Calcul matriciel. 1.1 Définitions Matrices carrées particulières... 3

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Calcul matriciel. 1.1 Définitions Matrices carrées particulières... 3"

Transcription

1 Chapitre 10 Calcul matriciel 1 Généralités 2 11 Définitions 2 12 Matrices carrées particulières 3 2 Opérations sur les matrices 4 21 L espace vectoriel M np (R 4 22 Produit de deux matrices 5 23 Transposée d une matrice 7 3 Cas des matrices carrées 8 31 Puissance d une matrice carrée 8 32 Matrices carrées inversibles 11 4 Matrices et systèmes linéaires Écriture matricielle d un système Calcul de l inverse d une matrice 14 Introduction Une matrice est un tableau de nombres réels permettant la représentation de vecteurs des espaces vectoriels de dimension finie, la représentation des applications linéaires entre deux espaces vectoriels de dimension finie ou la représentation des systèmes d équations linéaires Les matrices interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques, par exemple en analyse pour l étude de suites récurrentes ou en probabilité pour l étude de chaînes de Markov On donne ici les différentes opérations possibles sur les matrices (la somme, le produit par un scalaire, le produit de deux matrices et la transposition On définit ensuite, dans le cas particulier des matrices carrées, la puissance d une matrice et l inverse d une matrice Dans la dernière section, on explicite le lien entre les matrices et les systèmes linéaires, et en particulier, entre les matrices inversibles et les systèmes de Cramer On termine est donnant une méthode, basée sur l algorithme du pivot de Gauss, pour obtenir l inverse d une matrice carrée Anthony Mansuy - Professeur de Mathématiques en supérieures ECE au Lycée Clemenceau (Reims

2 1 Généralités 11 Définitions Définition Soient n et p deux entiers 1 On appelle matrice à n lignes et p colonnes ou matrice n p tout tableau de np nombres réels rangés sur n lignes et p colonnes Les éléments constituant une matrice n p sont appelés coefficients de la matrice et les entiers n et p sont les dimensions de la matrice Si A est une matrice n p, on note a i,j le coefficient de la i-ième ligne et de la j-ième colonne et on écrit: a 1,1 a 1,2 a 1,p a 2,1 a 2,2 a 2,p A = (a i,j 1 i n = a n,1 a n,2 a n,p S il n y a pas d ambiguïté sur le nombre de lignes et le nombre de colonnes, on pourra noter plus simplement A = (a i,j L ensemble des matrices à n lignes et p colonnes est noté M n,p (R Si n = p, cet ensemble est noté M n (R et ses éléments sont alors appelés matrices carrées d ordre n ( 5 3 ( Exemples A = M ,3 (R, B = M 3,2 (R, C = M π 2 2 (R 1 ln(2 La matrice A est de dimension 2 3, la matrice B est de dimension 3 2 et la matrice C est une matrice carrée d ordre 2 Pour ces matrices, on a par exemple: Définition a 1,2 = 0, a 2,3 = 5, b 2,2 = 0, b 3,1 = 1, c 1,1 = c 2,2 = 2 Toute matrice n 1 est appelée matrice colonne et toute matrice 1 p est appelée matrice ligne On identifie les matrices 1 1 et les réels Soit A = (a i,j une matrice n p Alors: Si i [1, n], la matrice ligne (a i,j = ( a i,1 a i,2 a i,p est la i-ième ligne de A a 1,j a 2,j Si j [1, p], la matrice colonne (a i,j 1 i n = est la j-ième colonne de A a n,j Définition Si A = (a i,j une matrice carrée n n, les coefficients a i,i, c est-à-dire a 1,1, a 2,2,, a n,n, sont appelés coefficients diagonaux de A et l ensemble {a 1,1, a 2,2,, a n,n } est appelé diagonale de A Les coefficients a i,j tels que i > j sont donc situés en dessous de la diagonale de A tandis que les coefficients a i,j tels que i < j sont situés au dessus de la diagonale Définition La matrice nulle A = (a i,j de M n,p (R est la matrice dont tous les coefficients sont nuls, c est-à-dire définie par: (i, j [1, n] [1, p], a i,j = 0 Cette matrice est notée 0 n,p ou 0 n si n = p 2

