Familles sommables. . De plus, ϕ(n) 0 n est pair et donc. 2 n si n est pair = n. +1 si n est impair. 2 si n < 0. Z est dénombrable.

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1 Familles sommables I - Ensembles dénombrables Définition Définition. Soit E un ensemble. E est dénombrable si et seulement si il existe une bijection de N sur E. Commentaire. Les éléments d un ensemble dénombrable peuvent être «égrenés» les uns après les autres : le premier, le deuxième, le troisième... Dit autrement, un ensemble dénombrable E peut être décrit comme l ensemble des valeurs d une suite : E = {x n, n N}. Commentaire. Si ϕ est une bijection de E sur N, alors ϕ est une bijection de N sur E et si ϕ est une bijection de N sur E, alors ϕ est une bijection de E sur N. Donc, on a aussi : E est dénombrable si et seulement si il existe une bijection de E sur N. Exemple. Soit ϕ : N n Z n si n est pair n+ si n est impair est une bijection Z N En effet, ϕ est bien une application. Soit alors ψ : Z { N. ψ est une application de N dans Z. n si n 0 n n+ si n < 0 { ϕn si ϕn 0 Soit n N. ψϕn =. De plus, ϕn 0 n est pair et donc ϕn+ si ϕn < 0 n si n est pair ψϕn = n+ = n. + si n est impair De même, pour n Z, ϕψn = n si n 0 n++ si n < 0 Donc, ψ ϕ = Id N et ϕ ψ = Id Z. On sait alors que ϕ est une bijection et que ψ = ϕ. Puisqu il existe une bijection de N sur Z, Z est dénombrable. = n. Exemple. Soit ϕ : N N n n entiers pairs. Donc,. ϕ est une bijection de l ensemble N des entiers naturels sur l ensemble N des N est dénombrable. Théorème. Si E est un ensemble dénombrable et si F est un ensemble en bijection avec E, alors F est dénombrable. Démonstration. Soit f une bijection de E sur N et soit g une bijection de F sur E. Alors, g f est une bijection de F sur N et donc F est dénombrable. c Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés. http ://

2 Divers types d ensembles dénombrables On a vu précédemment que N est dénombrable. Plus généralement : Théorème. Toute partie infinie de N est dénombrable. Démonstration. Soit A une partie infinie de N. Construisons une bijection strictement croissante de N sur A. A est en particulier une partie non vide de N. Donc, A admet un plus petit élément que l on note ϕ0. Puisque A est infinie, A\ 0,ϕ0 est encore infinie et en particulier n est pas vide. Donc, A\ 0,ϕ0 admet donc un plus petit élément que l on note ϕ. Par construction, ϕ > ϕ0. De plus, A ϕ0,ϕ = {ϕ}. Soit n. Supposons avoir construit ϕ0,..., ϕn tels que ϕ0 <... < ϕn et pour k,n, A ϕk,ϕk = {ϕk}. Puisque A est infinie, A\ 0,ϕn est encore infinie et en particulier,a\ 0,ϕn est une partie non vide den.a\ 0,ϕn admet un plus petit élément que l on note ϕn+. Par construction, ϕn+ > ϕn eta ϕn,ϕn+ = {ϕn+}. On vient de construire par récurrence une application ϕ de N dans A, strictement croissante et donc injective. Soit alors y A. Si y 0,ϕ0, alors y 0,ϕ0 A = {ϕ0} et donc y = ϕ0 ϕn. Sinon, puisque la suite ϕn n N est une suite strictement croissante d entiers naturels, il existe k N tel que ϕk < y ϕk. On en déduit que y A ϕk,ϕk = {ϕk} et donc que y = ϕk ϕn. On a montré que ϕn = A et donc que ϕ est surjective. Finalement, ϕ est une bijection de N sur A ou encore A est dénombrable. Une conséquence du théorème est : Théorème 3. Un ensemble non vide est fini ou dénombrable si et seulement si il est en bijection avec une partie non vide de N. Démonstration. Soit E un ensemble non vide fini ou dénombrable. Si E est fini, on sait qu il existe n N tel que E soit en bijection avec,n n est alors le cardinal de E. Si E est infini dénombrable, E est en bijection avec N. Dans tous les cas, E est en bijection avec une partie non vide de N. Réciproquement, soit E est un ensemble non vide tel qu il existe une bijection f de E sur une certaine partie non vide A de N. Si A est finie, il existe n N et g bijection de A sur,n où n est le cardinal de A. Mais alors, g f est une bijection de E sur,n et donc E est