Sixième Résumé de cours de mathématiques

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1 1 Algèbre Sixième Résumé de cours de mathématiques 1.1 Les nombres entiers et décimaux Les nombres entiers sont composés de un ou plusieurs chiffres, il n'y a pas de virgule. De droite à gauche, dans le nombre : 1 est le chiffre des unités 2 est le chiffre des dizaines 3 est le chiffre des centaines 4 est le chiffres des milliers (ou des unités de mille) 5 est les chiffre des dizaines de mille 6 est le chiffre des centaines de mille 7 est le chiffres des millions (ou des unités de millions) 8 est les chiffre des dizaines de millions 9 est le chiffre des centaines de millions Après on aurait les milliards. Les nombres décimaux sont ceux avec virgule. De gauche à droite, dans le nombre 0,123 : 1 est le chiffre des dixièmes 2 est le chiffre des centièmes 3 est le chiffre des millièmes Une fraction décimale est une fraction où le dénominateur est un avec que des zéros (10, 100, ), par exemple Un nombre décimal peut toujours s'écrire sous la forme d'une fraction décimale : 1,23= Pour comparer deux nombre décimaux, on doit en premier comparer la partie entière (celle à gauche de la virgule) Ex : comparer 12,456 et 24,567 Réponse : 12,456 < 24,567 Savoir donner une valeur approchée d'un nombre décimal Ex : 12,456 au centième par défaut Réponse : 12,45 Savoir encadrer un nombre décimal Ex : encadrer 12,456 au dixième Réponse : 12,4 < 12,456 < 12,5 Sur une droite graduée, le nombre qui permet de repérer un point s'appelle son abscisse. L'ordre de grandeur d'un nombre est le nombre écrit avec des 0 et un seul 1 qui s'en approche le plus. Résumé de cours de mathématiques 1/10

2 Ex : l'ordre de grandeur de 90 est 100 Ex : l'ordre de grandeur de 1235,25 est 1000 Ex : l'ordre de grandeur de 0,09 est 0,1 En exercice, savoir donner l'ordre de grandeur d'une somme (ex : ) et d'un produit ( ). 1.2 Opérations L'addition Quand on écrit 3+4=7, 3 et 4 sont les termes de l'addition et 7 est la somme. Connaître les tables d'additions par cœur La soustraction Quand on écrit 4 3=1, 3 et 4 sont les termes de la soustraction et 1 est la différence La multiplication Quand on écrit 3 4=12, 3 et 4 sont les facteurs de la multiplication et 12 est le produit. Dans un produit de facteurs, on peut : changer l ordre des facteurs, grouper les facteurs comme on veut. Exemple: le produit est égal à 210. Il peut se calculer de différentes façons =35 6=210 ou bien 5 6 7=30 7=210 Pour multiplier un nombre par 10, on décale la virgule d'un cran vers la droite ; au besoin on rajoute un 0 Ex : 12,35 10=123,5 et =1250 Pour multiplier par 100, on décale de deux crans et ainsi de suite. Pour multiplier un nombre par 0,1, on décale la virgule d'un cran vers la gauche. Ex : 12,35 0,1=1,235 Pour multiplier par 0,01, on décale de deux crans et ainsi de suite. Pour effectuer à la main la multiplication de deux nombres décimaux : on pose la multiplication avec les virgules, mais on l effectue sans tenir compte des virgules ; on place la virgule du résultat en appliquant cette règle : Connaître les tables de multiplication par cœur Règles de calcul Dans un calcul sans parenthèses et formé uniquement d'additions et de soustractions, on effectue les calculs de gauche à droite. Dans un calcul sans parenthèses, on effectue les multiplications et les divisions en priorité sur les additions et les soustractions. Résumé de cours de mathématiques 2/10

