Feuille 6 - Calcul matriciel

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1 IUT d Orsay - Département Informatique Exercices de mathématiques DUT A - S Feuille 6 - Calcul matriciel Opérations sur les matrices. Exercice corrigé en amphi Calculer, quand cela est possible, les produits AB et BA : (a) A = 2 et B = (b) A = ( ) a a n et B =. b b p 2. Exercice corrigé en amphi Soit A = (a ij ) ij M 3 L = ( ) a a 2 a 3, L2 = ( ) a 2 a 22 a 23, L3 = ( a 3 a 32 ) a 33 les trois lignes de A C = a a 2 a 3, C 2 = α (a) P = β γ a 2 a 22 a 32, C 3 = a 3 a 23 a 33 les trois colonnes de A i. Calculer P A et vérifier que ses lignes sont αl, βl 2 et γl 3. ii. Calculer AP et vérifier que ses colonnes sont αc, βc 2 et γc 3. λ (b) P = i. Calculer P A et vérifier que ses lignes sont L + λl 2, L 2 et L 3. ii. Calculer AP et vérifier que ses colonnes sont C, C 2 + λc et C 3. (c) P = i. Calculer P A et vérifier que ses lignes sont L, L 3 et L 2. ii. Calculer AP et vérifier que ses colonnes sont C, C 3 et C 2.

2 3. (a) Soit A = (a ij ) ij M 3,2 vérifiant Calculer A puis t A. (b) Soit B = (b ij ) ij M 2,4 vérifiant (c) Calculer B puis t B. i. Calculer AB puis t (AB). (i, j), 2, 3}, 2}, a ij = i + j 2 (i, j), 2}, 2, 3, 4}, b ij = i j ii. Calculer t B t A et vérifier que t (AB) = t B t A. (d) Le produit BA est-il défini? 4. Soient A = ( ) 5 2 3, B = (a) Calculer les produits AB, AD, BC, CB et CD , C = 2, D = (b) Existe-t-il d autres produits possibles entre ces matrices? Si oui, les calculer Soit A = 2. Vérifier que A 3 + 2A 2 2A = 8I Soient A = 2 2, B = 3 et C = (a) Calculer AB et AC. (b) Justifier que la règle de simplification (n, p, m) (N ) 3, A M n,p, (B, C) (M p,m ) 2, AB = AC B = C n est pas valide. ( ) 7. Soit A =. Déterminer M M 2 ; AM = MA}. 8. (a) A et B sont deux matrices carrées quelconques de taille n. i. Développer (A + B) 2. ii. Développer (A + B) 3. 2

3 (b) A et B sont deux matrices carrées de taille n vérifiantab = BA. i. Développer (A + B) 2. ii. Développer (A + B) Les formules suivantes sont-elles valides pour A, B et C trois matrices carrées quelconques de taille n? (a) A 3 + A 2 B + A = A(A 2 + AB + I n ) (b) A 2 B 2B 2 A + AB = (A 2 2BA + A)B (c) AB 2 + A 3 B 2 + AB = AB(B + A 2 B + I n ) (d) A 3 B 2AB 2 + AB = A(A 2 2B + I n )B. Soit A = n (a) Montrer par récurrence que pour tout entier n, A n = (b) Calculer S n = n k= Ak en fonction de n. ( ). Soit A = et f A l application associée à A définie par : R 3 R 2 X x f A (X) = AX (a) Calculer f A (X) pour X = x 2 x 3 ( ) y (b) Soit Y = R 2, déterminer f A (Y }) = X R3 ; f A (X) = Y }. y 2 (c) f A est-elle injective? surjective? bijective? 2. Exercice corrigé en amphi : Application du calcul matriciel aux relations binaires Rappel : Soit R = (E, F, G R ) une relation binaire de l ensemble E = x,..., x n } dans l ensemble F = y,..., y p }. On définit R, la matrice d adjacence de R : i,..., n}; j,..., p} r ij = si x i Ry j sinon 3

4 (a) Soit R une relation binaire sur E. i. Quelle est la propriété de R qui caractérise le fait que la relation R est réflexive? symétrique? antisymétrique? ii. Démontrer que R est transitive si et seulement si (i, j),..., n} 2, (R 2 ) ij = = r ij = iii. Exprimer la matrice d adjacence de R en fonction de R. (b) Soit R = (E, F, G R ) et R sa matrice d adjacence, S = (F, H, G S ) et S sa matrice d adjacence. Calculer la matrice d adjacence de S R en fonction de R et de S. 3. Exercice supplémentaire Soit A = ( 2 3 ) 2 et B = (a) Calculer AB puis t (AB). (b) Calculer t B t A et vérifier que t (AB) = t B t A. 4. Exercice supplémentaire ( ) ( ) Soient A = et B =. 3 6 (a) Vérifiez que AB = bien que A et B. (b) Calculer BA et vérifier que AB BA. 5. Exercice supplémentaire 2 Soit A = et f A l application associée à A définie par : R 2 R 3 X f A (X) = AX ( ) x (a) Calculer f A (X) pour X = x 2 (b) Soit Y =, déterminer f A (Y }) = X R2 ; f A (X) = Y }. (c) Justifier que f A n est pas bijective. 4

