Pour obtenir le cercle le plus général, à partir du cercle précédent, il faudrait :

Transcription

1 . Rappel : Inversin d une drite dans le plan cmplexe. Sient nmbres cmplexes et ixés ; sit α un paramètre réel. (en tute généralité, α peut varier de - à + ) Alrs, Z + α. est l équatin d une drite I () du plan cmplexe, dnt les pints snt décrits quand α varie sur ( ). () est ainsi graduable en valeurs de α. H L image de Y est le cercle + α R ( ), passant par l rigine (O est image de Y O lrsque α ± ), et de diamètre OH ', OH ixé par la puissance d inversin. ( ) est ainsi un cercle particulier.. ercle le plus général. Pur btenir le cercle le plus général, à partir du cercle précédent, il audrait : K - diier sn diamètre, c est à dire cnsidérer l image de Y, ù K est un réel ; + α K - Le translater dans une directin quelcnque, c est à dire cnsidérer l image de Y + V + α ù V est un nmbre cmplexe ixé, tut cmme u. K + V. + αv. ette dernière expressin peut s écrire : Y ù A, B, et snt 4 nmbres + α + α cmplexes ixés. Y est ce qu n appelle une rme hmgraphique de la variable réelle α. En résumé : Tute transmittance puvant se mettre sus la rme d une nctin hmgraphique d une variable α réelle, du type Y (avec A, B, et qui snt 4 cmplexes dnnés) + α admet un cercle cmme image dans le plan cmplexe. e cercle n est entier que si α peut varier sur tut l espace réel ; dans le cas cntraire, n n btient qu une prtin de cercle. (en pratique, cette prtin est généralement un demi cercle) Exemples : T K + j et T j (passe bas et passe haut du premier rdre) snt des nctins + j hmgraphiques de la variable réelle ; le diagramme de Nyquist crrespndant est dnc circulaire ; cmme ne peut varier que sur l espace réel psiti, les diagrammes snt des demis cercles. H

2 3. nstructin gémétrique du cercle de Nyquist. Nus vulns tracer le diagramme asscié à T ; c est un cercle entier, dans la mesure + α ù α peut décrire tut l espace réel. Pur tracer un cercle, il aut en cnnaître 3 pints u pints et le centre. A pints snt immédiats : α 0 Y Y, dnnant le pint du plan cmplexe α B Y Y, dnnant le pint du plan cmplexe. Ain de pursuivre la cnstructin, n utilise la prpriété suivante : «Etant dnnés pints ixes et d un cercle, tut autre pint de ce même cercle vit la crde sus l angle cnstant», angle entre et, cmpté à partir de (angle rienté) est l image de Y - Y est l image de Y Y nc : arg( Y Y ) arg( Y - Y ) Y Y Sit arg Y Y I R Y Y Y Y A A + α B + α Nus puvns en déduire : et ainsi : ( + αb) A( + α) α( B. A.) ( + α) ( + α) + αb) B( + α) A. B. ( + α) ( + α) (A Y Y α, Y Y arg (α étant un réel, est indépendant de la valeur de α : seul sn signe change avec celui de α) Remarque : Si α est tujurs psiti (cas réquent ù α est assimilable à la réquence), sera de signe cnstant, et seule une prtin de cercle sera décrite par le pint igurati lrsque α variera. En résumé, si nus cnnaissns A, B, et, nus puvns placer les pints et, ainsi que calculer l angle. Il est maintenant pssible de cnstruire le cercle de Nyquist.

3 Examinns le cercle terminé, et décuvrns y une prpriété intéressante, laquelle purrait nus en aciliter la cnstructin! Sur le cercle ci-cntre, nus puvns recnnaître les pints et, le centre du cercle ainsi que la médiatrice H du segment. est vu sus l angle depuis et sus l angle depuis le centre ; (prpriété habituelle dans un cercle) La tangente au cercle en étant perpendiculaire au rayn ; il en résulte qu elle ait nécessairement l angle avec le segment. (la smme α valant 80 ) On purrait mntrer, de açn identique, que la tangente au cercle en ait également l angle avec. En cnclusin la cnstructin du cercle purra s eectuer de la açn suivante : I 0 α / H tangente en R Nus plaçns d abrd les pints et ; par, nus menns la drite ( ) aisant l angle avec le segment (qui est la tangente au cercle en ) Nus traçns ensuite la perpendiculaire en à ( ), ainsi que la médiatrice de. Nus btenns ainsi le centre du cercle, intersectin de ces drites. Le tracé du cercle est maintenant pssible! Remarque : mme tute cnstructin graphique, cette méthde gémétrique dit être exécutée avec le plus grand sin, ntamment en ce qui cncerne le reprt d un angle, suvent générateur d erreurs. ans l immense majrité des cas rencntrés en électrnique, l angle vaut ± π/ rad, c est à dire que le segment est en ait le diamètre du cercle recherché ; le centre se truve alrs trivialement au milieu de. Exemple : Sit la transmittance T j + j (iltre passe haut du premier rdre) est une nctin hmgraphique de la réquence, avec A 0, B j/, et B j/ est l image de A/ 0 ; se truve à l rigine du plan cmplexe. est image de B/ ; se truve sur l axe réel, à.l abscisse +. L angle, déini par arg vaut ainsi 90 ; c est dnc que est un diamètre du cercle ; le centre se truve au milieu de ce segment. (sur l axe réel, à l abscisse + ) mme ne varie que sur l espace réel psiti, le diagramme recherché n est qu un demi cercle ; n peut acilement le déterminer en recherchant un trisième pint : Il est judicieux de cnsidérer le pint j + j crrespndant à la réquence. A cette réquence, n a T( ) + j

