COMMANDE EN VITESSE D UN MOTEUR A COURANT CONTINU PAR BACKSTEPPING

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1 COMMANDE EN VITESSE D UN MOTEUR A COURANT CONTINU PAR BACKSTEPPING DAHDOUH Adel (), BOUDIA Assam () Proposé et Dirigé par Mr : BEDBOUDI Mohamed (3) () Licence Automatique Département Génie électrique Faculté de technologie Université de M sila () Licence Automatique Département Génie électrique Faculté de technologie Université de M sila () Enseignant au Département Génie électrique Faculté de technologie Université de M sila Résumé : L objectif de ce travail est d appliquer une technique de commande, il s agit du backstepping, sur un moteur à courant continu alimenté par un hacheur quatre quadrants. Ce mini projet est composé de quatre parties. La première est consacrée à la présentation et la modélisation du moteur à courant continu, la deuxième partie est réservé à une présentation rapide du hacheur utilisée ainsi que sa modélisation. Dans la troisième partie, on donne le principe et l algorithme général du backstepping suivi par une application sur notre modèle. Finalement dans la quatrième partie les différentes courbes de simulation sont présentées. Mots clés : Backstepping, moteur à courant continu, hacheur, robustesse, simulation. INTRODUCTION Depuis quelques années, beaucoup de progrès ont été fait dans le domaine de la commande des systèmes. La technique du backstepping fait partie de ces nouvelles percées dans ce domaine.elle est devenue l une des techniques de commande les plus populaire pour une large gamme de classes des systèmes. Elle se distingue par sa capacité à garantir facilement la stabilisation globale du système, même en présence des incertitudes paramétrique. Dans ce mini projet on va essayer d appliquer cette technique sur un moteur à courant continu à excitation séparée.. MOTEUR A COURANT CONTINU. Introduction Le Moteur à Courant Continu (MCC) est une machine tournante qui exploite le fait qu un conducteur placé perpendiculairement à un champ magnétique et parcouru par un courant se déplace en fauchant le champ magnétique : il est donc capable de produire un effort mécanique. La constitution d un moteur électrique est identique à celle d une dynamo, ce qui signifie que la même machine peut fonctionner soit comme un moteur, pour produire une force, soit comme un générateur de courant, comme dans la dynamo, le champ magnétique est produit par les pôles inducteurs de l inducteur. On fait circuler un courant dans les conducteurs de l induit ; ceux-ci, étant perpendiculaire au champ, sont soumis à une force magnétique.le bobinage est réalisé de telle sorte que les forces de chacun des conducteurs s additionnent. La force totale du moteur est la somme des forces qui s exercent sur les conducteurs : on l appelle couple du moteur. Dans cette partie nous présenterons la modélisation du moteur à courant continu ainsi que celle des hacheurs en pont. Une étude de l association hacheur MCC sera développée par simulation.. CONVERSION D ENERGIE Le moteur électrique converti l énergie électrique en une énergie mécanique (Fig ()) Fig () La conversion d énergie d un Moteur à courant continu

2 .3 SYMBOLE On peut schématiser un moteur à courant continu par le symbole de la fig () Fig () Symbole d un Moteur à courant continu.4 CONSTITUTION ET PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT Tous les moteurs électriques sont basés sur le principe physique du couplage magnétique entre deux champs magnétiques. La transformation de l'énergie électrique en énergie mécanique s'opère à travers ce couplage magnétique ou interaction magnétique. De ce principe il découle que tout moteur comporte deux circuits magnétiques, appelés stator (partie fixe) et rotor (partie mobile). Dans le cas du moteur à courant continu le stator, aussi appelé inducteur, crée un champ magnétique B s. Le rotor, aussi appelé induit, est alimenté par un courant continu. Les conducteurs du rotor traversés par le courant sont immergés dans le champ B s, or le physicien Laplace découvrit que le conducteur est soumis à une force F=B s^i (^= produit vectoriel entre les deux vecteurs). C'est cette force qui va faire tourner le rotor et créer le couple moteur. Fig(3) Constitution D un Moteur à courant continu.5 CONSERVATION DE L ENERGIE La puissance électromagnétique est la partie de la puissance électrique de la machine, convertie en puissance mécanique. P em =EI=T em Ω (.) (Puissance électrique) (Puissance mécanique) P em puissance électromagnétique (W)..6 REVERSIBILITE Une même machine pourra fonctionner en moteur ou en génératrice. On dit qu elle est réversible. B(inducteur) + rotation Génératrice Moteur Fig (4) La réversibilité de la machine (B : induction magnétique) B(inducteur)+B(induit)

