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1 4 ème aée Maths Sites réelles Septembre 9 A LAATAOUI Exercice : O cosidère la site ( ) défiie par : a) Motrer qe por tot de IN, < 4 b) Motrer qe ( ) est strictemet croissate c) E dédire qe ( ) + 4+, por tot N coverge et détermier sa limite + b) Retrover le résltat de c) a) Motrer qe por tot etier atrel, o a : 4 ( 4 ) Exercice : O cosidère la site ( ) défiie sr N par : + 6, por tot de IN O ote f la foctio défiie sr ],6] par f( x) 6 x Sa corbe est représetée ci dessos das repère orthoormé ) Placer les qatre premiers termes de la site ( ) sr l axe des abscisses ) Répodre par «Vrai o Fax» ax qestios sivates, e tilisat le graphiqe : a) ( ) est mootoe ; b) + ; c) + ; d) + vers ; e) ( ) coverge a b c d e Fax Vrai Fax Vrai Fax Vrai Fax Vrai Fax Vrai Sites réelles 4 ème Maths 9 wwwespacemathscom

2 ) O se propose das cette qestio de démotrer la covergece de la site ( ) a) Motrer qe por tot de IN, o a : + b) Motrer par récrrece qe por tot de IN, o a : c) E dédire qe ( ) est covergete et détermier sa limite Exercice : O cosidère la site U défiie sr N par : + Motrer qe por tot de N, et + + Motrer qe por tot de N, + + O pose k Motrer qe por tot de N, k E dédire qe la site U coverge vers + 4 Motrer qe por tot de N, < < E dédire qe la site ( ) est croissate et qe la site ( + ) + est décroissate 5 Applicatio : calcler les premiers termes de la site U et établir les ecadremets sivats de : < < < < < < Exercice 4 : la site réelle défiie par, et por tot de N, ( + ) a) Motrer qe por tot de N, < < b) Motrer qe por tot de N, < + (o porra tiliser les variatios de la foctio f défiie sr, f( x) x x ) Soit ( ) c) Trover lim + v la site défiie par v por tot de N est croissate et q elle est covergete Soit ( ) Motrer qe la site ( v ) par ( ) Sites réelles 4 ème Maths 9 wwwespacemathscom

3 Exercice 5 : Soit (U) la site défiie sr IN* par U ² + + ² ² ² k + k + /a- Motrer qe por tot IN* : U + b- E dédire qe (U) est covergete et calcler sa limite /a- Motrer qe por tot IN* : b- Dédire qe por tot IN* : / Soit S U + U + + U a- Motrer qe por tot IN* : ( ) S ( ) S b- E dédire qe por tot IN* : S + 4 ; pis calcler lim + Exercice 6 : O cosidère la site (U ) défiie sr IN par : U et por tot IN* : U ( )U /Motrer qe por tot IN : U > /Soit (V ) défiie sr IN par : V + U a- Exprimer :V² + - V² e foctio de et de U² b- Dédire qe (V ) est décroissate et qe por tot IN : U + / Soit (W ) la défiie sr IN par : W U a- Motrer qe (W ) est croissate b- Dédire qe por tot IN * : U 4 4 / Motrer qe (U ) est covergete et calcler sa limite 5 /a- Calcler U e foctio de ()! b-e dédire Lim + + (!)² Exercice 7 : Le bt de cet exercice est l étde de la site ( S ) défiie, por, par : O pose por : Motrer qe, por : z k Calcler la somme z π i e E dédire qe, por : 4 Etdier la limite de la site ( ) défiie, por k + i z π tg S π tg S, par : S kπ si k Sites réelles 4 ème Maths 9 wwwespacemathscom

4 Exercice 8 : O défiit les sites ( a ) et ( ) b par a, b 7 et a a + b b a + b ( ) + ( ) + Soit D la droite mie d repère ( Oi, ) Por tot N, o cosidère les poits A et B d abscisses respectives a et b Placer les poits A, B, A, B, A et B Soit ( ) la site défiie par b a por tot N Démotrer qe ( ) dot o précisera la raiso et le premier terme Exprimer e foctio de Comparer a et 4 Démotrer qe les sites ( ) 5 Soit ( ) b Etdier le ses de variatio des sites ( a ) et ( b ) a et ( b ) sot adjacetes v a + b por tot N Démotrer qe ( v ) a et ( b ) sot covergetes et calcler ler limite v la site défiie par 6 Jstifier qe les sites ( ) Exercice 9 : O défiit dex sites et v sr N par : v v et + v + v + v + Calcler les valers exactes de, v, et v a) Vérifier qe, por tot etier atrel, v + + ( v ) ( + v ) b) Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, < < v a) Motrer qe, por tot etier atrel, v ( v + + ) b) E dédire qe, por tot etier atrel, v 4 Démotrer qe les sites et v sot adjacetes Qe pet o dédire? 5 O pose por tot etier atrel : a v a) Prover qe la site ( a ) N est costate est e site géométriqe est e site costate b) E calclat de dex faços différetes la limite de a lorsqe ted vers +, détermier la limite comme l des sites et v 6 E tilisat et v, doer ecadremet de l par dex décimax, d amplitde 4 4 Sites réelles 4 ème Maths 9 wwwespacemathscom

