Configurations du plan et trigonométrie

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1 Configurations du plan et trigonométrie A) Le triangle rectangle. 1. Le théorème de Pythagore et sa réciproque. Si ABC est un triangle rectangle en A, alors Théorème réciproque : Si ABC est un triangle tel que. Triangle rectangle et cercle. BC + BC + = AB AC. = AB AC alors le triangle ABC est rectangle en A. Propriétés : Si MAB est un triangle rectangle en M, alors : AMB = 9 M est sur le cercle de diamètre [AB]. Le milieu O de [AB] est le centre du cercle circonscrit au triangle MAB. O étant le milieu de [AB], OM = 1 AB. Propriétés «réciproque» : Si un triangle MAB possède l une quelconque des quatre propriétés ci-dessus alors ce triangle est rectangle en M.. Trigonométrie. Si ABC est un triangle rectangle en A, alors : BA CA AC cos ABC = sin ABC = tan ABC =. BC CB AB sin x Si x est la mesure d un angle aigu : cos x + sin x = 1et tan x =. cos x Valeurs remarquables : x en degrés cos x 1 1 sin x 1 1 tan x 1 Année 1 15 nde A

2 B) Droite des milieux et Thalès. 1. Théorème des milieux. Si I est le milieu de [AB] et J le milieu de [AC], alors : les droites (IJ) et (BC) sont parallèles et IJ = 1 BC. Si I est le milieu de [AB] et si la parallèle à (BC) menée par I coupe (AC) en J, alors : J est le milieu de [AC].. Le théorème de Thalès et sa réciproque. 1. Théorème de Thalès. Si ABC et AMN sont deux triangles tels que : le point M est sur la droite (AB). le point N est sur la droite (AC). les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Alors AM AB = AN AC = MN BC = k. Si < k < 1 le triangle AMN est une réduction du triangle ABC. Si k > 1 le triangle AMN est un agrandissement du triangle ABC.. Réciproque. ABC un triangle, M un point de (AB) et N un point de (AC). A est à la fois à l extérieur de [BM] et de [CN], ou à la fois à l intérieur de [BM] et [CN]. Si AM AB = AN alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles. AC Année 1 15 nde A

3 C) Les droites remarquables du triangle. Médianes et centre de gravité : Les trois médianes d un triangle sont concourantes. Leur point d intersection G est appelé centre de gravité du triangle ABC. G est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet correspondant : AG = AA BG = BB CG = CC où A milieu de [BC], B milieu de [AC] et C milieu de [AB]. Hauteurs et orthocentre : Les trois hauteurs d un triangle sont concourantes. Leur point d intersection H est appelé orthocentre du triangle. Médiatrice et le cercle circonscrit : Les trois médiatrices d un triangle sont concourantes. Leur point d intersection O est équidistant de chacun des sommets du triangle. O est le centre du cercle circonscrit au triangle. Bissectrice et cercle inscrit : Les trois bissectrices d un triangle sont concourantes. Leur point d intersection I est équidistant de chacun des trois côtés du triangle. I est le centre du cercle inscrit dans le triangle. Année 1 15 nde A

4 D) Les angles. 1. La somme des angles d un triangle. Quelque soit le triangle ABC : A ˆ + Bˆ + C ˆ = 18.. Angles opposés par le sommet. d Si d et d sont deux droites sécantes en O alors : O les angles 1ˆ et ˆ sont égaux. 1ˆ ˆ On dit que 1ˆ et ˆ sont opposés par le sommet. d. Angles alternes-internes, angles correspondants. Si d et d sont deux droites parallèles alors : d ˆ ' les angles 1ˆ et ˆ sont égaux. 1ˆ ˆ les angles 1ˆ ' et ˆ sont égaux. De manière générale, on dit que : 1ˆ et ˆ (ou ˆ et ˆ ) sont alternes-internes. d ˆ ˆ 1ˆ ' et ˆ (ou ˆ et ˆ ' ) sont correspondants. ˆ ' ˆ ' 1ˆ ' Si deux angles alternes-internes sont égaux, alors d et d sont parallèles. Si deux angles correspondants sont égaux, alors d et d sont parallèles.. Angles inscrits, angles au centre. Définition : C est un cercle de centre O. On dit qu un angle AMB est inscrit dans C lorsque A, B et M sont trois points distincts de C. On dit que les angles AMB et ANB interceptent le même arc AB. L angle AOB est l angle au centre associé à l angle inscrit AMB et aussi à l angle ANB. Dans un cercle, un angle inscrit est égal à la moitié de l angle au centre associé : AMB = 1 AOB Dans un cercle, deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux : AMB = 1 AOB = ANB Année 1 15 nde A

