Partie A : Plus Grand Commun Diviseur / Théorème de Bachet-Bézout / Théorème de Gauss

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1 Partie A : Plus Grand Commun Diviseur / Théorème de Bach-Bézout / Théorème de Gauss I Le Plus Grand Commun Diviseur 1 / Diviseurs communs à deux entiers : a) Problème de pavage On veut paver une pièce rectangle de dimensions 21m 15m par des carrés de côté un nombre entier de taille maximale. b) Diviseurs communs PGCD Définition : Soient deux entiers. On note l ensemble des diviseurs communs à. Remarques : * Les diviseurs communs à 0 sont les diviseurs de pour tout. * Pour tout Proposition - Définition ont un nombre fini de diviseurs, donc il en existe un plus grand ou égal à tous les autres Le plus grand commun diviseur à est appelé le PGCD de de, Il est noté : Exemples : Remarque : PGCD( a ; b ). Proposition : si seulement si divise... 2 / PGCD algorithme d Euclide : a) L algorithme d Euclide Lemme d Euclide désignent des entiers relatifs non nuls. Si Montrons que : Montrons que : Soit. Montrons que : Soit. Ainsi on a donc ( raisonnement par double inclusion ) On déduit ainsi que Remarque : dans le lemme ci-dessus on n a pas la condition car elle n est pas nécessaire, mais l écriture ressemble à celle de la division euclidienne de par car c est dans ce cadre-là qu on va utiliser le lemme. Page 1 sur 6

2 Algorithme d Euclide : a IN* b IN*, a > b. On remplace par des couples de nombres de plus en plus pits, qui ont le même ensemble de diviseurs communs Opération reste commentaire r 0 r 1 r 2 r n 0 On divise a par b Si r 0 0, on divise b par r 0 Si r 1 0, on divise r 0 par r 1 Si r n 1 0, on divise r n 2 par r n 1 Si r n 0, on divise r n 1 par r n Ci-dessus, on note r n le dernier reste non nul. 0 r 0 < b PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r 0 ) 0 r 1 < r 0 PGCD(b ; r 0 ) = PGCD(r 0 ; r 1 ) 0 r 2 < r 1 PGCD(r 0 ; r 1 ) = PGCD(r 1 ; r 2 ) 0 r n < r n 1 PGCD(r n 2 ; r n 1 ) = PGCD(r n 1 ; r n ) PGCD(r n 1 ; r n ) = r n On trouve forcément un reste nul, en eff, les restes sont des entiers positifs qui vont en décroissant strictement ( 0 < : Propriété Si ne divise pas, le PGCD des entiers naturels non nuls est égal au dernier reste non nul obtenu par l algorithme d Euclide. Un exemple : recherche du PGCD de à l aide de l algorithme d Euclide. On écrit les divisions euclidiennes successives : 1078=322x + PGCD(1078,322)=PGCD(, ) = x + PGCD(, )=PGCD(, ) = x + PGCD(, )=PGCD(, ) = x + PGCD(, )=PGCD(, ) Le dernier reste non nul de l algorithme d Euclide est donc PGCD(1078,322) = TICE : Algorithme d Euclide sur la calculte : Savoir faire 5 p 49 Algorithme d Euclide sur un tableur : Savoir faire 6 p 49 Visualisation géométrique de l algorithme d Euclide ( histoire ) : problème 4 p 45 b) Conséquences Proposition : Les diviseurs communs à deux entiers relatifs non nuls sont les diviseurs de. Preuve : En reprenant les notations de l algorithme d Euclide, le lemme d Euclide nous donne les égalités suivantes : ( car divise ) Proposition : Si on multiplie deux entiers naturels non nuls par un même entier naturel, leur est multiplié par soit : Si ne divise pas : on écrit l algorithme d Euclide relatif au PGCD de : Le dernier reste non nul est donc On multiplie chaque égalité de division euclidienne par ainsi que les inégalités grâce aux règles connues ce qui donne : Page 2 sur 6

3 Conclusion :.. Si divise :. Un exemple : Corollaire : Si est un entier naturel non nul, diviseur commun à, alors : Un exemple : 3 / PGCD décomposition en facteurs premiers Proposition : a b désignent deux entiers supérieurs ou égaux à 2. p 1, p 2,, P n sont des facteurs premiers figurant dans l une ou l autre des décompositions de a b : a = b =, α 1, α 2,, α n, β 1, β 2,, β n entiers naturels. Le PGCD de a b est égal au produit des facteurs premiers communs aux décompositions de a b, chacun d eux étant affecté du plus pit exposant lequel il figure dans la décomposition de a b. Ex : Si a = b = , alors PGCD(a ; b) = II Le théorème de Bach- Bézout 1) Un problème de chiffrement : 6 p 51 Sur feuille annexe 2) Théorème de Bach-Bézout a) Nombres premiers entre eux Définition : Dire que deux nombres entiers non nuls sont premiers entre eux signifie que leur PGCD est égal à 1. Exemples : 25 27, 7 5 Proposition : (Quotient de deux entiers non nuls par leur PGCD) désignent deux entiers relatifs non nuls. Si, alors il existe des entiers relatifs premiers entre eux tels que ( Les nombres sont premiers entre eux). Page 3 sur 6

