3- LES TIRAGES PROBABILISTES D'ECHANTILLONS

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "3- LES TIRAGES PROBABILISTES D'ECHANTILLONS"

Transcription

1 3- LES TIRAGES PROBABILISTES D'EHATILLOS Das de ombreuses alcatos ratques du calcul des robabltés, o retrouve u ou luseurs des schémas de trages robablstes d'échatllos que ous allos exoser. Le cadre gééral eut être formalsé as : Sot ue oulato E de élémets umérotés de à (ar exemle: boules d'ue ure, dvdus d'ue oulato statstque,..) et l'exérece aléatore cosste à chosr au hasard élémets das cette oulato. O dt qu'o tre u -échatllo aléatore (ou u échatllo aléatore de talle ). La lo de robablté qu'o eut assocer aux dfférets -échatllos ossbles déed du mode de trage. Défto : O dt que le trage de l'échatllo est avec remse (ou beroulle ou o exhaustf ) lorsque les dvdus sot trés u à u et rems das la oulato avat trage de l'dvdu suvat. Le trage de l'échatllo est sas remse (ou exhaustf lorsque les dvdus sot trés: - u à u, mas e sot as rems das la oulato avat trage de l'dvdu suvat; - ou ecore que les sot trés smultaémet (ce qu est équvalet lorsqu'o e tet as comte de l'ordre ) Pour doer u exemle tye ; o cosdère ue ure coteat boules et o y tre boules. Das de ombreux cas les dvdus sot réarts e catégores de talles resectves,..., avec = O otera la robablté qu'u dvdu de la catégore sot tré. 'est la roorto des dvdus de la catégore das la oulato : = = =,,..., et = = La robablté qu'u -échatllo sot formé de,,..., dvdus de chaque catégore resectve,,..., déed du mode de trage. O a : = = 3

2 3-- LE TIRAGE AVE REMISE (BEROULLIE) L'esace fodametal est alors Ω= E et card Ω =. Il cotet doc échatllos ossbles qu sot les évéemets élémetares de. ( arragemets avec rééttos de élémets arm ). La robablté d'obter,,..., dvdus de chaque catégore sera otée : - Das les cas ordoés : P( * *... *) (avec des étoles) Elle se lra : robablté das u ordre sécfé. - Das les cas où l'ordre 'a as d'mortace, o otera P(,,... )( avec des vrgules) et o lra robablté das u ordre quelcoque. 3-- O tet comte de l'ordre d'aarto des dvdus. O cherche = P( * *... *) (àd la robablté d'u échatllo comosé de cette structure mas e lus das u certa ordre sécfé.) P a = P( * *...* ) =... =... Démostrato : ard Ω = Les évéemets élémetares sot c équrobables. Raelos que la robablté P(A) d'u évéemet A se calcule e cas d'équrobablté à l'ade de la formule : ard A P ( A ) = ard Ω carda =... car l y a faços de chosr les arm, à chacue d'elles, o eut assocer faços de chosr arm,..., à chacue des... faços o eut assocer de chosr arm les or = d' où = ( ) faços et P( * *...* ) = ( ) ( )... ( ) =... 3

3 Exemle : Sot ue ure avec =5 boules dot 3 sot blaches et sot ores. O tre : =3 boules et soet = et =: P(BB) = = ( 3 5 ) ( 5 ) = 0, 6 0,4 = 0,44 BB : désge obter ue boule blache au remer trage, ue boule ore au ème trage et ue boule blache au 3ème trage. Remarquos que P(BB)=P(BB)=0,44. La robablté est la même our: BB ; BB ou B. Quel que sot l'ordre qu'o retet la robablté est la même O e tet as comte de l'ordre : b- O cosdère catégores: o cherche P b = P(,,..., ) (o e s'téresse c qu'à la structure de l'échatllo eu morte l'ordre d'obteto des dvdus) : P b = P(,,..., ) =!!!...!... Démostrato: omme la robablté d'obter u ordre sécfé est : P a = P( * *...* ) =... =..., et comme l y a autat d'ordres ossbles -chacu d'eux corresodat à l'échatllo avec la même comosto (,,..., ) - que de ermutatos avec réétto de élémets dot sot detques etre eux, detques etre eux,..., detques etre eux, c'est-à-dre :!!!...!, l sufft de multler P a ar ce ombre. 33

4 Défto : la lo de robablté qu doe la réartto (,,..., ),quel que sot l'ordre, s'aelle la lo multomale b -as artculer mortat : = Exemle : Sot =5 boules d'ue ure avec =3 blaches, = ores et o y tre,au hasard, =3 boules (avec remse).l'ure est : E = { B, B, B 3,, }. Sot à calculer la robablté d'avor u échatllo comosé de boules blaches et ue ore oté P(B,) P(B,) = 3!/(!.!) x (3.)/53 = 3 x 0,44 = 0,43 Remarquos qu'o a c u résultat attedu : o a lus de chaces d'avor u échatllo das u ordre quelcoque qu'u échatllo avec u ordre sécfé (0,43 > 0,44). Gééralsos cet exemle à de ombreuses stuatos se retrouvat das l'alcato ratque du calcul des robabltés et qu coceret ue oulato avec catégores d'dvdus : boules ores/blaches, vote: ou/o, sexe : mascul/fém, èces: valables/défectueuses... Das ces cas, la robablté d'avor u échatllo, avec la réartto (, ) et quelque sot l'ordre eut s'exrmer d'ue autre maère qu'o retrouvera fréquemmet ar la sute : P(, ) = or,!!! (e vertu du résultat gééral récédet)!!! = car = + d' où = et: = D'habtude, o ote : = et = q et comme + = +q =, o a: q = Falemet P(, ) eut être écrte autremet : 34

5 P(, ) = q = ( ) ette focto est la lo de robablté de la comosto d'u - échatllo (sas ordre sécfé) lorsqu'l y a catégores das la oulato. Elle s'aelle: la lo bomale. Remarque : - ette lo de robablté e déed as de la talle de la oulato mas seulemet de la talle de l'échatllo et de la roorto des dvdus d'ue certae catégore. et sot les deux aramètres de la lo. Exemle : - O cosdère ue ure avec ue roorto de boules blaches et q de boules ores et o tre boules avec remse. La robablté d'avor " " boules blaches est alors : q our : 0. o a our ; =3 et =q = / ; l'esace fodametal suvat : Ω 0 blache blache blaches 3 blaches total q 0 3 ( ) 3 3 ( ) 3 3 ( ) ( ) 3 robabltés /8 3/8 3/8 /8 ' comte 4 évéemets élémetares o équrobables. 'est le ombre de combasos avec rééttos de 3 arm élémets : K 3 = 4 Remarque : o est assé d'u esace fodametal où card = 8 et où les 8 évéemets sot équrobables,( das le cas où o tet comte de l'ordre), à u esace ' où les évéemets e sot lus équrobables. O s'est serv de our robablser '. 35

