace de U garagste met e vete votures u l classe suvat catégores de rx () et catégores d état (Y) Y 5 Détermer la lo margale de et Y et la lo cojote du coule, Y 7 O cosdère u eter aturel Ue ure cotet boules umérotées de à O y effectue des trages successfs avec remse, jusu à obter our la remère fos u uméro déjà tré O ote alors T le rag aléatore de ce derer trage Par exemle, s 6 et s l o obtet successvemet les uméros, 5,, 7,, 5, la varable T 6 red la valeur 6, et s l o obtet successvemet les uméros 5,,,, 6, 5, la varable T 6 red la valeur, P, P l esace robablsé u sert de modèle à cette exérece O ote ) Calculer P T et P T ) Démotrer ue our tout,,,, o a P T E dédure our tout,,,, P T ) Détermer our fxé, lm P T ) Justfer ue l esérace mathématue de E T!! 0 0!! Commet eut-o terréter le résultat 0 T est doée ar E T P T E dédure ue

6 ) b) Z 5 Z x ; E Z P s ou 0 O trouve ; E Réoses 5 x ; P P E 5 6 ; le jeu est éutable s et seulemet ) 0 ) a) P ; P ; P ; P 5 ; E 6 b) P 5 ) c) ; V V 80 5 ) P 6 ) ; ) P 7 ) d) V E E ) ) x P A ; ; ; E P ; V ) E 0 0 x P C C C A amèe le et B amèe face à la -ème arte x y z ) a) Doer l exresso de la lus grade valeur ue eut redre b) P c) 7 ; : o a ue mse de euros à la arte u coclut ; le jeu s est arrêté à la -ème arte A B P d) Calculer l esérace mathématue et la varace de P E O est oblgé de séarer la somme E P E E E E E E 8 ) P A ; P B ; P A B Parte A ) ; ) S, ) 0,0 ) ; ) Parte B ) E G ) P A ; P B ) a) E et V b) P C ) P 000 ; la valeur mmale de est ) b) P ; P ; P 5 c) ) Verso Alexs Dubos (MPSIB aée scolare 05-06) S 0 S S S 5 E 5 )

7 S 0 S S S S S S S O cherche S S S Doc S ) ; r ; r 0 0 A ) ; 0 0 lm lm r ; lm ; E r 6 8 " mar" A A A ; r 0 ; P (calcul de sommes assez logs, dstguer évetuellemet les cas ar et mar) B B B 0 0 ar mar 0 0 ar mar A B 0 0 ) E Z ; Z 6 P / Z 0 5 V ) S 6 P, alors / Z ) 0 a ; ) E E Y ; a ; Y cov ; Y 0 Pourtat et Y e sot as déedates car P 0, Y 0 P 0 P Y 8a ; s, alors P E S E E E 6 ) est la varable aléatore égale à ; P 0, P P 0, P, P ; 8 8 E E E P 7 ) P 0,0 ; ; E 0,57 P 0,00 V 0,50 x 0 P x 0,7 0,0 0,5 0,00

8 ) 0,05 0, 05 c 0,7 0, 05 8 V ) Il s agt de Clémet Ferré ma 05!! ) Lorsue le secod joueur etre e scèe, l reste boules das l ure P / P 0 0 P / P m / La lo codtoelle de / est uforme / P m P m P P P m m P m our m Pour 0 m, o a : P 0 P ) PF ) F!! ; P F Fj ; P cov ; E F ) a) F Fj b) V cov ; V F F F j, je E V V ) F P Y ) PY E Y EY E Y ) E Y (somme de Rema)!! arcourt ; arcourt ; O chage la varable das la somme

9 5,,, det M R R R E R, E S S S 0 E E 0 det M ' R, R, ', ' S R, ' R, R, ' S, ' S, ' S,, '! ' R R / ' E somme de roduts u valet tous 0 S E! 6 La lo de robablté de est doée ar : E 0, 0, 0, 0, E x P x 0, 0, 0, 0, x P x x P x x P x x P x V V 8 O e cherche as la lo de robablté de Z O ote la varable aléatore u red la valeur s le uméro est sort, 0 so sut la lo de Beroull de aramètre Z E Z Sot et j deux eters dstcts comrs etre et vaut s et j sot sorts et 0 so j j sut la lo de Beroull de aramètre j E j E E j cov, V Z Questos de cours Éocer le théorème de trasfert our ue varable aléatore défe sur u uvers f Doer la formule doat l esérace mathématue d ue varable aléatore u sut la lo bomale ; redémotrer ce résultat Doer la défto de la focto de réartto d ue varable aléatore Éocer et démotrer la formule de Kœg-Huyges 5 Doer la formule de léarté our l esérace mathématue d ue varable aléatore défe sur u uvers f Démotrer ce résultat 6 Défr la lo bomale de aramètres et

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