La récurrence à toutes les sauces

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1 o 57 Das os classes 5 La récrrece à totes les saces Démostratios par récrrece por la classe de TS Lois-Marie Boeval, Catherie Combelles et Jlie Morea Il est tojors itéressat d avoir das ses réserves e petite collectio de démostratios par récrrece E voici e, écrite à plsiers mais, por accompager l article de Pierre Legrad «La récrrece a fil des siècles» d Blleti o 56 Certais de ces exercices sot très classiqes, d atres sot mois cos Nos avos teté d être tiles e choisissat des exemples variés et adaptés a programme de TS Bie eted, chac adaptera ces éocés à ses élèves, e détaillat pls o mois les qestios Sommes Les calcls de somme forisset de beax exemples de raisoemet par récrrece O porra d abord faire vérifier ax élèves à la mai o à la machie (calclatrice o tabler) qe ces formles sot vraisemblables La formle doat la somme des premiers etiers atrels est bie sûr premier exemple, mais elle est e pricipe déjà coe des élèves, et sovet provée par des moyes pls rstiqes qi permettet de l établir très tôt : d expériece, c est gros sccès e classe de sixième! Exercice : Démotrer qe por tot etier atrel : ( + )( + ) k = 6 k= Cette formle est à marqer d e pierre blache : elle sert das la site d programme de TS à ecadrer l aire sos la parabole par la méthode des rectagles Elle semble doc icotorable Exercice : Démotrer qe por tot etier atrel : k= 3 ( + ) k = 4 La somme des premiers cbes apparaît aisi comme le carré de la somme des premiers etiers : 3 k = k k= k= C est tojors sjet de stpéfactio por les élèves qi cherchet e vai l idetité remarqable q ils araiet laissé passer! O pet a préalable faire vérifier sr tabler ce résltat étoat por ler doer evie de le prover

2 6 Das os classes APMEP o 57 Exercice 3 : Cojectrer la formle doat la somme des premiers ombres impairs pis la jstifier par récrrece Cette propriété se lit sr le schéma sivat où les ombres impairs de à 9 sot le ombre de poits sr les liges brisées colorées sccessives Miex vat motrer ce schéma après la résoltio de l exercice, car cette preve sas mots porrait e démotiver pls d! Bie sûr, la formle doat la somme des termes d e site arithmétiqe, si elle est coe, détrit qelqe pe l itérêt de l exercice La démostratio par récrrece s impose davatage das l exemple sivat : Exercice 4 : Démotrer qe por tot etier atrel o l : k k! = ( + )! k= Cette formle hérissée de factorielles paraît impressioate E fait, le calcl se fait e dex liges! Il est bieve por motrer a débtat l efficacité d raisoemet par récrrece L exercice écessite, bie sûr, de coaître la otatio factorielle Exercice 5 : Somme «télescopiqe» Voici exemple de ces sommes qi se rédiset à la somme de lers termes extrêmes, itéressates à faire recotrer à os élèves La site est défiie par = et, por tot atrel, = + ( + ) ) E remarqat qe trover e formle explicite ( + ) = +, ) Démotrer par récrrece cette formle La dexième qestio pet sembler sperfle Elle a por bt de motrer q' raisoemet où figret des poits de sspesio cache e fait raisoemet par récrrece, qe l'o pet formaliser Il y a là dex modes de pesée différets : le premier état e visio globale statiqe et le secod e démarche dyamiqe étape par étape Cet exercice est e occasio de faire réfléchir les élèves sr ces dex aspects, sas forcémet privilégier l des dex +

3 o 57 La récrrece à totes les saces 7 Géométrie Le raisoemet par récrrece permet d obteir qelqes jolis résltats simples sr les polygoes Faire de la géométrie est deve si rare! Il fat saisir cette occasio! Exercice 6 : Motrer qe la somme des agles d polygoe covexe à côtés est ( - ) 8 Pas de calcl, ici mais petit croqis, por ajoter sommet à polygoe Cette sitatio pet assi être tilisée lors de l étde des sites arithmétiqes e Première S : o obtiet e effet e site arithmétiqe de raiso 8, dot le terme d idice 3 vat 8 Exercice 7 : Motrer qe le ombre de diagoales d polygoe covexe à côtés ( 3) est Le raisoemet par récrrece demade pe d attetio, sr le même croqis qe das l exercice précédet : côté d polygoe précédet deviet e diagoale, aisi qe les segmets joigat le ovea sommet ax - sommets qi e li sot pas cotigs U déombremet sas récrrece permet assi de trover directemet cette formle : certes, les élèves e coaisset pls les comme ombre de sosesembles à p élémets das esemble à élémets, ce qi forirait e preve p simple, mais décompte direct doe assi immédiatemet le résltat : à chac des sommets arrivet - 3 diagoales Chaqe diagoale est aisi comptée dex ( 3) fois, e par extrémité Le ombre de diagoales est doc bie Exercice 8 : O partage le pla par droites Motrer q avec dex colers selemet o pet colorier cette «carte» de sorte qe dex régios ayat segmet de frotière e comm soiet tojors de colers différetes