6 - O jette ue èce de moae fos o s'téresse au ombre de les obteus. et exemle est aalogue au trage avec remse de boules d'ue ure coteat des boules blaches et ores e roortos égales (=q=/) comme das l'exemle. As s A : "avor les e jetat la èce 3 fos" P(A)= 3 ( ) 3 =3/8 3- O jette u dé fos et o s'téresse au ombre de fos où l'o a obteu u "as". et exemle est aalogue au trage de boules d'ue ure où la roorto des boules blaches est /6 et où, o s'téresse au ombre de boules blaches obteues, la robablté est doée ar la lo bomale. 3-- LE TIRAGE EST SAS REMISE (EXHAUSTIF) 3--- La robablté est das u ordre sécfé Avec les otatos récédetes, la robablté d'avor u -échatllo avec la réartto,... (où = ombre d'dvdus de la catégore (=,...) et cec, das u ordre sécfé est : P a = P( * *...* ) = A A...A A Démostrato : l y a autat d'échatllos ossbles que d'arragemets sas rééttos de arm. Doc card =A évéemets élémetares équrobables. Parm eux, l y a A A...A échatllos favorables à la réalsato de la réartto et de l'ordre sécfé. Remarque : ette robablté est la même quelque sot l'ordre sécfé, c'est à dre, our chaque ordre Das u ordre quelcoque. / O dstguera c deux cas : b : o tre les dvdus u à u. 36

7 sot : P b = P(,,..., ) =! A A...A!!...! A E effet ; la robablté our u ordre sécfé est P et celle-c état la même our chacu des multler : P b =!!!...!. P a!!!...! b: o tre les dvdus smultaémet (d'u seul cou) P b = P(,,..., ) =... ordres. Doc l sufft de les a Il y a faços d'avor l'échatllo de talle et card ' = évéemets élémetares équrobables. Parm eux... échatllos favorables à la réalsato de l'échatllo désré (caractérsé ar la comosto mas as ar l'ordre). Remarques : - P b = P b car A! = =,,..., ela revet au même de dre : "qu'o tre les dvdus u à u et de e as s'téresser à l'ordre d'aarto des dvdus das l'échatllo que de dre : "que l'échatllo a été tré d'u seul cou" - Das P a ; card = A. l y a : A évéemets élémetares équrobables et ls s'agt du cas où o tet comte de l'ordre. - das P b ou P b card ' =. Il y a évéemets élémetares équrobables égalemet et l s'agt du cas où l'ordre 'est as mortat. Par cotre, das le cas du trage avec remse : card = ; l y a évéemets élémetares équrobables das le cas où o tet comte de l'ordre et card '=K évéemets élémetares o équrobables das le cas où l'ordre 'est as mortat. 37

8 La raso our laquelle les sot équrobables et les K échatllos du trage sas remse échatllos du trage avec remse e le sot as est que ; chaque combaso sas rééttos arm referme! arragemets sas rééttos. Par cotre chacue des combasos avec rééttos arm les K e referme as le même ombre d'arragemets avec rééttos (cf: troducto de l'aalyse combatore) / as artculer mortat = La lo de robablté de la comosto d'u -échatllo (sas ordre sécfé) et où o cosdère catégores das la oulato est doée ar P(, ) = Il s'agt de la lo hyergéométrque. Remarque : our que l'exérece sot ossble l faut que, et. Exemle : O tre 3 boules d'ue ure coteat 5 boules dot 3 blaches et ores. La robablté d'avor boules blaches est doée ar le tableau suvat our : =,,3. ' 3 Somme robabltés 3/0 6/0 /

5. Variables aléatoires simultanées

5. Variables aléatoires simultanées 5. Varables aléatores smultaées 5.1 Coule de varables aléatores Défto 1 Pour tout dce das 1, sot X ue varable aléatore. O dt que X X 1 X est ue varable aléatore de dmeso. Nous ous téresseros rcalemet aux

Plus en détail

Ch.6ÊPROBABILITÉS _ partie 1

Ch.6ÊPROBABILITÉS _ partie 1 LFA / remère S COURS Gesto de doées Mme MAINGUY I Raels / Lo de robablté Ch6ÊPROBABILITÉS _ arte ere S défto O aelle exérece aléatore toute exérece ayat luseurs ssues (ou évetualtés) ossbles et dot o e

Plus en détail

I. Qu est-ce qu une variable aléatoire?

I. Qu est-ce qu une variable aléatoire? I. Qu est-ce qu ue varable aléatore?. Défto : Sot ue expérece aléatore dot l esemble des résultats possbles (l uvers est oté Ω. Ue varable aléatore est ue focto X allat de Ω sur R, c est-à-dre que c est

Plus en détail

COUPLE DE VARIABLES ALEATOIRES. On considère deux variables aléatoires X et Y. On aimerait connaitre s il y a influence entre ces deux variables.

COUPLE DE VARIABLES ALEATOIRES. On considère deux variables aléatoires X et Y. On aimerait connaitre s il y a influence entre ces deux variables. COUPLE DE VARIABLES ALEATOIRES O cosdère deux varables aléatores et. O amerat coatre s l y a fluece etre ces deux varables. I Coule de varables dscrètes : 1) Lo ote : Soet et deux varables dscrètes, à

Plus en détail

a. Le symbole se lit «sigma» ; l écriture Ex : 2 Fréquences en % ( f i x 100) 11,1 % 29,6 % 59,3 % 100 %!!!!

a. Le symbole se lit «sigma» ; l écriture Ex : 2 Fréquences en % ( f i x 100) 11,1 % 29,6 % 59,3 % 100 %!!!! Cours : Statstques I. Itroducto Classe de ère S O a vu que our caractérser ue sére statstque, o utlse des : - aramètres de tedace cetrale : - la moyee ; - la médae. Ils ermettet d dquer la «osto» de la

Plus en détail

Cours (Terminale) Probabilités (révisions 1 ère )

Cours (Terminale) Probabilités (révisions 1 ère ) Cours (Termale) Probabltés (révsos ère ) Quelques rappels et complémets sur les esembles Uo de deux esembles O appelle «uo de deux esembles E et F» l esemble oté E F dot les élémets sot costtués des élémets

Plus en détail

2. On présente ensuite une proposition : l'équiprobabilité à chaque étape entraîne l'équiprobabilité sur l'ensemble des résultats.

