Limites de fonctions

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Élodie Malenfant
il y a 6 ans
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1 CHAPITRE 2 Limites de fonctions Sommire Prtie A (s4) 2 Asmptotes prllèles u es Approche grphique 2.2 Limite finie d une fonction à l infini 3.3 Limite infinie d une fonction en un point 4 2 Limite infinie d une fonction en l infini Limites des fonctions usuelles

2 Ch.02 Limites de fonctions T le STI2D Prtie A (s4) n peut fire commencer l histoire du concept de ite vec le philosophe grec Zénon d Élée (-450). Il est connu pour ses prdoes qui prétendent démontrer l impossibilité du mouvement. Pr eemple, celui d Achille et de l tortue : «Achille, situé en, poursuit une tortue qui se trouve en A. Le temps qu il rrive en A, l tortue ser en B. Achille devr donc ensuite ller en B. Mis lors l tortue ser en C, et insi de suite. Achille pourr se rpprocher sns cesse de l tortue, mis il ne pourr jmis l rttrper.» L Anlse fit d énormes progrès u cours des vii e et viii e siècles. Les mthémticiens de cette époque vient une intuition de l notion de ite mis il fudr ttendre le i e vec le frnçis Louis-Augustin Cuch ( ), puis l llemnd Krl Weierstrss (85-897) pour voir une définition précise de l ite. Asmptotes prllèles u es. Approche grphique n considère l fonction f, définie pour tout 3 pr f() = = n souhite représenter cette fonction. n construit le tbleu de vleurs suivnt : l fonction n est ps définie pour = f(),8,75,67,5 3 2,5 2,33 2,25 2,2 Ce qui donne : Grphiquement, on observe deu phénomènes : entre 4 et 2, nous n vons ps ssez d éléments pour svoir ce qu il se psse. Il nous fut construire un tbleu plus précis vec des vleurs proches de 3 : 3, 3, 0 3, 00 3, 000 2, , 999 2, 99 2, 9 f() n remrque que plus on se rpproche de 3, plus l courbe prend de grndes vleurs. n note f() = et f() = /6 Lcée Georges Brssens

3 «vnt» 8 et «près» 2, on l impression que l courbe se rpproche de l droite d éqution = 2. Afin d éter ce phénomène, on construit un tbleu vec de grndes vleurs en vleur bsolue : f(), 9999, 9990, 989, 857 2, , , 000 2, 000 n remrque que plus on se rpproche de ±, plus les vleurs de f() se rpprochent de 2. n note f() = 2 et f() = 2. + Ce qui nous permet d obtenir un grphique plus complet : f() = f() = 2+ + les nottions seront introduites dns les prgrphes suivnts f() = f() = Limite finie d une fonction à l infini Définition. est un nombre réel. Soit f une fonction définie sur u moins ] ; + [ (respectivement ], [). Lorsque le réel prend des vleurs de plus en plus grndes vers +, (respectivement vers ), si les nombres f() deviennent de plus proches d une réel l, on dit que f() pour ite l en + (respectivement vers ). n note : f() = l et f() = l + 3/6 Lcée Georges Brssens

4 f() l l + l f() l f() = l + f() = l Définition 2. n dit que l droite d éqution = l est une smptote horizontle à l courbe représenttive C f..3 Limite infinie d une fonction en un point Définition 3. Soit f une fonction définie sur un intervlle I de l forme ] ; b ] ou [ b ; [ où et b sont des réels. Lorsque le réel s pproche de, si les nombres f() deviennent de plus en plus grnds, on dit que f pour ite + en et on note : f() = + grnds en vleur bsolue, mis négtifs, on dit que f pour ite en et on note : f() = ± signifie que l ite est soit +, soit Remrque 4 Lorsque le fonction n est ps définie en, on précise si on s en pproche pr vleurs inférieures : < pr vleurs supérieurs : > f() = ± ou f() = ± ; + f() = ± ou f() = ±. n obtient les qutre cs suivnts : 4/6 Lcée Georges Brssens

5 f() + f() + f() = + > f() = + < f() + f() + f() = < f() = > Définition 5. Dns le cs où l ite en vut ±, on dit que l droite d éqution = est une smptote verticle à l courbe représenttive C f. 2 Limite infinie d une fonction en l infini Définition 6. Soit f une fonction définie u moins sur ] ; + [ (respectivement ] ; [). Lorsque le réel prend des vleurs de plus en plus grndes vers + (respectivement ), si les nombres f() deviennent de plus en plus grnds, on dit que f pour ite + en + (resp. ) et on note : f() = + (resp. f() = + ) + grnds en vleur bsolue et négtifs, on dit que f pour ite en + (respectivement ) et on note : f() = (resp. f() = ) + 5/6 Lcée Georges Brssens

6 f() + f() + + f() = + + f() = + + f() f() f() = + f() = Remrque 7 Certines fonctions n dmettent ps de ite en l infini : pr eemple les fonctions cosinus et sinus. 3 Limites des fonctions usuelles 2 = = = = + = 0 + = 0+ fonction crré 3 = fonction cube = fonction inverse 6/6 Lcée Georges Brssens

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