3 .7 LES DIFFERENTS TYPES D EXCITATION Excitation séparée Excitation shunt Excitation série Excitation compound Fig (5) Les différents types d excitation Dans notre Mini-projet on s intéresse au moteur à excitation séparée..8 MOTEUR A EXCITATION SEPAREE.8. SCHEMA DE PRINCIPE Ce moteur est appelé moteur à excitation indépendante car il n y a aucun lien électrique entre l induit et l inducteur (Les alimentations U a et U e sont indépendantes).. I a I e U a Induit Inducteur U e M Fig (6) Schéma de principe d un moteur à courant continu.8. MODELE ELECTRIQUE EQUIVALENT DE L INDUIT L induit est présenté par une f.c.e.m E en série avec une résistance de bobinage et une inductance. U a R a L a U=E+R a I a +L a dia dt E E f.c.e.m. du à la rotation dans le champ inducteur (V). R a résistance des enroulements (Ω). U a tension d alimentation de l induit (V). I a L a courant dans l induit (A). l inductance équivalente de l enroulement d induit (H). (.) Fig (7) Schéma électrique équivalent de l induit.8.3 MODELE ELECTRIQUE EQUIVALENT DE L NDUCTEUR Ce modèle est valable uniquement dans le cas où l inducteur est bobiné. Le bobinage inducteur alimenté sous tension continue ne présente que sa résistance de bobinage. r e L e I e U e Fig (8) Schéma électrique équivalent de l inducteur r e résistance de l enroulement inducteur (Ω). L a l inductance équivalente de l enroulement d inducteur (H). U e Tension d alimentation de l inducteur (V). I e courant dans l inducteur (A). U e = r e.i e (.3) 3

4 .8.4 REGLAGE DE LA VITESSE DE ROTATION La vitesse dépend essentiellement de la tension d alimentation U a de l induit E=KΩ φ =U a -R a I a Ω = Ua RaIa Kφ (.4) Le sens de rotation dépend : - du sens du flux, donc du sens du courant d excitation I e ; - du sens du courant d induit I a..8.5 PUISSANCE TOTALE ABSORBEE Il s agit de puissance électrique Pour simplifier, on appellera P a inducteur, P ae et P a induit, P ai. P a = P a induit + P a inducteur P a =UI+U e I e (.5).8.6 PUISSANCE A L INDUCTEUR L inducteur étant du point de vue électrique une simple résistance, toute l énergie qu il absorbe et dissipée par effet joule. Il s agit de puissance électrique. P ae =P je (.6) U e I e =r e I e On a appelé, P ae, P a inducteur. L indice «e» de P ae, I e,... signifie «excitation». C est ainsi que l on nomme parfois l inducteur..8.7 BILAN DES PUISSANCES. P u =T u *Ω (.7) p j = p j induit + p j inducteur (.8) p j =RI +r e I e =RI +P ae (.9) Fig (9) Bilan de puissance.8.8 CARACT ERISTIQUE DE VITESSE A VIDE Ω(rad.s - ) Ω=F(U) avec le flux est constant 4 U(V) Fig () L allure de la vitesse en fonction de la tension La tension d alimentation de l induit impose la vitesse de rotation U K. La charge de couple résistant T r impose la valeur du courant I T r K..8.9 MODELE D ETAT DU MOTEUR A EXCITATION SEPAREE D aprés les schémas électrique équivalent on tire les equation suivantes U a (t) =R a I a (t)+l a. dia + E(t) (.) dt C m = K I a (t) (.) C e (t) C r (t)= f Ω(t)+J Ω (t) (.) E(t) = K Ω(t) (.3)