2. On présente ensuite une proposition : l'équiprobabilité à chaque étape entraîne l'équiprobabilité sur l'ensemble des résultats. rbre de déombremet et arbre de probablté Pla du documet. O présete tout d'abord la règle du produt pour les arbres de déombremet avec, e cas partculer, le cardal d'u produt cartése d'esembles fs.. O présete

Plus en détail

Probabilités. est la i ième valeur possible. L ensemble des issues auxquelles on associe la même valeur x

Probabilités. est la i ième valeur possible. L ensemble des issues auxquelles on associe la même valeur x Probabltés A) Varable aléatore et lo de probablté Varable aléatore Défto : O cosdère l'esemble E des ssues d'ue expérece aléatore Défr ue varable aléatore X sur cet esemble, c est assocer u ombre à chaque

Plus en détail

M ( ) n,p. Chapitre 15 Matrices et systèmes linéaires. I Généralités. Dans tout le chapitre K désigne le corps R ou C.

M ( ) n,p. Chapitre 15 Matrices et systèmes linéaires. I Généralités. Dans tout le chapitre K désigne le corps R ou C. PSI 1 hatre 15 Matrces et systèmes léares Das tout le chatre K désge le cors R ou I Gééraltés 1 Défto Défto : Ue matrce est u tableau d élémets de K coteat lges et coloes Notatos : U matrce A est otée

Plus en détail

BTS BLANC Mai ; on pose A. en fonction de an. puis écrire an

BTS BLANC Mai ; on pose A. en fonction de an. puis écrire an BTS BLANC Ma 0 Epreuve : Mathématques Géérales et Applquées Flère : DA / ARLE Durée: heures NB : Chaque parte dot être tratée sur des copes dfféretes I- MATHEMATIQUES GENERALES Exercce a b Sot le Sot la

Plus en détail

Exercices sur les variables aléatoires discrètes

Exercices sur les variables aléatoires discrètes Exercces sur les varables aléatores dscrètes U QCM est costtué de c uestos déedates avec our chaue uesto réoses ossbles Il y a ue réose exacte et ue seule ar uesto ) U caddat réod au hasard Chaue boe réose

Plus en détail

SCHEMA DE BERNOULLI ET LOI BINOMIALE. EXEMPLES

SCHEMA DE BERNOULLI ET LOI BINOMIALE. EXEMPLES SCHEMA DE BERNOULLI ET LOI BINOMIALE EXEMPLES Nveau : termale Pré-requs : Espace probablsé Varable aléatore réelle sur u espace probablsé f Lo de probablté de X Espérace mathématque Varace O se place das

Plus en détail

[ ] IV.- Espérance mathématique de l estimateur  : Nous avons ( ) ε. alors l espérance mathématique sera : soit

[ ] IV.- Espérance mathématique de l estimateur  : Nous avons ( ) ε. alors l espérance mathématique sera : soit Itroducto à l écoométre S6-EF sc. éco. & gesto Prof. Mohamed El Meroua IV.- Espérace mathématque de l estmateur  : A ˆ A + X X X Nous avos ( ε alors l espérace mathématque sera : E ( E( A + E[ ( X X X

Plus en détail

IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation M. Ferraris Promotion /05/2015

IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation M. Ferraris Promotion /05/2015 IUT de Sait-Etiee - déartemet Techiques de Commercialisatio M. Ferraris Promotio 2014-2016 28/05/2015 Semestre 2 - MATHEMATIQUES DEVOIR 2 durée : 2 heures coefficiet 2/3 La calculatrice grahique est autorisée.

Plus en détail

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 2. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont interdites. * * *

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 2. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont interdites. * * * SESSION 005 EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES Durée : 4 heures Les calculatrces sot terdtes * * * NB : Le caddat attachera la lus grade mortace à la clarté, à la récso et à la cocso de la rédacto

Plus en détail

2. Espace de probabilité fini équilibré

2. Espace de probabilité fini équilibré 36 2. Esace de robabilité fii équilibré Esace de robabilités fii équilibré (résumé)...37 Esace de robabilités fii équilibré (défiitio)...38 Le modèle de Maxwell-Boltzma...39 Les ragemets de objets discerables

Plus en détail

(respectivement M n,1 ( )) l espace vectoriel réel

(respectivement M n,1 ( )) l espace vectoriel réel Les calculatrces sot autorsées **** NB : Le caddat attachera la lus grade mortace à la clarté, à la récso et à la cocso de la rédacto S u caddat est ameé à reérer ce qu eut lu sembler être ue erreur d'éocé,

Plus en détail

L2 Mention Informatique. UE Probabilités. Chapitre 4 : Simulation - Régression

L2 Mention Informatique. UE Probabilités. Chapitre 4 : Simulation - Régression L Meto Iformatque UE Probabltés Chaptre 4 : Smulato - Régresso Notes de cours rédgées par Rége Adré-Obrecht, Jule Pquer I- Smulato de varables aléatores. Itroducto Das certaes expéreces «réelles», où le

Plus en détail

Exercices d oraux de la banque CCP Corrigés BANQUE PROBABILITÉS

Exercices d oraux de la banque CCP Corrigés BANQUE PROBABILITÉS Exercices d oraux de la baque CCP 204-20 - Corrigés BANQUE PROBABILITÉS EXERCICE 96 (a La variable aléatoire X est régie par ue loi biomiale E effet, expérieces idetiques et idépedates (car les tirages

Plus en détail

Statistiques de Base. Chapitre 1. Analyse combinatoire. Ce cours est basé sur les notes de cours de D. Mouchiroud Lyon 1

Statistiques de Base. Chapitre 1. Analyse combinatoire. Ce cours est basé sur les notes de cours de D. Mouchiroud Lyon 1 Statistiques de Base haitre. Aalyse combiatoire e cours est basé sur les otes de cours de D. Mouchiroud Lyo Itroductio L aalyse combiatoire est ue brache des mathématiques qui étudie commet comter les

Plus en détail

CHAPITRE 2. Les carrés dans (Z/nZ) 2.1 Carrés et non carrés dans le corps Z/pZ

CHAPITRE 2. Les carrés dans (Z/nZ) 2.1 Carrés et non carrés dans le corps Z/pZ CHAPITRE Les carrés das (Z/Z Das ce chatre o s téresse à l esemble des carrés das le cors Z/Z, mas auss das certas aeaux Z/Z avec o remer O todut le symbole de Legedre qu caractérse les carrés O trodut

Plus en détail

Espaces vectoriels (et affines).

