Chapitres sur les groupes

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1 Unversté Montpeller II Année unverstare L3 Mathématques, GLMA501 Cours d Algèbre Générale 1 Chaptres sur les groupes Ces notes contennent les énoncés des prncpaux résultats du cours et quelques exemples supplémentares. Réf. : L. Schwartz, Algèbre, 3ème année, Coll. Scence Sup, Dunod (2003) 1 Groupes, morphsmes Ce chaptre content essentellement des défntons et des exemples smples dont (R, +), (Z/nZ, +), ((Z/nZ), ), quelques uns de leurs sous-groupes, les groupes de bjectons, d homéomorphsmes, d sométres, les groupes classques GL(n), SL(n), O(n), SO(n), U(n), et les morphsmes trace et détermnant. 2 Le groupe symétrque Sot E un ensemble. On appelle (Bj(E), ) le groupe symétrque de E, et ses éléments des permutatons. S E est de cardnal fn n, et b une bjecton de E vers l ensemble {1,..., n}, l applcaton (Bj(E), ) (Bj({1,..., n}), ) f bfb 1 (1) est un somorphsme de groupes. On peut donc prendre (Bj({1,..., n}), ) comme modèle concret des groupes symétrques des ensembles à n éléments. On le notera S n. Clarement S n = n! On peut réalser S n comme groupe lnéare de la façon suvante. Sot σ S n une permutaton, et Ψ(σ) : R n R n l applcaton lnéare qu envoe v sur v σ(), où v = {v 1,..., v n } est une base de R n. Alors Ψ : S n GL(R n ) σ Ψ(σ) est un morphsme de groupes njectf. En effet c est un morphsme car Ψ(σ σ ) = Ψ(σ) Ψ(σ ); et ce morphsme est njectf car l mage de la base v par Ψ(σ) détermne σ. En conséquence, Ψ dentfe S n à un sous-groupe de GL(R n ). Inversement le résultat suvant montre que tout groupe fn d ordre n est somorphe à un sous-groupe de S n. Théorème 2.1 (Cayley) Pour tout groupe fn G d ordre n l exste un morphsme njectf F : G S n. 1

2 L dée de la preuve repose sur la noton d acton de groupe développée en détal au chaptre suvant; c on fat agr G sur lu-même par translaton, en assocant à tout élément g G l applcaton bjectve F (g) : G G x gx. L applcaton F : G Bj(G), g F (g), fournt le morphsme njectf du théorème en dentfant Bj(G) à S n va l somorphsme (1). Il est commode de représenter une permutaton σ S n par un tableau à deux lgnes, de la forme ( ) n. σ(1) σ(2)... σ(n) Pour smplfer on omet généralement les colonnes dont les éléments sont hors du support de σ, défn comme l ensemble supp(σ) := { {1,..., n} σ() } (noter que supp(σ) σ() supp(σ)). En utlsant cette conventon, un k-cycle, k 2, de S n est défn comme une permutaton de la forme ( ) k où 1, 2,..., k {1,..., n} sont dstncts. On appelle k sa longueur, et on le notera ( k ) := ( k Voc quelques fats smples mas mportants, qu contrbuent à la preuve des résutats qu suvent : Tout k-cycle de S n est un élément d ordre k de S n. σ, τ S n, s supp(σ) supp(τ) = alors στ = τσ. Le conjugué d un k-cycle est un k-cycle, et tous les k-cycles sont conjugués (.e. pour tous k-cycles σ, τ S n, l exste une permutaton µ S n telle que σ = µτµ 1 ). Théorème 2.2 Sot σ S n. Il exste : (1) Une décomposton de σ comme produt de cycles à supports dsjonts. Cette décomposton est unque à l ordre près des cycles; on l appelle la décomposton canonque de σ. (2) Une décomposton de σ comme produt de transpostons. En général cette décomposton n est pas unque. Sa longueur mnmale, appellée la profondeur de σ est prof(σ) = Σ r =1(longueur(c ) 1) où c 1... c r est la décomposton canonque de σ. D après le second fat mentonné plus haut, les k-cycles de la décomposton canonque commutent deux à deux. S on compte un cycle de longueur 1 pour chaque élément de {1,..., n} qu se trouve hors du support de σ, on obtent une décomposton canonque en r = r + n card(supp(σ)) cycles, et la formule prof(σ) = n r. ). 2

