Sylvain ETIENNE 2003\2004 PLC1 Exposé 11

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1 Sylvain ETIENNE 00\004 PGCD ET PPCM DE DEUX ENTIERS NATURELS NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX APPLICATIONS L EXPOSE POURRA ETRE ILLUSTRE PAR UN OU DES EXEMPLES FAISANT APPEL A L UTILISATION DE LA CALCULATRICE Niveau : Terminale S Pré-requis : Divisibilité dans Suites I INTRODUCTION C est vers 00 avant J-C qu Euclide décrit un algorithme calculant le PGCD de deux nombres entiers Cette recherche systématique trouve une place dans la résolution d un certain type d équations, délicates à résoudre sans cet outil Nous allons donc définir le PGCD et le PPCM de deux entiers, puis la primalité de deux entiers Enfin, nous étudierons ces équations II PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR Ce paragraphe a pour but la recherche des diviseurs positifs, communs à deux entiers positifs a et b Par convention, les diviseurs d un entiers naturel seront toujours des diviseurs positifs A DIVISEURS COMMUNS A DEUX ENTIERS NATURELS Pour a, notons D ( a = { x / x a} l ensemble des diviseurs de a Et pour D ab, = x / xaet xb} l ensemble des diviseurs communs à a et b (,, notons ab { (, = D( Théorème 1 : Ainsi, nous avons D ab D a b Soit ( ab, Il existe un et un seul entier naturel δ tel que D( ab, = D( δ Existence : Si b = 0, alors a,0 = a Et si 0, alors D 0,b = D b D D a = = = 0 D( 0,0 = D( 0 0 b a Si D( ab, = D( b Si a b, alors Supposons, à présent, < ba, alors Sinon, écrivons la division euclidienne de a par b, soit a = b q+ r avec 0 r < b Il vient alors : D ( ab, ( = D br, Ainsi, nous pouvons changer le couple ab, par ( br, Page 1

2 Sylvain ETIENNE 00\004 Si r = 0, D( br, = D ( b et nous pouvons arrêter Si r 0, nous faisons la division euclidienne de b par r, soit b= q r+ r D où ( ab, = ( br, = ( rr, 1 D D D Et ainsi de suite Cette suite admet un reste nul, car les restes successifs rr,, sont des entiers positifs qui vont en décroissant strictement Nous obtenons alors : D, = D r,0 = D r est le dernier reste non nul, et dans ce cas, nous posons δ = r n 1 ( ab ( Unicité : Nous avons D ( 0,0 =D ( 0, ce qui donne l unicité pour a = b =0 Nous pouvons à présent supposer que a 1 ou b 1 Dans ce cas, si δ est un entier naturel tel que D ab, = D δ, alors δ 1 δ δ (, = = ( ( uv, δ = uδ δ = vδ δ = uv Si et sont deux entiers naturels tels que D ab D δ D δ, alors δδ et δ δ Il existe donc tel que et, d où δ, ie : uv=1 Or les seuls entiers naturels u et v tels que uv =1 sont u = v = 1, ce qui donne δ = δ n 1 n 1 où r n Définition 1 : L entier naturel noté pgc d ab, = δ δ est appelé le plus grand commun diviseur de a et b Il est Remarque : La démonstration de l existence du PGCD de deux entiers naturels fournit un algorithme, qui est «l algorithme d Euclide» B PROPRIETES Théorème : -i- Le PGCD est commutatif : ( ab,, pgcd ( ab, = pgcd ( ba, -ii- ( abc,,, pgcd ( cacb, = cpgcd ( ab, -iii- Le PGCD est associatif : abc,,, pgcd pgcd ab,, c = pgcd a, pgcd bc, ( ( -i- L égalité vient de D ab, = D a D b = D b D a =D ba, -ii- Si c = 0, il n y a rien à montrer Sinon, il suffit de multiplier chacune des divisions euclidiennes par c Nous avons alors pgc d ( xa, xb = pgcd ( xb, xr = = xrn = xpgcd ( a, b -iii- Nous avons, par associativité de l intersection : D a D b D c = D a D b D c ( ( C RECHERCHE DU PGCD Une première méthode consiste à trouver tous les diviseurs de a et de b, puis de prendre le plus grand des diviseurs communs! Page