3 Définition Deux matrices A = (a i,j et B = (b i,j sont égales si elles ont mêmes dimensions n p et si: (i, j [1, n] [1, p], a i,j = b i,j Dans le cas contraire, on dira que les matrices A et B sont distinctes Exemples ( ( 1 2 = ( , ( , ( ( Matrices carrées particulières Définition Une matrice A = (a i,j de M n (R est dite diagonale si pour tout i j, a i,j = 0 Une matrice diagonale dont tous les coefficients diagonaux sont égaux est dite matrice scalaire Exemples Les matrices D 1 et D 2 suivantes sont diagonales La matrice D 3 est scalaire: ( D 1 =, D = 0 2 0, D 3 = Définition La matrice identité d ordre n est la matrice diagonale de M n (R dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1 Cette matrice est notée I n Exemples I 2 = ( M 2 (R, I 3 = M 3 (R Définition Une matrice A = (a i,j de M n (R est dite triangulaire supérieure si, pour tous i et j tels que i > j, a i,j = 0, c est-à-dire si tous les coefficients situés en dessous de la diagonale sont nuls Une matrice A = (a i,j de M n (R est dite triangulaire inférieure si, pour tous i et j tels que i < j, a i,j = 0, c est-à-dire si tous les coefficients situés au dessus de la diagonale sont nuls Exemples Les matrices A et B suivantes sont respectivement triangulaire supérieure et triangulaire inférieure: A = et B =

4 2 Opérations sur les matrices 21 L espace vectoriel M np (R Addition des matrices Définition Si A = (a i,j 1 i n par: et B = (b i,j 1 i n sont deux matrices de M n,p (R, la matrice C = (c i,j 1 i n définie (i, j [1, n] [1, p], c i,j = a i,j + b i,j, est appelée somme des matrices A et B et on note C = A + B L opération définissant la somme de deux matrices de M n,p (R est appelée l addition des matrices dans M n,p (R Remarque L addition de deux matrices de dimensions différentes n est pas définie Exemple = Propriété 1 (de l addition (1 L addition dans M n,p (R est une loi de composition interne, c est-à-dire: (A, B (M n,p (R 2, A + B M n,p (R (2 L addition dans M n,p (R est associative, c est-à-dire: (A, B, C (M n,p (R 2, (A + B + C = A + (B + C Ainsi, la somme de trois matrices A, B, C pourra être notée A + B + C sans parenthèses (3 L addition dans M n,p (R est commutative, c est-à-dire: (A, B (M n,p (R 2, A + B = B + A (4 L addition dans M n,p (R admet pour élément neutre la matrice nulle 0 n,p, c est-à-dire: A M n,p (R, 0 n,p + A = A + 0 n,p = A Définition L opposée de la matrice A = (a i,j 1 i n est la matrice B = (b i,j 1 i n définie par: On la note B = A (i, j [1, n] [1, p], b i,j = a i,j Une conséquence directe de cette définition est la propriété suivante: Propriété 2 (Opposée d une matrice Pour toute matrice A M n,p (R: A + ( A = ( A + A = 0 n,p 4

5 Produit par un scalaire Définition Si A = (a i,j 1 i n est une matrice de M n,p (R et si λ est un réel, la matrice B = (b i,j 1 i n définie par: (i, j [1, n] [1, p], b i,j = λa i,j est appelée produit de la matrice A par le scalaire λ et on note B = λa Exemple = Propriété 3 (du produit par un scalaire (1 λ R, (A, B (M n,p (R 2, λ(a + B = λa + λb (2 (λ, µ R 2, A M n,p (R, (λ + µa = λa + µa (3 (λ, µ R 2, A M n,p (R, λ(µa = (λµa Remarque La matrice opposée de A vérifie: A = ( 1A 22 Produit de deux matrices Définition Soit A = (a i,j 1 i n une matrice de M n,p (R et B = (b i,j 1 i p 1 j q C = (c i,j 1 i n, élément de M n,q (R, définie par: 1 j q une matrice de M p,q (R La matrice (i, j [1, n] [1, q ], c i,j = p a i,k b k,j, est appelée produit des matrices A et B et on note C = AB L opération définissant le produit d une matrice de M n,p (R dans M p,q (R est appelée produit matriciel Remarque 1 On peut interpréter ce produit comme suit: le terme de la i-ième ligne et de la j-ième colonne de C s obtient en sommant les produits des termes de même rang dans la i-ième ligne de A et dans la j-ième colonne de B selon le schéma ci-dessous où l on a représenté en gras les coefficients de A et B utiles au calcul de c i,j : k=1 a 1,1 a 1,k a 1,p a i,1 a i,k a i,p b 1,1 b 1,j b 1,q b k,1 b k,j b k,q b p,1 b p,j b p,q = c 1,1 c 1,j c 1,q c i,1 c i,j c i,q a n,1 a n,k a n,p c n,1 c n,j c n,q 2 Pour pouvoir effectuer le produit de A par B, il faut impérativement que le nombre de colonnes de A soit égale au nombre de lignes de B 5