4 Corollaire : Si on divise numérateur dénominateur d une fraction par on obtient une fraction irréductible. b) Le théorème Deux entiers relatifs non nuls sont premiers entre eux si, seulement si, il existe des entiers relatifs tels que : supposons qu il existe des entiers relatifs tels que Soit alors divise divise donc. : Supposons donc ou. donc ou. Si sont des entiers naturels, on suppose par exemple que ne divise pas. ( l autre cas est identique à traiter) L algorithme d Euclide s écrit :.. D où, r 0 = q 0 = u 0 + v 0 u 0 = 1 v 0 = q 0 r 1 = r 0 q 1 = + ( q 0 ) ( q 1 ) = ( q 1 ) + (1 + q 0 q 1 ) = u 1 + v 1 u 1 = q 1 v 1 = 1 + q 0 q 1 En réitérant ce procédé, on montre que tous les restes r k, 0, obtenus dans l algorithme d Euclide s écrivent sous la forme r k = u k + v k, où u k v k sont des entiers relatifs qui s expriment en fonction de q 0, q 1,, q k, en particulier le dernier reste non nul r n qui est égal à 1. Les autres cas, par exemple se ramènent aux cas précédents : étant entiers naturels, il existe un couple d entiers relatifs tels que Il existe donc des entiers relatifs tels que Remarque : Le couple n est pas unique. Par exemple, pour, on obtient PGCD(3 ; 2) = 1. Or, 1 = ( 1) d où ou 1 = 3 ( 1) d où Exemple: Déterminer un couple d entiers tels que. 1/ on écrit l algorithme d Euclide ; 2/ on isole les restes ( on exprime chaque reste en fonction de (feuille annexe) Exemple: désigne un entier naturel non nul. Appliquer le théorème à, puis à. Page 4 sur 6

5 3) Identité de Bézout Proposition : désignent deux entiers relatifs non nuls. Si, alors il existe des entiers relatifs tels que Preuve : D après ce qui a été vu précédemment si on pose alors. Donc Histoire : Etienne Bézout rédige en 1763 un cours de mathématiques qui deviendra le Cours de mathématiques à l'usage des gardes du pavillon de la marine. En 1768, il devient examinateur des élèves du corps de l'artillerie rédige un manuel de mathématiques qui devient le livre de chev des candidats au concours de l'école Polytechnique III Théorème de Gauss 1) Théorème désignent trois entiers relatifs non nuls. Si divise le produit si est premier, alors divise Remarque : Vérifier que est premier car peut diviser en ne divisant ni, ni Par exemple, 6 divise 300, or 300 = Un problème : Dans une classe de moins de 38 élèves, la moyenne des notes des filles est 11,375 ; celle des notes des garçons est 10,5 la moyenne de la classe est 10,8. L objectif est de déterminer le nombre d'élèves dans cte classe. 1. On note le nombre de garçons le nombre de filles, montrer que le couple vérifie l'équation. 2. Calculer, en déduire que vérifie l'équation. En utilisant le théorème de Gauss, montrer que est un multiple de 23 que est un multiple de En déduire la solution du problème. Histoire : Johann Carl Friedrich Gauss ( ) surnommé le prince des mathématiciens est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps. Il n'a publié de son vivant qu'une partie infime de ses découvertes, la postérité découvrit la profondeur l'étendue de son œuvre grâce à son journal intime, en ) Conséquences Propriété : désignent des entiers relatifs non nuls un nombre premier. Si divise le produit alors divise ou divise Page 5 sur 6

6 Propriété : désignent des entiers relatifs non nuls Si sont premiers entre eux si chacun d eux divise, alors divise Ex 1 : 5 9 sont premiers entre eux divisent 1 035, alors. Ex 2 : Démontrer que 6 divise IN. Application des théorèmes de Gauss Bézout : les équations diophantiennes Une jeune femme achète des CD des DVD pour un total de 162. Sachant que le prix de chaque CD est 17 que le prix de chaque DVD est 20, on veut déterminer le nombre de CD le nombre de DVD qu elle a achés. 1. On note le nombre de CD le nombre de DVD ; montrer que vérifient l'équation : :. Une équation de ce type est appelé équation diophantienne. 2. En utilisant le théorème de Bézout, montrer que l'équation adm des solutions. 3. Montrer que est une solution particulière de l'équation. 4. Montrer que l'équation est équivalente à l équation (E ). 5. En utilisant le théorème de Gauss, déterminer les solutions de (E') donc celles de. 7. Sachant que déterminer la solution du problème. Remarque : variante de la question 3. Ici la solution particulière est fournie il n y a plus qu à vérifier. Dans le cas contraire il faut utiliser l algorithme des restes de la démonstration du théorème de Bach-Bézout. Page 6 sur 6