Convergence de suites réelles

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1 DOMAINE : No olympique AUTEUR : Nicolas SÉGARRA NIVEAU : Itermédiaire STAGE : Motpellier 2014 CONTENU : Cours et exercices Covergece de suites réelles I) Rappels et otios de base. Défiitio 1. Ue suite réelle (à valeurs das R) est ue applicatio de N (ou ue partie ifiie de N) das R. Ue telle suite est otée : (u ) N (si elle est défiie sur N) ou simplemet (u ) lorsqu il y a pas d ambiguïté. Le ombre u (qui déped de l idice ) est appelé : terme gééral de la suite (u ). Ue suite (u ) peut être défiie par ue formule explicite (de la forme : N, u = f() où f est ue foctio de R das R) ou par récurrece (das ce cas, o doe u 0 R et N, u +1 = F (u ) où F est ue foctio de R das R). Exemples de suites : doés par les élèves. Défiitio 2. Soiet r et q deux réels. O appelle suite arithmétique de raiso r ue suite (u ) défiie par u 0 R et N, u +1 = u + r. O appelle suite géométrique de raiso q ue suite (v ) défiie par v 0 R et N, v +1 = qv. O vérifie facilemet par récurrece qu ue suite arithmétique (u ) de raiso r et de premier terme u 0 a pour terme gééral : u = u 0 + r et qu ue suite géométrique (v ) de raiso q et de premier terme v 0 a pour terme gééral : v = v 0 q. Défiitio 3. Soit (u ) N ue suite de réels. O dit que la suite (u ) est : costate si N, u +1 = u. croissate sur N (resp. strictemet croissate sur N) si N, u +1 u (resp. N, u +1 > u ). décroissate sur N (resp. strictemet décroissate sur N) si N, u +1 u (resp. N, u +1 < u ). mootoe sur N si elle est croissate ou décroissate sur N. majorée sur N si l esemble {u, N} est majoré i.e : s il existe u réel M tel que N, u M. miorée sur N si l esemble {u, N} est mioré i.e : s il existe u réel m tel que N,

2 u m. borée sur N si elle est majorée et miorée. périodique s il existe p N tel que N, u +p = u. Remarque. Attetio, ces défiitios ot été doées pour ue suite défiie sur N et s appliquet seulemet si la suite (u ) vérifie ue ou plusieurs de ces défiitios sur l esemble N tout etier! Il peut arriver que ce e soit pas le cas mais par cotre o pourra peut-être démotrer que (u ) est croissate à partir d u certai rag par exemple ou qu elle est périodique à partir d u certai rag. II) Notio de covergece d ue suite réelle. Défiitio 4. Soiet (u ) N ue suite de réels et l u réel. O dit que la suite (u ) coverge vers l (ou ted vers l ou a pour limite l) si : ε > 0, N ε N, N ε, u l ε. O otera : lim u = l ou u l. + + Exercice 1. Soit (u ) N la suite défiie par u = 1 + si(). Motrer, e utilisat la défiitio 4, que la suite (u ) coverge et détermier sa limite. Solutio de l exercice ( ) 1. Motros que la suite (u ) coverge vers 1. Soit ε > 0. 1 Soit N ε = E (où E désige la foctio partie etière. La partie etière d u réel ε x, otée E(x) ou x, est le plus grad etier iférieur ou égal à x). O a : N ε 1 ε 1 ε. Or, pour tout N, u 1 1 doc N ε, u 1 ε. Aisi, la suite (u ) coverge vers 1. Défiitio 5. Soit (u ) ue suite réelle. O dit que la suite (u ) ted vers + si A R, 0 N, 0, u A. O dit que la suite (u ) ted vers si A R, 0 N, 0, u A. Exercice 2. Etudier (avec les défiitios 4 et 5) la covergece d ue suite arithmétique de raiso r (selo les valeurs de r). Solutio de l exercice 2. Soit (u ) ue suite arithmétique de raiso r R défiie sur N (o aura les mêmes cas si la suite est pas défiie sur N tout etier). Alors, o peut écrire u = u 0 +r. Il est évidet que si r = 0, la suite (u ) coverge vers u 0 (e effet, o aura pour tout ε > 0 et N, u u 0 ε). O va motrer que si r > 0 alors alors lim u =. + Supposos das u ( premier temps ) que r > 0. Soit A R. A u0 Posos 0 = E r lim u = + et que si r < N (et r 0 car r > 0). O a : 0