fini de cardinal n. Si A est infinie, d après le théorème, A est dénombrable et donc il existe une bijection g de A sur N. Dans ce cas, g f est une bijection de E sur N et donc E est dénombrable. Théorème 4. N est dénombrable. Démonstration. Soit ϕ : N N. ϕ est une application de N dans N. m,p m p+ Soit m,p N. ϕm,p = m p+ = m = p+ = m = p = 0 m,p = 0,0. Donc, l élément de N a un et seul antécédent par ϕ à savoir 0,0. Sinon, pour n donné, le théorème fondamental de l arithmétique montre qu il existe un et un seul couple m,p d entiers naturels tel que n = m p+ n est de manière unique le produit d une puissance de et d un nombre impair et que ce couple m,p n est pas le couple 0,0. En résumé, n N,!m,p N / ϕm,p = n. ϕ est donc une bijection de N sur N. Puisque N est une partie infinie de N, N est dénombrable d après le théorème et finalement N est dénombrable d après le théorème. Commentaire. On peut citer une autre bijection de N sur N voir exercices maths sup, planche n o 3, exercice n o 4 : x,y N, fx,y = x+yx+y+ +y. c Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés. http ://

3 ,0 0, 30, 60,3 00,4 0,5... 0,0 4, 7,,3,4, ,0 8,,,3,4, ,0 33, 3, 3,3 3,4 3, ,0 4, 4, 4,3 4,4 4, ,0 5, 5, 5,3 5,4 5,5... Théorème 5. Un produit cartésien fini d ensembles dénombrables est dénombrable. Démonstration. Commençons par vérifier le résultat pour un produit de deux ensembles dénombrables. Soient E et E deux ensembles dénombrables. Il existe une bijection f de E sur N et une bijection f de E sur N. Soit ϕ : E E N. Pour tout n,m N, il existe un et un seul a,b E E tel que a,b f a,f b f a,f b = n,m. Ceci montre que ϕ est une bijection de E E sur N. Puisque N est dénombrable d après le théorème 4, E E est dénombrable d après le théorème. Soit k. Supposons qu un produit cartésien de k ensembles dénombrables soit dénombrable. Soient E,..., E k+, k+ k k + ensembles dénombrables. Alors E i = E i E k+ est dénombrable par hypothèse de récurrence et d après le cas k =. i= On a montré par récurrence qu un produit cartésien d ensembles dénombrables est dénombrable. i= L exemple du paragraphe permet d énoncer Théorème 6. Z est dénombrable. et en cumulant les résultats des théorèmes 4, 5 et 6, on peut énoncer Théorème 7. k N, N k est dénombrable et k N, Z k est dénombrable. Théorème 8. Une réunion dénombrable d ensembles dénombrables est dénombrable. Démonstration. Soit I un ensemble dénombrable d indices. Soient E i une famille d ensembles dénombrables indexée par I puis E = E i. Pour chaque i I, il existe une bijection f i de N sur E i. Soit ϕ : I N E. ϕ est une i,n f i n application surjective de I N sur E. D autre part, I est dénombrable et donc I N est dénombrable d après le théorème 5. Il existe donc une bijection ψ de N sur I N. L application g = ψ φ est une surjection de N sur E. Montrons alors qu à partir de l application g, on peut construire une application bijective de E sur une partie infinie de N. Soit y E. g y = {n N/ gn = y} est une partie non vide de N. Donc, g y admet un plus petit élément que l on note n y. Considérons f : E N. f est une application de E dans N. Soient alors y et y deux éléments de E. y n y Si n y = n y, alors y = gn y = gn y = y. Donc, f est une application injective de E dans N ou encore f induit une bijection de E sur A = fe qui est une partie de N. On en déduit que E est fini ou dénombrable. Comme E contient au moins un ensemble dénombrable, E est infini et finalement E est dénombrable. En adaptant un peu la démonstration précédente, on obtient le théorème suivant que nous admettrons : Théorème 9. Une réunion finie ou dénombrable d ensembles finis ou dénombrables est un ensemble fini ou dénombrable. On en déduit en particulier que Théorème 0. Q est dénombrable. c Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés. 3 http ://