3 Sylvain ETIENNE 00\004 Il est possible de trouver les diviseurs d un entier grâce à un algorithme utilisant une boucle «FOR» et l idée suivante : si k divise n, alors la partie entière de n k n k est égale à Exemple : Cherchons le PGCD de 168 et 64 par cette méthode Nous trouvons la décomposition ci-contre Nous en déduisons que pgcd 64,168 = 4 Cependant cette méthode peut se révéler très longue, car dès que a ou b est grand, la recherche des différents diviseurs peut prendre un certain temps! L algorithme d Euclide peut être facilement mis en œuvre sur une calculatrice comme c est le cas ci-contre avec une TI Voyage 00 Calculons le PGCD de 168 et 64 grâce à ce programme : Nous trouvons que pgcd 64,168 = 4 III THEOREME DE BEZOUT Définition : 1 Deux entiers naturels sont dits premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à Théorème : théorème de Bézout Soit a et b deux entiers naturels non nuls a et b sont premiers entre eux si et seulement s il existe ( uv, tels que : au+ bv= 1 Supposons qu il existe ( uv, tels que : au+ bv= 1 Alors le PGCD de a et b, qui divise a et b, divise tout nombre au+ bv où ( uv,, donc divise 1 Ainsi pgcd ( ab, = 1 Page

4 Sylvain ETIENNE 00\004 Réciproquement, si pgcd ab, = 1, alors considérons l ensemble E des entiers naturels + non nuls de la forme au bv avec uv, E contient a car a = a 1+ b 0 E contient alors un plus petit élément m= au0 + bv0, où ( u, v Montrons que m divise a et b ; nous aurons alors que m = 1, et donc au0 + bv0 = 1 La division euclidienne de a par m donne : a = au + bv q+ r avec 0 r < m D où r = a 1 qu + b qv = au+ bv, avec ( uv, Si r > 0, alors r E, et dans ce cas r m par définition de m Or r < m, donc r = 0 et m divise a De même, nous montrons que m divise b Théorème 4 : théorème de Gauss Soit ( abc,, Si a divise bc et si a est premier avec b, alors a divise c Par le théorème, comme a est premier avec b, soit uv, tel que au+ bv= 1 D où auc+ bvc= c Or a divise évidemment acu et a divise bc v par hypothèse, donc a divise leur somme, ie : a divise c Corollaire 1 : Si n, un entier naturel est divisible par deux entiers naturels a et b premiers entre eux, alors n est divisible par le produit ab Par hypothèse, nous pouvons écrire n a p et n= bq avec ( pq, Donc ap= bq et comme b divise ap et qu il est premier avec a, il divise donc p Par suite, nous pouvons écrire p = b p avec p, donc n= a b p D où le résultat = IV PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE Pour a, notons M ( a = { x / a x } l ensemble des multiples de a Théorème 5 : ab, µ Soit Il existe un unique entier naturel tel que : M ( a M ( b =M ( µ Si a= b = 0, alors nous avons existence et unicité du théorème avec µ = 0 Nous pouvons, dès lors, supposer a ou b différent de 0 Dans ce cas, si µ existe, alors, il est non nul Page 4

5 Sylvain ETIENNE 00\004 Existence : Nous avons : m M ( a M ( b ( u, v / m= au = bv Soit δ = pgcd ( ab,, alors soit ( a, b tel que a = δ a et b = δ b L égalité au = bv devient alors au = bv, et par le théorème de Gauss, il existe un entier naturel w tel que u = w b, d où m= ua= wδ a b Réciproquement, l égalité m= w δ a b entraîne l existence de deux entiers naturels tels que : m= au = bv ( δ Nous venons donc de montrer que : uv, / m= au= bv w / m= wδ ab Or w / m= wδ a b m M a b Il ne reste plus qu à poser µ = δ ab Unicité : Soit µµ, vérifiant l égalité : M a M b = M µ = M µ Il existe alors ( uv, tel que µ = u µ et µ = v µ, d où µ = uvµ, et par suite u = v = 1 (car µ 0, et ainsi : µ = µ Définition : L entier naturel noté ppcm ab, = µ µ est appelé le plus petit commun multiple de a et b Il est Théorème 6 : Soit ( ab, Nous avons alors la relation : pgcd ( ab, ppcm ( ab, = ab Si a ou b est nul, alors la relation est vraie Supposons a et b non nul Dans la preuve du théorème 5, nous avons : µ = δ ab, ab ie : µ = δ, d où µδ = ab δδ Théorème 7 : -i- Le PPCM est commutatif : ( ab,, ppcm ( ab, = ppcm ( ba, -ii- ( abc,,, ppcm ( cacb, = cppcm ( ab, -iii- Le PPCM est associatif : abc,,, ppcm ppcm ab,, c = ppcm a, ppcm bc, ( ( -i- - L égalité vient de M ab, = M a M b = M b M a =M ba, -ii- L égalité se montre grâce au théorème 6 et au point -ii- du théorème -iii- Nous avons, par associativité de l intersection : M a M b M c = M a M b M c ( ( Page 5

