Calcul matriciel. 1.1 Définitions Matrices carrées particulières... 3

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1 Chapitre 10 Calcul matriciel 1 Généralités 2 11 Définitions 2 12 Matrices carrées particulières 3 2 Opérations sur les matrices 4 21 L espace vectoriel M np (R 4 22 Produit de deux matrices 5 23 Transposée d une matrice 7 3 Cas des matrices carrées 8 31 Puissance d une matrice carrée 8 32 Matrices carrées inversibles 11 4 Matrices et systèmes linéaires Écriture matricielle d un système Calcul de l inverse d une matrice 14 Introduction Une matrice est un tableau de nombres réels permettant la représentation de vecteurs des espaces vectoriels de dimension finie, la représentation des applications linéaires entre deux espaces vectoriels de dimension finie ou la représentation des systèmes d équations linéaires Les matrices interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques, par exemple en analyse pour l étude de suites récurrentes ou en probabilité pour l étude de chaînes de Markov On donne ici les différentes opérations possibles sur les matrices (la somme, le produit par un scalaire, le produit de deux matrices et la transposition On définit ensuite, dans le cas particulier des matrices carrées, la puissance d une matrice et l inverse d une matrice Dans la dernière section, on explicite le lien entre les matrices et les systèmes linéaires, et en particulier, entre les matrices inversibles et les systèmes de Cramer On termine est donnant une méthode, basée sur l algorithme du pivot de Gauss, pour obtenir l inverse d une matrice carrée Anthony Mansuy - Professeur de Mathématiques en supérieures ECE au Lycée Clemenceau (Reims

2 1 Généralités 11 Définitions Définition Soient n et p deux entiers 1 On appelle matrice à n lignes et p colonnes ou matrice n p tout tableau de np nombres réels rangés sur n lignes et p colonnes Les éléments constituant une matrice n p sont appelés coefficients de la matrice et les entiers n et p sont les dimensions de la matrice Si A est une matrice n p, on note a i,j le coefficient de la i-ième ligne et de la j-ième colonne et on écrit: a 1,1 a 1,2 a 1,p a 2,1 a 2,2 a 2,p A = (a i,j 1 i n = a n,1 a n,2 a n,p S il n y a pas d ambiguïté sur le nombre de lignes et le nombre de colonnes, on pourra noter plus simplement A = (a i,j L ensemble des matrices à n lignes et p colonnes est noté M n,p (R Si n = p, cet ensemble est noté M n (R et ses éléments sont alors appelés matrices carrées d ordre n ( 5 3 ( Exemples A = M ,3 (R, B = M 3,2 (R, C = M π 2 2 (R 1 ln(2 La matrice A est de dimension 2 3, la matrice B est de dimension 3 2 et la matrice C est une matrice carrée d ordre 2 Pour ces matrices, on a par exemple: Définition a 1,2 = 0, a 2,3 = 5, b 2,2 = 0, b 3,1 = 1, c 1,1 = c 2,2 = 2 Toute matrice n 1 est appelée matrice colonne et toute matrice 1 p est appelée matrice ligne On identifie les matrices 1 1 et les réels Soit A = (a i,j une matrice n p Alors: Si i [1, n], la matrice ligne (a i,j = ( a i,1 a i,2 a i,p est la i-ième ligne de A a 1,j a 2,j Si j [1, p], la matrice colonne (a i,j 1 i n = est la j-ième colonne de A a n,j Définition Si A = (a i,j une matrice carrée n n, les coefficients a i,i, c est-à-dire a 1,1, a 2,2,, a n,n, sont appelés coefficients diagonaux de A et l ensemble {a 1,1, a 2,2,, a n,n } est appelé diagonale de A Les coefficients a i,j tels que i > j sont donc situés en dessous de la diagonale de A tandis que les coefficients a i,j tels que i < j sont situés au dessus de la diagonale Définition La matrice nulle A = (a i,j de M n,p (R est la matrice dont tous les coefficients sont nuls, c est-à-dire définie par: (i, j [1, n] [1, p], a i,j = 0 Cette matrice est notée 0 n,p ou 0 n si n = p 2