5 Exercice n 1 : On considère la figure suivante. Calculer l aire du triangle ABC. Exercice n : ABC est un triangle équilatéral de côté 6cm et H est le projeté orthogonal de A sur [BC]. M est le point de [AC] tel que AM = cm et P est le projeté orthogonal de M sur [AH]. Calculer AP. Exercice n : A l intérieur de la maison, un menuisier étudie une plaque de bois dessinée ci-dessous : La figure n est pas aux bonnes dimensions. Le menuisier a tracé la perpendiculaire à [EC] passant par A, il a nommé D le point d intersection de cette perpendiculaire avec [EC]. Il a également tracé [AC]. Il a mesuré AB = 115cm, BC = 8cm, DC = 1cm, ED =cm, AC = 1cm et AF = 8cm. 1) Le triangle ABC est-il rectangle? Justifier. ) Déterminer la mesure de l angle ACD. ) Les droites (AD) et (FE) sont-elles parallèles? Exercice n : On considère un cercle C de diamètre [IJ]. A et B sont deux points du cercle. [AJ] et [BI] se coupent en un point H. Les droites (IA) et (JB) se coupent au point K. Démontrer que les droites (KH) et (IJ) sont perpendiculaires. Exercice n 5 : On considère la figure ci-contre : 1) Montrer que le triangle ABO est rectangle. ) Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. ) Le triangle OCD est-il rectangle? Justifier. Année 1 15 nde A

6 Exercice n 6 : Dans la figure ci-contre, les droites (AB) et (CD) sont parallèles. O est le centre du cercle (C). Les points A, B, C, et D sont sur (C). Les droites (AD) et (BC) se coupent en E. 1) Démontrer que le triangle AEB est isocèle. ) En déduire que : BOD = BED. E) Cosinus et sinus d un nombre réel. 1. Enroulement de la droite des réels. Le plan est muni d un repère orthonormal (O ; OI ; OJ ). On considère le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1. A tout réel x, on peut associer un point M unique du cercle trigonométrique. Le nombre x est une mesure en radians de l arc d origine O et d extrémité M. On a alors x = IM = IOM exprimé en radians. Définition : Soit un nombre x réel et M le point du cercle trigonométrique associé par l enroulement de l axe des nombres réels autour du cercle trigonométrique. L abscisse du point M s appelle le cosinus du nombre réel x et se note cos x. L ordonnée du point M s appelle le sinus du nombre réel x et se note sin x. Année 1 15 nde A

7 . Propriétés et valeurs remarquables. Propriétés : Les égalités suivantes sont vraies pour tout réel x : 1 cos x 1 et 1 sin x 1 cos x + sin x = 1 Valeurs remarquables : Pour tous les exercices suivants, on pourra utiliser le cercle donné à la fin de ce fascicule. Exercice n 7 : On considère le cercle trigonométrique ci-dessous.. Les segments rouges partagent le cercle en huit angles de 5 et les bleus partagent le cercle en douze angles de. Année ) Associer chacun des nombres à un point du cercle a) b) π. c) π. d) 6 π. π. ) Déterminer le réel associé aux points suivants compris dans l intervalle [ ; π [ a) A. b) R. c) H. d) L. e) f) : ) Déterminer le réel associé aux points suivants compris dans l intervalle ] π ; π ] a) K. b) N. c) G. d) I. : π. π. 6 nde A

8 Exercice n 8 : 1) Associer chacun des nombres ci-dessous à un point du cercle de l exercice n 7. 17π 9π 1π 17π. 6 ; π qui ont M, N, T et F comme point associé? ) Quels sont les nombres de [ [ Exercice n 9 : En vous aidant d un cercle trigonométrique, donnez le signe de cas suivants : ; π π π x, x ; π et x π ;. cos x et sin x dans chacun des Exercice n 1 : Sur le cercle trigonométrique ci-dessous on a placé M associé au nombre x. 1) Placez les points N, P et Q associés respectivement à x + π, x et x π. ) Exprimer le cosinus et le sinus de ces trois angles en fonction de cos x et sin x. Exercice n 11 : Donner, sans utiliser la calculatrice, les valeurs exactes de : a) cos π. c) b) π sin. sin π. 6 Exercice n 1 : 1) Colorier sur un cercle trigonométrique l ensemble des points M associés aux nombres x de I = π ;. Année 1 15 l intervalle [ ] ) Placer le point M associé au nombre x de I tel que ) Quelle est la valeur exacte de x? cos x =. Exercice n 1 : 1) Colorier sur un cercle trigonométrique l ensemble des points M associés aux nombres x de l intervalle I = [ ; π ]. 1 ) Placer le point M associé au nombre x de I tel que sin x =. ) Quelle est la valeur exacte de x? nde A

9 Exercice n 1 : Dans chacun des cas suivants, trouvez la valeur exacte de x : 1) [ ; π [ x et cos x =. ) x [ π ; ] et sin x =. Exercice n 15 : Donner un réel associé à chaque point du cercle. 1 er Cas : ème Cas : ème Cas : Les droites de la même couleur sont parallèles. Exercice n 16 : (C) est le cercle trigonométrique d origine A et de centre O. 1) Nommer les points de (C) associés aux nombres : 1π 9π a) x 1 =. c) x =. 17π 15π b) x =. d) x =. 6 π ; π qui ont ces points comme points associés. ) Quels sont les nombres de [ [ Année 1 15 nde A

10 Exercice n 17 : Lignes trigonométriques La médiatrice de [OA] coupe le cercle trigonométrique C en M et N. Ainsi AOM et OMP sont équilatéraux et AOM = MOP = 6. π 5π π 1) Prouvez que M, N et P sont associés respectivement à ; et. π 5π ) Déterminer, en justifiant votre réponse, le sinus et le cosinus de et. ) En déduire les coordonnées des points M, N et P. Année 1 15 nde A

11 Année 1 15 nde A