Fonctions exponentielles, cours, terminale S

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1 Fonctions exponentielles, cours, terminale S F.Gaudon 2 novembre 202 Table des matières Dénitions et propriétés algébriques 2 2 Étude de la fonction 3 2. Dérivabilité Tableau de variations Courbe représentative Tableau de signe Limites 4 4 Étude de fonctions composées avec la fonction exponentielle 5

2 Dénitions et propriétés algébriques Propriété et dénition : On appelle fonction exponentielle de base e l'unique fonction f dérivable sur R telle que f = f et f(0) =. L'existence est admise. Montrons l'unicité d'une telle fonction. Montrons tout d'abord qu'une fonction f dénie sur R et vériant f = f et f(0) = ne s'annule pas. Soit h la fonction dénie sur R par h(x) = f(x)f( x). h est dérivable sur R et h (x) = f (x)f( x)+ f(x)( f( x)) = f(x)f( x) f(x)f( x) = 0. On en déduit que h est constante. Or h(0) = f(0)f( 0) = donc pour tout réel x, f(x)f( x) = ce qui assure que f ne s'annnule pas. Montrons maintenant l'unicité. Soient donc f et g deux fonctions dénies sur R et vériant f = f, g = g, f(0) = et g(0) =. On vient de montrer que g ne s'annule pas, on peut donc considérer la fonction q dénie sur R par q = f.h g est dérivable sur R et q (x) = f g g f = fg gf = 0. g 2 g 2 Par conséquent, la fonction q est constante sur R. Or q(0) = f(0) = g(0) d'où f = et f = g, ce qui g achève la démonstration. Notation : On note e l'image exp() de par la fonction exponentielle. e 2, 7. Pour tout x réel, exp(x) est noté e x et on lit exponentielle x ou e exposant x. Propriétés : Pour tous les réels a et b réel, exp(a + b) = exp(a) exp(b) c'est à dire e a+b = e a e b Soit b un réel. On a vu plus haut que exp ne s'annule pas. Pour tout réel b, on peut donc dénir la fonction h sur R par h(x) = f(b+x) f(x). La fonction h est dérivable sur R et h (x) = f (a+x)f(x) f(a+x)f (x). Or f = f donc h (x) = f(a+x)f(x) f(a+x)f(x) = f(x) 2 f(x) 2 0. La fonction h est donc une constante. Or h(0) = f(a+0) f(0) f(a + x) = f(a)f(x). Conséquences : = f(a) = f(a). D'où pour tout réel x, h(x) = f(a), c'est à dire f(a+x) f(x) = f(a) et http: // mathsfg. net. free. fr 2

3 pour tout entier relatif n et pour tous les réels x et x on a : = exp( x) c'est à dire = e x ; exp(x) e x exp(x) = exp(x exp(x ) x ) c'est à dire ex = e x x ; e x (exp(x)) n = exp(nx) c'est à dire (e x ) n = e xn ; Pour tous les réels x, exp(x) exp( x) = exp(x x) = exp(0) = donc exp( x) = exp(x). Pour tous les réels x et x, exp(x) = exp(x) et on utilise le résultat précédent. exp(x ) exp(x ) Montrons d'abord le cas où n 0 par récurrence. Initialisation : le cas n = 0 est évident. Hérédité : si pour un rang n entier supérieur ou égal à 0, exp(x) n = exp(nx), alors au rang n +, on obtient exp(x) n+ = exp(x) n exp(x) d'après le premier point de la propriété. Par l'hypothèse de récurrence au rang n, on peut dire que exp(x) n = exp(nx) donc exp(x) n+ = exp(nx) exp(x) = exp((n + )x). La propriété est donc vraie au rang n +. Par conséquent, par récurrence, la propriété est vraie pour tous les rangs n 0. Si n est strictement négatif, alors n est strictement positif donc exp( nx) = (exp(x)) n c'est à dire = ( exp(nx) exp(x) )n d'où le résultats en prenant les inverses. 2 Étude de la fonction 2. Dérivabilité Propriétés : La fonction exponentielle exp est dérivable sur R et pour tout x réel exp (x) = exp(x). la fonction exponentielle exp est strictement positive. la fonction exponentielle exp est strictement croissante sur ] ; + [ ; Le premier point n'est qu'une reécriture de la dénition. Pour tous les réels x et y, f(x + y) = f(x)f(y) d'où pour x = y, f(2x) = f(x) 2 ce qui assure que f(x) est strictement positif. Comme f = f, on en déduit que f > 0 c'est à dire f est strictement croissante sur ] ; + [. 2.2 Tableau de variations x 0 + e 0 http: // mathsfg. net. free. fr 3

