EXTRAITS DU B.O. SPECIAL N 6 DU 28 AOÛT 2008 Connaissances Capacités Commentaires

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1 XTRAITS DU B.O. SPCIAL N 6 DU 28 AOÛT 2008 Connaissances Capacités Commentaires 3. éométrie 3.3 Parallélépipède rectangle : patrons, représentation en perspective abriquer un parallélépipède rectangle de dimensions données, à partir de la donnée du dessin de l un de ses patrons. Reconnaître un parallélépipède rectangle de dimensions données à partir - du dessin d un de ses patrons, - d un dessin le représentant en perspective cavalière. Reconnaître dans une représentation en perspective cavalière du parallélépipède rectangle les arêtes de même longueur, les angles droits, les arêtes, les faces parallèles ou perpendiculaires. Dessiner ou compléter un patron d un parallélépipède rectangle. 4. randeurs et mesures 4.4 Volumes Déterminer le volume d un parallélépipède rectangle en se rapportant à un dénombrement d unités, *en utilisant une formule. Connaître et utiliser les unités de volume et les relier aux unités de contenance. Savoir que 1 L = 1 dm 3. ffectuer pour les volumes des changements d unités de mesure. À l école élémentaire les élèves ont déjà travaillé sur des solides droits de l espace (description, construction, patron). Cette étude est poursuivie en 6 e en mettant l accent sur un aspect nouveau : la représentation en perspective cavalière, dont certaines caractéristiques sont précisées aux élèves. L usage d outils informatiques permet une visualisation de différentes représentations d un même objet de l espace. Même si les compétences attendues ne concernent que le parallélépipède rectangle, les travaux portent sur différents objets de l espace et s appuient sur l étude de solides amenant à passer de l objet à ses représentations et inversement. Comme pour les longueurs et les aires, l utilisation des équivalences entre diverses unités est préférée à celle systématique d un tableau de conversion. Note : les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italiques. Si la phrase en italiques est précédée d un astérisque l item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. Dire que l exigibilité pour le socle est différée ne veut pas dire que la capacité ne doit pas être travaillée bien au contraire! mais que les élèves pourront bénéficier de plus de temps pour la maîtriser. 108 Je révise 1 : A 2 : B 3 : A 4 : A Objectifs Activités Savoir interpréter une représentation en perspective cavalière. Connaître les principales règles de la perspective cavalière. Connaître le sens des mots «sommet», «arête» et «face». Approche intuitive des notons de parallélisme et de perpendicularité dans l espace à partir de l observation d un cube. Savoir compléter une représentation en perspective cavalière. 1. a. Les arêtes en pointillés sont les arêtes cachées. b. Chaque face d un cube est un carré. c. Les arêtes parallèles à l arête [A] dans la réalité sont : [D], [C] et [B]. lles sont aussi parallèles à l arête [A] sur la figure. d. Les arêtes perpendiculaires à l arête [A] dans la réalité sont : [], [], [AD] et [AB]. Seules les arêtes [] et [AB] sont aussi perpendiculaires à l arête [A] sur la figure. e. Les arêtes [], [], [DC], [AB],[A], [D], [C], [B] ont la même longueur sur la figure. Les quatre autres arêtes ont la même longueur sur la figure mais sont représentées par des segments plus petits que les autres arêtes. 2. DOCUMNT À POTOCOPIR (ANNX 1)