3 Corollare 2.3 L ordre d une permutaton σ S n c 1... c r est égal au ppcm des longueurs des cycles c. dont la décomposton canonque est Corollare 2.4 Deux permutatons de S n sont conjuguées s et seulement s leurs décompostons canonques ont le même nombre de k-cycles, pour tout k 2. Corollare 2.5 L applcaton sg : S n { 1, 1} σ ( 1) prof(σ) est un morphsme de groupes, et c est le seul de S n vers (C, ). 3 Actons de groupes; théorèmes de Sylow Vor le pdf des notes manuscrtes du cours à l adresse : baselhac/students.html 4 Groupes quotents, théorèmes d somorphsme Sot G un groupe. On étude mantenant les sous-groupes H de G nvarants sous l acton de G sur G par conjugason, c est-à-dre tels que ghg 1 = H pour tout g G. Proposton 4.1 Les proprétés suvantes sont équvalentes : 1. Les classes à gauche et à drote d un élément de G modulo H concdent : g G, gh = Hg, ou de manère équvalente, ghg 1 = H. 2. L ensemble quotent (G/H) g des classes à gauche d éléments de G modulo H est mun d une lo de groupe telle que la projecton canonque π H : G (G/H) g, g gh, est un morphsme de groupe. 3. Il exste un groupe G et un morphsme de groupe f : G G tel que H = Ker(f). Un sous-groupe H de G vérfant la proprété (1) est dt dstngué, ou normal, ce que l on note H G. D après (1) les ensembles quotents (G/H) g et (G/H) d sont canonquement dentfés, on les notera smplement G/H. Dans (2), la lo de groupe de G/H est complètement détermnée par l dentté π(g) π(g ) = π(gg ) où gg est le produt de g par g dans G. Notons ḡ := π(g) = gh. On a dans G/H : l élément neutre e G/H = ē G = e G H = H; L nverse d une classe est la classe de l nverse : g G, (ḡ) 1 = g 1. On résume les relatons entre les tros groupes H, G et G/H par l exstence d une sute de morphsmes de groupes (on note 1 le groupe trval, et l njecton canonque) : 1 a H G π H G/H b 1 (2) tels que Im(a) = Ker() = 1 (donc est njectf), Im() = Ker(π H ), et Im(π H ) = Ker(b) = G/H (donc π H est surjectve). Une sute de morphsmes vérfant une telle proprété est appelée une sute exacte courte; on dt que G est une extenson du groupe G/H par H. 3

4 Exemples 4.2 (a) Le sous-groupes d un groupe abélen sont tous dstngués; l exemple basque est G = Z, H = nz, et G/H le groupe cyclque Z/nZ. (b) S G est d ordre fn et possède un unque p-sous-groupe de Sylow H, alors H est dstngué (d après le théorème de Sylow sur la transtvté de l acton de G par conjugason sur ses p- groupes de Sylow). (c) Être dstngué est une proprété forte d un sous-groupe. Un contre-exemple élémentare : on a (12)(23)(12) = (13) et (13) / (23), donc (23) n est pas dstngué dans S 3. D autres contre-exemples sont fourns par les p-groupes de Sylow tels que n p 1. (d) S H < G et [G : H] = 2, alors les parttons en classes à gauche et à drote G = H gh et G = H Hg concdent, donc H G. Le groupe G/H a deux éléments, l est donc somorphe à Z/2Z. Par exemple, H = A n et G = S n vérfent [S n : A n ] = 2 (cf. chaptre précédent), donc S n /A n = Z/2Z. Consdérons le cas n = 4. On vérfe sans pene que le sous-groupe K = {d, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} de A 4, formé par ses éléments d ordre 2, est dstngué. On appelle K le groupe de Klen. Le groupe quotent A 4 /K a A 4 / K = 12/4 = 3 éléments, d après la formule des classes; 3 étant premer, A 4 /K est donc somorphe à Z/3Z. (e) Un groupe est dt smple s l a pour seuls sous-groupes dstngués lu-même et son sousgroupe trval, formé par l élément neutre. D après la proprété (3), un groupe smple G n admet pas de groupe quotent autre que le groupe trval ou lu-même, et tout morphsme de source G est sot trval, sot njectf. La lste complète des groupes smples a été étable au cours des années 80. Elle comprend : Les groupes cyclques d ordre premer (ces groupes n ont aucun sous-groupe propre). Les groupes alternés A n, pour tout n 5 (théorème de Galos; nous avons vu c-dessus que A 4 n est pas smple, et A 3 = (123) = Z/3Z est smple). 