DIPLÔME NATIONAL DU BREVET
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- Sébastien Leboeuf
- il y a 6 ans
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1 DPLÔM NTONL DU RVT SSSON JUN 007 ÉPRUV D MTÉMTQUS SÉR COLLÈG Durée de l épreuve: h00 Métropole- La Réunion- Mayotte L emploi des calculatrices est autorisé arème: - ctivités numériques- 1 points - ctivités géométriques- 1 points -Problème-1points - Qualité de rédaction et présentation- 4 points
2 CTVTÉS NUMÉRQUS- 1 PONTS XRCC 1 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples(qcm). ucune justification n est demandée. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Pour chacune des cinq questions, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte. 1 Quelleestl expressiondéveloppéede (3x )? 3x 9x 9x 30x Quelleestl expressionquiestégaleà10sionchoisitlavaleurx=4? x(x 1) (x 1)(x ) (x 1) 3 Quelleestlavaleurexactede 48? 4 3, Quelleestlenombrequiestsolutiondel équationx (8 3x) =? n3 e,sur30élèves,ilya40%defilles. n3 e,sur0élèves,ilya60%defilles. 36%defille 48%defille 0%defille Lorsque les deux classes sont réunies, quel est le pourcentage defillesdanslegroupe? XRCC On donne un programme de calcul: Choisir un nombre. Lui ajouter 4. Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi. jouter4àceproduit. Écrire le résultat. 1.Écrirelescalculspermettantdevérifierquesil onfaitfonctionnerceprogrammeaveclenombre,onobtient0..donnerlerésultatfourniparleprogrammelorsquelenombrechoisiest. 3.aFairedeuxautresessaisenchoisissantàchaquefoisunnombreentieretécrirelerésultatobtenusouslaformeducarréd unnombre entier(lesessaisdoiventfigurersurlacopie). 3.bnest-iltoujoursainsilorsqu onchoisitunnombreentieraudépartdeceprogrammedecalcul? Justifier la réponse. 4. On souhaite obtenir 1 comme résultat. Quels nombres peut-on choisir au départ?
3 CTVTÉS GÉOMÉTRQUS- 1 PONTS XRCC 1 L unité de longueur est le centimètre Cestuntriangletelque: =9;C =1;C =1. 1.aDémontrerqueCestrectangleen. 1.bTracerenvraiegrandeurletriangleCsurlacopie..estlepointdusegment []telque =3. Festlepointdusegment [C]telqueF =..aplacerlespointsetfsurlafigure..bdémontrerqueladroite (F)estparallèleàladroite (C). 3. Calculer l aire du triangle F. XRCC Sur la figure ci-contre, - C est un triangle équilatéral, -lepointoestlecentreducerclecirconscritautrianglec, O D -lepointdestlepointdiamétralementopposéaupoint sur ce cercle. C 1.QuelleestlanaturedutriangleD?Justifier..Quelleestlamesuredel angleâd?justifier. 3.Ondésigneparl imagedupointdparlatranslationdevecteur OC. Démontrer que les droites (DC) et (O) sont perpendiculaires.
4 PROLÈM- 1 PONTS Dans le jardin de sa nouvelle maison, M. Durand a construit une terrasse rectangulaire qu il désire recouvrir d un toit. Pourcela,ilréaliselecroquissuivantoùl unitédelongueurestlemètre. G -LesolCDetletoitFGsontdesrectangles. F -Letriangleestrectangleen. - Le quadrilatère est un rectangle. -Lahauteurdusolausommetdutoitest. Ondonne: =,;D =7,; = C, Première partie 7, D Onsupposedanscettepartieque =. 1.Justifierque =3..Démontrerque =3,7. 3.Calculeraudegréprèslamesuredel angle dutoitde la maison, Deuxième partie 4 Danscettepartie,onsupposeque =4 etondésiredéterminer. 1.Quelleestlanaturedutriangledanscecas?Justifier..ndéduirepuis.,
5 Troisième partie Danscettepartie,onsupposeque =60 etondésiredéterminer. 1.Déterminerlavaleurarrondieaucmde. 60.ndéduirelavaleurarrondieaucmde., Quatrième partie Lacourbeci-dessousreprésentelahauteurenfonctiondelamesuredel angle 4. 4 Longueurenm ngle endegré M.Durandsouhaitequelahauteursoitcompriseentre3met3,m. n utilisant le graphique, donner une mesure possible de l angle.