4 { a Démonstration. Pour n N, posons E n = b, a,b Z N, a n, b n }. On a Q = E n et chaque E n est n N fini de cardinal inférieur ou égal à nn +. Donc, Q est fini ou dénombrable d après le théorème précédent puis Q est dénombrable car Q est infini. Plus généralement, Théorème. k N, Q k est dénombrable. Citons enfin un premier exemple très important d ensemble non dénombrable : Théorème. R n est pas dénombrable. Démonstration. Contentons nous de montrer que l intervalle [0, [ n est pas dénombrable. Supposons le contraire par l absurde. On peut donc trouver une bijection n x n de N dans [0,[ et en particulier [0,[ est l ensemble des valeurs d une certaine suite x n n N : [0,[= {x n, n N}. On sait que chaque réel x n de [0,[ admet un développement décimal propre de la forme x n = 0,d n, d n, d n,3... où les d n,k, k N, sont les décimales de x n et donc des éléments de 0,9 et les d n,k, k N, ne sont pas toutes égales à 9 à partir d un certain rang. On va maintenant construire un réel de [0,[ qui ne peut être l un des x n selon le principe de la diagonale de Cantor : x 0 = 0, d 0, d 0, d 0,3 d 0,4 d 0,5... x = 0, d, d, d,3 d,4 d,5... x = 0, d, d, d,3 d,4 d,5... x 3 = 0, d 3, d 3, d 3,3 d 3,4 d 3,5... x 4 = 0, d 4, d 4, d 4,3 d 4,4 d 4,5.... On considère x = 0,c c c 3... où c, c, c 3 sont des chiffres éléments de 0,8 tels que c d 0,, c d,, c 3 d,3... Puisque n N, c n d n,n, on en déduit que n N, x x n par unicité d un développement décimal propre. L hypothèse de dénombrabilité faite sur [0,[ est donc absurde et on a montré que [0,[ n est pas dénombrable et donc que R n est pas dénombrable. Commentaire. N, Z, Q et R sont des ensembles infinis. Il existe une bijection de N sur Z ou Q mais il n existe pas de bijection de N sur R il existe néanmoins une injection de N sur R à savoir n n. Dit autrement, «l infini de R est strictement plus grand que l infini de N, Z ou Q». Les mathématiciens ont décidé de noter ℵ 0 aleph 0 où aleph est la première lettre de l alphabet hébreu le cardinal de N, Z, Q et ℵ le cardinal de R. On a donc ℵ 0 < ℵ. Cantor a mis en évidence le fait que chaque fois que l on se donne un ensemble E fini ou pas, on peut en construire un autre de cardinal strictement plus grand : si E est un ensemble alors carde < cardpe on a bien sûr carde cardpe car on dispose d une injection de E dans PE à savoir l injection x {x}. La démonstration du fait qu il n existe pas de bijection de E sur PE ressemble à un tour de magie où l on doit découvrir le truc et pourtant il n y a aucun truc : Soit f une application de E vers PE. Soit A = {x E/ x / fx}. Montrons que A est un élément de PE qui n a pas d antécédent par f. Dans le cas contraire, il existe x 0 E tel que fx 0 = A. Mais où est x 0? Si x 0 A = {x E/ x / fx}, alors x 0 / fx 0 = A ce qui est une contradiction et si x 0 / A = {x E/ x / fx}, alors x 0 fx 0 = A ce qui est une contradiction. Donc, x 0 n existe pas ou encore A est un élément de PE qui n a pas d antécédent dans E par f. On a montré qu une application de E vers PE n est jamais surjective. Notons que dans le cas où E est fini de cardinal n, ce qui précède montre de manière assez sophistiquée que n < n. Ainsi, par exemple, PR est un ensemble infini de cardinal strictement plus grand que ℵ le cardinal de R, cardinal que les mathématiciens ont appelé ℵ et ainsi de suite. ℵ 0 < ℵ < ℵ < ℵ 3... c Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés. 4 http ://

5 II - Familles dénombrables sommables A - Familles réelles positives sommables Définition Définition. Soit I un ensemble dénombrable d indices. Soit u i une famille de réels positifs indexée par I. { } La famille u i est sommable si et seulement si Sup u i, J I, J fini < +. La famille u i est dite non sommable dans le cas contraire. Si la famille u i est sommable, la somme des éléments de cette famille ou encore, en plus condensé, la somme de cette famille est Su = { } u i = Sup u i, J I, J fini. Si la famille u i n est pas sommable, on pose u i = +. Dans le cas d une suite de réels positifs, on peut tout de suite faire le lien