2 Objectif Savoir qu un parallélépipède rectangle est composé de six faces rectangulaires parallèles et superposables deux à deux. 1. DOCUMNT À POTOCOPIR (ANNX 2) Nature Nombre Noms Sommet Point 8 A ; B ; C ; D ; ; ; ; Arête Segment 12 ace Rectangle 6 [AB] ; [BC] ; [CD] ; [AD] ; [] ; [] ; [] ; [] ; [A] ; [B] ; [C] ; [D] ABCD ; ; BC ; AD ; AB ; DC 2. a. Les arêtes parallèles à l arête [AB] sont : [DC], [] et []. b. Les arêtes perpendiculaires à l arête [AB] sont : [A], [B], [AD] et [BC]. c. Les arêtes perpendiculaires à la face ABCD sont : [A], [D], [C] et [B]. Objectif Savoir relier une représentation en perspective cavalière d un parallélépipède rectangle avec un de ses patrons. 1. c. Les arêtes qui coïncident sont : [AB] et [MN], [BC] et [NC], [MD] et [D], [] et [AJ], [] et [L], [KL] et [IJ], [K] et [I]. 2. A B C D Le volume d un cube d arête 1 mm est égal à 1 mm 3. Le volume d un cube d arête 1 dam est égal à 1 dam 3. Le volume d un cube d arête 1 hm est égal à 1 hm 3. Le volume d un cube d arête 1 km est égal à 1 km a. Le volume du grand cube est égal à 1 m 3. Le volume d un petit cube est égal à 1 dm 3. b. Il faut 100 petits cubes pour recouvrir le fond du grand cube. Il faut 10 «couches» de 100 petits cubes pour remplir le grand cube. Il faut donc petits cubes pour remplir le grand cube. c. 1 m 3 = dm a. Il faut petits cubes d arête 1 cm pour remplir un grand cube d arête 1 dm. b. Il faut petits cubes d arête 1 mm pour remplir un grand cube d arête 1 cm. DOCUMNT À POTOCOPIR (ANNX 3) 4. a. 1 m 3 = dm 3 b. 1 cm 3 = mm 3 c. 1 dm 3 = cm 3 d. 1 dm 3 = 0,001 m 3 e. 1 mm 3 = 0,001 cm 3 f. 1 cm 3 = 0,001 dm 3 5. a. 5 m 3 = dm 3 b. 2,3 m 3 = dm c. 0,145 dm 3 = 145 cm 3 d. 4 cm 3 = 0,004 dm : 1000 e. 785 cm 3 = 0,785 dm 3 f. 91 mm 3 = 0,091 cm 3 6. : 1000 : 1000 m 3 dm 3 cm 3 mm Dans la première figure, la face blanche doit être coloriée en violet. Dans la deuxième figure, la face blanche doit être coloriée en jaune. Dans la troisième figure, la face blanche doit être coloriée en marron. Dans la quatrième figure, la face blanche doit être coloriée en violet. Objectif Découvrir les unités de volume et les équivalences entre les multiples et sous-multiples du mètre cube. 1. Le volume d un cube d arête 1 dm est égal à 1 dm 3. Le volume d un cube d arête 1 cm est égal à 1 cm 3. Objectif Découvrir la formule permettant de calculer le volume d un parallélépipède rectangle à partir de ses trois dimensions. 1. Il faut 7 3, soit 21 cubes d arête 1 cm pour recouvrir le fond du parallélépipède rectangle. 2. Il y a cinq «couches» de 21 petits cubes. Il faut donc 21 5, soit 105 cubes d arête 1 cm pour remplir le parallélépipède rectangle. Le volume d un cube d arête 1 cm est égal à 1 cm 3, donc le volume du parallélépipède est égal à 105 cm a. Il faut 20 35, soit 700 cubes d arête 1 mm pour recouvrir le fond du parallélépipède rectangle. Il y a 40 «couches» de 700 petits cubes. Il faut donc , soit cubes d arête 1 mm pour remplir le parallélépipède rectangle. Chapitre 15 Parallélépipède rectangle Volume 109