6 Exemple On considère les cinq matrices A, B, C, D et E suivantes: 3 5 ( A = B = C = Énumérer les produits de 2 ou 3 de ces matrices qui sont définis et les calculer D = ( E = (

7 Propriété 4 (du produit matriciel (1 Le produit matriciel est associatif, c est-à-dire: (A, B, C M n,p (R M p,q (R M q,r (R, (ABC = A(BC Ainsi, le produit de trois matrices A, B et C pourra être noté ABC sans parenthèses (2 Le produit matriciel est distributif par rapport à l addition, c est-à-dire: (A, B, C M n,p (R M p,q (R M p,q (R, A(B + C = AB + AC, et (A, B, C M n,p (R M n,p (R M p,q (R, (A + BC = AC + BC (3 Pour toute matrice A M n,p (R, on a: I n A = A et AI p = A Remarques 1 Le produit matriciel n est pas commutatif En général, si A M n,p (R et B M p,n (R, AB BA 2 Contrairement à ce qui se passe pour la multiplication dans R, on peut avoir AB = 0 n,q avec A 0 n,p et B 0 p,q Par exemple, si A = ( Transposée d une matrice et B = ( alors AB = ( Définition a 1,1 a 1,2 a 1,p a 2,1 a 2,p Pour toute matrice A = (a i,j 1 i n = de M n,p(r, on appelle transposée de a n,1 a n,2 a n,p A la matrice de M p,n (R notée t A définie par: t A = c est-à-dire telle que si on note t A = ( a i,j 1 i p 1 j n a 1,1 a 2,1 a n,1 a 1,p a n,2 a 1,p a 2,p a n,p, on a: (i, j [1, p] [1, n], a i,j = a j,i Autrement dit, t A est obtenue à partir de A par échange des lignes et des colonnes Exemple Calculer la transposée de A = , B = ( et C =

8 Propriété 5 (de la transposition (1 A M n,p (R, t ( t A = A (2 λ R, A M n,p (R, t (λa = λ t A (3 (A, B (M n,p (R 2, t (A + B = t A + t B (4 A M n,p (R, B M p,q (R t (AB = t B t A Définition Soit A une matrice carrée de M n (R On dit que A est symétrique si elle est égale à sa transposée, c est-à-dire t A = A On dit que A est antisymétrique si elle est égale à l opposée de sa transposée, c est-à-dire t A = A Exemple Les matrices suivantes sont-elles symétriques ou antisymétriques? A = B = C = Cas des matrices carrées 31 Puissance d une matrice carrée Définition Pour tout entier k N et pour toute matrice A M n (R, on appelle puissance k-ième de A la matrice, notée A k, définie par: Si k = 0, A 0 = I n Si k = 1, A 1 = A Si k 2, A k = A A }{{} k fois Remarque On peut avoir A k = 0 n avec A 0 n Par exemple, ( ( 0 2 A = et A = Exemples 1 Considérons la matrice A M 3 (R définie par: A = Calculer, pour tout entier naturel k, la matrice A k

9 2 Soient a, b, c R Considérons la matrice B M 3 (R définie par: a 0 0 B = 0 b c Calculer, pour tout entier naturel k, la matrice B k 9

10 Dans le cas des matrices diagonales, on retiendra la propriété suivante: Propriété 6 (Puissance d une matrice diagonale Soient k N et λ 1, λ 2,, λ n R Alors: λ λ 2 0 k = λ k λ k λ n 0 0 λ k n Autrement dit, la puissance d une matrice diagonale est la diagonale des puissances La formule du binôme de Newton, valable pour deux matrices qui commutent, permet dans certains cas de calculer la puissance d une matrice Propriété 7 (Formule du binôme de Newton Soient A et B deux matrices de M n (R qui commutent, c est-à-dire telles que AB = BA Alors, pour tout entier k N, k ( k (A + B k = A p B k p p p=0 Exemple Soit A = ( M 2 (R 1 Déterminer la matrice B M 2 (R telle que A = I 2 + B 2 Calculer B k pour tout entier naturel k, et en déduire A k 10