avec la convergence d une série. Les notions de suite sommable et de série convergente coïncident : Théorème 3. Soit u n n N une suite de réels positifs. La suite u n n N est sommable si et seulement si la série de terme général u n converge et dans ce cas, u n = n N Démonstration. { } Supposons la suite u n n N sommable. PosonsSu = Sup u k, J N, J fini. Pour toutn N, posonsi n = 0,n. Pour tout n N, I n est une partie finie de N et donc n N, n Ainsi, la suite des sommes partielles u k de terme général u k, k N, converge et que n N k J n u k = u n. k I n u k Su. est majorée. Puisque la suite u k k N est positive, on sait que la série u k Su. Supposons la la série de terme général u n, n N, converge. Soit J une partie finie non vide de N. J admet donc un plus grand élément n. Puisque J 0,n et que la suite u k k N est positive, on a u k k J n u k { } Ainsi, u k, J N, J fini est une partie non vide et majorée par k J u k. admet une borne supérieure Su dans R ou encore que la suite u k k N est sommable. De plus Su { } u k der. On en déduit que u k, J N, J fini En résumé, la suite u k k N est sommable si et seulement si la série de terme général u n converge et de plus, en cas de convergence, Su u k Su ou encore Su = u k. c Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés. 5 http :// u k. k J

6 Propriétés des familles sommables de réels positifs Théorème 4. Soit I un ensemble dénombrable d indices. Soient u i et v i deux familles de réels positifs indexée par I telles que pour tout i I, u i v i. Si la famille v i est sommable, alors la famille u i est sommable et u i Si la famille u i n est pas sommable, alors la famille v i n est pas sommable. Démonstration. Supposons la famille u i sommable. Alors, pour toute partie finie J de I, u i v i v i. { } Donc, u i, J fini, J I est une partie non vide de R majorée par { } v i. On en déduit que Sup u i, J fini, J I existe dans R et que ce sup est inférieur ou égal à v i. v i ou encore la famille u i est sommable et Par contraposition, si la famille u i n est pas sommable, alors la famille v i n est pas sommable. u i v i. Théorème 5. Soit I un ensemble dénombrable d indices. Soient u i et v i deux familles de réels positifs indexée par I. Si les familles u i et v i sont sommables, alors pour tous réels positifs λ et µ, la famille λu i +µv i est sommable et λu i +µv i = λ u i +µ v i. Démonstration. Supposons les familles u i et v i sommables. Soit λ,µ R +. Pour toute partie finie J de I, λu i +µv i = λ est sommable et Sλu+µv λsu+µsv. u i +µ v i λ u i +µ Pour ε > 0, il existe une partie finie J de I et une partie finie J de I telles que u i Su Sv ε µ+. Soit J = J J. J est une partie finie de I et Sλu+µv λu i +µv i = λ u i +µ v i λ u i +µ v i λsu λε λ+ λ+ ε µ+ ε λsu+µsv = Su+Sv ε. λ+ µ+ Ainsi, ε > 0, λsu+µsv ε Sλu+µv λsu+µsv et donc Sλu+µv = λsu+µsv. v i. Donc, la famille λu i +µv i ε λ+ et v i +µsv µε µ+ La démonstration du théorème suivant est hors programme. Théorème 6. Théorème de sommation par paquets Soit I un ensemble dénombrable d indices. Soit u i une famille sommable de réels positifs indexée par I. Soient J une partie non vide de N puis I n n J une partition de I indexée par J. Alors, pour chaque n J, la famille u i n est sommable ; la famille est sommable et de plus n u i n J = u i. n J n u i c Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés. 6 http ://