16 famlles de groupes de matrces dont les coeffcents appartennent à un corps fn; par exemple SL(n, F q )/Z(SL(n, F q )) est un tel groupe, où Z(SL(n, F q )) = {λi n λ n = 1 F q } (vor l exemple 4.5 (4)). 26 groupes smples dts sporadques, car ls ne sont relés à aucune des famlles précédentes. (f) Un même groupe quotent peut apparaître de manères très dfférentes. Voc deux sutes exactes courtes dstnctes qu produsent Z/2Z comme groupe quotent : 1 Z/3Z 1 Z/2Z Z/3Z π Z/3Z Z/2Z 1 et (noter que (123) = Z/3Z) : 1 (123) S 3 π (123) Z/2Z 1. Pourtant, S 3 n est pas abélen et donc pas somorphe à Z/2Z Z/3Z. Defnton 4.3 Sot H G. On appelle (G/H, ) le groupe quotent de G par H. Les groupes quotents apparassent naturellement par le bas du résultat suvant, qu repose sur le fat que pour toute applcaton f : E F entre des ensembles E et F, on a une partton E = y Im(f) f 1 ({y}). 4

5 Cette partton mplque que pour toute relaton d équvalence R sur E telle que xry f(x) = f(y), f ndut une applcaton E/R F. Dans le cas où f est un morphsmes de groupes, on prend R telle que xry ss y 1 x H. Avec ce chox on obtent : Théorème 4.4 (1) (Factorsaton) Sot f : G G un morphsme de groupes, et H un sous-groupe dstngué de G tel que H Ker(f). Alors f ndut un morphsme de groupes f : G/H G tel que f π H = f. S H = Ker(f), alors f est njectf, et s f est surjectf, alors f l est auss. (2) (Passage au quotent) Sot f : G G un morphsme de groupes, H un sous-groupe dstngué de G, et H un sous-groupe dstngué de G tels que f(h) H. Alors l exste un unque morphsme de groupes f : G/H G /H tel que f π H = π H f. S H = f 1 (H ) alors f est njectf, et s π H f est surjectf, alors f l est auss. Exemples 4.5 (1) Le morphsme sgnature ε : S n Z/2Z a pour noyau le groupe alterné A n. Avec le théorème de factorsaton, on retrouve donc S n /A n = Z/2Z, donc auss S n / A n = S n /A n = 2 et A n = n!/2. (2) L applcaton détermnant det : GL(n, R) R est un morphsme de groupes multplcatfs, et ndut un somorphsme GL(n, R)/SL(n, R) = R. De même, det : U(n) S 1 et det : O(n) { 1, +1}, où U(n) (resp. O(n)) est le groupe des matrces complexes untares (resp. orthogonales réelles) de talle n n et S 1 le groupe multplcatf des nombres complexes de norme 1, ndusent des somorphsmes de groupes U n /SU(n) = S 1, O(n)/SO(n) = Z/2Z. (3) L applcaton Exp : R k (S 1 ) k, (x 1,..., x k ) (e 2πx 1,..., e 2πx k ), est un morphsme du groupe addtf (R, +) k (le produt drect k fos de (R, +)) vers le groupe multplcatf (S 1 ) k ((le produt drect k fos de S 1 ). Il ndut un somorphsme de groupes (R, +) k /(Z, +) k = (S 1 ) k. (4) Sot G un groupe. Le centre de G, Z(G) := {g G g G, gg = g g}, est un sous-groupe dstngué de G. Sot j le morphsme de groupes qu assoce à g G l automorphsme j g de G tel que j g (x) = gxg 1, x G. D après le théorème de factorsaton, on a G/Z(G) = j(g). On appelle j(g), noté Int(G), le groupe des automorphsmes ntéreurs de G. Notant l njecton canonque de Z(G) dans G, on a donc une sute exacte courte : 1 Z(G) G j Int(G) 1. De plus, on vérfe sans pene que pour tout ϕ Aut(G) et g, x G, on a (ϕ j g ϕ 1 ) = ϕ(g)xϕ(g) 1. Donc Int(G) est dstngué dans Aut(G). On appelle Out(G) := Aut(G)/Int(G) le groupe des automorphsmes extéreurs de G. D où une seconde sute exacte 1 Int(G) Aut(G) π Out(G) 1. Par exemple: Z(S n ) = {d} (cf. TD), donc S n = Int(Sn ). On peut montrer, mas c est plus dffcle, que Int(S n ) = Aut(S n ) s n > 2 et n 6, et que [Aut(S 6 ) : Int(S 6 )] = 2. Dans le premer cas, Out(S n ) est le groupe trval, dans le second l est somorphe à Z/2Z. 5

