Chapitre III Systèmes optiques simples

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1 Chapitre III Systèmes optiques simples

2 A- Miroirs plans, Miroirs sphériques

3 Systèmes optiques centrés : l'axe optique coupe les éléments du système en leur centre de symétrie de révolution (sommet S ou vertex) Lumière monochromatique se propageant de gauche à droite orientation de l'axe optique Axe optique perpendiculaire aux surfaces optiques l'image d'un point de l'axe est sur l'axe

4 Approximation de Gauss : rayons paraxiaux + aplanétisme Etude d'un objet simple : flèche orientée vers le haut perpendiculaire à l'axe A A' : signifie que A' est l'image de A. Il existe une relation mathématique liant les abscisses de A et A' appelée relation de conjugaison (permet de trouver la position de l image à partir de celle de l objet)

5 Définition Un miroir plan est une surface plane S réfléchissante. Il donne de tout point objet une image symétrique de celui-ci par rapport au plan du miroir. Il y a stigmatisme rigoureux pour tout point de l espace.

6 Le miroir plan, est stigmatique pour tout point objet A. Cela veut dire que le miroir plan donne d un objet A ponctuel, une image A ponctuelle également.

7 Le rayon AH, normal au miroir, fait retour sur luimême : l image de A, si elle existe, est donc sur la normale.

8 Le rayon réfléchi IR d un rayon incident quelconque AI est dans le plan d incidence AIN qui contient aussi AH. Le support de IR rencontre AH en un point A. I

9 Dans le triangle AIA, la hauteur IH est aussi la bissectrice, donc ce triangle est isocèle. Par conséquent IH est aussi la médiane et on a AH = HA'. I

10 Ceci montre que A' est le symétrique de A par rapport au plan du miroir. Au point A, choisi quelconque, correspond toujours un point A' tel que tous les rayons issus de A et qui arrivent sur la surface du miroir se réfléchissent en passant par A'. On dit que A' est l image de A. Elle est rigoureusement stigmatique et on peut énoncer :

11 LE MIROIR PLAN RÉALISE LE STIGMATISME RIGOUREUX POUR TOUT POINT DE L ESPACE. L IMAGE A D UN POINT A EST LE SYMÉTRIQUE DE A PAR RAPPORT AU PLAN DU MIROIR. La figure ci-après montre que l objet et l image sont toujours de natures opposées.

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13 I Surface sphérique de rayon R et de centre C et réfléchissante S intersection axe optique et centre de symétrie, définit le sommet du miroir La normale au miroir M en tout point est confondue avec le rayon de la sphère en ce point

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15 On distingue le miroir sphérique concave et le miroir sphérique convexe miroir concave : miroir convexe :

16 Concave C S M Un miroir sphérique concave, caractérisé par une face réfléchissante se trouvant du même côté du centre C du miroir M.

17 Convexe S C Un miroir sphérique convexe, caractérisé par une face réfléchissante se trouvant de l autre côté du centre C de M.

18 Loi de la réflexion : Tout rayon passant par C est réfléchi sur luimême (il arrive normal au miroir). Une source en C a son image en C (points stigmatiques) Tout rayon passant par le sommet S du miroir est réfléchi symétriquement par rapport à l'axe quelque soit son incidence (petite ou grande). Une source en S a son image en S de même que tous les points de la surface du miroir (points stigmatiques).

19 Miroir concave Construction de l'image à partir d'un point A: rayon d'incidence qcq. : réfléchi avec le même angle par rapport à la normale rayon // à l axe optique : réfléchi sur lui-même Image A (intersection des 2 rayons émergents) : image réelle (du côté de la face de sortie du système optique, espace image réelle)

20 Rayon réfléchi

21 On considère les triangles (ABC) et (BA C), on peut écrit alors : π -θ+ u + i = π et θ + π - u + i = π Et 2θ = u +u

22 Approximation de Gauss : angles petits tanα α On a :, et D où : Le miroir étant de faible ouverture alors H est confondu avec S, on obtient donc :

23 C est la formule de conjugaison d un miroir sphérique convexe ou concave, avec origine au sommet S, dans les conditions d approximation de Gauss. On peut facilement montrer une autre formule avec origine au centre C donnée par :

24 A partir de la relation de conjugaison Foyer image F : Foyer objet F : Les foyers objet F et image F' sont confondus et situés à f = R/2.