6 ctivités numérique xercice 1 1. (3x ) =9x 30x CORRCTON.Pourx=4 Lapremièreexpressionvaut4(4 1) =4 =0 Lasecondeexpressionvaut (4 1)(4 ) = =10 Latroisièmeexpressionvaut (4 1) = =. 4 =9puis9 =4enfin 4 4 =49 3.avec10ona10 4 =14puis14 10 =140enfin =144 =1 vec 8ona 8 4 = 4puis 4 ( 8) =3enfin 3 4 =36 =6 3.b Prenons x un nombre entier quelconque Celarevientàfairex(x 4) 4) ndéveloppantonobtientx 4x 4. Onreconnaîtledéveloppementdel identitéremarquable (x ). Lerésultatest uncarréparfaitpourtoutnombreentier. 4. l faut reprendre la question 3.b. Cecalculpourxdedépartdonne (x ). Pourobtenir1ilfautque (x ) =1doncx =1oux = 1 Donc x = 1oux= R48 = 48 Donc = 3 4. = 4 3 x (8 3x) = x 8 3x = x 8 = x = 8 x =10 x = 10 ctivités géométriques xercice 1 1.aCalculons C etc C =9 1 = = C =1 = Comme C = C, d après la réciproque du théorème de Pythagore letrianglecestrectangleen.n3 e, =1 n3 e, =1 lyadonc4fillesdansungroupede0élèves.soit 48%defilles Les justifications précédentes n étaient pas demandées! F xercice 1. 4 =puis ( ) = 4enfin 4 4 =0.bComparonslesquotients etf C C
7 Ona =3 9 =1 3 F C = 1 =1 3 insidansletrianglecona = F D.Lespoints,etsontalignésetdansle mêmeordrequelespointsalignés,fetc. D après la réciproque du théorème de Thalès les droites (F) et (C) sont parallèles. 3.lfautcalculerF DansletriangleC,comme (F)//(C,d aprèslethéorèmedethalèsona: insi F 1 =1 3 d oùf =1 1 3 =4. =F C =F C Cestrectangleenet (F)//(C).Onsaitquesideuxdroitessontparallèles,toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre, on en déduit que F est rectangle en. insi ire(f) = xercice F = 3 4 =6cm 1.LetriangleDestinscritdansuncercledontlecôté [D]estundiamètre. Destuntrianglerectangleen.L angleâdestunangleinscritquiinterceptelemêmearcdecerclequel angleinscrit ÂC. Ces deux angles sont donc égaux. Cétantéquilatéral,ÂC =60 d où ÂD =60 3.estl imagededparlatranslationdevecteur OCdoncODCestunparallélogramme. DeplusOD =OCcarDetCsontsurlemêmecercledecentreO. ODC est donc un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs égaux; il s agit d un losange. Dans un losange les diagonales sont perpendiculaires. Les droites (DC) et (O) sont perpendiculaires. Problème Première partie 1.estunrectangledonc =d où = =3.Letriangleestrectangleen. D aprèslethéorèmedepythagoreona: =, 3 =3 =,06 9 =14,06 = 14,06 =3,7 3.Dansletrianglerectangleenonpeutcalculerlecosinus,lesinusoulatangente au choix. tan( ) = =, =0,7 3 lacalculatriceontrouve 37 à1 près Seconde partie 1.Danscecaslesangles etĥsontégaux. Letriangleestrectangleetisocèle..Donc = =, t =, =,7 Troisième partie 1.Dansletrianglerectangleenonatan(60) =, insi =, tan(60) 1,30mà1cmprès. = 3,7mà1cmprès Quatrième partie On voit sur le graphique que la valeur 0 convient. eaucoup d autres sont possibles...
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