3 Définition Deux matrices A = (a i,j et B = (b i,j sont égales si elles ont mêmes dimensions n p et si: (i, j [1, n] [1, p], a i,j = b i,j Dans le cas contraire, on dira que les matrices A et B sont distinctes Exemples ( ( 1 2 = ( , ( , ( ( Matrices carrées particulières Définition Une matrice A = (a i,j de M n (R est dite diagonale si pour tout i j, a i,j = 0 Une matrice diagonale dont tous les coefficients diagonaux sont égaux est dite matrice scalaire Exemples Les matrices D 1 et D 2 suivantes sont diagonales La matrice D 3 est scalaire: ( D 1 =, D = 0 2 0, D 3 = Définition La matrice identité d ordre n est la matrice diagonale de M n (R dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1 Cette matrice est notée I n Exemples I 2 = ( M 2 (R, I 3 = M 3 (R Définition Une matrice A = (a i,j de M n (R est dite triangulaire supérieure si, pour tous i et j tels que i > j, a i,j = 0, c est-à-dire si tous les coefficients situés en dessous de la diagonale sont nuls Une matrice A = (a i,j de M n (R est dite triangulaire inférieure si, pour tous i et j tels que i < j, a i,j = 0, c est-à-dire si tous les coefficients situés au dessus de la diagonale sont nuls Exemples Les matrices A et B suivantes sont respectivement triangulaire supérieure et triangulaire inférieure: A = et B =

4 2 Opérations sur les matrices 21 L espace vectoriel M np (R Addition des matrices Définition Si A = (a i,j 1 i n par: et B = (b i,j 1 i n sont deux matrices de M n,p (R, la matrice C = (c i,j 1 i n définie (i, j [1, n] [1, p], c i,j = a i,j + b i,j, est appelée somme des matrices A et B et on note C = A + B L opération définissant la somme de deux matrices de M n,p (R est appelée l addition des matrices dans M n,p (R Remarque L addition de deux matrices de dimensions différentes n est pas définie Exemple = Propriété 1 (de l addition (1 L addition dans M n,p (R est une loi de composition interne, c est-à-dire: (A, B (M n,p (R 2, A + B M n,p (R (2 L addition dans M n,p (R est associative, c est-à-dire: (A, B, C (M n,p (R 2, (A + B + C = A + (B + C Ainsi, la somme de trois matrices A, B, C pourra être notée A + B + C sans parenthèses (3 L addition dans M n,p (R est commutative, c est-à-dire: (A, B (M n,p (R 2, A + B = B + A (4 L addition dans M n,p (R admet pour élément neutre la matrice nulle 0 n,p, c est-à-dire: A M n,p (R, 0 n,p + A = A + 0 n,p = A Définition L opposée de la matrice A = (a i,j 1 i n est la matrice B = (b i,j 1 i n définie par: On la note B = A (i, j [1, n] [1, p], b i,j = a i,j Une conséquence directe de cette définition est la propriété suivante: Propriété 2 (Opposée d une matrice Pour toute matrice A M n,p (R: A + ( A = ( A + A = 0 n,p 4

5 Produit par un scalaire Définition Si A = (a i,j 1 i n est une matrice de M n,p (R et si λ est un réel, la matrice B = (b i,j 1 i n définie par: (i, j [1, n] [1, p], b i,j = λa i,j est appelée produit de la matrice A par le scalaire λ et on note B = λa Exemple = Propriété 3 (du produit par un scalaire (1 λ R, (A, B (M n,p (R 2, λ(a + B = λa + λb (2 (λ, µ R 2, A M n,p (R, (λ + µa = λa + µa (3 (λ, µ R 2, A M n,p (R, λ(µa = (λµa Remarque La matrice opposée de A vérifie: A = ( 1A 22 Produit de deux matrices Définition Soit A = (a i,j 1 i n une matrice de M n,p (R et B = (b i,j 1 i p 1 j q C = (c i,j 1 i n, élément de M n,q (R, définie par: 1 j q une matrice de M p,q (R La matrice (i, j [1, n] [1, q ], c i,j = p a i,k b k,j, est appelée produit des matrices A et B et on note C = AB L opération définissant le produit d une matrice de M n,p (R dans M p,q (R est appelée produit matriciel Remarque 1 On peut interpréter ce produit comme suit: le terme de la i-ième ligne et de la j-ième colonne de C s obtient en sommant les produits des termes de même rang dans la i-ième ligne de A et dans la j-ième colonne de B selon le schéma ci-dessous où l on a représenté en gras les coefficients de A et B utiles au calcul de c i,j : k=1 a 1,1 a 1,k a 1,p a i,1 a i,k a i,p b 1,1 b 1,j b 1,q b k,1 b k,j b k,q b p,1 b p,j b p,q = c 1,1 c 1,j c 1,q c i,1 c i,j c i,q a n,1 a n,k a n,p c n,1 c n,j c n,q 2 Pour pouvoir effectuer le produit de A par B, il faut impérativement que le nombre de colonnes de A soit égale au nombre de lignes de B 5