25 f < 0 F et F' réels Les foyers objet et image sont réels

26 f > 0 F et F' virtuels Les foyers objet et image sont virtuels

27 Objet = flèche orientée vers le haut, perpendiculaire à l'axe optique, noté AB. 4 rayons incidents particuliers tout rayon passant par le centre du miroir C se réfléchit sur lui-même tout rayon passant par F se réfléchit // à l axe optique tout rayon // à l axe optique se réfléchit en passant par F tout rayon qui passe par S se réfléchit avec le même angle par rapport à l'axe optique

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30 B- Dioptre plan, Dioptres sphériques

31 Image d'un point On trace à partir de A : rayon d'incidence quelconque rayon // axe déviéoptique non dévié Image A' (intersection des 2 rayons émergents) image virtuelle

32 - On trace à partir de A un deuxième rayon d'incidence quelconque dévié - A A' et A A : Dioptre plan non stigmatique

33 Existence de plusieurs images : - stigmatisme approché : i 1 petit, i 2 petit et l écart A'A" est très faible => une seule image A' Loi de la réfraction : n 1 sini 1 = n 2 sini 2 n 1 i 1 = n 2 i 2 N.B : angles en radians!

34 Relation de conjugaison : (dans les conditions de Gauss)

35 Réfraction (3 ème loi)

36 Surface sphérique de rayon R et de centre C séparant deux milieux d'indices n 1 et n 2. Sommet du dioptre S = intersection de l'axe optique et de la surface sphérique, R = SC

37 Dioptre convexe Dioptre concave n 2 n 1 n 1 n 2 S C C S Dans le cas du dioptre convexe, le rayon incident atteint l'extérieur de la sphère

38 Convergent ou divergent suivant les valeurs relatives de n et n (n > n ou n < n ) Le dioptre est convergent si le rayon se rapproche de l'axe optique

39 α 1 α 2 H Les valeurs des différents angles étant données avec leur signe, on a :

40 On a : En reportant ces expressions dans la relation : On obtient : (Loi de Snell-Descartes)

41 D où finalement : C est la relation de conjugaison des dioptres sphériques dans les conditions d approximation de Gauss avec origine au sommet S. Elle donne la position de l image A 2 en fonction de celle de l objet A 1 et des caractéristiques du dioptre n 1,n 2 et et indépendamment du rayon considéré. + Même formule pour un dioptre convexe et quelque soient les valeurs relatives de n 1 et n 2

42 Foyer image F': image d'un point A 1 situé à l'infini sur l'axe Distance focale image : Relation de conjugaison :

43 Exemple 1 : Dioptre concave, n 1 > n 2 A 1 à l'infini : rayons parallèles à l axe optique > 0 < 0 Foyer image réel Il s agit d un dioptre convergent

44 Exemple 2 : Dioptre concave, n 1 < n 2 A 1 à l'infini : rayons parallèles F Foyer image virtuel Il s agit d un dioptre divergent

45 Foyer objet F : point objet donnant une image située à l'infini sur l'axe Distance focale objet : distance Relation de conjugaison :

46 Exemple 1 : Dioptre concave, n 1 > n 2 > 0 < 0 Foyer objet réel A 2 à l'infini : rayons parallèles

47 Exemple 2 : Dioptre concave, n 1 < n 2 A 2 à l'infini : rayons parallèles Foyer objet virtuel

48 Relation de conjugaison : (donne aussi la position des foyers) Remarques F et F' sont toujours disposés de part et d'autre des éléments du dioptre C et S et on montre que : F C S F

49 Objet = flèche orientée vers le haut, perpendiculaire à l'axe optique, noté AB. Trois rayons incidents particuliers tout rayon passant par le centre du dioptre C n est pas dévié tout rayon passant par F émerge // à l axe optique tout rayon // à l axe optique émerge en passant par F

50 A A 2, B B 2 : A 2 sur l'axe, aplanétisme A 2 B 2 est perpendiculaire à l axe optique : on construit B 2 et on en déduit A 2.

51 Même procédé: positions de F et F' inversées Dans le cas d un dioptre divergent : recherche du point d'intersection par prolongation des rayons image virtuelle A 2 B 2.

52 Rapport des hauteurs image /objet Dans les triangles (SAB) et (SA'B'), on a : B A i F 1 F C S i 2 A B

53 (Car n 1 i 1 = n 2 i 2 ) La valeur de γ renseigne sur les caractéristiques de l'image par rapport à l'objet. Elle est positive si l'image est droite par rapport à l'objet, ou négative si l'image est renversée supérieure à 1 si l'image est agrandie ou inférieure à 1 si l'image est rétrécie + Image réelle ou virtuelle : 3 caractéristiques à préciser impérativement

54 Pour un dioptre convergent, f' est une quantité positive V est défini par : Unité m -1 = δ (dioptrie) Si V positif, le dioptre est convergent, sinon il est divergent

55 C- Lentilles

56 Définitions Une lentille est un système centré formé par un milieu transparent homogène et isotrope limité par deux surfaces sphériques de rayons respectifs R 1 et R 2 ou par un dioptre plan et un dioptre sphérique. Les deux faces baignent dans un même milieu.