3 b. Le volume d un cube d arête 1 mm est égal à 1 mm 3, donc le volume du parallélépipède est égal à mm 3, soit 28 cm 3. c. 3,5 2 4 = Le volume d un parallélépipède rectangle s obtient en multipliant ses trois dimensions exprimées dans la même unité. Objectif Découvrir l équivalence entre les unités de contenance et les unités de volume. 1. Les dimensions d une boîte de lait de 1 L sont environ : 5,8 cm, 19,6 cm et 9 cm. 2. = 5,8 19,6 9 = 1 023,12 cm 3. D où : cm L = cm 3 = 1 dm 3. xercices 4 3. bleu orange 6,5 cm 2,5 cm jaune 4 cm a. 29 cl = 0,29 L b. 18 L = 180 dl c. 7,02 L = ml d. 39,1 L = 3,91 dal 5 a. 34 L = 34 dm3 b. 5 ml = 5 cm 3 c. 8,3 cm 3 = 8,3 ml d. 112 dm 3 = 112 L 6 a. 210 dm3 = 210 L b. 8,74 dm 3 = 874 cl c. 147,2 dm 3 = ml d cm 3 = 7,541 L a. Le point est une extrémité des arêtes [], [] et [B]. b. Les arêtes parallèles à l arête [D] sont les arêtes [A], [B] et [C]. c. Les arêtes perpendiculaires à l arête [BC] sont les arêtes [BA], [B], [CD] et [C]. d. Les arêtes perpendiculaires à la face AD sont les arêtes [AB], [DC], [] et []. 2. a. L arête [] est un côté des faces et CB. b. Les faces AB, BC, CD et AD sont une arête en commun avec la face ABCD. c. Les faces ABCD, DC et AD ont le sommet D en commun. d. La face AD est parallèle à la face BC. DOCUMNT À POTOCOPIR (ANNX 4) petits cubes d arête 1 cm composent le parallélépipède rectangle. 2. Le volume d un cube d arête 1 cm est égal à 1 cm Le volume du parallélépipède rectangle est égal à 84 cm 3. La face est un rectangle tel que : = 7 cm et = 3 cm. La face AD est un rectangle tel que : AD = 3 cm et D = 5 cm. La face DC est un rectangle tel que : D = 5 cm et DC = 7 cm. L R 9 DOCUMNT À POTOCOPIR (ANNX 5) K D C A B Deux faces de même couleur sont parallèles. 2. Les faces orange sont des rectangles de dimensions 6,5 cm et 4 cm. Les faces bleues sont des rectangles de dimensions 6,5 cm et 2,5 cm. Les faces jaunes sont des rectangles de dimensions 2,5 cm et 4 cm.

4 cm 5 cm 2 cm 6 cm 4 cm 2 cm 11 DOCUMNT À POTOCOPIR (ANNX 6) 6 cm 4 cm 2 cm 12 DOCUMNT À POTOCOPIR (ANNX 7) 15 DOCUMNT À POTOCOPIR (ANNX 8) 13 7 cm 5 cm violet D C 3 cm A B vert jaune Voir «Pour les curieux» page cm 4 cm Chapitre 15 Parallélépipède rectangle Volume 111

5 16 DOCUMNT À POTOCOPIR (ANNX 9) cm = 0,12 m = ,12 = 120 Le volume de gravier est donc égal à 120 m 3. = ,5 = 937,5. Le volume d eau est donc égal à 937,5 m 3 ou L ou hl. Thème de convergence a. 7,45 cl = 74,5 ml b. 0,568 hl = cl c. 0,002 L = 2 ml d. 78,6 cl = 0,786 L 18 a. 8,75 cm3 = mm 3 b m 3 = 35,214 dam 3 c. 0,015 dm 3 = mm 3 d. 1,12 m 3 = dm 3 19 a. 81,6 L = 81,6 dm3 b dl = cm 3 c. 720 ml = mm 3 d. 0,25 hl = 0,025 m 3 20 a. 61 dm3 = 61 L b. 75,03 dm 3 = cl c. 862 dm 3 = 8,62 hl d. 0,56 m 3 = 560 L 21 a. 398 cm3 = 0,398 dm 3, d où : 398 cm 3 < 0,402 dm 3. b mm 3 = 0,597 dm 3, d où : mm 3 < 0,912 dm 3. c. 58,17 dal = 581,7 L, d où : 58,17 dal < L. d. 0,07 hl = ml, d où : 0,07 hl > ml Le volume d un petit cube d arête 1 cm est égal à 1 cm Sophie a utilisé 14 petits cubes pour sa construction (9 pour la première couche, 4 pour la seconde couche et 1 pour la dernière couche). 3. Le volume de la construction est donc égal à 14 cm Il faut ajouter 13 petits cubes pour obtenir un cube d arête 3 cm. 5. Le volume du grand cube est égal à 27 cm 3. DOCUMNT À POTOCOPIR (ANNX 10) a (en cm) b (en cm) c (en cm) (en cm 3 ) , , ,5 cm = 0,015 m. = ,015 = 1,8. Le volume d eau est donc égal à 1,8 m 3 ou L. À l oral 1. C 2. A 3. C 4. C 5. B 28 a. 415 cm3 = 0,415 dm 3. b. 68,2 m 3 = dm 3. c. 287 dm 3 = 0,287 m 3. d. 0,754 m 3 = cm a. 33,12 L = 0, m3. b dl = 270 dm 3. c. 49,5 L = 0,049 5 m 3. d. 0,025 hl = cm a. = = 150 cm3. b. = 4,5 2 3 = 27 cm 3. c. = 8 0,5 4 = 16 cm 3. d. = 2 1,3 5 = 13 cm DOCUMNT À POTOCOPIR (ANNX 12) Dans la réalité Sur le dessin AB = vrai vrai AD = A vrai faux = BC vrai vrai AB = vrai faux = BD vrai faux CD = 90 vrai vrai = 90 vrai faux AD = BC vrai vrai = B vrai faux a. 24 petits cubes ont une seule face orange (quatre cubes par face). b. 24 petits cubes ont exactement deux faces orange (deux cubes par «arête»).