3 Dans un calcul avec parenthèses, on effectue en priorité les calculs entre parenthèses. Dans le calcul d une somme de plusieurs termes, on peut changer l ordre des termes et les regrouper différemment. Exemples : 4, ,32 = 9 + 4,2 + 21, , = 2,5 + (7 + 13) = 2, Remarque: cette propriété n est pas vraie pour une différence! Dans une expression contenant uniquement des multiplications et des divisions ou uniquement des additions et des soustractions, on effectue les calculs de la gauche vers la droite, dans l ordre d écriture. Dans une expression contenant une écriture fractionnaire, le trait de fraction signifie que le numérateur et le dénominateur sont entre parenthèses. Quotients avec une fraction et un nombre décimal ou entier. La barre de fraction se trouve au niveau de la ligne d écriture, soit derrière le signe opératoire (+ ou - ou ou : ), soit derrière le signe =. 12 Exemple : 3 A=7+ 2 = =7+2=9 Diviser par un nombre, c est multiplier par son inverse. B= = =15 6 = Fractions Les entiers naturels : N={0,1, 2,...} Les entiers relatifs : Z={..., 2, 1,0,1,2,...} Les décimaux : ID={ a avec a Z, n N} n 10 Les rationnels Q={ a b avec a Z,b Z, a b ID} Une fraction est une écriture fractionnaire dont le numérateur et le dénominateur sont des entiers. Exemples : 2 3 ou bien 7 10 Fractions égales Lorsqu on multiplie le numérateur et le dénominateur d une fraction par un même nombre non nul, on obtient une fraction qui lui est égale. a b = a k b k Exemple : 3 5 = = 6 10 Lorsqu on divise le numérateur et le dénominateur d une fraction par un même nombre non nul, on obtient une fraction qui lui est égale. a b = a k b k 6 Exemples : 10 = = 3 5 Simplifier une fraction c est trouver une fraction égale qui s écrit avec un numérateur et un dénominateur plus petits. Exemple : = 5 6 Résumé de cours de mathématiques 3/10

4 Si 3 5 des élèves d'un collège de 600 élèves font de l'anglais, alors les nombre d'élèves qui font de l'anglais est : Proportionnalité, échelles Définition : deux grandeurs sont proportionnelles si, lorsqu on multiplie l une par deux, trois, quatre, etc., l autre se trouve également multipliée par deux, trois, quatre, etc. Lorsque deux grandeurs sont proportionnelles, on dit que l on a une situation de proportionnalité. On peut la représenter par un tableau de proportionnalité. Savoir utiliser une situation de proportionnalité Règle 1 : «la règle de la multiplication et de la division» Exemple : une fabrique vend du café. Le prix de ce café est proportionnel à la masse achetée et 20 g coûtent 0,5. Calculons le prix de 200 g de café. Le prix de 20 g de café est 0,5. Comme 200=10 20, le prix de 200 g de café est 10 0,5 soit 5. Règle 2 : «la règle de l addition» Exemple : calculons le prix de 220 g de café. Le prix de 20 g de café est 0,5, Le prix de 200 g de café est 5, Le prix de 220 g (20 g g) est donc 0,5 + 5 soit 5,5. Règle 3 : «le retour à l unité» Exemple : calculons le prix de 123,12 g de café. Le principe est simple : il consiste à calculer le prix d 1 g de café. Il suffit ensuite de multiplier ce prix «à l unité» appelé coefficient de proportionnalité par le nombre de grammes de café pour obtenir le prix. Le prix de 20 g de café est 0,5, donc 1 g coûte 0,5 20 soit 0,025. Si l on veut alors calculer le prix de 123,12 g de café, on effectue 123,12 0,025 On trouve 3,078 Notion d échelle Définition : Lorsque sur un plan les distances sont proportionnelles aux distances réelles, on dit que le plan est «à l échelle». Le coefficient de proportionnalité permettant de passer des distances réelles aux distances sur le plan (exprimées avec la même unité) s appelle l échelle du plan. Lorsque les dimensions du plan et celles de la réalité sont proportionnelles, l'échelle est longueur plan que quotient :, avec des longueurs exprimées dans la même unité. longueur réelle L'échelle est souvent exprimée sous la forme d'une fraction dont le numérateur est Pourcentage Définition : la phrase : «80 % des élèves du collège Marcel Pagnol sont demipensionnaires» signifie que sur 100 élèves du collège, 80 sont demi-pensionnaires. Le symbole % se lit «pour cent». 80 % s écrit sous forme fractionnaire et sous forme décimale 0,8. Si 20% des élèves d'un collège de 600 élèves font de l'anglais, alors les nombre d'élèves qui font de l'anglais est : Résumé de cours de mathématiques 4/10