3 A u 0 r A u 0 r A u 0 u A. O a motré que : A R, r ( ) A u0 0 = E + 1 N, 0, u A doc la suite (u ) ted vers + quad r r > 0. Supposos maiteat que r < 0. Soit A R. ( ) A u0 Comme précédemmet, o pose (e rajoutat ue valeur absolue pour r) : 0 = E + r 1 et o trouve que 0, u A doc la suite (u ) ted vers quad r < 0. Propriété 1. Soit (u ) ue suite réelle. 1. Si (u ) coverge alors sa limite est uique. 2. Si la suite (u ) coverge vers u réel l alors elle est borée (réciproque vraie?). 3. Si pour tout etier aturel, u N et si (u ) coverge vers u réel l alors (u ) est costate à partir d u certai rag. Démostratio. 1. Supposos que la suite (u ) coverge vers deux réels l et l avec l l. O pose : ε = l l > 0. Alors (par la défiito 4), à partir d u certai rag, les termes de la suite 3 (u ) serot das les itervalles : [l ε, l + ε] et [l ε, l + ε] mais ces deux itervalles sot disjoits doc ils e peuvet pas avoir des élémets e commu. Doc l = l. 2. La suite (u ) coverge vers l R alors ε > 0, N ε N, N ε, u [l ε, l + ε]. Alors, N, u max{u 0,..., u Nε 1, l + ε} et N, u mi{u 0,..., u Nε 1, l ε} doc (u ) est borée. 3. Si l = lim u était pas etier, alors, pour ε suffisammet petit, l itervalle [l ε, l+ε] e + cotiedrait aucu etier doc aucu des termes de la suite (u ). Doc l est u etier. Posos ε = 1, alors l itervalle [l ε, l + ε] cotiet u uique etier : l. Comme à partir d u certai 2 rag, tous les u sot das cet itervalle et qu ils sot tous etiers, ils sot tous égaux à l. Théorème 1. Soiet (u ) et (v ) deux suites covergetes de limites respectives : l et l. Alors la suite (u + v ) coverge vers l + l et la suite (u v ) coverge vers l l. Démostratio. Fixos ε > 0. Les suites (u ) et (v ) coverget vers l et l respectivemet doc il existe N ε et N ε N tels que : N ε, u l ε 2 et N ε, v l ε 2. Dès lors, max{n ε, N ε}, u l ε 2 et v l ε 2. Aisi, max{n ε, N ε}, u l + v l ε. Or, par l iégalité triagulaire, o a : u l + v l u l + v l aisi, o a : max{n ε, N ε}, u + v (l + l ) ε doc la suite (u + v ) coverge vers l + l. Exercice 3. Démotrer la deuxième partie du théorème 1. Solutio de l exercice 3. Fixos ε > 0. La suite (u ) est covergete doc elle est borée aisi, M > 0 tel que : N, u M.

4 Les suites (u ) et (v ) coverget vers l et l respectivemet doc il existe N ε et N ε N tels ε que : N ε, u l 2 l + 1 et N ε, v l ε 2M. O écrit : max(n ε, N ε), u v ll = u (v l )+l (u l) u v l + l u l doc max(n ε, N ε), u v ll M ε 2M + ε l 2 l + 1 u v ll ε. Exercice 4. Soit (u ) N la suite telle que : N, u = Détermier la limite de la suite (u ) N. 2 + cos() ( ) 1 si +. ( + 1)( + 2) Solutio de l exercice 4. O écrit : N, u = cos() Comme o a : lim + = 0, lim + si e déduit que la suite (u ) coverge vers 2. si ( ) 1 ( ) 1 = 0 et lim cos() ( ( ) ( ). ) ) ( = 1, o Défiitio 6. Etat doée ue suite (u ), ous appelleros bore supérieure et bore iférieure de (u ) les quatités, si elles existet : sup{u, N} et if{u, N}. La bore supérieure, si elle existe, de l esemble : {u, N} est le plus petit des majorats de cet esemble et sa bore iférieure, si elle existe, est le plus grad des miorats de cet esemble. Remarque. Toute partie o vide et majorée (resp. miorée) de R admet ue bore supérieure fiie (resp. ue bore iférieure fiie). Théorème Toute suite croissate et majorée coverge vers sa bore supérieure. 2. Toute suite croissate et o majorée ted vers Toute suite décroissate et miorée coverge vers sa bore iférieure. 4. Toute suite décroissate et o miorée ted vers. Démostratio. 1. Soit (u ) ue suite croissate et majorée. L esemble {u, N} R est majoré doc il admet ue bore supérieure fiie que l o ote l. Comme l est le plus petit des majorats de la suite (u ), pour tout ε > 0, l ε est pas u majorat de la suite (u ) doc il existe N ε N tel que : u Nε > l ε. De plus, la suite (u ) est croissate doc N ε, u u Nε. O a fialemet, ε > 0, N ε N, N ε, l ε < u l < l + ε. Ceci prouve la covergece de la suite (u ) vers le réel l. 2. Soit (v ) ue suite croissate et o majorée. La suite (v ) est o majorée doc A R, 0 N tq v 0 > A. La suite (v ) est croissate doc 0, v v 0 doc 0, v > A. Ceci prouve que