6 Z(GL(n, K)) est le sous-groupe des matrces multples scalares de I n, somorphe à K. On a Int(GL(n, K)) = Aut(GL(n, K)) (c est une conséquence du théorème de Skolem- Noether sur les automorphsmes des algèbres smples centrales, de nveau master). Sot F n le groupe lbre à n > 1 générateurs (vor secton 5.2). On a Z(F n ) = 1, donc F n = Int(F n ); Out(F n ) est un groupe très rche. On peut résumer les deux énoncés du théorème 4.4 par l exstence de dagrammes commutatfs de morphsmes, c est-à-dre tels que deux chemns d applcatons ayant même source et même but défnssent les mêmes applcatons : G f G et G f f G π H G/H π H G/H f π H G /H Le théorème 4.4 permet d dentfer des groupes quotents lorsque f est un somorphsme. Par exemple, en montrant l exstence des dagrammes commutatfs suvants où f et ī sont des somorphsmes G π K π H π H G/H f K π H K HK (π H ) G/K π H/K (G/K)/(H/K) K/(H K) ī HK/H on obtent : Théorème 4.6 Soent G un groupe, H un sous-groupes dstngué de G, π H : G G/H la projecton canonque, et K un sous-groupe de G (non nécessarement dstngué). (1) ( 2ème théorème d somorphsme ) Le sous-ensemble HK de G est un sous-groupe de G, H est dstngué dans HK, et π H (K) = HK/H. De plus (H K) K et K/(H K) = HK/H. (2) ( 3ème théorème d somorphsme ) S K G et K H, alors G/H = (G/K)/(H/K). Remarque 4.7 Dans le 3ème théorème d somorphsme, noter qu en général K H n mplque pas K G, même s H G. On a: Théorème 4.8 ( Théorème de correspondance ) Soent G un groupe et H un sous-groupe dstngué de G. La projecton canonque π H : G G/H ndut une bjecton entre les sousgroupes (resp. normaux) de G contenant H et les sous-groupes (resp. normaux) de G/H. Corollare 4.9 G/H est smple s et seulement s les seuls sous-groupes dstngués de G contenant H sont G lu-même et H. Termnons par une formule très utle en pratque pour calculer le cardnal d une parte (fne) d un groupe, de la forme HK; c est une conséquence du 2ème théorème d somorphsme lorsque H est dstngué dans G : 6

7 Proposton 4.10 Pour tous sous-groupes fns H, K d un groupe G (non nécessarement dstngués), le sous-ensemble HK a pour cardnal 5 Constructons de groupes 5.1 Produts sem-drects HK = H K H K. Sot G un groupe et H un sous-groupe dstngué de G. Nous avons vu que le groupe quotent G/H est assocé à la sute exacte courte 1 H G π G/H 1. On va décrre mantenant un procédé qu permet de construre, partant de groupes quelconques H et K, des groupes G s nsérant au mleu d une sute exacte courte 1 H G π K = G/H 1. (3) Nous obtendrons ces groupes G, les produts sem-drects de H par K, en consdérant les actons de K sur H. Montrer qu un groupe G est un produt sem-drect permet de rédure son étude à celle de H et K, a pror plus smples. Soent donc H et K deux groupes, et G un groupe tel qu l exste des morphsmes et π vérfant la sute exacte courte (3). Supposons que G possède un sous-groupe somorphe à K et d mage K par π; nous noterons auss K ce sous-groupe, pour smplfer (cette proprété caractérse les produts sem-drects parm toutes les extensons G de H par K). D après la sute exacte courte (3), H est le noyau de π dont H est dstngué dans G, et alors pour tout k K l applcaton suvante prend ben ses valeurs dans H : ϕ(k) : H H h khk 1. On vérfe sans pene