11 32 Matrices carrées inversibles Définition Soit A M n (R A est dite inversible si et seulement si il existe B M n (R telle que: AB = BA = I n Remarques 1 Il découle de cette définition que, si A est inversible, la matrice B est aussi inversible 2 Si A est inversible, cela signifie que l on peut simplifier les égalités qui contiennent A en facteur (en distinguant facteur à droite et facteur à gauche puisque le produit n est pas commutatif Si par exemple AB = BA = I n, alors: Et de même, CA = DA C = D Propriété 8 (Unicité de l inverse AC = AD B(AC = B(AD (BA }{{} C = (BA D C = D }{{} =I n =I n Soit A M n (R Si A est inversible, alors il existe une unique matrice B telle que AB = BA = I n Cette matrice est appelée l inverse de A et elle est notée A 1 Remarque On peut montrer que l une des égalités AB = I n ou BA = I n implique l autre Par conséquent, pour prouver l inversibilité de A, il suffira d exhiber une matrice B vérifiant une seule des égalités AB = I n ou BA = I n, et on aura alors nécessairement B = A 1 Exemple Vérifier que les matrices et sont inverses l une de l autre Propriété 9 (de l inverse (1 Si A M n (R est inversible, alors A 1 l est aussi et ( A 1 1 = A (2 Si A M n (R est inversible, alors t A l est aussi et ( t A 1 = t ( A 1 (3 Si A, B M n (R sont deux matrices inversibles, alors AB l est aussi et (AB 1 = B 1 A 1 Plus généralement, si k 2 et si A 1,, A k M n (R sont k matrices inversibles, alors A 1 A k l est aussi et (A 1 A k 1 = A 1 k A 1 1 En particulier, si A est une matrice inversible et n un entier naturel, alors A n est inversible et (A n 1 = (A 1 n 11

12 Exemple Considérons la matrice A M 3 (R définie par: A = Montrer que A 2 A 2I 3 = En déduire que A est inversible et calculer son inverse 4 Matrices et systèmes linéaires 41 Écriture matricielle d un système Définition Soient n et p deux entiers naturels non nuls et (S le système linéaire de n équations à p inconnues réelles x 1, x 2,, x p suivant: a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,p x p = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,p x p = b 2 (S : a n,1 x 1 + a n,2 x a n,p x p = b n En notant A = (a i,j 1 i n, X = (x j et B = (b i 1 i n, on définit trois matrices A, X, B A est une matrice de M n,p (R dite matrice associée au système (S, X est une matrice colonne à p lignes des inconnues de (S et B est une matrice colonne à n lignes du second membre de (S On peut ainsi écrire le système (S sous forme d égalité matricielle: où AX représente le produit des matrices A et X AX = B Exemple Considérons le système linéaire suivant: 3x + 5y + 6z = 1 (S x + 2y + 2z = 0 x y z = 1 Il s écrit matriciellement: x y = z La matrice associée à (S est A =

13 Théorème 10 (Systèmes de Cramer et matrices inversibles Soient (S un système de n équations à n inconnues, A M n (R la matrice associée à (S, X la matrice colonne des inconnues de (S et B la matrice colonne du second membre de (S (1 Le système (S est de Cramer si et seulement si la matrice A est inversible (2 Dans ce cas, l unique solution est donnée par AX = B X = A 1 B Exemple Considérons toujours le système linéaire: 3x + 5y + 6z = 1 (S x + 2y + 2z = 0 x y z = On a vu que la matrice A = associée à (S est inversible d inverse Donc le système (S est de Cramer et l unique solution est: X = A 1 B = = Donc S = {( 2, 1, 1} Propriété 11 (Inversibilité d une matrice triangulaire ou diagonale (1 Une matrice carrée triangulaire (inférieure ou supérieure est inversible si et seulement si tous les coefficients de sa diagonale sont non-nuls (2 En particulier, une matrice diagonale est inversible si et seulement si tous les coefficients de sa diagonale sont non-nuls Remarque L inverse d une matrice diagonale (dont tous les coefficients de la diagonale sont non-nuls est la matrice diagonale des inverses: si λ 1,, λ n R, 1 λ λ λ λ 2 0 = λ 1 n 0 0 λ n Exemple On considère la matrice A M 3 (R définie par: A = Calculer A 2 A 13

