Théorie Moderne du Portefeuille. Octobre 2007

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1 Théorie Moderne du Portefeuille Octobre 2007

2 Plan Le modèle de Markowitz Allocation d actifs Le modèle d équilibre des actifs financiers (CAPM) Mesures de performance d un portefeuille d actions Couverture du risque systématique Gestion active & Gestion passive Page 2

3 Markowitz (1) Le couple rendement-risque En matière financière, les investisseurs cherchent à réaliser le meilleur compromis possible entre le rendement espéré et le risque correspondant Critère de Markowitz Entre deux investissements possédant le même rendement espéré, l investisseur préfèrera celui qui est le moins risqué. Entre deux investissements de même risque, l investisseur préfèrera celui dont le rendement espéré est le plus grand. Page 3

4 Markowitz (2) Plan de Markowitz On représente le rendement espéré en ordonnée et le risque en abscisse Rendement Risque Page 4

5 Markowitz (3) Comparaisons dans le plan de Markowitz Un investissement X domine un investissement Y si: le rendement espéré de X est strictement supérieur à celui de Y et le risque de X est inférieur ou égal à celui de Y ou bien le rendement espéré de X est supérieur ou égal à celui de Y et le risque de X est strictement inférieur à celui de Y Rendement I II IV III Risque Page 5

6 Markowitz (4) Efficience Un investissement est dit efficient s il n est pas dominé par un autre Frontière efficiente: lieu des investissements efficients dans le plan de Markowitz Rendement Risque Page 6

7 Markowitz (5) Approche moyenne-variance On fixe un horizon de temps, par exemple six mois ou dix ans Le rendement d un investissement sur la période fixée est modélisé par une variable aléatoire. Le rendement espéré de l investissement est l espérance mathématique de la variable aléatoire. Le risque de l investissement est mesuré par la variance de la variable aléatoire Alternatives Semi-variance Value-at-risk Page 7

8 Markowitz (6) Illustration Page 8

9 Allocation d actifs (1) Portefeuille Un portefeuille est un ensemble de titres financiers, avec une pondération pour chaque titre. Les pondérations peuvent être négatives ou positives, mais on exige que leur somme soit 1. Questions fondamentales Quels titres faut-il mettre dans un portefeuille? Comment de titres financiers faut-il mettre dans un portefeuille? Comment allouer la richesse de façon optimale entre n actifs financiers donnés? Page 9

10 Allocation d actifs (2) La diversification C est répartir son investissement sur plusieurs titres dans le but d en réduire le risque Adage populaire: Ne pas mettre tous ses œufs dans un même panier Mark Twain: «Put all your eggs in the same basket and watch it!» Exemple intuitif Portefeuille équipondéré Page 10

11 Allocation d actifs (3) Effet de diversification Un portefeuille équipondéré de N titres financiers On suppose que les titres ont la même variance (0.25*0.25) et que les corrélations sont identiques (0.20) Page 11

12 Allocation d actifs (4) Portefeuille de deux titres risqués Paramètres Rendement espéré du portefeuille μ = x x 1 μ1 + 2 μ2 σ 2 Risque du portefeuille = x σ + x σ + 2 x x ρ σ σ Page 12

13 Allocation d actifs (5) Illustration Page 13

14 Allocation d actifs (6) Portefeuille avec plus de deux titres risqués On estime les rentabilités espérées des différents actifs et leur variance On estime les différentes corrélations Pour une rentabilité espérée de portefeuille fixée, le portefeuille efficient correspondant s obtient en résolvant le problème d optimisation suivant: Trouver le portefeuille de variance minimale parmi ceux qui ont la rentabilité espérée fixée Ce problème peut être résolu à l aide du solveur d Excel Page 14

15 CAPM (1) Problème Comment quantifier la relation entre le risque et la rentabilité? Intuition: pour plus de profit, il faut prendre plus de risque CAPM (Capital Asset Pricing Model) Propose une solution simple et pratique au problème posé Modèle développé dans les années 60 par Sharpe, Lintner et Mossin Page 15

16 CAPM (2) Les hypothèses Le temps est concentré entre deux instants. Les mêmes actifs financiers sont à la disposition de tous les investisseurs et il y a un actif sans risque Tous les investisseurs utilisent le modèle de Markowitz pour constituer leurs portefeuilles Tous les investisseurs ont le même horizon de temps et les mêmes anticipations Les investisseurs ne peut pas influencer individuellement les prix (concurrence parfaite) Le marché est sans friction (pas de coût de transaction ou d information, pas de taxe, les ventes à découvert sont autorisées, les titres sont parfaitement divisibles) Page 16