Espaces vectoriels (et affines). Esaces vectorels (et affes) Cha 04 : cours comlet Esaces vectorels réels ou comlexes (Su) Défto : K-esace vectorel Défto 2 : K-algèbre Théorème : exemles Défto 3 : combaso léare de vecteurs Défto 4 : sous-esace

Plus en détail

Polynésie Juin 2010 Série S Exercice. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O; uv, )

Polynésie Juin 2010 Série S Exercice. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O; uv, ) Polyése Ju 00 Sére S xercce Le pla complexe est rapporté à u repère orthoormal drect ( O; uv, ) Prérequs Parte A Resttuto orgasée de coassaces Sot u ombre complexe tel que = a+ b où a et b sot deux ombres

Plus en détail

LEÇON N 6 : Loi de Poisson, loi normale.

LEÇON N 6 : Loi de Poisson, loi normale. LEÇON N 6 :. Pré-requs : Probabltés : défto, calculs et probabltés codtoelles ; Lo bomale cf. leço o 5) ; Noto de varables aléatores dscrètes et cotues cf. leços o 4 et 7), et proprétés assocées : espérace,

Plus en détail

Chapitre 4 Fonction de transfert

Chapitre 4 Fonction de transfert Chatre 4 Focto de trasfert Chatre 4 Focto de trasfert 4.. Exresso de la focto de trasfert Pour u système léare cotu et varat, ous avos vu que la relato etre la sorte s( et l etrée e( est doée ar ue équato

Plus en détail

Analyse combinatoire

Analyse combinatoire Mathématiques : Outils our la Biologie Deug SV1 UCBL D. Mouchiroud (10/10/2002) Chaitre 1 Aalyse combiatoire Sommaire 1. Itroductio 2 2. Arragemets..2 2.1. Itroductio..2 2.2. Arragemets avec réétitios

Plus en détail

est la probabilité cherchée est donc :

est la probabilité cherchée est donc : Lycée Secodaire Ali Zouaoui Probabilités 4 Sc-T Loi iomiale: Ue ure cotiet des boules blaches et des boules oires.la - robabilité de tirer ue boule blache au hasard est égale à ; q Aée Scolaire 007/008

Plus en détail

Pondichéry Avril 2014 Série S Exercice.

Pondichéry Avril 2014 Série S Exercice. Podchéry Avrl 04 Sére S Exercce Le pla complexe est mu d u repère orthoormé ( O; uv, ) Pour tout eter aturel, o ote A le pot d affxe z déf par : O déft la sute ( ) z z 0 = et + = + z 4 4 r par r = z pour

Plus en détail

Exercices sur le conditionnement : corrigé

Exercices sur le conditionnement : corrigé Exercces sur le codtoemet : corrgé ECE Lycée Kastler mars 008 Exercce * Pour be compredre commet ça se passe le meux est de commecer par retradure claremet l'éocé e utlsat les otatos esemblstes vues e

Plus en détail

DERNIÈRE IMPRESSION LE 27 février 2017 à 16:47. Dénombrement. En utilisant la notation factorielle, donner une autre écriture des nombres suivants

DERNIÈRE IMPRESSION LE 27 février 2017 à 16:47. Dénombrement. En utilisant la notation factorielle, donner une autre écriture des nombres suivants DERNIÈRE IMPRESSION LE 7 février 07 à 6:47 Déombremet Calcul sur les factorielles EXERCICE Simlifier les écritures sas utiliser la calculette. )! 0! ) 7! 5! 3) 6! 5! 5! 4) 6 4! 5! 5) 7! 5! 0! 6) 7) 8)

Plus en détail

Dénombrement et probabilités ( révisions de 6 ème) Combien de nombres à 5 chiffres peut-on écrire à l aide des trois chiffres 1,2,3?

Dénombrement et probabilités ( révisions de 6 ème) Combien de nombres à 5 chiffres peut-on écrire à l aide des trois chiffres 1,2,3? I. Déombremet :. Exemles : Exemle : Déombremet et robabilités ( révisios de 6 ème) ombie de ombres à 5 chiffres eut-o écrire à l aide des trois chiffres,,? Ecrire u ombre à 5 chiffres à l aide des trois

Plus en détail

LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE

LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE. Exemple troductf (Les élèves qu coasset déà be le prcpe peuvet sauter ce paragraphe) Cosdéros la sute (u ), défe pour tout, par : u u u 0 0 Cette sute est défe

Plus en détail

I. Moyenne, variance et écart-type d une série statistique

I. Moyenne, variance et écart-type d une série statistique I Moyee, varace et écart-type d ue sére statstque Sére statstque dscrète : Eemple d ue sére statstque dscrète : Preos le cas d ue classe de élèves qu réalset u devor oté sur 5 La sére statstque dscrète

Plus en détail

La valeur acquise par un capital au bout d'une année est donc obtenue en multipliant ce capital par (1 + i). Par suite, le capital C1

La valeur acquise par un capital au bout d'une année est donc obtenue en multipliant ce capital par (1 + i). Par suite, le capital C1 LGL Cours de Mathématques 26 Exemples de sutes das le domae des faces 1) Itérêts composés O place 1. à térêts composés au taux de 4,5 % par a. Détermer le captal dspoble à la f de chaque aée et ce pedat

Plus en détail

I- SUITES RÉCURRENTES LINÉAIRES D'ORDRE 2 II- RÉVISIONS DE PCSI-MPSI

I- SUITES RÉCURRENTES LINÉAIRES D'ORDRE 2 II- RÉVISIONS DE PCSI-MPSI CH MATRICES Lycée Sat-Lous-PSI1 I- SUITES RÉCURRENTES LINÉAIRES D'ORDRE Sot (a, b) IK IK*, s la sute (u ) vérfe IN, u + = a u +1 + b u, commet obtet-o la valeur de u? O forme l'éuato caractérstue P(x)

Plus en détail

CORRIGE EXERCICES FACULTATIFS TD ADP1 SEANCE 4

CORRIGE EXERCICES FACULTATIFS TD ADP1 SEANCE 4 page1/6 CORRIGE EXERCICES FACULTATIFS TD ADP1 SEANCE 4 Dosser "Défcece" 1) = 30 pour les groupes. Les classes sot d'ampltudes dfféretes doc...utlser la desté (rappel : desté = effectf/ampltude). Durée

Plus en détail

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante : " tirer p éléments de E ".