que ϕ(k) est un automorphsme du groupe H, et que l applcaton (qu est donc ben défne) ϕ : K Aut(H) k ϕ(k) est également un morphsme de groupes. Ce morphsme encode les relatons de commutaton entre les éléments de K et de H. Consdérons par exemple le produt drect G = K H. En dentfant K (resp. H) et le sous-groupe K {e H } (resp. {e K } H) de K H, on a hk = kh pour tous k K, h H. Cette relaton équvaut à ϕ(k) = d pour tout k K. Plus généralement, on cherche les groupes G ayant les groupes K et H comme sous-groupes, et qu on peut construre à l ade d un morphsme ϕ : K Aut(H). Sot donc H et K deux groupes, et ϕ : K Aut(H) un morphsme. Notons K H l ensemble produt cartésen de K et H. Consdérons l applcaton ϕ : (K H) (K H) K H ((k 1, h 1 ), (k 2, h 2 ) (k 1 k 2, h 1 ϕ(k 1 )(h 2 )). Comme ϕ(k 1 )(h 2 ) H, cette applcaton prend ben ses valeurs dans K H. Notons que s ϕ = d, alors ϕ est smplement la lo produt du produt drect de K et H. 7

8 Proposton 5.1 L applcaton ϕ défnt une lo de groupe sur l ensemble K H, d élément neutre (e K, e H ) et d nverses (k, h) 1 = (k 1, ϕ(k 1 )(h 1 )). On note K ϕ H le groupe (K H, ϕ), que l on appelle le produt sem-drect de K par H. Remarque 5.2 Les ensembles {e K } H et K {e H } sont des sous-groupes du produt sem-drect K ϕ H, respectvement somorphes à H et K. En notant l somorphsme de H vers {e K } ϕ H suv de l ncluson dans K ϕ H, et π la projecton de K ϕ H sur K ϕ {e H } suv de l somorphsme vers K, on obtent la sute exacte courte (3), avec les notatons présentes : En partculer K = K ϕ H/(H). 1 H K ϕ H π K 1. (4) Proposton 5.3 Soent G, H et K tros groupes, et ϕ : K Aut(H) un morphsme de groupes. On a équvalence entre: 1. Les groupes G et K ϕ H sont somorphes. 2. Il exste des sous-groupes H et K de G et des somorphsmes f : H H et g : K K, tels que H est dstngué dans G et où h = f(h) et k = g(k). H K = G, H K = {e G }, f((ϕ(k)(h)) = k h (k ) 1 Qutte à dentfer H et H et K et K va f et g, la dernère condton sgnfe que ϕ(k)(h) est le conjugué de h par k. On peut remplacer les deux premères condtons par la suvante: Tout élément de G peut s écrre de manère unque sous la forme h k, avec h H et k K (ou la même chose en remplaçant h k par k h ). Exemples 5.4 (a) Sot τ S n une transposton. Pusque toute permutaton peut s écrre de manère unque comme le produt d un élément de τ = {d, τ} par un élément de A n, on a S n = τ A n. (b) On sat que SL(n, K ) est un sous-groupe dstngué de GL(n, K ) (c est le noyau du morphsme détermnant). Consdérons le morphsme njectf de groupes multplcatfs : K GL(n, K ) qu envoe λ K sur la matrce dagonale dont tous les coeffcents dagonaux sont égaux à 1, sauf le premer, égal à λ. Sot ϕ : K Aut(SL(n, K )) défn par ϕ(λ)(a) = (λ) A (λ 1 ) pour tout A SL(n, K ), où est la multplcaton matrcelle. On vérfe que les condtons de la proposton 5.3 sont vérfées par (K ) et SL(n, K ). Donc GL(n, K ) = (K ) ϕ SL(n, K ) = K ϕ SL(n, K ). (c) L ensemble Aff(K) = {k ak + b a K, b K} des transformatons affnes de K est un groupe pour la lo de composton des applcatons. Le sous-groupe U des translatons est dstngué. Notons T le sous-groupe des transformatons k ak; l agt sur U par conjugason dans Aff(K). On a U = K (groupe addtf), T = K (groupe multplcatf), et Aff(K) = T U = K K. De manère analogue, en notant r = Z/2Z le groupe 8

