BREVET DE TECHNICIEN SUPERIEUR. Travaux Publics. Session 2015

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1 BREVET DE TECHNICIEN SUPERIEUR Session 2015 Durée : 1h40 mn Recommandations aux candidats : - La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront dans l appréciation des copies ; - Les calculs demandés devront être détaillés afin d obtenir l intégralité des points ; - Sont autorisées toutes les calculatrices y compris les calculatrices programmables, alphanumériques ou à écran graphique à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu il ne soit pas fait usage d imprimante; - L usage des téléphones portables est interdit ; Ce sujet est composé de 6pages : Les questions à traiter sont pages : 2/6 à 5/6 (ne pas dégrafer) Le formulaire de mathématique est fourni en annexe Page : 1/ 6

2 Exercice 1 : Etude de fonctions (14 points) Partie A : Résolution d une équation différentielle (3 points) Dans cette partie, on se propose de déterminer une solution particulière de l équation différentielle : Où y désigne une fonction de la variable x. (E 1 ) : y + 2y = x 1- Résoudre l équation différentielle (E 2 ) : y + 2y = 0 2- Vérifier que la fonction u, définie sur R par : u(x) = x - est une solution de l équation différentielle (E 1 ). 3- On admet que toute solution f de l équation (E 1 ) est de la forme : f(x) = u(x) + C où C est un nombre réel quelconque et u la fonction définie à la question précédente. Déterminer la solution f 0 de l équation (E 1 ) telle que f 0 (0) =. Page : 2/ 6

3 Partie B : Etude d une fonction (8 points) On note f la fonction définie sur R par : f(x) = x a) Déterminer la limite de f en +. b) Justifier, en détaillant vos calculs, que : f(x) = ( x - +1) c) On admet que = 0. En déduire la limite de f en a) Calculer f (x). b) Résoudre l inéquation : 2 0. Page : 3/ 6

4 c) En déduire le tableau de variation de la fonction f. Vous prendrez soin d indiquer les limites aux bornes de l intervalle de définition. c) Déterminer le coefficient directeur de la tangente T à la courbe C en son point d abscisse Etudier la position relative de C par rapport à la droite D représentant la fonction u. Partie C : Calcul d une aire (3 points) 1- Soit m un nombre réel strictement supérieur à ln2. On note A(m) l aire, exprimée en cm², de la partie de plan délimitée par la courbe C, la droite D et les droites d équation x = ln2 et x = m. Montrer que A(m) = a) Calculer la limite de A(m) lorsque m tend vers +. Page : 4/ 6

5 b) Interpréter graphiquement le résultat. Exercice 2 : Contrôle de qualité (6 points) Une usine fabrique des pièces dont 1,8 % sont défectueuses. Le contrôle des pièces s effectue selon les probabilités conditionnelles suivantes : - Sachant qu une pièce est bonne, elle est acceptée avec une probabilité de 0,97 ; - Sachant qu une pièce est mauvaise, elle est refusée avec une probabilité de 0,99. On nomme : - D : la probabilité que la pièce soit défectueuse, - : la probabilité que la pièce ne soit pas défectueuse, - A : la probabilité que la pièce est acceptée, - : la probabilité que la pièce soit refusée. 1- Compléter l arbre de probabilités représentant cette situation à l aide des informations fournies : 2- Quelle est la probabilité qu une pièce soit défectueuse? 3- a) Quelle est la probabilité qu une pièce défectueuse soit acceptée? b) Quelle est la probabilité qu une pièce soit bonne et refusée? Page : 5/ 6

6 c) En admettant que P(D A) = 0,00018 et P( ) = 0,02946, calculer la probabilité qu il y ait une erreur dans le contrôle. 4- Si on effectue 5 contrôles successifs et indépendants, quelle est la probabilité qu il y ait exactement 2 erreurs de contrôle? Page : 6/ 6

Ce document a été mis en ligne par le Canopé de l académie de Bordeaux pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel.

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