7 B - Familles complexes sommables Définition Définition 3. Soit I un ensemble dénombrable d indices. Soit u i une famille de complexes indexée par I. La famille u i est sommable { si et seulement si la } famille u i est sommable ou encore la famille u i est sommable si et seulement si Sup u i, J I, J fini < +. n= Exemple. Pour n Z, posons u n = einθ n + où θ est un réel donné. Pour tout n de Z, u n = n + avec n + = n Z e inθ + n < +. Donc, la famille + n est sommable. + n Z On fait de nouveau le lien entre sommabilité et convergence d une série dans le cas particulier où I = N. Le théorème 3 fournit immédiatement Théorème 7. Soit u n n N une suite de nombres complexes. La suite u n n N est sommable si et seulement si la série de terme général u n est absolument convergente. Somme d une famille sommable de réels Soit I un ensemble dénombrable d indices. Soit u i une famille de réels indexée par I. Pour i I, on pose u + i = Maxu i,0 = u i +u i Pour tout i I, u + i et u i sont des réels positifs tels que On a le résultat suivant : et u i = Minu i,0 = Max u i,0 = u i u i. u + i +u i = u i et u + i u i = u i. est som- Théorème 8. Soit I un ensemble dénombrable d indices. Soit u i une famille de réels indexée par I. La famille u i est sommable si et seulement si les familles u + i et u i sont sommables. Démonstration. Si les familles u + i et u i sont sommables, alors la famille u i = u + i +u i mable d après le théorème 5. Par définition, la famille u i est sommable. Inversement, si la famille u i est sommable, par définition la famille u i est sommable. Puisque pour tout i I, 0 u + i u i et 0 u i u i, le théorème 4 permet d affirmer que les familles u + i et u i sont sommables. Définition 4. Soit I un ensemble dénombrable d indices. Soit u i une famille sommable de réels indexée par I. La somme de la famille u i est le réel Su = u i = u + i u i. 3 Somme d une famille sommable de complexes Théorème 9. Soit I un ensemble dénombrable d indices. Soit u k k I une famille de complexes indexée par I. La famille u k k I est sommable si et seulement si les familles Reu k k I et Imu k k I sont sommables. Démonstration. Supposons que les familles Reu k k I et Imu k k I sont sommables, alors la famille Reu k + Imu k k I est sommable d après le théorème 5. Puisque pour tout k I, 0 u k Reu k + Imu k, le théorème 4 permet d affirmer que la famille u k k I est sommable. Il en est de même de la famille u k k I. Si la famille u k k I est sommable, alors la famille u k k I est sommable. Puisque pour tout k I, Reu k u k et Imu k u k, le théorème 4 permet d affirmer que les familles Reu k k I et Imu k k I sont sommables. c Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés. 7 http ://

8 On peut alors adopter la définition suivante : Définition 5. Soit I un ensemble dénombrable d indices. Soit u k k I une famille sommable de complexes indexée par I. La somme de la famille u k k I est le réel Su = u k = Reu k +i Imu k = Reu k + Reu k +i Imu k + i Imu k. k I k I k I k I k I k I k I Dans le cas particulier des suites de complexes, on a immédiatement Théorème 0. Soit u n n N une suite de nombres complexes. La suite u n n N est sommable si et seulement si la série de terme général u n est absolument convergente et dans ce cas, u n = n N u n. 4 Propriétés des familles sommables de complexes Théorème. Linéarité Soit I un ensemble dénombrable d indices. Soient u i et v i deux familles de complexes indexée par I. Si les familles u i et v i sont sommables, alors pour tous complexes λ et µ, la famille λu i +µv i est sommable et λu i +µv i = λ u i +µ v i. Démonstration. Pour tout i I, λu i +µv i λ u i + µ v i et donc la famille λu i +µv i est sommable. Pour toute partie finie J de I, Sλu+µv λsu+µsv Sλu+µv λu i +µv i + λu i +µv i λsu+µsv Sλu+µv λu i +µv i + λ Su u i + µ Sv v i Soit ε > 0. Il résulte de la définition de la somme d une famille sommable que l on peut choisir J telle que Sλu+µv λu i +µv i ε, Su ε u i 4 λ + et Sv ε v i. On a alors 4 µ + Sλu+µv λsu+µsv ε + λ ε 4 λ + + µ ε 4 µ + ε + ε 4 + ε 4 = ε. Ainsi, ε > 0, Sλu+µv λu i +µv i ε et donc Sλu+µv = λsu+µsv. La démonstration du théorème suivant est hors programme. Théorème. Théorème de sommation par paquets Soit I un ensemble dénombrable d indices. Soit u i une famille sommable de complexes indexée par I. Soient J une partie non vide de N puis I n n J une partition de I indexée par J. Alors, pour chaque n J, la famille u i n est sommable ; la famille est sommable et de plus n u i n J = u i. n J n u i c Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés. 8 http ://