5 D après (.)et(.) on obtient : Ω (t) = - f J Ω(t)+ k J I a(t)- J C r (t) (.4) Et d après (.)et(.3) on obtient : I ȧ (t)= - k Ra Ω(t)- I La La a(t)+ U La a(t) (.5) Donc la représentation d état du moteur est la suivante : Ω (t) I a (t) = f J k La k J Ra La Ω(t) I a (t) + La J U a C r.8. STRATEGIE DE COMMANDE DU MCC A EXCITATION SEPAREE a) commande par l inducteur : ce mode correspond évidemment au cas d un inducteur bobiné dans lequel le courant pourra varier, entrainant un flux variable.le courant d induit est maintenu constant à l aide d une source extérieur que l on peut représenter par une source de courant. b) commande par l induit : Dans ce cas le flux inducteur est maintenu constant, par l utilisation soit d un aimant permanent pour la création directe du flux, soit d une source de courant réglable. Dans notre Mini-projet nous allons opter à une stratégie de commande par l induit avec une tension d excitation constante.. MODELISATION DU HACHEUR UTILISE ie(t) i(t) L T D T D E us(t) M.C.C. u(t) T3 D3 T4 D4 Fig () Schémas de principe du hacheur à quatre quadrants couplé avec le moteur L hacheur utilisé est celui à quatre quadrants réversibles en courant et en tension permet le fonctionnement dans les quatre quadrants du plan couple /vitesse avec récupération d énergie dans les phases décélération.il permet aussi de contrôler la tension de sortie par la modification du rapport cyclique α suivant l équation suivante : U = ( α-)e (.) Le modèle du hacheur en pont est donné par l équation suivante : U= (S -S )E (.) Tel que S c est l état logique des interruptions T et T 4 et S c est l état logique des interruptions T et T ASPECT THEORIQUE DU PRINCIPE DU«BACKSTEPPING» 3. INTRODUCTION La technique du Backstepping est une méthode de commande relativement récente des systèmes non linéaires. Elle permet, de manière séquentielle et systématique, par le choix d une fonction de Lyapunov, de déterminer la loi de commande du système. Son principe est d établir d une manière constructive la loi de commande du système non linéaire en considérant quelques variables d état comme étant des commandes virtuelles et leurs concevoir des lois de commande intermédiaires 5

6 3. PRINCIPE ET ALGORITHME GENERALE DE L APPROCHE DU BACKSTEPPING L idée de base du Backstepping est de stabiliser au départ le premier sous système par une fonction stabilisante connue via une fonction de Lyapunov choisie, ensuite d ajouter à son entrée un intégrateur. On procède de même pour le prochain sous système augmenté et ainsi de suite pour les sous-systèmes successifs pour aboutir enfin à une fonction de Lyapunov globale donnant la loi de commande globale qui stabilise le système. 3.3 METHODE GENERALE DE SYNTHESE RECURSIVE PAR BACKSTEPPING Cette méthode s applique à des systèmes ayant une forme dite triangulaire, telle que l indique la représentation suivante x =f (x ) + g (x )x, x =f (x, x ) + g (x, x )x 3, (3.) x n=f (x,, x n ) + g (x,, x n )u, Avec x = [x x x n ] t ϵ R n, u ϵ R Afin d illustrer la procédure récursive de la méthode backstepping, on considère que la sortie du système y=x désire suivre le signal de référence y ref. Le système étant d ordre n, la mise en œuvre s effectue en n étapes ETAPE On commence par la première équation du système, où x sera considérées comme une commande virtuelle intermédiaire. La première référence désirée est notée : (x ) d =α = y ref (3.) Ce qui conduit à l erreur de régulation suivante : e = x α (3.3) Ainsi sa dérivée est : e = x _α = f (x ) + g (x )x α (3.4) Pour un tel système, nous construisons d abord la fonction de Lyapunov v sous une forme quadratique v = e (3.5) Sa dérivée temporelle est : v = e e = e (f (x ) + g (x )x α ) (3.6) Un choix judicieux de x rendrait v négative et assurerait la stabilité pour la dynamique de (3.4) Pour cela, prenons : x = α telle que : f (x ) + g (x )x α = k e (3.7) Où k > est une constante de conception. Ainsi, la loi de commande pour le système (3.4) sera donnée par : α = g (x ) [ k e + α f (x )] (3.8) Ce qui implique v = k e (3.9) 3.3. ETAPE Maintenant, la nouvelle référence désirée sera la variable de commande pour le sous-système précédent (3.4) : (x ) d = α (3.) D où l erreur de régulation : e =x α (3.) Sa dérivée e = x _α = f (x,x )+g (x,x )x 3 -α (3.) 6