4 2.3 Courbe représentative 2.4 Tableau de signe Pour tous les réels x et y : x + exp(x) + e x = e y x = y et e x < e y x < y 3 Limites lim x + e x = + et lim x e x = 0. Montrons d'abord que pour tout réel x, exp(x) x. Pour cela, soit f la fonction dénie par f(x) = exp(x) x pour tout réel x. f est dérivable sur R et f (x) = exp(x). f (x) 0 si et seulement si exp(x) 0 c'est à dire exp(x). Comme exp(0) = et exp est croissante sur R, on déduit que pour tout x 0, exp(x) et f (x) 0. Par conséquent, f est croissante sur [0; + [ et puisque f(0) =, on a pour tout x 0, f(x) donc exp(x) x et exp(x) x +. Comme lim x + x + = +, par comparaison on obtient lim x + = +. On utilise l'égalité exp( x) = exp(x). lim x ( x) = + et donc lim x exp( x) = lim x + exp(x). D'après ce qui précède lim x + exp(x) = + donc lim x + = exp(x) 0. http: // mathsfg. net. free. fr 4

5 e x lim x + x = + que l'on traduit en disant que la fonction exponentielle l'emporte sur la fonction x x en +. lim x xex = 0 que l'on traduit en disant que la fonction exponentielle l'emporte sur la fonction x x en. e x lim x 0 x = Soit f la fonction dénie par f(x) = e x 2 x2. On a f (x) = e x x et f (x) = e x. On a vu précédemment (dans la démonstration de lim x + e x = + ) que pour tout réel x 0, e x donc f (x) 0. D'où f est croissante sur [0; + [. Comme f (0) =, on déduit que f est strictement positive sur [0; + [ et que f est strictement croissante. Par suite, de f(0) = on déduit que pour tout réel x, f(x) > 0 c'est à dire e x > 2 x2 et ex > x 2 x. De lim x + x = + 2 on déduit le résultat voulu. On remarque que lim x xe x = lim x + ( x)e x x = lim x + = 0. e x exp est dérivable en 0 et le nombre dérivé en 0 est donc lim x 0 e x e 0 x 0 = lim x 0 e x x =. 4 Étude de fonctions composées avec la fonction exponentielle Soit u est une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction e u est dérivable sur I et (e u ) = u e u ; Cas particulier : La fonction f : x e ax+b où a est un réel xé est dénie et dérivable sur R et f (x) = ae ax+b pour tout x réel. Propriétés : Si a < 0, alors la fonction f dénie ci-dessus est strictement décroissante sur R ; si a > 0, alors la fonction f est strictement croissante sur R. si a < 0, alors lim x + e ax = 0 et lim x e ax = + ; si a > 0, alors lim x + e ax = + et lim x e ax = 0. http: // mathsfg. net. free. fr 5

6 Dénition et propriété : Soit a > 0. La fonction exponentielle de base a est la fonction qui à tout nombre réel x associe le nombre e x ln(a) que l'on note a x. La fonction f : x a x est dénie et dérivable sur R et pour tout x réel, f (x) = (ln a)a x Si 0 < a <, alors f est strictement décroissante sur R ; si a >, alors f est strictement croissante sur R. si 0 < a <, alors lim x + a x = 0 et lim x a x = + ; si a >, alors lim x + a x = + et lim x a x = 0. http: // mathsfg. net. free. fr 6