4 8 Das os classes APMEP o 57 Voici bie joli théorème, qi doera l occasio de racoter l histoire d théorème des qatre colers et les élèves adoret les histoires! Après qelqes essais graphiqes, ils vot vite compredre q il sffit, lorsq o ajote e droite, de chager les colers de totes les régios d sel côté de cette droite por obteir coloriage coveable Ac calcl, mais e argmetatio soigée, por examier les différetes régios, ovellemet créées o o, d côté o de l atre de la ovelle droite Sites Les sites défiies par récrrece sot bie sûr e terre d électio d raisoemet par récrrece Le choix des exercices est importat, car o sait bie qe les raisoemets fot ici sovet figre de modèle por des sitatios classiqes Exercice 9 : Soit ( ) la site défiie, por tot etier atrel, par + = = + 3 Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, < 6 pis qe : 8 6 = Le programme aoçat «Des exemples de sites récrretes, e particlier arithmético-géométriqes, sot traités e exercice», il est impératif de traiter ce type d exercice Bie sûr, il e fat pas s e coteter, et il restera à motrer ax élèves commet o obtiet l expressio de Mais das l idée d travail «e spirale», o pet commecer le travail par là por travailler le raisoemet par récrrece Exercice : Soit ( ) la site défiie, por tot etier atrel, par = + Motrer qe, por tot etier atrel : = = + Ici ecore, il s agit de démotrer e formle doat l expressio de à partir d e défiitio par récrrece Certes, il fat maier qotiet et racie carrée, redotables por certais, mais le calcl reste simple La simplicité d résltat icite à demader d abord ax élèves de cojectrer cette formle, mais calcl sr tabler forirait des valers décimales approchées pe

5 o 57 La récrrece à totes les saces 9 lisibles et il ler fadra por cela disposer d logiciel de calcl formel o faire le calcl à la mai Exercice : Soit ( ) la site défiie, por tot etier atrel, par = = 3 + = Prover par récrrece qe, por tot etier atrel, = 3-3 La récrrece porte ici sr dex termes Il semble importat de faire coaître ax élèves ce type de sitatio Ici, c est le maiemet des exposats qi va sas dote poser des problèmes à pls d : o cort tojors plsiers lièvres à la fois, et le travail sr le calcl algébriqe reste tile e Termiale S Exercice : La site de Fiboacci F est défiie par : F = F = F = F + F + + Prover par récrrece les relatios sivates : a F + F+ + F = F + b F + F + + F = F F c + F F F + = ( ) La site de Fiboacci est e boe occasio de travailler la récrrece sr dex termes, et o apprécie tojors so parfm historiqe! Exercice 3 : Soit ( ) la site défiie, por tot etier atrel, par : = + = + a) Étdier les variatios de la foctio f défiie sr [, + [ par f ( x )= x x + b) Prover par récrrece qe la site est positive et décroissate O pet bie sûr étdier algébriqemet le sige de + -, mais la première qestio a été mise là à dessei por orieter vers l tilisatio d ses de variatio de la foctio f

6 Das os classes APMEP o 57 Il est tile de gééraliser ce poit de ve, qi forit des démostratios rapides et élégates por le traitemet de bie des sites défiies par récrrece D où l exercice sivat Exercice 4 : Soit ( ) la site défiie par : = α + = f ( ) où f est e foctio croissate sr R Prover qe la site est mootoe Ce théorème sr les sites récrretes apparaît i das le programme, i das les maels Il est portat simple et efficace! O sait bie qe le «théorème-élève», sos ces hypothèses est pltôt : «si f est croissate, alors est croissate» et il fat ler faire expérimeter plsiers exemples por détrire cette fasse évidece, e isistat sr la défiitio de «f croissate» sos la forme «f coserve l ordre» Tot déped doc de l ordre des premiers termes q il sffit de calcler das la plpart des problèmes Les élèves e vot doc pas povoir tiliser ce théorème, mais ils arot aisi modèle de démostratio bie tile das ler boîte à otils O a bie sûr passé ici sos silece la qestio de l itervalle de défiitio e choisissat e foctio croissate sr R À chaqe jor sffit sa peie, et le bt de l exercice est d attirer l attetio das ce type de sitatio sr l tilisatio des variatios de f Mais, dirot les élèves, qe faire si f est décroissate? Ue astce classiqe cosiste alors à examier les sites de rag pair et de rag impair O y passe d terme a sivat par la foctio f o f qi a le bo goût d être croissate Eh oi, la composée de dex foctios qi est pas cesée être a programme, est parfois bie tile Exercice 5 : Sites et trigoométrie Faire des lies etre les divers chapitres d cors doe tojors de l itérêt ax exercices, et c est ici le cas ) Démotrer qe por tot réel x, x x cos cos( ) = + ) La site est défiie par =- : et, por tot atrel, π Démotrer qe por tot atrel, = cos = + + La site état défiie par récrrece, le raisoemet e pet se faire qe par récrrece, il 'y a doc pas lie de l'idiqer das l'éocé O porrait cepedat le sigaler à titre d'aide, selo le ivea d expertise des élèves