6 Sylvain ETIENNE 00\004 V APPLICATIONS A FRACTIONS RATIONNELLES Théorème 8 : Toute fraction positive est égale à une fraction du type a b, avec *,, avec a et b premiers entre eux Soit une fraction positive c d * d = δ d ab, ab * avec ( cd, Soit δ = pgcd ( cd,, alors c = δ a et avec et a et b premiers entre eux D où en simplifiant par δ, c d a = b B EQUATIONS DIOPHANTIENNES : a x + b y = c ( abc,, 1 METHODE DE RESOLUTION Nous recherchons ici toutes les solutions entières de l équation ax+ by= c avec Nécessairement, s il existe une solution dans, et si δ = pgcd ab,, alors δ c En prenant la contraposée, si δ ne divise pas c, alors l équation n a pas de solution dans Dans le cas contraire, nous pouvons nous ramener à la résolution de l équation ax+ by= c avec a et b premiers entre eux En effet, si δ c, alors soit a, b, c tel que a= δ a, b= δ b, c= δ c et a et b premiers entre eux L équation devient alors : ax + b y= c avec a et b premiers entre eux La donnée d une solution particulière ( x, y permet de déterminer toutes les solutions car : ax+ by= c a x x = b y y Cette dernière équation se résout à l aide du théorème de Gauss (théorème 4 : a divise ( y y0 Par suite, il existe w tel que y y0 = wa et x x0 = wb La réciproque est évidente En conclusion, nous avons donc : x= x0 + bw, ax+ by= c w y = y0 aw De plus, il suffit de connaître une solution particulière de l équation ax + by = 1, avec x= cx, a et b premiers entre eux, car les solutions de l équation initiale sont données par : y = cy ( Page 6

7 Sylvain ETIENNE 00\004 ALGORITHME DE CALCUL D UNE SOLUTION PARTICULIERE Si a et b sont premiers entre eux, le théorème de Bézout (théorème donne l existence d une solution, au moins, de l équation ax+ by= c Nous allons donner un algorithme permettant d obtenir une solution particulière Le principe tient au fait que dans l algorithme d Euclide, nous calculons les restes successifs jusqu à trouver un reste nul Nous définissons par la suite une suite récurrente : r0 = a, r1 = b, ri+ = ri ri+ 1qi+ 1, i 0, n 1, (1 rn + 1 = 0 Cette suite permet d obtenir, i 0, n 1, comme une combinaison linéaire de a ( i i et b ; ie : i 0, n 1, u, v tel que r = u a+ v b (1 : r i u0 = 1, u1 = 0, v0 = 0, v1 = 1, et ui+ = ui ui+ 1qi+ 1, i 0, n 1, vi+ = vi vi+ 1qi+ 1, i 0, n 1 Nous avons, en effet, r0 = 1a+ 0b et r1 = 0a+ 1b i Nous définissons alors deux nouvelles suites récurrentes déduites immédiatement de Nous obtenons alors le programme suivant, sur une TI Voyage 00 Une «sauvegarde» de valeur est nécessaire pour écrire les trois relations de récurrence i i Revenons à l exemple 1 : Nous cherchons une solution particulière de l équation : 64 x+ 168 y = 4 Le programme nous répond qu une solution particulière est ( x0, y 0 = (, Les solutions entières sont donc : x= w, w y = 64 w, VI CONCLUSION Nous avons défini et donné quelques propriétés du PGCD et PPCM et leur principale application qui consiste grâce à la primalité entre deux entiers naturels, la résolution des équations diophantiennes Il est possible, néanmoins, d étendre les définitions et propriétés du PGCD et PPCM à deux entiers relatifs Page 7

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