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante :  tirer p éléments de E . Cours de termiales Probabilités sur u esemble fii Mr ABIDI F I- Rappel I- Types de tirages : Soit u esemble fii E coteat élémets O cosidère l'épreuve suivate : " tirer p élémets de E " Type de tirages

Plus en détail

Exercices. Dénombrement 1 5! 42 6! 3! 3! 9! 5! 4! 9! 6! 3! 2) En utilisant la notation factorielle, donner une autre écriture des nombres suivants

Exercices. Dénombrement 1 5! 42 6! 3! 3! 9! 5! 4! 9! 6! 3! 2) En utilisant la notation factorielle, donner une autre écriture des nombres suivants Exercices Déombremet Exercice Calcul sur les factorielles ) Simlifier les écritures sas utiliser la calculette. a)! 0! b) 7! 5! c) 6! 5! 5! d) 6 4! 5! e) 7! 5! 0! f) 5! 4 7! g) 6! 3! 3! h) 9! 5! 4! i)

Plus en détail

Leçon 3 : Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formule du binome. Applications.

Leçon 3 : Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formule du binome. Applications. Leço 3 : Coefficiets biomiaux, déombremet des combiaisos, formule du biome. Alicatios. Prérequis : Nombres de listes, arragemets. Pricies de la somme et de la multilicatio. Cadre : O cosidèrera das la

Plus en détail

Éléments de probabilité.

Éléments de probabilité. Élémets de probabilité.. Gééralités Les probabilités s'occupet de phéomèes aléatoires, c'est à dire qui sot liés au hasard. Défiitio : O appelle expériece aléatoire, ue expériece dot les résultats, o tous

Plus en détail

MATERIEL UTILISE : CALCULATRICE AUTORISEE OUI NON

MATERIEL UTILISE : CALCULATRICE AUTORISEE OUI NON BAC BLANC MATIERE : MATHEMATIQUES OBLIGATOIRE CLASSE de : Termale S SALLE : Grade Permaece PROFESSEUR : Mle GUIHENEUF ATE : Vedred javer 6 HEURE ébut : 8 h HEURE f : h MATERIEL UTILISE : CALCULATRICE AUTORISEE

Plus en détail

COINCIDENCES DES DATES D ANNIVERSAIRES Jean François Kentzel Lycée Pardailhan à Auch (32)

COINCIDENCES DES DATES D ANNIVERSAIRES Jean François Kentzel Lycée Pardailhan à Auch (32) COINCIDENCES DES DATES D ANNIVERSAIRES Jea Fraços Ketzel Lycée Pardalha à Auch (32) Remercemets à Marte Babllot-Coragga qu m a erms de smlfer la reuve doée à la f de cet artcle (e y découvrat ue faute)

Plus en détail

NOTATIONS ET FORMULAIRE

NOTATIONS ET FORMULAIRE Uversté PARIS DESCARTES Lcece de Psychologe L1 ADP1- Resp : Mrelle LAGARRIGUE page 1/5 PROTOCOLE SUR U ECHA TILLO NOTATIONS ET FORMULAIRE Esemble des sujets de l échatllo S { s 1 ; s ;.; s } (1) Varable

Plus en détail

Variables j.. p. Xij

Variables j.. p. Xij L alyse e Composates Prcpales (CP) O possède u tableau rectaulare de mesure dot les coloes sot des varables quattatves (mesuratos, taux, statos clmatques) et dot les les représetet des dvdus statstques

Plus en détail

L2 Mention Informatique. UE Probabilités. Chapitre 3 : Variables aléatoires réelles

L2 Mention Informatique. UE Probabilités. Chapitre 3 : Variables aléatoires réelles L Meto Iformatque UE Probabltés Chaptre 3 : Varables aléatores réelles Notes de cours rédgées par Rége Adré-Obrecht, Jule Pquer, Serge Solovev Sot (, A, P) Ω et X : Ω R ue varable aléatore. I. Varable

Plus en détail

On applique le théorème de Pythagore au triangle AIE est rectangle en I AI 2 IE 2 AE 2 IE IE 1 2

On applique le théorème de Pythagore au triangle AIE est rectangle en I AI 2 IE 2 AE 2 IE IE 1 2 Exercce Lba 6 4 pots O cosdère u solde ADECBF costtué de deux pyramdes detques ayat pour base commue le carré ABCD de cetre I. Ue représetato e perspectve de ce solde est doée e aexe (à redre avec la cope).

Plus en détail

Corrigé du Devoir Libre n 2

Corrigé du Devoir Libre n 2 Corrigé du Devoir Libre Exercice 1 : Aagrammes 1. Combie les mots suivats ossèdet-ils d aagramme : a. BRETON U aagramme du mot BRETON est u réarragemet des lettres qui comoset ce mot. Par exemle NORBET

Plus en détail

Mathématiques Colle n o 22 Combinatoire. Probabilités. Lycée Charlemagne PCSI. Exercice 10. Exercice 7.

Mathématiques Colle n o 22 Combinatoire. Probabilités. Lycée Charlemagne PCSI. Exercice 10. Exercice 7. Mathématiques 205-206 Colle o 22 Combiatoire. Probabilités Lycée Charlemage PCSI Exercice. Exercice 5. O dispose de différets vêtemets : quatre slips, trois patalos, deux tee-shirts et ciq paires de chaussures.

Plus en détail

Comment représenter les variables aléatoires (données)? Paramètres descriptifs. Quels sont les paramètres descriptifs de la position?

Comment représenter les variables aléatoires (données)? Paramètres descriptifs. Quels sont les paramètres descriptifs de la position? Paramètres descrptfs Cours VETE043- Aée académque 06-07 Commet représeter les varables aléatores (doées)? Représetato sythétque Tables de fréqueces Représetato graphque Dagrammes de fréqueces Paramètres

Plus en détail

Chapitre 2. Calcul matriciel Espaces vectoriels Applications linéaires

Chapitre 2. Calcul matriciel Espaces vectoriels Applications linéaires Chatre Calcul matrcel Esaces vectorels Alcatos léares Deuxème aée Voe scetfque Cocours 6 Fche de cours Tout ce qu l faut absolumet coaître sur le bout des dogts I L esemble ( ) I Déftos A Calcul matrcel

Plus en détail

Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires»

Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires» Araud de Sait Julie - MPSI Lycée La Merci 2015-2016 1 Pour démarrer Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires» Exercice 1 (Recostitutio de paires) O fixe deux etiers aturels 1 r. U placard cotiet

Plus en détail

a) Après avoir fait deux pas, quelle est la probabilité qu elle soit : En A? En B? En C? En D?

a) Après avoir fait deux pas, quelle est la probabilité qu elle soit : En A? En B? En C? En D? ANTILLES-GUYANE Série S Setembre 2000 Exercice. Ue fourmi se délace sur les arêtes de la yramide ABCDS. Deuis u sommet quelcoque, elle se dirige au hasard (o suose qu il y a équirobabilité) vers u sommet