14 2 En déduire que la matrice A est inversible et calculer A 1 3 Résoudre le système linéaire (S suivant: 5x + 3y = 1 (S : 6x 4y = 0 3x 3y + 2z = 1 42 Calcul de l inverse d une matrice Preuve de l inversibilité d une matrice A et calcul de l inverse par la méthode du pivot de Gauss: Par opérations élémentaires sur les lignes, on transforme A en une matrice triangulaire supérieure B Si au moins un des coefficients diagonaux de B est nul, alors la matrice A est non-inversible Si les coefficients diagonaux de B sont tous non-nuls, alors la matrice A est inversible Dans le cas où A est inversible, on peut calculer A 1 : Par opérations élémentaires sur les lignes, on transforme B en la matrice identité I n En appliquant toutes ces transformations élémentaires (pour transformer A en B puis B en I n à la matrice identité I n, la matrice obtenue est A 1 Exemple Montrer que la matrice A suivante est inversible et calculer son inverse: A =

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Chapitre 2. Matrices

Chapitre 2. Matrices Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce

Plus en détail

Cours d analyse numérique SMI-S4

Cours d analyse numérique SMI-S4 ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.

Plus en détail

Mathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion

Mathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion Mathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion Mr Makrem Ben Jeddou Mme Hababou Hella Université Virtuelle de Tunis 2008 Continuité et dérivation1 1- La continuité Théorème : On considère un intervalle

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2. Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3

Plus en détail

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Compter à Babylone. L écriture des nombres

Compter à Babylone. L écriture des nombres Compter à Babylone d après l article de Christine Proust «Le calcul sexagésimal en Mésopotamie : enseignement dans les écoles de scribes» disponible sur http://www.dma.ens.fr/culturemath/ Les mathématiciens

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

Journées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore. david.madore@enst.fr. 29 mai 2015

Journées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore. david.madore@enst.fr. 29 mai 2015 et et Journées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore Télécom ParisTech david.madore@enst.fr 29 mai 2015 1/31 et 2/31 : définition Un réseau de R m est un sous-groupe (additif) discret L

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites

Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites I Droites perpendiculaires Lorsque deux droites se coupent, on dit qu elles sont sécantes Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites Lorsque deux

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

Corrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2

Corrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2 33 Corrigé Corrigé Problème Théorème de Motzkin-Taussky Partie I I-A : Le sens direct et le cas n= 2 1-a Stabilité des sous-espaces propres Soit λ une valeur propre de v et E λ (v) le sous-espace propre

Plus en détail

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation

Plus en détail

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3

Plus en détail

Correction : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11

Correction : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11 Correction : EXERCICE : Calculer en indiquant les étapes: (-6 +9) ( ) ( ) B = -4 (-) (-8) B = - 8 (+ 6) B = - 8 6 B = - 44 EXERCICE : La visite médicale Calcul de la part des élèves rencontrés lundi et

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier

Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier Vincent Lefèvre (Lycée P. de Fermat, Toulouse) 1990, 1991 1 Introduction Nous allons étudier des propriétés du triangle de Pascal dans Z/pZ, p étant un nombre

Plus en détail

Représentation d un entier en base b

Représentation d un entier en base b Représentation d un entier en base b 13 octobre 2012 1 Prérequis Les bases de la programmation en langage sont supposées avoir été travaillées L écriture en base b d un entier est ainsi défini à partir

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES. CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires

Plus en détail

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Déterminants. Marc SAGE 9 août 2008. 2 Inverses et polynômes 3

Déterminants. Marc SAGE 9 août 2008. 2 Inverses et polynômes 3 Déterminants Marc SAGE 9 août 28 Table des matières Quid des formes n-linéaires alternées? 2 2 Inverses et polynômes 3 3 Formule de Miller pour calculer un déterminant (ou comment illustrer une idée géniale)

Plus en détail

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x = LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des

Plus en détail

Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau

Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau i Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau Bonjour, bienvenue dans votre début d étude du cours de mathématiques de l année de remise à niveau en vue du D.A.E.U. B Au cours

Plus en détail

MATLAB : COMMANDES DE BASE. Note : lorsqu applicable, l équivalent en langage C est indiqué entre les délimiteurs /* */.