6 Exemple On considère les cinq matrices A, B, C, D et E suivantes: 3 5 ( A = B = C = Énumérer les produits de 2 ou 3 de ces matrices qui sont définis et les calculer D = ( E = (

7 Propriété 4 (du produit matriciel (1 Le produit matriciel est associatif, c est-à-dire: (A, B, C M n,p (R M p,q (R M q,r (R, (ABC = A(BC Ainsi, le produit de trois matrices A, B et C pourra être noté ABC sans parenthèses (2 Le produit matriciel est distributif par rapport à l addition, c est-à-dire: (A, B, C M n,p (R M p,q (R M p,q (R, A(B + C = AB + AC, et (A, B, C M n,p (R M n,p (R M p,q (R, (A + BC = AC + BC (3 Pour toute matrice A M n,p (R, on a: I n A = A et AI p = A Remarques 1 Le produit matriciel n est pas commutatif En général, si A M n,p (R et B M p,n (R, AB BA 2 Contrairement à ce qui se passe pour la multiplication dans R, on peut avoir AB = 0 n,q avec A 0 n,p et B 0 p,q Par exemple, si A = ( Transposée d une matrice et B = ( alors AB = ( Définition a 1,1 a 1,2 a 1,p a 2,1 a 2,p Pour toute matrice A = (a i,j 1 i n = de M n,p(r, on appelle transposée de a n,1 a n,2 a n,p A la matrice de M p,n (R notée t A définie par: t A = c est-à-dire telle que si on note t A = ( a i,j 1 i p 1 j n a 1,1 a 2,1 a n,1 a 1,p a n,2 a 1,p a 2,p a n,p, on a: (i, j [1, p] [1, n], a i,j = a j,i Autrement dit, t A est obtenue à partir de A par échange des lignes et des colonnes Exemple Calculer la transposée de A = , B = ( et C =

8 Propriété 5 (de la transposition (1 A M n,p (R, t ( t A = A (2 λ R, A M n,p (R, t (λa = λ t A (3 (A, B (M n,p (R 2, t (A + B = t A + t B (4 A M n,p (R, B M p,q (R t (AB = t B t A Définition Soit A une matrice carrée de M n (R On dit que A est symétrique si elle est égale à sa transposée, c est-à-dire t A = A On dit que A est antisymétrique si elle est égale à l opposée de sa transposée, c est-à-dire t A = A Exemple Les matrices suivantes sont-elles symétriques ou antisymétriques? A = B = C = Cas des matrices carrées 31 Puissance d une matrice carrée Définition Pour tout entier k N et pour toute matrice A M n (R, on appelle puissance k-ième de A la matrice, notée A k, définie par: Si k = 0, A 0 = I n Si k = 1, A 1 = A Si k 2, A k = A A }{{} k fois Remarque On peut avoir A k = 0 n avec A 0 n Par exemple, ( ( 0 2 A = et A = Exemples 1 Considérons la matrice A M 3 (R définie par: A = Calculer, pour tout entier naturel k, la matrice A k

9 2 Soient a, b, c R Considérons la matrice B M 3 (R définie par: a 0 0 B = 0 b c Calculer, pour tout entier naturel k, la matrice B k 9

10 Dans le cas des matrices diagonales, on retiendra la propriété suivante: Propriété 6 (Puissance d une matrice diagonale Soient k N et λ 1, λ 2,, λ n R Alors: λ λ 2 0 k = λ k λ k λ n 0 0 λ k n Autrement dit, la puissance d une matrice diagonale est la diagonale des puissances La formule du binôme de Newton, valable pour deux matrices qui commutent, permet dans certains cas de calculer la puissance d une matrice Propriété 7 (Formule du binôme de Newton Soient A et B deux matrices de M n (R qui commutent, c est-à-dire telles que AB = BA Alors, pour tout entier k N, k ( k (A + B k = A p B k p p p=0 Exemple Soit A = ( M 2 (R 1 Déterminer la matrice B M 2 (R telle que A = I 2 + B 2 Calculer B k pour tout entier naturel k, et en déduire A k 10