Plus en détail

Nombre de Clients [0 ; 50[ 72. x i. n i [ 50 ; 100 [ 90 [100 ; 150 [ 126 [150 ; 200 [ 54 [200 ; 250 [ 18

Nombre de Clients [0 ; 50[ 72. x i. n i [ 50 ; 100 [ 90 [100 ; 150 [ 126 [150 ; 200 [ 54 [200 ; 250 [ 18 1 U commerçat a relevé le motat des dépeses e euros de chaque clet au cours d ue semae. Motat des dépeses Clets [0 ; 50[ 72 x x - x ) - x )² -x ) ² [ 50 ; 100 [ 90 [100 ; 150 [ 126 [150 ; 200 [ 54 [200

Plus en détail

Loi binomiale. Loi de Bernoulli

Loi binomiale. Loi de Bernoulli Loi biomiale Loi de Beroulli O s itéresse ici à la réalisatio ou o d u évéemet. Autremet dit, o étudie les expérieces aléatoires qui ot que deux issues possibles : Obteir Pile ou Face Doer aissace à u

Plus en détail

Exercices de dénombrement

Exercices de dénombrement DOMAINE : Combiatoire AUTEUR : Atoie TAVENEAUX NIVEAU : Itermédiaire STAGE : Grésillo 0 CONTENU : Exercices Exercices de déombremet Exercice Combie y a-t-il de sous-esembles d u esemble de cardial? Exercice

Plus en détail

1 Dénombrement. 1.1 Principe. Définition : 1.2 Combinaisons. Définition :

1 Dénombrement. 1.1 Principe. Définition : 1.2 Combinaisons. Définition : Probabilités : coditioemet et idéedace Termiale S Déombremet. Pricie O raelle que le cardial d u esemble fii E, oté Card(E), rerésete so ombre d élémets. Si E 0,0 alors Card(E). Notre but est de détermier

Plus en détail

Mathématiques Financières : l essentiel Les 10 formules incontournables (Fin de période)

Mathématiques Financières : l essentiel Les 10 formules incontournables (Fin de période) A-PDF OFFICE TO PDF DEMO: Purchase from www.a-pdf.com to remove the watermark Mathématques Facères : l essetel Les formules cotourables (F de érode) htt://www.ecogesam.ac-a-marselle.fr/esed/gesto/mathf/mathf.html#e5aels

Plus en détail

Le loto : on tire, au hasard, 6 boules parmi 49. Combien de tirages possibles?

Le loto : on tire, au hasard, 6 boules parmi 49. Combien de tirages possibles? B1 ESH Exercices de déombremet Corrigé Exercice 1 A la catie du lycée, o a le choix etre 3 etrées, 2 plats et 4 desserts. Combie de meus (composés d'ue etrée, d'u plat et d'u dessert) sot possibles? Soit

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes haptre 6 termale S Les ombres complexes 1 hstorque et créato : N Z ID Q R es esembles ot été costruts au fl de l hstore grâce à u même problème : certaes équatos ot des solutos das u esemble doé mas d

Plus en détail

Correction Exercices Chapitre 08 - Couples de variables aléatoires réelles discrètes

Correction Exercices Chapitre 08 - Couples de variables aléatoires réelles discrètes 08. O dispose de boîtes umérotées de à. La boîte k cotiet k boules umérotées de à k. O choisit au hasard ue boîte, puis ue boule das cette boîte. Soit X le uméro de la boîte et Y le uméro de la boule..

Plus en détail

Semestre : 4 Module : Méthodes Quantitatives III Elément : Mathématiques Financières Enseignant : Mme BENOMAR

Semestre : 4 Module : Méthodes Quantitatives III Elément : Mathématiques Financières Enseignant : Mme BENOMAR Semestre : 4 Module : Méthodes Quattatves III Elémet : Mathématques Facères Esegat : Mme BENOMAR Elémets du cours Itérêts smples, précompte, escompte et compte courat Itérêts composés Autés Amortssemets

Plus en détail

Dénombrement - Combinatoire Cours

Dénombrement - Combinatoire Cours Déombremet - Combiatoire Cours La combiatoire (ou aalyse combiatoire) étudie commet compter des objets. Elle fourit des méthodes de déombremet particulièremet utiles e probabilité. U des pricipaux exemples

Plus en détail

Complexité. Pour un même problème, les algorithmes qui le résolve se classent selon leur complexité.

Complexité. Pour un même problème, les algorithmes qui le résolve se classent selon leur complexité. Complexité 1. Défiitio de la complexité Les algorithmes se caractériset par la taille des doées qu'ils maipulet et l'esemble des traitemets qu'ils opèret sur ces doées. ex de taille : ombres : le ombre

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES EXERCICES CORRIGES

NOMBRES COMPLEXES EXERCICES CORRIGES Cours et exercces de mathématques NOMRES COMPLEXES EXERCICES CORRIGES Exercce. O doe = + et = + Ecrre sous forme algébrque les complexes suvats : = ; Exercce. Calculer, et = ; = ; = ; 5 006 009 E dédure

Plus en détail

Somme de puissances de nombres entiers successifs et nombres de Bernoulli

Somme de puissances de nombres entiers successifs et nombres de Bernoulli 1 Somme de uissaces de ombres etiers successifs et ombres de Beroulli O ose : 1 S ( ) 1... ( 1) k = + + + + =. Il s agit de la somme des etiers successifs de à 1, tous à la même uissace. Par exemle : S

Plus en détail

Améliorer la productivité

Améliorer la productivité Maurce Pllet Amélorer la productvté Déploemet dustrel du toléracemet ertel, 00 SBN : 978---54754- Commet calculer ue tolérace ertelle 75 Nous avos doc u toléracemet par tervalle sur les exgeces foctoelles

Plus en détail

Moulay El Mehdi Falloul. Théorie des probabilités et de la statistique

Moulay El Mehdi Falloul. Théorie des probabilités et de la statistique Moulay El Mehdi Falloul Théorie des robabilités et de la statistique Itroductio La Probabilité et les statistiques sot deux discilies des mathématiques associées et idéedats à la fois. L aalyse statistique

Plus en détail

arlesrcomplexesraurbacr2014r==corriges=z

arlesrcomplexesraurbacr2014r==corriges=z arlesrcomplexesraurbacr0r==corriges= Nouvelle-Calédoe ovembre 0 5 pots Proposto : Pour tout eter aturel : ( + ) = () VRAI! ( ) doc d où ( ) ( ) ( ) ( ) Sot (E) l équato ( )( + 8) = 0 où désge u ombre complexe

Plus en détail

Dénombrement. 1 Dénombrer des listes 2 1.1 Permutation... 2 1.2 Arrangement... 3 1.3 p-liste... 4