5 la suite (v ) ted vers +. Les poits 3 et 4 se démotret e appliquat les poits 1 et 2 et sot laissés e exercice. Défiitio 7. Soiet (u ) et (v ) deux suites réelles. O dit que les suites (u ) et (v ) sot adjacetes si : 1. (u ) est croissate. 2. (v ) est décroissate. 3. lim + (v u ) = 0. Propriété 2. Deux suites adjacetes coverget vers la même limite. Démostratio. (u ) est croissate et (v ) est décroissate doc la suite (v u ) est décroissate. De plus, la suite (v u ) coverge vers 0 doc N, v u 0. Doc o a : u 0 u v v 0. La suite (u ) est croissate et majorée par v 0 doc elle coverge et la suite (v ) est décroissate et miorée par u 0 doc elle coverge. Comme lim + (v u ) = 0, o a : lim + u = lim v. + Exercice 5. Soiet (u ) N et (v ) N les suites défiies par : N, u = 1 k=0 k! et N, v = u + 1!. Motrer que les suites (u ) N et (v ) N sot adjacetes. (Leur limite commue est autre que le ombre e = exp(1), o peut d ailleurs motrer avec os deux suites que c est u ombre irratioel!). 1 Solutio de l exercice 5. O a : N, u +1 u = > 0 doc la suite (u ) ( + 1)! est croissate (même strictemet croissate) sur N. D autre part, N, v +1 v = 1 ( + 1)( + 1)! < 0 doc la suite (v ) N est décroissate (même strictemet décroissate) sur N. Efi, o a bie : lim (v u ) = 0. Doc les suites (u ) N et (v ) N sot adjacetes. + Théorème 3. Soiet (u ) et (v ) deux suites de réels telles que (v ) coverge vers 0. Si à partir d u certai rag 0, u v alors (u ) coverge vers 0. Exercice 6. 1) Démotrer le théorème 3. 2) Eocer puis démotrer (e utilisat le théorème 3) le théorème des gedarmes. Solutio de l exercice 6. 1) La suite (v ) coverge vers 0 doc ε > 0, N ε N, N ε, v ε. Comme o a 0, u v, o e déduit que : max(n ε, 0 ), u ε. Aisi, la suite (u ) coverge vers 0. 2) Eoços le théorème des gedarmes : soiet (u ), (v ) et (w ) trois suites réelles telles que : (u ) et (w ) coverget vers la même limite l et à partir d u certai rag 0, o a :

6 u v w alors (v ) coverge vers l. Démostratio : O a 0, u v w doc 0, w u w v 0 aisi, 0, w v w u et o déduit la covergece de la suite (w v ) e utilisat le théorème 3 et efi, o déduit la covergece de la suite (v ). Exercice 7. Soit (u ) la suite défiie sur N par : N, u = + ( 1). + 2 Motrer que la suite (u ) coverge puis détermier sa limite. Solutio de l exercice 7. O a : N, 1 ( 1) 1 doc N, u aisi, par le théorème des gedarmes, o e déduit que la suite (u ) ted vers 1. Théorème 4. Soiet (u ) et (v ) deux suites de réels telles que : N, u v. 1. Si lim u = + alors lim v = Si lim v = alors lim u =. + + La démostratio de ce théorème est quasimet immédiate doc elle est laissée e exercice. III) Exercices d etraîemet. Exercice 8. Soit (u ) N ue suite de réels. Pour tout N, o ote : c = 1 (u u ) = 1 u k. k=1 Le ombre c est la moyee arithmétique des premiers termes de la suite (u ). La suite (c ) est appelée : "suite des moyees de Cesaro" de (u ). Motrer que si la suite (u ) coverge vers u réel l alors la suite (c ) coverge aussi vers l. Solutio de l exercice 8. La suite (u ) coverge vers l doc ε > 0, N ε N, N ε, u l ε. O a N ε, c l = 1 (u k l) 1 N ε u k l + 1 u k l k=1 k=1 k=n ε +1 1 N ε u k l + 1 ε et 1 ε = ( N ε)ε d où : c l 1 N ε u k l + k=1 k=n ε +1 k=n ε +1 k=1 ( N ε )ε 1 N ε u k l + ε. Or, N ε u k l e déped pas de doc il existe N N tel k=1 k=1 que N, 1 N ε u k l ε. Aisi, max(n ε, N), c l 2ε. Doc la suite (c ) coverge vers l. k=1 Exercice 9. O cosidère la suite (u ) défiie par u 0 = 3 et pour tout N, u = u Motrer que la suite (u ) coverge vers 2. Solutio de l exercice 9. L astuce das ce gere d exercice (très ouvert!) est de calculer les premiers termes de la suite (u ) pour cojecturer so ses de variatio. Esuite, selo le ses