11 32 Matrices carrées inversibles Définition Soit A M n (R A est dite inversible si et seulement si il existe B M n (R telle que: AB = BA = I n Remarques 1 Il découle de cette définition que, si A est inversible, la matrice B est aussi inversible 2 Si A est inversible, cela signifie que l on peut simplifier les égalités qui contiennent A en facteur (en distinguant facteur à droite et facteur à gauche puisque le produit n est pas commutatif Si par exemple AB = BA = I n, alors: Et de même, CA = DA C = D Propriété 8 (Unicité de l inverse AC = AD B(AC = B(AD (BA }{{} C = (BA D C = D }{{} =I n =I n Soit A M n (R Si A est inversible, alors il existe une unique matrice B telle que AB = BA = I n Cette matrice est appelée l inverse de A et elle est notée A 1 Remarque On peut montrer que l une des égalités AB = I n ou BA = I n implique l autre Par conséquent, pour prouver l inversibilité de A, il suffira d exhiber une matrice B vérifiant une seule des égalités AB = I n ou BA = I n, et on aura alors nécessairement B = A 1 Exemple Vérifier que les matrices et sont inverses l une de l autre Propriété 9 (de l inverse (1 Si A M n (R est inversible, alors A 1 l est aussi et ( A 1 1 = A (2 Si A M n (R est inversible, alors t A l est aussi et ( t A 1 = t ( A 1 (3 Si A, B M n (R sont deux matrices inversibles, alors AB l est aussi et (AB 1 = B 1 A 1 Plus généralement, si k 2 et si A 1,, A k M n (R sont k matrices inversibles, alors A 1 A k l est aussi et (A 1 A k 1 = A 1 k A 1 1 En particulier, si A est une matrice inversible et n un entier naturel, alors A n est inversible et (A n 1 = (A 1 n 11

12 Exemple Considérons la matrice A M 3 (R définie par: A = Montrer que A 2 A 2I 3 = En déduire que A est inversible et calculer son inverse 4 Matrices et systèmes linéaires 41 Écriture matricielle d un système Définition Soient n et p deux entiers naturels non nuls et (S le système linéaire de n équations à p inconnues réelles x 1, x 2,, x p suivant: a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,p x p = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,p x p = b 2 (S : a n,1 x 1 + a n,2 x a n,p x p = b n En notant A = (a i,j 1 i n, X = (x j et B = (b i 1 i n, on définit trois matrices A, X, B A est une matrice de M n,p (R dite matrice associée au système (S, X est une matrice colonne à p lignes des inconnues de (S et B est une matrice colonne à n lignes du second membre de (S On peut ainsi écrire le système (S sous forme d égalité matricielle: où AX représente le produit des matrices A et X AX = B Exemple Considérons le système linéaire suivant: 3x + 5y + 6z = 1 (S x + 2y + 2z = 0 x y z = 1 Il s écrit matriciellement: x y = z La matrice associée à (S est A =

13 Théorème 10 (Systèmes de Cramer et matrices inversibles Soient (S un système de n équations à n inconnues, A M n (R la matrice associée à (S, X la matrice colonne des inconnues de (S et B la matrice colonne du second membre de (S (1 Le système (S est de Cramer si et seulement si la matrice A est inversible (2 Dans ce cas, l unique solution est donnée par AX = B X = A 1 B Exemple Considérons toujours le système linéaire: 3x + 5y + 6z = 1 (S x + 2y + 2z = 0 x y z = On a vu que la matrice A = associée à (S est inversible d inverse Donc le système (S est de Cramer et l unique solution est: X = A 1 B = = Donc S = {( 2, 1, 1} Propriété 11 (Inversibilité d une matrice triangulaire ou diagonale (1 Une matrice carrée triangulaire (inférieure ou supérieure est inversible si et seulement si tous les coefficients de sa diagonale sont non-nuls (2 En particulier, une matrice diagonale est inversible si et seulement si tous les coefficients de sa diagonale sont non-nuls Remarque L inverse d une matrice diagonale (dont tous les coefficients de la diagonale sont non-nuls est la matrice diagonale des inverses: si λ 1,, λ n R, 1 λ λ λ λ 2 0 = λ 1 n 0 0 λ n Exemple On considère la matrice A M 3 (R définie par: A = Calculer A 2 A 13

14 2 En déduire que la matrice A est inversible et calculer A 1 3 Résoudre le système linéaire (S suivant: 5x + 3y = 1 (S : 6x 4y = 0 3x 3y + 2z = 1 42 Calcul de l inverse d une matrice Preuve de l inversibilité d une matrice A et calcul de l inverse par la méthode du pivot de Gauss: Par opérations élémentaires sur les lignes, on transforme A en une matrice triangulaire supérieure B Si au moins un des coefficients diagonaux de B est nul, alors la matrice A est non-inversible Si les coefficients diagonaux de B sont tous non-nuls, alors la matrice A est inversible Dans le cas où A est inversible, on peut calculer A 1 : Par opérations élémentaires sur les lignes, on transforme B en la matrice identité I n En appliquant toutes ces transformations élémentaires (pour transformer A en B puis B en I n à la matrice identité I n, la matrice obtenue est A 1 Exemple Montrer que la matrice A suivante est inversible et calculer son inverse: A =

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