CHAPITRE 8: Applications de la dérivée I

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1 Chapitre 8: Applications de la dérivée I- 1 CHAPITRE 8: Applications de la dérivée I 8.1 Étude de fonctions: Jusqu à maintenant. 8.2 Droites tangentes revisitées. 8.3 La première dérivée et l accroissement. 8.4 La deuxième dérivée et la concavité. 8.5 La règle de l Hôpital. Chapitre 8: Applications de la dérivée I- 2

2 8.1 Études de fonctions Soit f(x) un fonction. Donner les outils mathématiques utilisés pour déterminer les descriptifs suivant d une fonction; 1) Domaine : 2) Racines : 3) Signe d une fonction : 4) Asymptotes horizontales: 5) Asymptotes verticales : 6) Discontinuités (ex. trou): Chapitre 8: Applications de la dérivée I Études de fonctions Par contre certains descriptifs d une fonction ne peuvent pas être calculés directement de la formule de f(x); P1) Intervalles de croissance et de décroissance. P1*) Minimums et maximums locaux. P2) Intervalles de concavité. P2*) Le points d inflexions d une fonction. P3) Minimums et maximums globaux (Optimisation Chap. 9) Remarque : Nous allons utiliser les dérivées pour trouver algébriquement les réponses à ces questions. Chapitre 8: Applications de la dérivée I- 4

3 8.1 Études de fonctions La plupart de la théorie jusqu à maintenant semble être centrée sur le calcul de ces dérivées. Le tout peut-être fait à partir la définition formelle (Chapitre 6) ou plus directement à l aide de formules et règles (Chapitre 7). Les dérivées font parties des outils pour analyser une fonction. Dans ce chapitre, elles nous permettront de calculer les équations de droites tangentes (encore), les intervalles d accroissement, les minimums et maximums locaux, les intervalles de concavité, les points d inflexions et même nous permettre de calculer directement des limites avancées! Chapitre 8: Applications de la dérivée I Droites tangentes revisitées Rappel: La droite tangente d un point sur un cercle. Chapitre 8: Applications de la dérivée I- 6

4 8.2 Droites tangentes revisitées Définition (intuitive): Soit f(x) une fonction. Soit x = a un point dans le domaine de f(x). La droite tangente de f(x) à x = a est donnée par; Chapitre 8: Applications de la dérivée I Droites tangentes revisitées Définition (intuitive zoom ): Soit f(x) une fonction. Soit x = a un point dans le domaine de f(x). La droite tangente de f(x) à x = a est donnée par; Chapitre 8: Applications de la dérivée I- 8

5 8.2 Droites tangentes revisitées Remarque : Obtenez-vous toujours une droite lorsque vous zoomer? NON!!! Chapitre 8: Applications de la dérivée I Droites tangentes revisitées Exemples: Droites tangentes vers l enfer (donc à moins infini + 13). Chapitre 8: Applications de la dérivée I- 10

6 8.2 Droites tangentes revisitées Exercice 1: Trouver les intervalles où les droites tangentes existent (intervalle où la fonction est différentiable). Chapitre 8: Applications de la dérivée I Droites tangentes revisitées Exercice 2: Trouver les intervalles où les droites tangentes existent (intervalle où la fonction est différentiable). Chapitre 8: Applications de la dérivée I- 12

7 8.2 Droites tangentes revisitées Définition (avec la dérivée): Soit f(x) une fonction. Soit x = a un point dans le domaine de f(x). La droite tangente de f(x) à x = a est donné par l équation y = mx + b avec les propriétés suivantes; 1) Elle passe par le point (a, f(a)) et 2) m = f (a) (pente égale à la dérivée de f(x) à x = a). Chapitre 8: Applications de la dérivée I Droites tangentes revisitées Exemple : Soit f(x) = x 2 8x + 9. Trouver l équation de la droite tangente de f(x) à x = 3. Solution : Chapitre 8: Applications de la dérivée I- 14

8 8.2 Droites tangentes revisitées Exercice: Soit f(x) = x 1/2. Trouver l équation de la droite tangente de f(x) à x = 4. Dessiner cette droite tangente sur le graphe de f(x). Solution : Chapitre 8: Applications de la dérivée I Droites tangentes revisitées Chapitre 8: Applications de la dérivée I- 16

9 8.3 La Première Dérivée Exercice: Sur le graphe suivant, identifier où les pentes de droites tangentes sont positives, négatives, nulles ou n existe pas; Chapitre 8: Applications de la dérivée I La Première Dérivée Définition (accroissement avec la première dérivée): Soit f(x) une fonction et x = c un point dans le domaine de f(x). 1) Si f (c) > 0, alors x = c est un point où la fonction est croissante. 2) Si f (c) < 0, alors x = c est un point où la fonction est décroissante. Chapitre 8: Applications de la dérivée I- 18