Dénombrement. 1 Dénombrer des listes 2 1.1 Permutation... 2 1.2 Arrangement... 3 1.3 p-liste... 4 1 Déombremet Table des matières 1 Déombrer des listes 2 1.1 Permutatio................................ 2 1.2 Arragemet............................... 3 1.3 -liste.................................... 4

Plus en détail

STATISTIQUES A UNE VARIABLE

STATISTIQUES A UNE VARIABLE Cours et exercces de mathématques ) Itroducto et vocabulare STATISTIQUES A UNE VARIABLE La statstque est la scece qu cosste à réur des doées chffrées, à les aalyser, à les commeter et à les crtquer Ue

Plus en détail

Opérations sur les variables aléatoires Lois limites

Opérations sur les variables aléatoires Lois limites Opératios sur les variables aléatoires Lois limites A. Idépedace de deux variables aléatoires. Exemple 1. Pour améliorer le stockage d u produit u supermarché fait ue étude sur la vete de packs de 6 bouteilles

Plus en détail

Convergences et approximations

Convergences et approximations Covergeces et approximatios Probabilités : Chapitre 5 Das tout ce chapitre, les démostratios serot faites das le cas des variables discrètes et des variables à desité. I Iégalité de Bieaymé-Tchebychev

Plus en détail

Contrôle du mardi 27 janvier 2015 (3 heures) 1 ère S1 D P C. Le barème est donné sur 40. On répondra directement sur la copie fournie avec le sujet.

Contrôle du mardi 27 janvier 2015 (3 heures) 1 ère S1 D P C. Le barème est donné sur 40. On répondra directement sur la copie fournie avec le sujet. ère S Cotrôle du mard 7 javer 05 ( heures) D C N Le barème est doé sur 0 O répodra drectemet sur la cope foure avec le sujet U certa ombre de questos écesste ue recherche préalable au broullo O e rédgera

Plus en détail

Alain MORINEAU

Alain MORINEAU www.deeov.com Ala MORINEAU Cet artcle est ue reprse et u extrat de l artcle «Note sur la Caractérsato Statstque d'ue Classe et les Valeurs-tests», publé das la revue Bullet Techque du Cetre de Statstque

Plus en détail

TD1. Dénombrements, opérations sur les ensembles.

TD1. Dénombrements, opérations sur les ensembles. Uiversité Pierre & Marie Curie Licece de Mathématiques L3 UE LM345 Probabilités élémetaires Aée 2014 15 TD1. Déombremets, opératios sur les esembles. 1. Combie de faços y a-t-il de classer 10 persoes à

Plus en détail

RADIOPROTECTION CIRKUS. Sommaire

RADIOPROTECTION CIRKUS. Sommaire RADIOPROTECTION CIRKUS Documet techque Radoprotecto Crkus 89 D boulevard du Fer 74000 Aecy www.rpcrkus.org - cotact@rpcrkus.org Assocato lo 1901 créée le 9 mars 010 W91300355 - Eregstrée à la préfecture

Plus en détail

LOI NORMALE ET LOIS DERIVEES

LOI NORMALE ET LOIS DERIVEES Prcpes et Méthodes de la Bostatstque Chaptre 5 LOI NORMALE ET LOIS DERIVEES A-LA LOI NORMALE Présetato La dstrbuto ormale, dte ecore de Laplace-Gauss, est pour des rasos qu apparaîtrot plus lo, la plus

Plus en détail

- Représenter un schéma de Bernoulli par un arbre pondéré. - Reconnaître des situations relevant de la loi binomiale

- Représenter un schéma de Bernoulli par un arbre pondéré. - Reconnaître des situations relevant de la loi binomiale www.mathselige.com STI2D - P2 - LOI IOMIALE COURS (/5) Le travail sur les séries statistiques et les probabilités meé e classe de secode se poursuit avec la mise e place de ouveaux outils. Les scieces

Plus en détail

Le rang d une matrice correspond à la dimension de son image, ce qui est égal à la dimension maximale d une sous-matrice extraite inversible.

Le rang d une matrice correspond à la dimension de son image, ce qui est égal à la dimension maximale d une sous-matrice extraite inversible. Uiversité de Geève Sectio de Mathématiques Algèbre I Corrigé 2 Série 7, ex 3 Toutes les affirmatios sot vraies sauf la derière E effet, pour que deux espaces soiet e somme directe, il faut que leur itersectio

Plus en détail

Probabilités, MATH 424 Feuille de travaux dirigés 2. Solutions.

Probabilités, MATH 424 Feuille de travaux dirigés 2. Solutions. Probabilités, MATH 44 Feuille de travaux dirigés. Solutios. 1 Exercices Exercice 1. O jette trois dés o pipés. 1. Calculer la probabilité d obteir au mois u 1.. Que vaut la probabilité d obteir au mois

Plus en détail

Divisibilité et congruences. Corrigés d exercices

Divisibilité et congruences. Corrigés d exercices Dvsblté et cogrueces Corrgés d exercces Les exercces du lvre corrgés das ce docuet sot les suvats : Page 445 : N 1, 5 Page 459 : N 45 Page 449 : N 10 Page 460 : N 51, 5, 55, 57 Page 451 : N 16 Page 461

Plus en détail

STATISTIQUES. La taille moyenne d un jeune enfant est donnée, en fonction de son âge (en mois), dans le tableau suivant :

STATISTIQUES. La taille moyenne d un jeune enfant est donnée, en fonction de son âge (en mois), dans le tableau suivant : STATISTIQUES Cours Termale ES O observe que, das certas cas, l semble ester u le etre deu caractères statstques quattatfs (deu varables) sur ue populato ; par eemple, etre le pods et la talle d u ouveau-é,

Plus en détail

Onzième Aventure DÉNOMBREMENTS A - PERMUTATIONS

Onzième Aventure DÉNOMBREMENTS A - PERMUTATIONS Ozième Aveture DÉNOMBREMENTS A - PERMUTATIONS Le Père Noël a offert à ma etite cousie Josette u jeu de cubes où sot iscrits les lettres de l alhabet. Très édagogue, je lui doe d abord les trois cubes A,

Plus en détail

EXERCICES SIMULATION LOIS DISCRETES

EXERCICES SIMULATION LOIS DISCRETES EXERCICES SIMULATION LOIS DISCRETES EXERCICE 1 : 1) Ecrire u programme qui revoie le lacer d u lacer de dé équilibré 2) Trasformer le programme précédet pour qu il simule ue série de 100 lacers d u dé

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables.