7 la fonction de Lyapunov étendue est : v = v + e (3.3) = (e + e ) Donc la dérivée est : v = v + e e v = -k e +e [f (x,x )+g (x,x )x 3 -α ] (3.4) Le choix de x 3 qui stabilisera la dynamique du système (3.), et rendra v négative est : x 3 =α telle que : f (x,x )+g (x,x )x 3 -α =-k e (3.5) Où k > est une constante de conception. Ainsi, la loi de commande pour le système (3.) sera donnée par : Avec α = [-k g(x,x) e +α -f (x,x )] (3.6) α = g (x )[ k e +α f (x )] [ k e +α f (x )]g (x ) (3.7) g (x ) Un tel choix implique que : v = -k e - k e (3.8) ETAPE n De la même façon, pour cette étape la référence à suivre sera : (x n ) d =α n- (3.9) D où l erreur de régulation : e n =x n α n (3.) Sa dérivée est : e n = x n_α n = f n (x,,x n )+g n (x..x n )u-α n (3.) Pour le système (3.), la fonction de Lyapunov étendue est : v n = v +v + + e n = (e + + e n ) (3.) Sa dérivée est : v n = v + + e n e n = -k e + +e n [f (x.,,,.x n )+g (x.,,.,x n )u-α n ] (3.3) Dans cette dernière étape, on est arrivé à déduire la loi de commande pour le système entier. Un bon choix doit satisfaire : f n (x.,,.,x n )+ g n (x.,,,.x n )u-α n =-k n e n (3.4) Où k n > est une constante de conception. Ainsi, la loi de commande pour le système entier sera donnée par : u= [-k g(x.,,,.x n ) ne n +α n -f (x.,,,.x n )] (3.5) Ce qui garantit la négativité de la dérivée de la fonction de Lyapunov étendue : v n= -k e - - k n e n (3.6) 3.4 APPLICATION DU BACKSTEPPING AU MCC A EXCITATION SEPAREE 3.4. ETAPE On commence par l équation (.4), on prend Ω ref comme une référence désirée. Ce qui conduit à l erreur de régulation suivant : e = Ω- Ω ref (3.7) Ainsi sa dérivée est : e = Ω _Ω ref (3.8) 7

8 Donc la fonction de Lyapunov v sous une forme quadratique : = - f J Ω+ k J I a- J C r _Ω ref Sa dérivée temporelle est : Pour rendre v négative et assurer la stabilité on prend : v = e (3.9) v = e e =e (- f J Ω+ k J I a- J C r Ω ref) (3.3) - f J Ω+ k J I a- J C r - Ω ref= k e (k >) (3.3) Ce qui implique : v = k e (3.3) Alors la loi de commande pour l équation (.4) donnée par : I * a = f Ω + C r - J Ω k k k ref kj k (3.33) 3.4. ETAPE Dans cette étape la nouvelle référence désirée sera la variable de commande pour le sous-système précédent (.4) : * e =I a -I a (3.34) e = I a-i a (3.35) = - k Ra Ω- La La a+ U a - La I a (3.36) Donc la fonction de Lyapunov étendue est : v = v + e (3.37) = (e + e ) v = v + e e v = -k e +e (- k La Pour rendre v négative et assurer la stabilité on prend : Ω- Ra La I a+ La U a - I a ) (3.38) - k La Ω- Ra La I a+ La U a - I a = - k e (k >) (3.39) Ainsi, la loi de commande pour le système (.5) sera donnée par : U a = k Ω+R a I a +L a I a - k L a e (3.4) Ce qui garantit la négativité de la dérivée de la fonction de Lyapunov étendue : v = -k e - k e (3.4) 4. RESULTATS DE SIMULATION 4. SIMULATION EN BOUCLE OUVERT Après un démarrage à vide, on exerce un couple résistante (5 Nm) à l instant.3s 8