MATLAB : COMMANDES DE BASE. Note : lorsqu applicable, l équivalent en langage C est indiqué entre les délimiteurs /* */. Page 1 de 9 MATLAB : COMMANDES DE BASE Note : lorsqu applicable, l équivalent en langage C est indiqué entre les délimiteurs /* */. Aide help, help nom_de_commande Fenêtre de travail (Command Window) Ligne

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010 Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010

Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites. Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Cours d initiation à la programmation en C++ Johann Cuenin

Cours d initiation à la programmation en C++ Johann Cuenin Cours d initiation à la programmation en C++ Johann Cuenin 11 octobre 2014 2 Table des matières 1 Introduction 5 2 Bases de la programmation en C++ 7 3 Les types composés 9 3.1 Les tableaux.............................

Plus en détail

Activités numériques [13 Points]

Activités numériques [13 Points] N du candidat L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation entrent pour 2 points dans l appréciation des copies. Les résultats seront soulignés. La correction est disponible

Plus en détail

3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements

3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements 3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements Développer une expression consiste à transformer un produit en une somme Qu est-ce qu une somme? Qu est-ce qu un produit?

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

Cours 7 : Utilisation de modules sous python

Cours 7 : Utilisation de modules sous python Cours 7 : Utilisation de modules sous python 2013/2014 Utilisation d un module Importer un module Exemple : le module random Importer un module Exemple : le module random Importer un module Un module est

Plus en détail

Le théorème de Thalès et sa réciproque

Le théorème de Thalès et sa réciproque Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre

Plus en détail

Licence Sciences de l Ingénieur et Licence Informatique. Niveau L2 (= 2ème année)

Licence Sciences de l Ingénieur et Licence Informatique. Niveau L2 (= 2ème année) Licence Sciences de l Ingénieur et Licence Informatique Niveau L2 (= 2ème année) Mathématiques : Résumé de ce qu il faut savoir en Algèbre linéaire (ou Calcul Matriciel) au sortir du L1, en préalable au

Plus en détail

CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!»

CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» Corrigé Cours de Mr JULES v3.3 Classe de Quatrième Contrat 1 Page 1 sur 13 CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» «Correction en rouge et italique.» I. Les nombres décimaux relatifs.

Plus en détail

1S Modèles de rédaction Enoncés

1S Modèles de rédaction Enoncés Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC

Plus en détail

Exercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA

Exercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA 75. Un plombier connaît la disposition de trois tuyaux sous des dalles ( voir figure ci dessous ) et il lui suffit de découvrir une partie de chacun d eux pour pouvoir y poser les robinets. Il cherche

Plus en détail

Cryptographie et fonctions à sens unique

Cryptographie et fonctions à sens unique Cryptographie et fonctions à sens unique Pierre Rouchon Centre Automatique et Systèmes Mines ParisTech pierre.rouchon@mines-paristech.fr Octobre 2012 P.Rouchon (Mines ParisTech) Cryptographie et fonctions

Plus en détail

avec des nombres entiers

avec des nombres entiers Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0

Plus en détail

La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques

La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques III. Cercles 1. Cercle d'euler 2. Droite d'euler 3. Théorème de Feuerbach 4. Milieux des segments joignant

Plus en détail

Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe

Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe Graphes et RO TELECOM Nancy A Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe J.-F. Scheid 1 Plan du chapitre I. Définitions 1 Graphe Graphe valué 3 Représentation d un graphe (matrice d incidence, matrice d

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

Le produit semi-direct

Le produit semi-direct Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.