5 Quand un nombre x augmente de nm% (n et m sont des chiffres par ex 1 et 2 pour 12%), pour calculer le nombre augmenté, on le multiplie par 1,nm (1,12 dans notre exemple) Quand il diminue de nm%, on le multiplie par 0,pq (avec pq=100-mn, ici on multiplie par 0,88). 1.6 Arithmétique Divisibilité b divise m lorsqu'il existe c tel que m=b c Dans l'autre sens, m est multiple de b Un nombre est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 Un nombre est divisible par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5 Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3 Un nombre est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9 Un nombre est divisible par 4 lorsque les deux chiffres de droite forment un nombre divisible par 4: 00, 04, 08, 12,...80, 84, 88, 92, 96 La division euclidienne Effectuer par exemple la division euclidienne de 598 par 7, c est trouver deux nombres entiers appelés quotient euclidien et reste tels que : 598 = 7 «quotient euclidien» + reste où le reste est un entier inférieur à 7. 2 Géométrie plane 2.1 Points, segments et droites Tracer par un point donné la perpendiculaire ou la parallèle à une droite donnée. Reporter une longueur. Définition : on dit que deux droites sont sécantes lorsqu elles ont un point commun et un seul. Définition : deux droites sécantes qui forment un angle droit sont appelées des droites perpendiculaires. Définition : deux droites qui ne sont pas sécantes sont appelées des droites parallèles. Propriété 1 : si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles. Cela s écrit également : si d 1 d 2 et d 1 d 3 alors d 2II d 3 Propriété 2 : soit deux droites parallèles. Si une troisième droite est perpendiculaire à l une de ces deux droites, alors elle est perpendiculaire à l autre. Cela s écrit également : si d 1 II d 2 et d 3 d 1 alors d 3 d 2 Propriété 3 : si deux droites sont parallèles à une troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles. Cela s écrit également : si d 1 II d 3 et d 2II d 3 alors d 1 II d 2 Tracé d une perpendiculaire à une droite passant par un point ; Tracé d une parallèle à une droite passant par un point. Médiatrice Définition : la médiatrice d un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. Remarque : cette définition signifie que la médiatrice d un segment est la seule droite qui : est perpendiculaire au segment et le coupe en son milieu. Résumé de cours de mathématiques 5/10

6 2.2 Quadrilatères Définition : les diagonales d un quadrilatère sont les deux segments dont les extrémités sont deux sommets non consécutifs. Losange Définition : un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur. Propriété Si un quadrilatère est un losange alors : ses diagonales sont ses deux axes de symétrie, ses diagonales sont perpendiculaires, ses diagonales ont le même milieu, chaque diagonale est la médiatrice de l autre, ses angles opposés sont égaux. Rectangle Définition : un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits. Propriété Si un quadrilatère est un rectangle, alors : ses diagonales ont la même longueur, ses diagonales ont le milieu, ses côtés opposés sont parallèles, ses côtés opposés ont la même longueur. Carré Définition : un carré est un quadrilatère qui est à la fois un losange et un rectangle. Propriété : si un quadrilatère est un carré, alors il possède toutes les propriétés du losange et aussi toutes les propriétés du rectangle. Reconnaître un losange, un carré, un rectangle Reconnaître un losange : si les diagonales d un quadrilatère ont le même milieu et sont perpendiculaires, alors ce quadrilatère est un losange. Reconnaître un rectangle : si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu et qui ont la même longueur, alors ce quadrilatère est un rectangle. Reconnaître un carré : Si un losange possède un angle droit, alors c est un carré. Si un rectangle possède deux côtés consécutifs de même longueur, alors c est un carré. Si les diagonales d un quadrilatère sont perpendiculaires et si elles ont le même milieu et si elles ont la même longueur, alors ce quadrilatère est un carré. 2.3 Triangles Construire un triangle avec un programme Les triangles sont des polygones à 3 côtés. Le triangle rectangle possède un angle droit. Le triangle isocèle a deux côtés égaux et deux angles égaux. Le triangle équilatéral a trois côtés égaux et trois angles égaux. Les triangles qui n ont pas de propriétés particulières sont des triangles quelconques. On marque les 2 ou 3 côtés égaux par un petit trait oblique. Résumé de cours de mathématiques 6/10