9 ipmulsion avant la charge impulsion aprés la charge vitesse(rad/s) couple(n.m) vitesse (Rad/s) Couple (N.m) Rapport de projet de fin d étude Licence Génie Electrique Option : Automatique Wref Wrèel (a) (b) Fig () Résultat de simulation en boucle ouvert : a- L allure de la vitesse b- L allure du couple 4.. INTERPRETATION Le moteur démarre avec un couple de démarrage important de l ordre de 3 N.m, puis il passe du régime transitoire au régime établi pour se stabiliser autour de N.m, à partir de l instant.3s où on a appliqué la charge la courbe passe et stabilise au 5Nm qui correspond au couple résistant imposé par la charge (TL). 4. SIMULATION EN BOUCLE FERMEE Après un démarrage à vide, on exerce un couple résistant de 5Nm à l instant.3s Wref Wréel (a) (b) (c) Fig (3) Résultat de simulation en boucle fermée : a- L allure de la vitesse b- L allure du couple c- L allure des impulsions avant et après l application de la charge

10 Vitesse (Rad/s) Couple (N.m) R (ohm) vitesse (rad/s) couple(n.m) Rapport de projet de fin d étude Licence Génie Electrique Option : Automatique 4.3 SIMULATION EN BOUCLE FERMEE AVEC VARIATION DU CONSIGNE 5 Wref Wreel (a) (b) Figure (4) variation de la consigne de vitesse : a- L allure de la vitesse b- L allure du couple 4.4 SIMULATION EN BOUCLE FERMEE AVEC VARIATION PARAMETRIQUE (R=4.Ω sur [,.3s] et R=8.Ω sur [.3s,.5s ]) R.R (a) Wref Wréel (b) (c) Figure (5) test de robustesse : a- Variation de la résistance d induit de % b- L allure de la vitesse c- L allure du couple

11 4.5 INTERPRETATION Les résultats des figures de simulation obtenus, dans les cas de la référence constante (Fig (3)) et de la référence variable (Fig (4)) montrent la bonne poursuite de la vitesse réelle à la consigne. Le couple électromagnétique passe par un régime transitoire puis il se stabilise autour de la valeur de la charge appliquée. Les résultats de la figure (5) montent bien l insensibilité du système commandé par la technique utilisée envers la variation paramétrique (variation de la résistance d induit). 5 CONCLUSION La technique de commande Backstepping permet de commander notre moteur à courant continu avec des bonnes performances (court temps de réponse, un bon rejet de perturbation et une bonne précision en régime permanent). Les résultats de simulation prouvent la robustesse de la technique choisie vis-à-vis des variations paramétriques. L utilisation des hacheurs est indispensable pour faire varier la vitesse des moteurs à courant continu. REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES [] GUY SEGUIER. «L électronique de puissance : les fonctions de base et leurs principales applications», sixième édition, édition DUNOD, 99. [] Francis Milsant. Machines électriques. Tome, machines à courant continu, asservissements linéaires, deuxième édition, ellipses, 998 [3] F. MEHAZZEM. «Contribution à la Commande d un Moteur Asynchrone destiné à la Traction électrique», Thèse de Doctorat, université de Constantine,. [4] M BENAISSI et A BOUHADJA. «Commande d un moteur à courant continu par microcontrôleur PIC 6F876», Mémoire d ingénieur, département d électronique, université de M sila, 6. ANNEXE Paramètres du moteur à courant continu utilisés : U n = [V] R a =4. [Ω] L a =.3 [H] J=.3 [Kg.m ] f= [N.S/m] I n =5.85 [A] P n = [W] N n =8 [tr/mn] k=.67