4 L image de ce cmplexe se truve à l abscisse + et à l rdnnée + ; Il s agit ainsi du demi cercle «supérieur». Finalement, le diagramme de Nyquist asscié à T a l allure ci-cntre. 4. rite échelle. Une drite échelle est une drite, graduée linéairement en valeurs du paramètre α, et permettant de lcaliser tut pint crrespndant du cercle. nsidérns le cercle de Nyquist le plus général, les pints, et la tangente au cercle en ; cnsidérns également une drite () quelcnque, parallèle à la tangente au cercle en. Sit un pint du cercle, asscié à une valeur particulière (et cnnue) de α ; appelns N l intersectin de () et de et N l intersectin de () et de. Les triangles et NN N snt semblables (hmthétiques et ppsés par leur smmet cmmun ) Il vient : NN N d ù : N N N. mme nus avns mntré plus haut que arg arg n en déduit que N N N. md α N. md puique N est une cnstante, de même que /, la lngueur N N est prprtinnelle à la valeur de α. (le pint N crrespnd à la valeur 0 de α ) La drite () peut ainsi être graduée linéairement en valeurs de α. Remarque : Très suvent, les pints et représentent un diamètre du cercle (α ± 90 ), et appartiennent à l axe réel ; dans ces cnditins, la tangente au cercle en est parallèle à l axe imaginaire, si bien que tute parallèle à l axe imaginaire peut cnstituer une drite échelle. () N N

5 Exemple :Reprenns le diagramme du iltre passe haut du premier rdre tracé précédemment : La tangente au cercle en est paralléle à l axe imaginaire ; chisissns dnc une parallèle quelcnque à l axe imaginaire pur drite échelle. L intersectin de avec cette drite nus dnne le repère 0 ; l intersectin de avec la drite échelle nus dnne le repère ( crrespnd à ) Il est pssible de graduer la drite échelle, par exemple en multiples de. Utilisatin : Repèrns le pint de la drite échelle à la graduatin /, puis traçns le segment issu de ce pint, et passant par ; ce segment cupe le cercle de Nyquist en ; est ainsi le pint du cercle asscié à la valeur / de la réquence Exemples de diagrammes circulaires. La plupart des transmittances du premier rdre admettent des représentatins de Nyquist circulaires : + j j j A, A., A.,..exercez-vus! + j + j + j + j En ce qui cncerne les nctins du deuxième rdre, seules les nctins passe bande et réjecteur admettent un diagramme de Nyquist de rme circulaire. La mise sus rme d une nctin hmgraphique d une variable réelle est beaucup mins évidente. mj Intéressns nus à la rme passe bande de base : T(j ) + mj + j (répnse centrée sur, d ampliicatin maximale unitaire, et de bande passante B m ) En utilisant la réquence réduite x, l expressin de T(j) devient T(jx) : mjx T(jx) (en divisant par mjx) x + mjx + j x m x Psns α x (variable réelle) et nus btenns T( α ) qui est bien une rme hmgrax α + j m phique du réel α.

6 α varie sur tut l espace réel quand x varie de 0 à l inini, cmme le mntre la curbe ci-cntre : En cnclusin, le diagramme de Nyquist sera un cercle entier. nstruisns maintenant ce diagramme : Nus avns T( α ), avec + α A ; B 0 ; et j/m Pur α 0, il vient le pint, situé sur l axe des réels, à l abscisse +. Pur α ±,il vient le pint situé à l rigine. Recherchns l angle sus lequel tut pint du cercle j vit : arg arg 90 m est dnc diamètre du cercle, et sn centre se truve sur l axe réel, à l abscisse +. Le cercle peut alrs être tracé : -m En sus des pints et nus puvns placer autres pints : - Pur α -m, T + j, ce qui cnduit j au pint. - Pur α m, T j, ce qui cnduit + j au pint. - 0 m Là encre, tute parallèle à l axe imaginaire peut cnstituer une drite échelle ; n a représenté ci-cntre un exemple, dans lequel la graduatin de cette drite est α assurée par les pints et. Attentin : La graduatin est linéaire en valeurs de α, mais pas en valeurs de la réquence! Remarquer en utre que la bande passante du iltre crrespnd au demi cercle situé à drite de et. ( 0,707 ) Pur le cas du réjecteur, n écrit la transmittance ischrne en nctin de la réquence réduite x, x puis n intrduit la variable α, déinie par α : Le résultat est cmparable x ( T + j + mj + j x x + mjx x + mj x + mjα )