7 Pour construire un triangle rectangle : Tracer un cercle de 3 cm de rayon. Tracer un diamètre BC de ce cercle. Placer un point A sur un endroit du cercle. Relier ce point A au point B, puis au point C. Vérifier avec l équerre que l angle BAC est un angle droit. Construire à la règle et au compas un triangle connaissant les longueurs de ses côtés 2.4 Cercles Tout point qui appartient à un cercle est à égale distance du centre du cercle Tout point situé à cette distance du centre appartient au cercle. 2.5 Symétrie axiale Propriétés de la symétrie axiale : Le symétrique : d une droite est une droite, d un segment est un segment de même longueur, d un angle est un angle de même mesure, d un cercle est un cercle de même rayon. Axe de symétrie Définition : on dit qu une droite d est un axe de symétrie d une figure lorsque cette figure est sa propre symétrique par rapport à la droite. Propriété : un segment [ AB] possède deux axes de symétrie : la droite (AB) qui porte le segment et la médiatrice du segment [ AB]. De la propriété précédente découle une propriété caractéristique de la médiatrice. Propriété : l axe de symétrie d un angle est sa bissectrice. Propriété : si un triangle ABC est isocèle en C, alors on a ^BAC=^ABC et la médiatrice du côté [AB] est un axe de symétrie du triangle. C est également la bissectrice de l angle ^ACB. Résumé de cours de mathématiques 7/10

8 Propriété : si un triangle ABC est équilatéral, alors : ses trois angles sont égaux, et les médiatrices des trois côtés sont les trois axes de symétrie du triangle. Ce sont également les bissectrices des trois angles. 2.6 Angles Un angle se note généralement à l aide de trois lettres : il correspond à l écartement existant entre deux demi-droites de même origine. L angle ci-dessous se note ^BAC ou ^CAB. Le sommet de l angle est A. Les côtés de l angle sont les demi-droites[ab) et [AC). Mesure d un angle On mesure un angle à l aide d un rapporteur. L unité d angle est le degré, noté. Il existe quatre types d angle : les angles aigus, droits, obtus et plats. Angles égaux Définition : lorsque deux angles ont même mesure, on dit qu ils sont égaux. Angles adjacents Définition : deux angles sont adjacents s ils ont le même sommet, un côté en commun, et s ils sont situés de part et d autre de ce côté commun. Résumé de cours de mathématiques 8/10

9 Bissectrice d un angle Définition : La bissectrice d un angle est la demi-droite qui le partage en deux angles adjacents égaux. 2.7 Périmètres et aires Périmètre : le périmètre d une figure est la longueur de son contour. Aire : si deux surfaces n ont pas la même forme, mais elles occupent autant de place. On dit alors qu elles ont la même aire. Le périmètre P d un rectangle de longueur L et de largeur l est : P=(L+l) 2 Son aire est A=L l Le périmètre P d un carré de côté c est : P=c 4 Son aire est : A=c c Le périmètre du triangle rectangle est la somme de ses côtés : P=a+b+c Son aire est : Aire du triangle= (base hauteur ) 2 La longueur L d un cercle de diamètre d (ou de rayon r) est donnée par la formule : L=2 π r =d π L aire A d un disque de rayon R est donnée par la formule : A=π r 2 3 Géométrie dans l'espace Définition : un parallélépipède rectangle est un solide dont toutes les faces sont des rectangles, les sommets sont les points, les faces du parallélépipède rectangle sont des rectangles. Définition : un parallélépipède rectangle dont toutes les faces sont des carrés est appelé un cube, les sommets sont les points, les faces du cube sont des carrés. Définition : une arête est un segment dont les extrémités sont deux sommets consécutifs. Propriété : un parallélépipède rectangle a huit sommets, six faces et douze arêtes. Volume d un parallélépipède rectangle Le volume d un parallélépipède rectangle est le produit de ses trois dimensions. Remarque : les dimensions doivent toutes être exprimées dans la même unité. Au besoin, on les convertit dans la même unité. Résumé de cours de mathématiques 9/10

10 3.1 Patrons Un patron d'un solide est une figure plane qu'on pourrait obtenir par dépliage de ce solide. Il y a souvent plusieurs patrons non superposables d'un même solide. Certains solides n'ont pas de patron (sphère). 4 Statistiques et probabilités 4.1 Lire un graphique permet d obtenir des informations. Diagramme circulaire Un diagramme circulaire est un disque divisé en portions (appelées encore secteurs) dont les angles sont proportionnels aux pourcentages qu ils représentent. Exemple : on a représenté la production d un agriculteur en différentes céréales. Si ce cultivateur produit 800 kg au total, il produit : 50 % de 800 kg de blé (soit la moitié), c est-à-dire 400 kg de blé. 10 % de 800 kg d orge soit 80 kg d orge. 40 % de 800 kg de maïs soit 320 kg de maïs. En effet =320 On utilise aussi parfois des diagrammes semi-circulaires. Résumé de cours de mathématiques 10/10

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