57 Lentilles minces Une lentille est dite mince si son épaisseur e est faible devant la différence des rayons de courbure (épaisseur < 1 cm, rayons de l ordre du mètre) Exemple : S 1 S 2 = 1 mm, R 1 =1 m, R 2 = -1 m, c est-à-dire que R 1 - R 2 = 2 m

58 S 1 S 2 D : Diamètre d'ouverture e : Epaisseur (épaisseur d environ 1 cm, rayon de courbure de l ordre du mètre) C est une lentille mince. En effet, S 1 S 2 /R 1, S 1 S 2 /R 2 et S 1 S 2 /R 1 -R 2 sont de l ordre du millième

59 Classification des lentilles minces Lorsque le bord de la lentille est moins épais que S 1 S 2, on dit que la lentille est à bord mince. Lorsque le bord de la lentille est plus épais que S 1 S 2, on dit que la lentille est à bord épais.

60 A bords minces : Convergentes A bords épais : Divergentes

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63 Dans cette représentation graphique, on confond les points S 1 et S 2, qu on dénote par O et qu on appelle le centre optique de la lentille. Nous omettrons désormais le qualificatif mince : toutes nos lentilles seront ici des lentilles minces et nous nous situerons dans les conditions de Gauss.

64 Lentilles convergentes ou à bords minces

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66 Lentilles divergentes ou à bords épais

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68 Approximation de Gauss : on utilise la formule du dioptre appliquée à D 1 puis à D 2 A 1 A' A 2 Dioptre D 1 : sépare les milieux d'indice n 1 et n 2 (n 1 <n 2 ) Dioptre D 2 : sépare les milieux d'indice n 2 et n 1 (n 2 > n 1 ) soit

69 En combinant les expressions précédentes on obtient : Soit : + Même formule pour toutes les lentilles, convergentes ou divergentes

70 A partir de la relation de conjugaison : Foyer image F,

71 Foyer image F, Les foyers objet F et image F' sont situés à égale distance de part et d'autre de S.

72 > 0 < 0 n 2 > n 1 SC 1 = SC 2 < 0 SC 1 > 0 SC 2 < 0 SC 1 > 0 SC 2 > SC 1 f < 0 F réel et f > 0 F' réel

73 Foyer objet réelr Foyer image réelr

74 > 0 > 0 n 2 > n 1 SC 1 = SC 2 > 0 SC 1 < 0 SC 2 > 0 SC 1 > 0 SC 2 < SC 1 f > 0 F virtuel et f < 0 F' virtuel

75 Foyer image virtuel Foyer objet virtuel

76 Relation de conjugaison (donne aussi la position des foyers) Remarques si f > 0, la lentille est convergente si f < 0, la lentille est divergente F et F' situés égale distance de part et d'autre de S f = (n 1, n 2, R 1, R 2 ) mais indépendant du sens de traversé (les rôles de F et F' étant alors simplement inversés)

77 Schématisation lentilles = surfaces planes (on se situe très près de l'axe : Approximation de Gauss) flèches aux extrémités désignant la nature mince ou épaisse ( convergente ou divergente)

78 Objet = flèche orientée vers le haut, perpendiculaire à l'axe optique, noté AB. 3 rayons incidents particuliers tout rayon passant par le centre de la lentille S n'est pas dévié tout rayon passant par F émerge // à l axe optique tout rayon // à l axe optique émerge en passant par F

79 A A', B B' : A' sur l'axe, aplanétisme A'B' est perpendiculaire à l axe optique : on construit B' et on en déduit A' Image réelle

80 Même construction avec les foyers F et F' virtuels Image virtuelle

81 Rapport des hauteurs image/objet : Le rayon BO n'est pas dévié et fait un angle α par rapport à l'axe optique α α

82 Comme pour les dioptres, V est défini par : Unité m -1 = δ(dioptrie) Si V positif, la lentille est convergente, sinon elle est divergente

83 Juxtaposition de plusieurs lentilles : image produite par la première lentille constitue l'objet pour la deuxième lentille et ainsi de suite Les objets intermédiaires étant réels ou virtuels. Si 2 lentilles de focales f 1 et f 2 séparées d'une distance = doublet de focale f telle que : Formule de Gullstrand

84 Lentilles accolées de centre O 1, O 2, O 3 et de focales f 1, f 2, f 3 lentille mince de centre O = O 1 = O 2 = O 3... et de focale f telle que : Formule de Gullstrand avec e = 0 Ou encore V = V1 + V2 + V3 +..

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