9 engendré par une reflexon de R n par rapport à un plan passant par l orgne, et Isom(R n ) le groupe des sométres de l espace euclden R n, on a O(n) = Z/2Z SO(n), Isom(R n ) = O(n) R n. (d) Le sous-groupe B(n, K) de GL(n, K) formé par les matrces trangulares supéreures est un produt sem-drect : le sous-groupe T des matrces dagonales agt par conjugason sur le sous-groupe dstngué U de GL(n, K) formé par les matrces de B(n, K) dont tous les coeffcents dagonaux sont égaux à 1. On a T = (K ) n (groupe multplcatf), et B(n, K) = T U = (K ) n U. (e) On a un produt sem-drect Z/nZ ϕ Z/mZ pour tout morphsme ϕ : Z/nZ Aut(Z/mZ). Par exemple S 3 = (12) (123) = Z/2Z Z/3Z, et en notant τ = (12) et µ = (123), on a ϕ(τ)(µ) = τµτ 1 = τµτ = µ 1 (comparer avec (a) : on a A 3 = (123) ). En général Aut(Z/mZ) = (Z/mZ), le groupe des éléments nversbles de l anneau Z/mZ, et s p est premer mpar, alors (Z/p α Z) = Z/φ(p α )Z, où φ(p α ) = p α 1 (p 1) (vor TD). S on prends n = 6 et m = 3 2, alors on a 4 morphsmes ϕ : Z/6Z Aut(Z/9Z), selon que ϕ est d ordre 1, 2, 3 ou 6 dans le groupe Aut(Z/9Z) = (Z/9Z) = Z/6Z. Sot a un générateur de Z/6Z, b un générateur de Z/9Z, et k (Z/9Z) tel que ϕ(a)(b) = aba 1 = b k. Comme ϕ(a) n (b) = b kn, l ordre de ϕ est 1, 2, 3 ou 6 selon que k = 1, 8, 4 ou 7, et 2 ou 5. (f) Sot G un groupe d ordre 54 = G possède au mons un 3-Sylow H, d ordre 3 3. Le cardnal de l ensemble quotent G/H est égal à G / H = 2, donc H est d ndce 2 dans G, ce qu mplque que H est dstngué dans G (cec est auss une conséquence des théorèmes de Sylow : le nombre n 3 de 3-Sylow dvse 2 et est congru à 1 modulo 3). G possède auss un 2-Sylow K, engendré par un élément g G d ordre 2. Les deux premères condtons de la Proposton 5.3 (2) sont vérfées par H := H et K := K (exercce!), donc G est un produt sem-drect de H par K = Z/2Z. Il exste au plus deux tels produts sem-drects, donnés par les morphsmes Z/2Z Aut(H). En détermnant tous les groupes H d ordre 3 3 = 27, on peut ans reconstrure tous les groupes d ordre Groupes défns par générateurs et relatons Tout groupe peut être défn de manère formelle à l ade d une famlle explcte de générateurs. Pour le vor, ntrodusons d abord un peu de termnologe. Soent A = {a 1,..., a n,...} un alphabet, c est-à-dre une lste (fne ou non) de symboles qu on appellera lettres. A chaque lettre a A on assoce une nouvelle lettre a 1, qu on appelle son nverse. Defnton 5.5 (1) Le groupe lbre engendré par A, noté F (A), a pour éléments les sutes fnes de lettres a et a 1 (par exemple a 1 a 2 a 2 a 1 1 ), appelées mots, et le mot vde,. Le produt de F (A) est la concaténaton des mots, avec la règle de smplfcaton a a 1 = a 1 a = (par exemple a 1 a 2 a 2 a 1 1 a 1 a 2 a 2 a 1 = a 1 a 2 a 2 a 2 a 2 a 1 ). (2) Sot R une parte de F (A), et H le sous-groupe dstngué de F (A) engendré par les éléments de R. On appelle groupe engendré par A et mun des relatons R le quotent F (A)/H, noté F (A; R) ou A R. Remarque 5.6 Par défnton, le sous-groupe dstngué H de F (A) engendré par les éléments de R est le plus pett sous-groupe de F (A) qu est dstngué et content R. On vérfe faclement que H est le sous-groupe de F (A) engendré par les éléments de la forme x = yry 1, avec y F (A) et r R. 9

10 La proposton suvante montre que pour tout ensemble A de générateurs d un groupe G, l exste un système R de relatons tel que G = F (A; R) (applquer à (2) le théorème de factorsaton, en prenant pour ϕ la projecton canonque qu envoe a F (A) sur a G). On dt alors que (A; R) est une présentaton de G. Proposton 5.7 Sot G un groupe, et A = {a 1,..., a n,...