5 2 Matrices inversibles. Exercice corrigé en amphi ( ) a b Soit A = M c d 2 Démontrer que si ad bc, alors A est inversible et A = ad bc ( d ) b c a 2. Exercice corrigé en amphi Soit A M nn. Montrer par un raisonnement par l absurde que s il existe X M n, avec X tel que AX =, alors A n est pas inversible (a) Soit A =. 3 Montrer que A est inversible et déterminer A. 2 (b) Soit A 2 =. Trouver X M 3, avec X tel que AX =. En déduire que A 2 n est pas inversible. 4. Exercice corrigé en amphi 4 2 Soit A = (a) On a montré que A 3 +2A 2 2A = 8I 3. En déduire que A est inversible et calculer A. (b) Soit f A l application associée à A définie par : R 3 R 3 X f A (X) = AX Justifier que f A est bijective et déterminer son application réciproque f 2 5. Soit A =. Soit f A l application associée à A définie par : R 3 R 3 X f A (X) = AX A. 5

6 x (a) Calculer f A (X) pour X = x 2 x 3 (b) Soit Y R 3, déterminer f A (Y }) = X R3 ; f A (X) = Y }. (c) Démontrer que f A est bijective et déterminer son application réciproque f A. (d) En déduire que A est inversible et calculer A Soit A = (a) Calculer A 2 2A. (b) En déduire que A est inversible et calculer son inverse. (c) Soit f l application définie par : M 3 M 3 f : M f(m) = MA i. Soit P M 3. Déterminer f (P }) = M M 3 ; f A (M) = P }. ii. En déduire que f est bijective et déterminer son application réciproque f. 7. Soit P M p inversible et A M p. Montrer par récurrence que pour tout entier n N, on a (P A P ) n = P A n P. 8. Etude d une suite récurrente double : Soit (u n ) n N et (v n ) n N deux suites réelles vérifiant n N, u n+ = 4u n + 2v n ; v n+ = 3u n v n et u = ; v =. On définit la suite (X n ) n N par X n = (a) Calculer X. ( un v n ). (b) Déterminer A M 2 telle que X n+ = AX n (c) Montrer par récurrence que n N, X n = A n X. ( ) 2 (d) Soit P =. Calculer P 3. ( ) (e) Soit D =. Calculer D 2 n pour n N. (f) Vérifier que P DP = A. 6

7 (g) Calculer A n pour n N. (h) En déduire u n et v n en fonction de n. 9. Exercice corrigé en amphi A est une matrice carrée inversible de taille n. (a) Montrer que t A est aussi inversible et ( t A) = t (A ). (b) Montrer que si A est symétrique, A l est aussi. (c) Montrer que si A est antisymétrique, A l est aussi.. Exercice corrigé en amphi A est une matrice orthogonale de taille n. Montrer que A est inversible et calculer A.. La proposition suivante est-elle vraie ou fausse? n N, (A, B) (M n ) 2, A et B inversibles A + B inversible 2. Exercice supplémentaire (a) Soit A =. Montrer que A est inversible et déterminer A. (b) Soit A 2 =. Trouver X M 3, avec X tel que AX =. En déduire que A 2 n est pas inversible. 3. Exercice supplémentaire 2 3 Soit A =. 3 3 Soit f A l application associée à A définie par : R 3 R 3 X f A (X) = AX x (a) Calculer f A (X) pour X = x 2 x 3 (b) Déterminer f A (}). (c) Justifier que f A n est pas bijective puis en déduire que A n est pas inversible. 7

8 3 Calculs de déterminants. Exercice corrigé en amphi Calculer les déterminants des matrices suivantes : ( ) ( ) 3 3,, 2 5, Exercice corrigé en amphi Soit A M 3. (a) A est la matrice obtenue à partir de A en multipliant une ligne de A par un réel λ. Montrer que det(a ) = λ det(a). (b) A 2 est la matrice obtenue à partir de A en échangeant les lignes i et j de A (i j). Montrer que det(a 2 ) = det(a). (c) A 3 est la matrice obtenue à partir de A en ajoutant à la ligne i de A λ fois la ligne j de A (i j). Montrer que det(a 3 ) = det(a). (d) En déduire que si deux lignes de A sont égales, alors det(a) =. 3. Exercice corrigé en amphi 4 2 Soit A = (a) Caluler le déterminant de A. (b) Justifier que A est inversible. (c) Calculer A par la méthode des cofacteurs. 4. A et B sont deux matrices carrées de taille 2 et λ est un réel. Démontrer les propriétés suivantes : (a) det( t A) = det(a) (b) det(λa) = λ 2 det(a) (c) det(ab) = det(a) det(b) = det(ba) 5. Calculer les déterminants des matrices suivantes : ( ) 4,

9 6. Soit A une matrice orthogonale de taille n. Calculer le déterminant de A Soit A = (a) Caluler le déterminant de A. (b) Justifier que A est inversible. (c) Calculer A par la méthode des cofacteurs A t = 3. t (a) Caluler le déterminant de A en fonction de t. (b) Donner une condition nécessaire et suffisante sur t pour que A t soit inversible. 9