6 c. 8 petits cubes ont exactement trois faces orange (un cube par sommet). d. 8 petits cubes n ont aucune face orange (Ce sont tous les autres petits cubes situés à l intérieur du grand cube, soit ). 1. La construction a. est composée de 11 cubes d arête 1 cm. La construction b. est composée de 15 cubes d arête 1 cm. 2. Un cube d arête 3 cm est composé de 27 cubes d arête 1 cm. Il n y a que 26 cubes, donc il manquera un cube d arête 1 cm pour reconstituer un cube d arête 3 cm. DOCUMNT À POTOCOPIR (ANNX 13) a. b. Le patron peut être celui des cubes 1, 3 ou = Donc la quantité de pétrole transportée en une année est égale à m 3, soit hl : 200 = La quantité de pétrole transportée en une année permettra donc de remplir camions de 200 hl ,5 L = cm = 22. La hauteur d eau dans l aquarium est égale à 22 cm dm3 de neige donnent 1 L d eau, donc 12 dm 3 de neige donneront 12 L d eau soit 0,8 L d eau Pour obtenir 1 hl, soit 100 L d eau, il faut dm 3 de neige, soit L de neige. Il faudra donc remplir de neige 150 seaux de 10 L Le volume d un cube d arête 5 mm est égal à 125 mm Le nombre total de petits cubes composant la construction est égal à : 64 8, soit = Donc le volume de la construction est égale à mm 3, soit 7 cm ( ) + ( ) + (18 15) = Donc l aire de la surface à vernir est égale à cm². 1 ml de vernis permet de recouvrir 5 cm², donc pour recouvrir cm², il faudra ml 5 de vernis, soit 450 ml de vernis = Donc la contenance du vase est égale à cm 3, soit 8,1 L cm 3 = 0,15 L ,15 = 8,15 > 8,1. Donc en mettant les fleurs dans le vase, l eau débordera. 1,15 m = 115 cm. = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = Donc le volume de rangement est égal à cm 3, soit 388,125 dm 3. = 4 2 2,5 20 = 400. Donc le volume des vingt glaçons est égal à 400 cm 3. 1 L d eau donne 1,09 dm 3 de glace, soit cm 3 donc pour obtenir 400 cm 3 de glace, il faut 400 L d eau, soit 0,367 L ou 367 ml Le nombre de petits cubes à ajouter pour compléter le grand cube est égal à , soit La figure n est pas représentée en perspective cavalière car les segments parallèles dans la réalité ne sont pas représentés par des segments parallèles. Thème de convergence cm3 = 0,25 L = 25 cl = 600. Donc la quantité d eau écoulée en une journée est égale à 600 cl = 8. On pourrait ainsi remplir huit bouteilles de 75 cl avec l eau écoulée du robinet qui fuit en une journée. Chapitre 15 Parallélépipède rectangle Volume 113