Plus en détail

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

Analyse en Composantes Principales

Analyse en Composantes Principales Analyse en Composantes Principales Anne B Dufour Octobre 2013 Anne B Dufour () Analyse en Composantes Principales Octobre 2013 1 / 36 Introduction Introduction Soit X un tableau contenant p variables mesurées

Plus en détail

Eteindre. les. lumières MATH EN JEAN 2013-2014. Mme BACHOC. Elèves de seconde, première et terminale scientifiques :

Eteindre. les. lumières MATH EN JEAN 2013-2014. Mme BACHOC. Elèves de seconde, première et terminale scientifiques : MTH EN JEN 2013-2014 Elèves de seconde, première et terminale scientifiques : Lycée Michel Montaigne : HERITEL ôme T S POLLOZE Hélène 1 S SOK Sophie 1 S Eteindre Lycée Sud Médoc : ROSIO Gauthier 2 nd PELGE

Plus en détail

Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points 1. Réponse d. : 1 e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par

Plus en détail

Quelques tests de primalité

Quelques tests de primalité Quelques tests de primalité J.-M. Couveignes (merci à T. Ezome et R. Lercier) Institut de Mathématiques de Bordeaux & INRIA Bordeaux Sud-Ouest Jean-Marc.Couveignes@u-bordeaux.fr École de printemps C2 Mars

Plus en détail

Raisonnement par récurrence Suites numériques

Raisonnement par récurrence Suites numériques Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.

Plus en détail

2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh

2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh 2 Fonctions binaires 45 2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh On peut définir complètement une fonction binaire en dressant son tableau de Karnaugh, table de vérité à 2 n cases pour n variables

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur

Plus en détail

INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES

INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES Dominique LAFFLY Maître de Conférences, Université de Pau Laboratoire Société Environnement Territoire UMR 5603 du CNRS et Université de Pau Domaine

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Séquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire

Séquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire Séquence 10 Géométrie dans l espace Sommaire 1. Prérequis 2. Calculs vectoriels dans l espace 3. Orthogonalité 4. Produit scalaire dans l espace 5. Droites et plans de l espace 6. Synthèse Dans cette séquence,

Plus en détail

PROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond.

PROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond. PROBLEME(12) Une entreprise doit rénover un local. Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40m, la largeur est 5,20m et la hauteur est 2,80m. Il comporte une porte de 2m de

Plus en détail

Algèbre binaire et Circuits logiques (2007-2008)

Algèbre binaire et Circuits logiques (2007-2008) Université Mohammed V Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Filière : SMI Algèbre binaire et Circuits logiques (27-28) Prof. Abdelhakim El Imrani Plan. Algèbre de Boole 2. Circuits

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires

Plus en détail

TP 1 Introduction à Matlab Février 2009

TP 1 Introduction à Matlab Février 2009 1 Introduction TP 1 Introduction à Matlab Février 2009 Matlab pour «MATtrix LABoratory», est un logiciel qui a été conçu pour fournir un environnement de calcul numérique de haut niveau. Il est particulièrement

Plus en détail

Optimisation Discrète

Optimisation Discrète Prof F Eisenbrand EPFL - DISOPT Optimisation Discrète Adrian Bock Semestre de printemps 2011 Série 7 7 avril 2011 Exercice 1 i Considérer le programme linéaire max{c T x : Ax b} avec c R n, A R m n et

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 % 23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une

Plus en détail

Introduction à la théorie des graphes. Solutions des exercices

Introduction à la théorie des graphes. Solutions des exercices CAHIERS DE LA CRM Introduction à la théorie des graphes Solutions des exercices Didier Müller CAHIER N O 6 COMMISSION ROMANDE DE MATHÉMATIQUE 1 Graphes non orientés Exercice 1 On obtient le graphe biparti

Plus en détail

Les indices à surplus constant

Les indices à surplus constant Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté

Plus en détail

Comment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise

Comment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise Comment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise Marc Mezzarobba Sam Zoghaib Sujet proposé par François Loeser Résumé Nous exposons un ensemble de méthodes qui permettent d évaluer «en forme

Plus en détail

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une

Plus en détail

2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R

2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R 2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R Dans la mesure où les résultats de ce chapitre devraient normalement être bien connus, il n'est rappelé que les formules les plus intéressantes; les justications

Plus en détail

IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations

IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

Durée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point

Durée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point 03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de

Plus en détail

Couples de variables aléatoires discrètes

Couples de variables aléatoires discrètes Couples de variables aléatoires discrètes ECE Lycée Carnot mai Dans ce dernier chapitre de probabilités de l'année, nous allons introduire l'étude de couples de variables aléatoires, c'est-à-dire l'étude

Plus en détail