} un alphabet. (1) Soent g 1,..., g n,... des éléments de G (éventuellement répétés). Il exste un unque morphsme de groupes ϕ : F (A) G tel que ϕ(a ) = g. (2) Pour tout morphsme de groupes ϕ : F (A) G tel que ϕ(r) = e G, ϕ ndut un morphsme ϕ : F (A; R) G, et pour tout morphsme ϕ : F (A; R) G, l exste un morphsme ϕ : F (A) G tel que ϕ π H = ϕ. Exemples 5.8 (a) F (a) = Z; F (a; a n ) = Z/nZ (on note a n = a... a la sute formée de la lettre a répétée n fos). (b) Le groupe dhédral D n est défn par deux générateurs s et r vérfant les relatons s 2 = 1, r n = 1, et srs = r 1, où 1 désgne l élément neutre. Formellement cela sgnfe qu on a un somorphsme D n = F (a, b; a 2, b n, abab). En effet, d après la proposton, l applcaton F (a, b) D n telle que a s et b r se prolonge de manère unque en un morphsme de groupes, qu est surjectf. Son noyau content la parte R = {a 2, b n, abab}, donc en passant au quotent on obtent un morphsme surjectf ϕ : F (a, b; a 2, b n, abab) D n. Comme les deux groupes ont cardnal 2n, ϕ est un somorphsme (par exemple, les éléments de F (a, b; a 2, b n, abab) sont de la forme a α b β sans répéttons, avec α = 0, 1 et 0 β n 1). (c) Les groupes SL(2, Z) et P SL(2, Z) = SL(2, Z)/{±I 2 }, où {±I 2 } = Z(SL(2, Z)), admettent les présentatons SL(2, Z) = S, T S 4, (ST ) 6, S 2 (ST ) 3, P SL(2, Z) = S, T S 2, ( S T ) 3 ( ) ( ) où S = et T =, et S et T sont les classes de S et T modulo {±I 2 }. Les matrces S et T vérfent les relatons S 4 = I 2, (ST ) 6 = I 2, et S 2 = (ST ) 3. Donc avec la proposton 5.7 (2) on obtent un morphsme du groupe S, T S 4, (ST ) 6, S 2 (ST ) 3 vers SL(2, Z). Montrer que c est un somorphsme demande plus de traval. 6 Groupes abélens de type fn On note systématquement + la lo produt d un groupe abélen, et G G le produt drect G G de deux groupes abélens G et G. En partculer, on écrt ng le produt n fos d un élément avec lu-même (g n en notaton multplcatve). Defnton 6.1 Sot G un groupe abélen. G est un groupe de type fn s l a un nombre fn de générateurs : l exste g 1,..., g r G tels que pour tout g G, l exste λ 1,... λ r Z tels que g = r =1 λ g. G est un groupe lbre de rang r s l est de type fn, et s l a r générateurs g 1,..., g r en lesquels tout élément de G peut s écrre de manère unque. (Donc {g 1,..., g r } est une famlle lbre). 10

11 Un élément de G est de torson s l est d ordre fn; G est un groupe de torson s tout élément de G est de torson. L ensemble des éléments de torson d un groupe abélen G est un sous-groupe de G, noté T (G) et appelé sous-groupe de torson de G. Autrement dt, G est de type fn s l exste un morphsme surjectf ϕ : Z r G r (λ 1,... λ r ) λ g et G est lbre de rang r s l exste un tel morphsme qu sot de plus njectf. L enter r est ben défn d après le lemme suvant : Lemme 6.2 On a un somorphsme Z r = Z s s, et seulement s, r = s. En général, s G est abélen de type fn et ϕ un morphsme comme c-dessus, on a : G = Z r /Ker(ϕ); Toute famlle lbre d éléments de G est de cardnal au plus r; Tout quotent de G est abélen de type fn; Tout sous-groupe de G est de type fn. On vérfe sans pene que pour tout groupe abélen G, le groupe quotent G/T (G) n a aucun élément de torson. Voc des proprétés mportantes de ces dfférentes famlles de groupes: Proposton 6.3 Un groupe abélen de torson et de type fn est un groupe fn. Proposton 6.4 Un sous-groupe d un groupe abélen lbre de rang r est lbre de rang s r. Proposton 6.5 Un groupe abélen de type fn et sans élément de torson est un groupe lbre de rang fn. Le résultat suvant montre que les groupes abélens lbres et les groupes abélens de torson permettent de décrre tous les groupes abélens de type fn. Théorème 6.6 Sot G un groupe abélen de type fn. Il exste un groupe abélen lbre L et un groupe de torson T tels que G = L T. De plus, L et T sont unques à somorphsme près, et T = T (G). =1 11

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