7 de variatio cojecturé, o pourra essayer de miorer ou de majorer la suite (u )! O commece par motrer par récurrece que N, u 2. Pour = 0, c est clair! Supposos qu au rag N, o ait : u 2. Alors : u 2 0 u +2(+1) 2 2 2(+1) 2 u +1 2, ce qui achève la récurrece. Esuite, o motre que la suite (u ) est décroissate sur N, e effet : o a N, u u 1 = (2 1)(2 u 1 ) 0. Aisi, la suite (u ) est décroissate et miorée doc elle coverge. Efi, comme (u ) est décroissate sur N et u 0 = 3, o a : N, u 1 3 u O a fialemet : 2 u et e utilisat le théorème des gedarmes, o coclut que la suite (u ) coverge vers 2. Exercice 10. O doe la défiitio suivate : soiet I u itervalle iclus das R, f ue foctio de I das R et a I. O dit que la foctio f est cotiue e a si : ε > 0, η > 0, x I, x a η f(x) f(a) ε. Démotrer le théorème suivat : soiet (u ) ue suite d élémets de I qui coverge vers u réel l et f ue foctio (défiie sur u itervalle I R et à valeurs réelles) cotiue e l. Alors la suite (f(u )) coverge vers f(l). Solutio de l exercice 10. Fixos ε > 0. La cotiuité de la foctio f e l doe : η > 0, x I, x l η f(x) f(l) ε. De plus, la suite (u ) coverge vers l doc N η N, N η, u l η. O obtiet alors : N η, f(u ) f(l) ε doc la suite (f(u )) coverge vers f(l). Exercice 11. O doe la défiitio suivate : soit (u ) N ue suite réelle. O appelle suite extraite ou sous suite de la suite (u ) N, toute suite (v ) N défiie par : v = u ϕ() où ϕ est ue foctio strictemet croissate de N das N. Motrer que si ue suite (u ) coverge vers u réel l alors toute suite extraite de (u ) coverge vers l. Solutio de l exercice 11. Fixos ε > 0. Soit (u ) ue suite qui coverge vers u réel l. O peut alors écrire : N ε N, N ε, u l ε. Soit (v ) = (u ϕ() ) ue suite extraite de la suite (u ). O a : N, ϕ() (se motre facilemet par récurrece) doc N ε, ϕ() N ε aisi, N ε, u ϕ() l = v l ε. Doc la suite (u ϕ() ) coverge vers l. Exercice 12. Démotrer la propriété suivate : soiet I R, f : I R ue foctio, (u ) ue suite d élémets de I défiie par récurrece par : u 0 I et N, u +1 = f(u ) et covergeat vers u réel l. Si f est cotiue e l alors l est u poit fixe de f. Solutio de l exercice 12. La suite (u ) coverge vers l et la foctio f est cotiue e l doc d après l exercice 9, la suite (f(u )) coverge vers f(l). De plus, d après l exercice 10, o a : lim u +1 = lim u = l. Aisi, par la relatio : u +1 = f(u ) et par uicité de la limite, o + + a : l = f(l). 2

8 Exercice 13. Soit (u ) la suite défiie par récurrece par u 0 = 1 et N, u +1 = Motrer que la suite (u ) coverge et détermier sa limite. u u Solutio de l exercice 13. Après les calculs de u 1 et u 2, o cojecture que la suite (u ) est décroissate et qu elle est miorée par 0. Motrer que (u ) est miorée par 0 est ue récurrece immédiate. Pour motrer que (u ) est décroissate, o calcule : N, u +1 u = u2 + u 1. O remarque que le triôme : u x 2 + x 1 est strictemet égatif pour tout réel x car so discrimiat est strictemet égatif. Aisi, o a : N, u +1 u < 0 doc la suite (u ) est décroissate sur N (et même strictemet décroissate sur N!). La suite (u ) est décroissate et miorée doc elle coverge vers u réel l. Pour trouver l, o peut remarquer que : N, u +1 = f(u ) où f est la foctio défiie x sur R par : f(x) =. Cette foctio est ue foctio ratioelle dot le déomiateur e s aule pas sur R doc elle est cotiue sur R. O peut alors appliquer la x propriété de l exercice 11 et o e déduit que l est u poit fixe de f i.e : f(l) = l. O a : f(l) = l l l = l l = l(l2 +1) (ces équivaleces logiques ot u ses car l ). O obtiet fialemet : f(l) = l l 3 = 0 l = 0. Coclusio : la suite (u ) coverge vers 0.