7 o 57 La récrrece à totes les saces α O pet gééraliser, avec = cos(a), où a Œ [,p] : alors = cos Voici exercice qelqe pe atypiqe, qi ferait bo devoir à la maiso car il tilise des raisoemets par récrrece variés a service d e même sitatio Exercice 6 : O se propose de costrire e site telle qe = et, por tot, = + = a) Motrer par récrrece qe ces formles permettet de calcler por tot b) Motrer par récrrece qe por tot, est e pissace de c) Motrer par récrrece qe ( ) est e site croissate d) Motrer par récrrece qe = e) Motrer par récrrece qe, por m < +, m = f) Établir qe la site aisi fabriqée répod bie à la qestio Foctios Le raisoemet par récrrece, otil privilégié das l étde des sites, pet iterveir assi lors de l étde des foctios E voici trois exemples Exercice 7 : Dérivée -ième Le calcl de dérivée est pas tojors motivat, mais o pet le pimeter par la recherche d e dérivée -ième E voici exemple (Merci à Véroiqe Cerclé) Calcler les dérivées sccessives de la foctio f défiie par f(x) = xe x Cojectrer pis démotrer e formle doat la dérivée -ième de cette foctio O obtiedra : f () (x) = (x + ) e x, formle qe l o pet forir ax élèves si l o maqe de temps Exercice 8 : Ator de la foctio expoetielle O pose por tot x : x x P x, P x x,, P x x!! ( ) = ( ) = + ( ) = ) Calcler P ( x) ) Établir par récrrece qe f : x Æ e x - P (x) est e foctio positive croissate sr [, + [ + x 3) Établir par récrrece qe g : x Æ e x - P (x) - est e foctio égative ( + )! décroissate sr [, + [ Établir la doble iégalité : + x P (x) < e x < P (x) + e x ( + )!

8 Das os classes APMEP o 57 4) Qelle est la limite de la site défiie par : Exercice 9 : Avec des itégrales!! 3!! k! = = L'objectif est d'étdier la site défiie par = et, por tot atrel,! + = + ( + ) O pose por tot atrel et por tot réel x : f (x) = ( - x) e x ) Vérifier qe f ( x) = f ( x) ( + ) f ( x) + + ) E dédire qe f + ( x) dx ( + ) f ( x) dx = 3) A l'aide de ce qi précède, démotrer qe, por tot atrel, = e f x dx! ( ) 4) Démotrer qe, por tot atrel et tot réel x de [,], f (x) e x, et e dédire ecadremet de f ( x) dx 5) Qelle est la limite de la site? Jstifier Comme por l'exercice précédet, il s'agit d'établir qe e lim k! Das sa forme classiqe, l'exercice partait de la site d'itégrales f ( x) dx et demadait d'établir e relatio de récrrece à l'aide d'e itégratio par parties Cette derière 'état pls a programme, la rédactio ci-desss permet de la cotorer La site état défiie par récrrece, le raisoemet de la qestio 3 sera écessairemet par récrrece, doc il 'y a pas lie de l'idiqer das l'éocé O porrait cepedat le sigaler à titre d'aide Probabilités La répétitio d évèemets aléatoires fait classiqemet iterveir des sites défiies par récrrece ; le raisoemet par récrrece apparaît doc fréqemmet das des calcls de probabilité E voici exemple Exercice : Nos sommes a XIV e siècle, das le châtea de Poitiers Il est triaglaire, flaqé d'e tor à chaqe agle : Est, Nord, Sd Partat de la tor Est, le soldat de garde fait sa rode sr le rempart À chaqe sommet, por tromper l'eemi (et l'ei), il jette e pièce : pile, il cotie das le même ses ; face il repart e ses iverse k= = + k =

9 o 57 La récrrece à totes les saces 3 O sppose sa pièce éqilibrée, et o ote p la probabilité qe le -ième sommet où il passe soit la tor Est ) Démotrer qe, por tot atrel, p p + = ( ) ) Démotrer (par récrrece) qe, por tot atrel, p = La site ( p ) est arithmético-géométriqe, avec p = La méthode géérale d'étde d'e telle site permettrait de décovrir la formle explicite, et pet dispeser d raisoemet par récrrece Matrices Le ovea programme de spécialité codit à l tilisatio de pissaces -ièmes de matrices Voici ecore domaie d applicatio d raisoemet par récrrece Exercice : ) O pose la démotrer par récrrece ) Mêmes qestios por A = / A = / Cojectrer l'expressio géérale de A, pis Cet exercice e cocere bie sûr qe les élèves de la spécialité mathématiqes de TS Où est l'errer? Le raisoemet par récrrece, parce q il se focalise sr raisoemet partiel, pet codire à de belles errers! E voici exemple por agiter les eroes de vos élèves Exercice : Trover l errer : «Tos les etiers d type + sot des mltiples de 9» Preve : Spposos qe + est mltiple de 9 Alors, il existe etier k tel qe : + = 9k + Alors : + = + = ( 9k ) + = 9k 9 = 9( k ) + + est doc assi mltiple de 9 Tos les etiers d type + sot doc des mltiples de 9 O trovera sr le site de l APMEP qelqes éocés spplémetaires