17 CAPM (3) Relation fondamentale La rentabilité espérée d un actif financier se décompose en la somme du taux d intérêt sans risque et d une prime de risque égale au bêta de l actif multiplié par l excès de rentabilité du marché E [ ] ( R) r + E( M ) = β, avec F r F β = cov var ( R, M ) ( M ) Page 17

18 CAPM (4) Les enseignements du CAPM Dans le monde CAPM, la relation entre la rentabilité espérée et le risque est linéaire Le risque total d un titre se décompose en deux parties: son risque systématique 8ou risque de marché) et son risque spécifique. Seul le risque systématique est rémunéré. Les utilisations du CAPM Estimation du coût du capital Mesure de risque (le bêta) et mesure de performance (alpha de Jensen et ratio de Treynor) Détection de titres sous-évalués (stock picking) Page 18

19 CAPM (5) Le bêta d un portefeuille C est somme pondérée des bêtas des constituants du portefeuille Les limitations du CAPM Critique de Roll (c est quoi le portefeuille de marché?) Tests empiriques controversés (Fama-French) Anomalies des marchés financiers Difficulté d estimation et instabilité des bêta Page 19

20 CAPM (6) Estimation du bêta On prend généralement un indice boursier représentatif comme portefeuille de marché Le bêta se calcule par régression linéaire des rendements historiques du titre sur ceux de l indice boursier choisi. Question: Quelle longueur et quelle fréquence choisir pour les données historiques Page 20

21 Mesures de performance (1) Objectifs Évaluer le travail d un gérant de fonds, c est-à-dire comparer sa performance à ceux de la concurrence ou à ceux des indices de marché, en tenant compte du risque Expliquer les raisons de la bonne (ou mauvaise) performance d un gérant de fonds Sélectionner les «meilleurs» gérants de fonds Sociétés spécialisées MorningStar Lipper APT, Europerformance, Page 21

22 Mesures de performance (2) Ratio de Sharpe Mesure l excès de rentabilité (relativement au taux sans risque) par unité de risque Plus ce ratio est élevé, meilleure est la performance Limites du ratio de Sharpe Dépend de l indice de marché et du taux sans risque utilisés Difficile à interpréter lorsqu il est négatif Ne détecte ni le «stock picking», ni le «market timing» Page 22

23 Mesures de performance (3) Alpha de Jensen Mesure le supplément de rentabilité réalisé par rapport à un portefeuille de même bêta: ( ) ( R) r E( M ) α = E β F r F Idéal: positif et significativement différent de zéro Limites de l alpha de Jensen Dépend de l indice de marché et du taux sans risque utilisés Basé sur le CAPM et pas ajusté au risque du portefeuille Ne détecte pas correctement le «market timing» Page 23

24 Mesures de performance (4) Ratio d information Mesure la sur ou sous-performance par rapport à un benchmark et par unité de «tracking error» (risque relatif ): E IR = σ Idéal: strictement positif ( R B) ( R B) Limites du ratio d information Dépend benchmark choisi Pas de base théorique Page 24

25 Mesures de performance (5) Exemple Page 25

26 Couverture (1) Couverture Réduction ou élimination d une exposition à une source de risque déterminée En anglais «hedging» Exemple Vous détenez un portefeuille bien diversifié d actions suisses. Vous anticipez une baisse du marché suisse dans les prochaines semaines. Comment protéger votre investissement? Solution 1: Liquider votre portefeuille Solution 2: Vente de contrats futures sur le SMI Solution 3: Achat d options put sur le SMI Page 26

27 Couverture (2) Couverture Réduction ou élimination d une exposition à une source de risque déterminée En anglais «hedging» Exemple Vous détenez un portefeuille bien diversifié d actions suisses. Vous anticipez une baisse du marché suisse dans les prochaines semaines. Comment protéger votre investissement? Solution 1: Liquider votre portefeuille Solution 2: Vente de contrats futures sur le SMI Solution 3: Achat d options put sur le SMI Page 27

28 Couverture (3) Mise en place de la couverture avec les futures La principale étape est la détermination du nombre de contrats futures à vendre. Ce nombre se calcule à l aide de la formule suivante: Page 28

29 Active ou passive? (1) Motivation Page 29

30 Active ou passive? (2) Gestion active Toute stratégie d investissement visant à délivrer une performance ajustée au risque qui est supérieure à celle du marché Sources de surperformances «Stock-picking»: sélectionner les bons titres ou classes d actifs «Market-timing»: entrer dans le marché ou en sortir au bon moment Page 30

31 Active ou passive? (3) Gestion passive Toute stratégie d investissement qui ne requiert aucune capacité prédictive Gestion indicielle Répliquer exactement la performance d un indice de référence Instruments: Fonds indiciels, Certificats, Exchange Traded Funds Fondement Concept d efficience des marchés financiers Page 31

32 Active ou passive? (4) Laquelle choisir? Page 32

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