9 Dans le cas particulier d une suite complexe sommable, le théorème a pour conséquence le fait que si u n est une série absolument convergente, on peut permuter ou associer à volonté les termes de cette série. Ceci n est pas du tout le cas si on n a plus l hypothèse d absolue convergence. Analysons deux exemples. Exemple. On sait que la série de terme général n, n N, est divergente. Pourtant, la série de terme général p + p+ = 0 est une série convergente, de somme 0. Dit autrement, n existe pas alors que existe et vaut 0. On ne peut donc pas enlever les parenthèses ou encore, associer les termes d une série est un problème et n en est plus un dans le cas d une série absolument convergente. Exemple. On sait que la série de terme général n, n N, est convergente sans être absolument convergente et n n que = ln ou encore n = ln. 4 n= Intéressons nous alors à la somme ou encore étudions la convergence de la série de terme 4 général u n où p N, u 3p = p et p N, u 3p+ = 4p+ et u 3p+ = 4p+3. n n Pour n N, posons S n = u k et H n = k. Classiquement, H n = lnn + γ + o où γ est la constante n + d Euler. Pour p N, Donc, S 3p = p 4k 3 + 4k = k p k p 4p k = p k k p k = H 4p H p H p. S 3p = p + ln4p+γ+o lnp+γ+o lnp+γ+o = p + ln4 ln+o = p + 3 ln+o. D autre part, S 3p+ = S 3p + 3 = 4p+ p + ln+o et S 3p+ = S 3p+ + 3 = ln+o. Ainsi, les trois 4p+3 p + suites S 3p p N, S 3p+ p N et S 3p+ p N convergent et ont même limite. On en déduit que la suite S n n N converge et par pour limite ln. Dit autrement, = 3 ln ln = Dans le cas d une série absolument convergente, on peut permuter les termes à volonté ou encore Théorème 3. Soit u n n N une suite complexe. On suppose que la série de terme général u n est absolument convergente. Alors, pour toute permutation σ de N, la série de terme général u σn est absolument convergente et de plus n Nu σn = n N u n. 5 Application de la sommabilité aux suites doubles c Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés. 9 http ://

10 Théorème 4. Soit u m,n n,m N une suite «à double entrée» de réels positifs. La famille u m,n m,n N est sommable si et seulement si pour chaque n N, la série de terme général u m,n, m N, converge et la série de terme général v n = série de terme général u m,n, n N, converge et la série de terme général w m = u m,n = m,n N u m,n, n N, converge. De plus, dans ce cas, pour chaque m N, la + u m,n = + u m,n u m,n, m N, converge et Démonstration. Supposons la suiteu m,n n,m N sommable.n {n} n N est une partition den. D après le théorème 6, page 6, théorème de sommation par paquets pour chaque n N, la série de terme général u m,n, m N, converge et la série de terme général v n = u m,n, n N, converge et de plus u m,n = m,n N u m,n = m,n N {n} + u m,n. De même, pour chaquem N, la série de terme généralu m,n,n N, converge et la série de terme généralw m = u m,n, n N, converge et de plus + u m,n = u m,n = u m,n. m,n N m,n {m} N + Réciproquement, supposons que pour tout n N, u m,n < + puis que u m,n < +. Posons S = + u m,n. Soit J une partie finie de N. Il existe m,n N tel que J 0,m 0,n. On a alors n n n u p,q u p,q u p,q p,q J q=0 p=0 q=0 p=0 q=0 p=0. u p,q = S. Ainsi, pour toute partie finie J de N, u p,q S. On en déduit que la suite u m,n n,m N est sommable. p,q J Théorème 5. Soit u m,n n,m N une suite «à double entrée» de complexes. Si la famille u m,n m,n N est sommable, alors pour chaque n N, la série de terme général u m,n, m N, converge et la série de terme général v n = général u m,n, n N, converge et la série de terme général w m = m,n N u m,n = u m,n, n N, converge et de même, pour chaque m N, la série de terme + u m,n = u m,n, m N, converge. De plus, + u m,n. Démonstration. Ce théorème est une conséquence immédiate du théorème de sommation par paquets théorème, page 8. c Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés. 0 http ://