7 Argumenter et débattre Pour les curieux a. Vrai. b. Vrai. c. aux. Le quadrilatère AC est un rectangle. d. Vrai. e. Vrai. f. aux. Le triangle DB est rectangle en B. g. Vrai. Ses côtés ont la même longueur, égale à la longueur de la diagonale d une face carrée. 2. aux. Un cube d arête 10 cm a un volume de cm aux. Un cube d arête 2 m a un volume de 8 m 3 et un cube d arête 1 m a un volume de 1 m 3, donc le volume d un cube d arête 2 m est huit fois plus grand que le volume d un cube d arête 1 m. 4. aux. 70 L = 70 dm 3 = 0,07 m aux. 145 dm 3 = 145 L = dl. 6. Vrai. Le volume d un cube d arête 10 cm est égal à cm 3, soit cm 3, soit 1 dm 3, donc 1 L. 7. aux. Le volume d un cube d arête 20 cm est égal à cm 3, soit cm 3, soit 8 L. 54 DOCUMNT À POTOCOPIR (ANNX 14) Patron en croix latine : Autres patrons : = = Donc le volume de la boîte est égal à cm 3. 2 = 1 1,5 3,5 = 5,25. Donc le volume d un morceau de sucre est égal à 5,25 cm 3. n exprimant 1 et 2 en mm 3 on obtient : = Une valeur approchée par défaut à l unité de ce quotient est 213, donc Charlotte dit qu elle peut mettre 213 morceaux de sucre dans cette boîte. 2. On suppose que tous les sucres sont rangés dans le même sens. Sur la longueur de 16 cm on peut mettre 4 sucres de longueur 3,5 cm et sur la largeur de 10 cm, on peut mettre 6 sucres de largeur 1,5 cm. On obtient ainsi une couche de 24 sucres. Sur la hauteur de 7 cm, on peut mettre 7 sucres de hauteur 1 cm. Il y a donc 7 couches de 24 sucres, soit 168 sucres dans la boîte. n positionnant les sucres «verticalement», on peut mettre 10 sucres sur le côté de 10 cm (10 1 cm) et 10 sucres sur le côté de 16 cm (10 1,5 = 15 cm). On obtient ainsi une couche de 100 sucres. Sur la hauteur de 7 cm, on peut donc avoir deux couches de 100 sucres, soit 200 sucres. Donc Élodie a raison. Au maximum, on pourra ranger 200 sucres dans cette boîte (dans la même position) Le coefficient d ouverture correspond à une ouverture du cube plus ou moins grande. Le patron est donné par le plus grand coefficient d ouverture, à savoir 1.

8 Annexe 1 2 Annexe 2 1 A D B C Nature Nombre Noms Sommet Point 8 A ; B ; C ; D ; ; ; ; Arête ace Annexe 3 4 a. 1 m 3 = dm 3 b. 1 cm 3 = c = cm 3 d. 1 dm 3 = m 3 e. 1 mm 3 = 0, f = 0,001 dm 3 5 a. 5 m 3 = dm 3 b. 2,3 m 3 = dm 3 c. 0,145 dm 3 = cm d. 4 cm 3 = dm 3 e. 785 cm 3 = dm 3 f. 91 mm 3 = cm 3 :... :... :... Chapitre 15 Parallélépipède rectangle Volume 115

9 Annexe 3 6 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 Annexe 4 2 D A B Annexe

10 Annexe Annexe 7 15 Annexe 8 Chapitre 15 Parallélépipède rectangle Volume 117

11 16 Annexe 9 Annexe a (en cm) b (en cm) c (en cm) (en cm 3 ) , , Annexe Annexe 12 AB = Dans la réalité Sur le dessin AD = A = BC A D B C AB = = BD CD = 90 = AD = BC = B

12 Annexe a. b. 54 Annexe 14 Chapitre 15 Parallélépipède rectangle Volume 119