Fonctions de plusieurs variables. Foctos de luseurs varables Cha 6 : résultats Foctos dfféretables, foctos de classe C éfto et théorème : focto dfféretable e u ot Théorème 2 : cas artculer d ue focto d u tervalle I de das Théorème 3 :

Plus en détail

Calcul des probabilités 2 (M-2.1)

Calcul des probabilités 2 (M-2.1) Calcul des probabilités (M-.) I. Probabilités sur u esemble fii. Défiitios Défiitio Ue expériece aléatoire est ue expériece dot il est impossible de prévoir l issue (mais o coaît toutes les issues possibles)

Plus en détail

Contrôle du mardi 27 janvier 2015 (3 heures) 1 ère S1 D P C. Le barème est donné sur 40. On répondra directement sur la copie fournie avec le sujet.

Contrôle du mardi 27 janvier 2015 (3 heures) 1 ère S1 D P C. Le barème est donné sur 40. On répondra directement sur la copie fournie avec le sujet. ère S Cotrôle du mard 7 javer 05 ( heures) D C N Le barème est doé sur 0 O répodra drectemet sur la cope foure avec le sujet U certa ombre de questos écesste ue recherche préalable au broullo O e rédgera

Plus en détail

EXERCICES PROBABILITES

EXERCICES PROBABILITES EXERCICE : Calculer, pour EXERCICES PROBABILITES Soit,,3, 4,5,6, ( ) x, l itégrale I dx. 0 x ; détermier le réel pour que l o défiisse ue probabilité p sur * e posat, pour tout etier,6 p I Quelle est la

Plus en détail

OPERATIONS ELEMENTAIRES SUR LES LIGNES OU LES COLONNES D'UNE MATRICE - APPLICATIONS

OPERATIONS ELEMENTAIRES SUR LES LIGNES OU LES COLONNES D'UNE MATRICE - APPLICATIONS Oértos éémetres sur es ges ou es cooes due mtrce - ctos OPERTIONS ELEENTIRES SUR LES LIGNES OU LES COLONNES DUNE TRICE - PPLICTIONS NOTTIONS : K désger u cors K désger ue mtrce crrée dordre sur K K désger

Plus en détail

PROBABILITÉS ET STATISTIQUE POUR L ENSEIGNEMENT SECONDAIRE

PROBABILITÉS ET STATISTIQUE POUR L ENSEIGNEMENT SECONDAIRE PROILITÉS ET STTISTIQUE POUR L ENSEIGNEMENT SECONDIRE Ce documet a été rédgé à l occaso d u stage de formato cotue de professeurs de mathématques de trosème et secode e décembre 009 à Toulouse, sute à

Plus en détail

ENTHALPIE LIBRE ET POTENTIEL CHIMIQUE

ENTHALPIE LIBRE ET POTENTIEL CHIMIQUE ETHALPIE LIBRE ET POTETIEL CHIMIQUE I-Ethale lbre d u système fermé 1 Coséquece du deuxème rce Sot u système S fermé à la temérature T et à la resso.; ces valeurs sot a ror dfféretes de celles qu caractérset

Plus en détail

) ) ) n. Lois discretes. Quelques formules classiques, très utiles : ( + = ; 6 ²( + S en fonction de 1

) ) ) n. Lois discretes. Quelques formules classiques, très utiles : ( + = ; 6 ²( + S en fonction de 1 L.Glli age sr Lois discrètes Lois discretes Qelqes formles classiqes, très tiles : ; Remarqe : Il existe des formles de récrrece doat e foctio de, Ce sot les formles de Newto, Exercice calcl de? Doc E

Plus en détail

Chapitre 9 La loi binomiale

Chapitre 9 La loi binomiale A) Variables aléatoires 1) Défiitio Chapitre 9 La loi biomiale O appelle variable aléatoire X ue foctio qui associe à tout résultat (évéemet élémetaire) u ombre réel. Pour ue même expériece aléatoire,

Plus en détail

SUITES NUMERIQUES. q n. pour q. n + Une suite numérique est une fonction associant à tout nombre entier naturel n, un nombre réel u(n) : u :

SUITES NUMERIQUES. q n. pour q. n + Une suite numérique est une fonction associant à tout nombre entier naturel n, un nombre réel u(n) : u : SUITES NUMERIQUES Coteus : Capacités attedues : Commetaires : Suites Limite d ue suite défiie par so terme gééral Notatio lim u Suites géométriques : - somme de termes cosécutifs d ue suite géométrique

Plus en détail

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont interdites. * * *

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont interdites. * * * SESSION 003 EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MAHEMAIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrces sot terdtes * * * NB : Le caddat attachera la plus grade mportace à la clarté, à la précso et à la cocso de la

Plus en détail

Séries d exercices Denombrement { } Maths au lycee *** Ali AKIR Site Web : 3 ème sciences

Séries d exercices Denombrement { } Maths au lycee *** Ali AKIR Site Web :  3 ème sciences Séries d exercices Deomremet 3 ème scieces Maths au lycee *** Ali AKIR Site We : htt://maths-akir.midilogs.com/ EXERCICE N Soit E l esemle des etiers tels que. Pour tout etier, o ote ar M ( ) l esemle

Plus en détail

Enoncés. Soit n un entier naturel non nul et E un ensemble à n éléments. En utilisant des raisonnements combinatoires:

Enoncés. Soit n un entier naturel non nul et E un ensemble à n éléments. En utilisant des raisonnements combinatoires: Le raisoemet combiatoire Eocés Exercice. Das cet exercice, o evisage des codages biaires (successios de et de ). Pour tout N *, o ote U le ombre de codages biaires à chiffres se termiat par et e comportat

Plus en détail

Probabilité conditionnelle 4 ème Sciences Avril 2010

Probabilité conditionnelle 4 ème Sciences Avril 2010 Probabilité coditioelle 4 ème Scieces vril 200 LTOUI Raels { e e e } Ω=, 2,, est l uivers des ossibles (esemble des évetualités) associé à ue éreuve, exériece, u jeu, Exemles : Lacer d ue ièce de moaie

Plus en détail

MA401 : Probabilités TD3

MA401 : Probabilités TD3 MA : Probabilités Exercice Ue compagie aériee étudie la réservatio sur l u de ses vols. Ue place doée est libre le jour d ouverture de la réservatio et so état évolue chaque jour jusqu à la fermeture de

Plus en détail

CHAPITRE III PROBABILITES

CHAPITRE III PROBABILITES HAPITRE III PROBABILITES I re B math I chatre III Probabltés Table des matères OURS A) Aalyse combatore ) Les trages au sort ) Trages avec ordre et avec réétto. 3 3) Trages avec ordre et sas réétto. 4

Plus en détail