10 8.3 La Première Dérivée Définition: Soit f(x) une fonction et x = c un poitn dans le domaine de f(x). Let point x = c et un point critique de f(x) si; f (c) = 0 ou f (c) est non-définie. Test de la première dérivée pour la classification des points critiques: Chapitre 8: Applications de la dérivée I La Première Dérivée Exemples : Pour les fonctions suivantes f(x); 1- Calculer f (x), 2- Trouver les points critiques de f(x), 3- Faire un tableau des signe pour f (x) et 4- Utiliser celui-ci pour classifier les points critiques et trouver les intervalles d accroissement. Chapitre 8: Applications de la dérivée I- 20

11 8.3 La Première Dérivée 2 Exemple 1 : f ( x) = x 4x + 1 Chapitre 8: Applications de la dérivée I La Première Dérivée 3 2 Exemple 2 : f ( x) = x 3x + 1 Chapitre 8: Applications de la dérivée I- 22

12 8.3 La Première Dérivée Exemple 3 : f ( x) = xe x Chapitre 8: Applications de la dérivée I La Deuxième Dérivée Concavité a) La fonction f(x) est concave vers le b) La fonction g(x) est concave vers le. c) Les pentes tangentes de f(x) sont. d) Les pentes tangentes de g(x) sont. Chapitre 8: Applications de la dérivée I- 24

13 8.4 La Deuxième Dérivée Idée : Soit f(x) définie sur un intervalle I. 1) Alors f(x) est concave vers le haut lorsque f (x) est et ceci est équivalent à dire que la dérivée de f (x), la deuxième dérivée f (x), est. 2) Alors f(x) est concave vers le bas lorsque f (x) est et ceci est équivalent à dire que la dérivée de f (x), la deuxième dérivée f (x), est. Chapitre 8: Applications de la dérivée I La Deuxième Dérivée Définition (concavité avec la deuxième dérivée): Soit f(x) une fonction et x = c un point dans le domaine de f(x). 1) Si f (c) > 0, alors x = c est un point où la fonction est concave vers le haut. 2) Si f (c) < 0, alors x = c est un point où la fonction est concave vers le bas. De plus, tout point où la deuxième dérivée change de signe est un point d inflexion. Chapitre 8: Applications de la dérivée I- 26

14 8.4 La Deuxième Dérivée Exemples : Pour les fonctions suivantes f(x); 1- Caluler f (x), 2- Construire un tableau des signes pour f (x) et 3- Utiliser celui-ci pour trouver les intervalles de concavité et les points d inflexion. Chapitre 8: Applications de la dérivée I La Deuxième Dérivée 2 Exemple 1 : f ( x) = x 4x + 1 Chapitre 8: Applications de la dérivée I- 28

15 8.4 La Deuxième Dérivée 3 2 Exemple 2 : f ( x) = x 3x + 1 Chapitre 8: Applications de la dérivée I La Deuxième Dérivée Exemple 3 : f ( x) = xe x Chapitre 8: Applications de la dérivée I- 30

16 8.5 La Règle de l Hôpital But : Utiliser les dérivées pour calculer des limites inappropriées. Règle de l Hôpital: Soit Ω = ± ou Ω = 0. soit x = a un point dans un intervalle I. Soit f(x) et g(x) deux fonctions différentiables sur I sauf possiblement à x = a. Si alors lim x a f (x) = lim x a f (x) lim x a g(x) = lim x a g(x) = ±Ω, f '(x) g'(x). De plus, ces résultats sont valides aussi pour les limites aux infinis (a = ± ). Chapitre 8: Applications de la dérivée I- 31 Remarques : 8.5 La Règle de l Hôpital a) R.H. traite seulement les formes inappropriées (et rien d autre); ±, b) Pour les autres formes inappropriées; Vous devrez d abord manipuler votre expression pour retrouver une des formes inappropriées ci-haut. 0 0 c) R.H. est valide pour les limites à droite et à gauche. Chapitre 8: Applications de la dérivée I- 32

17 8.5 La Règle de l Hôpital Exemple 1 (bye bye factorisation): lim x 2 x 2 3x + 2 3x 2 x 10 = Chapitre 8: Applications de la dérivée I La Règle de l Hôpital Exemple 2 (régurgiter la rationalisation): x 4 lim 16 x x = Chapitre 8: Applications de la dérivée I- 34

18 8.5 La Règle de l Hôpital Exemple 3: ln( x) lim x 1 x 1 = Chapitre 8: Applications de la dérivée I La Règle de l Hôpital Exemple 4: lim x 1000x e x = Chapitre 8: Applications de la dérivée I- 36

19 8.5 La Règle de l Hôpital Exemple 5 (Oups I did it again!): x xe x lim 2 = x 0 x e 1 Chapitre 8: Applications de la dérivée I La Règle de l Hôpital Exemple 6 (une inapropriée qui est inapropriée): lim x 0+ x ln(x) = Chapitre 8: Applications de la dérivée I- 38

20 8.5 La Règle de l Hôpital Exemple 7 (bonne chance aux mordu(e)s du numérique): 3 x 1 lim x 0 2 x 1 = Chapitre 8: Applications de la dérivée I- 39