5 Exercice : (Cotrôle 9) + v ; + O cosidère les sites ( ) et ( v ) défiies sr IN par + v v ; v + 5 Motrer qe por tot etier atrel o l, v Motrer qe la site ( ) est croissate et qe la site ( ) Motrer qe les sites ( ) et ( ) 4 Soit la site ( ) w défiie sr IN par w 9 + 5v v est décroissate v sot covergetes et q elles admettet la même limite a) Motrer qe ( w ) est e site costate b) E dédire la limite comme des sites ( ) et ( ) v Exercice : O pose, por tot etier spérier o égal à : !!! et v +! Vérifier qe : et v, pis calcler,, v et v Motrer qe ( ) est e site strictemet croissate a) Démotrer qe por tot etier, o a : v+ v ( + ) ( + )! b) E dédire qe ( v ) est e site strictemet décroissate 4 a) Démotrer qe por tot etier, o a :! b) Calcler : lim!, pis lim + +! c) E dédire qe les sites ( ) et ( v ) sot adjacetes Exercice : O cosidère la site ( ) défiie por tot etier, par :, et o pose : S k k Le bt de cet exercice est l étde de la covergece de la site (S ) de dex faços différetes Partie prélimiaire Calcler S,S ets Démotrer qe la site (S ) est e site croissate 5 Sites réelles 4 ème Maths 9 wwwespacemathscom

6 Partie : Covergece de (S ) Méthode O cosidère la site ( v ), défiie por tot etier par : v ( + ), et o pose : T v k k a) Démotrer par récrrece qe por tot etier, o a : b) E dédire qe la site ( T ) est e site majorée Démotrer qe por tot etier, o a : v Démotrer qe la site (S ) coverge vers ombre réel l T + Partie : Covergece de (S ) Méthode et valer approchée de l O cosidère la site ( w ), défiie por tot etier par : Démotrer qe les dex sites (S ) et ( w ) sot adjacetes E dédire qe la site (S ) coverge vers ombre réel l S + w 6 Sites réelles 4 ème Maths 9 wwwespacemathscom

7 4 ème aée Maths Sites réelles Corrigé Septembre 9 A LAATAOUI Exercice : + 4+, por tot N Illstratio graphiqe de la site : Cojectre : La site ( ) est croissate, majorée par 4 et elle coverge vers 4 Réposes : a) Motros par récrrece qe por tot de IN, < 4 Por, < 4 Por, spposos qe < 4 et motros qe + < 4 E effet : < 4 < 4 4+ < < 6 + < 4 Aisi IN, < 4 b) + 4+ ( + ) ( 4 ) > ( ) + > + > > > car > car < 4 7 Sites réelles 4 ème Maths 9 wwwespacemathscom

8 ( )est strictemet croissate c) ( ) est croissate et majorée par 4 doc ( ) est covergete Soit l la limite de ( ) ( ) coverge vers l [,4] 4 + f ( ) 4+, avec f( x) 4+ xx, + f() l l 4 f est cotie sr, + doc e l 4+ l l, avec l,4 l l 4 l o l4 l 4 [ ] Atre procédé de covergece : a) 4 + ( 4 ) à rejeter b) Or ( 4 ) ( ) ( ) + 4k+ ( 4 k), por tot k de IN Por k, <4 ( 4) Por k, <4 ( 4) Por k, <4 4 ( ) Por k -, <4 4 ( ) O fait le prodit terme à terme et o simpl ifie o ara <4 ( 4 ) 4 <4 4 ( ) coverge et lim Sites réelles 4 ème Maths 9 wwwespacemathscom

9 Exercice : Illstratio graphiqe de la site : Cojectre : La site ( ) est croissate et majorée par La site ( ) + est décroissate et miorée par La site ( ) coverge vers Réposes : Motros par récrrece qe por tot de IN, o a : et Por, et Por, spposos qe et et motros qe + et + E effet : + > > Sites réelles 4 ème Maths 9 wwwespacemathscom

10 Aisi IN, et +? + ( )( ) ( + ) ( )( + ) + ( )( + ) ( )( + ) ( )( ) k Or + k k + p+ k, p IN Por p, Por p, k k k p k Por p -, k O fait le prodit terme à terme et o simplifie, o obtiet : k ] [ ( ) lim k car, + coverge vers Sites réelles 4 ème Maths 9 wwwespacemathscom

11 O fait le prodit terme à terme et o simplifie, o obtiet : ( ) ( ) + > < < ( + )( ) car et > Motros par récrrece qe por tot de IN, < Por, < Por, spposos qe < et motros qe + < + E effet : Aisi IN, < Motros qe la site ( ) > et < < < + + est croissate : + < et < > > + + O motre de même qe + est décroissate , +, +, +, +, > et qe la site ( ) Pisqe : < < 4 < < 5 < < < < < < < < Exercice 8 : ( a ) et ( ) b sot dex sites défiies par a, b 7 et a a + b b a + b ( ) + ( ) + Sites réelles 4 ème Maths 9 wwwespacemathscom

12 b a b a a + b a + b b a ( ) ( ) ( ) ( ) est e site géométriqe de raiso et de premier terme b a 6 q 6, por tot de IN b a 6 > b > a, IN a+ a ( a + b) a a + b > > b+ b ( a + b) b a b < < 4 ( ) ( a ) est croissate ( b ) est décroissate lim b a lim, car ( ) est e site géométriqe de raiso + + ]-, [ ( a) ( b ) est croissate est décroissate a < b lim b a + 5 v a + b ( a ) et ( b ) sot dex sites adjacetes v a b v a + b 8 v a + b 8, IN + ( a + b ) + ( a + b ) a + b v ( ) 6 ( a ) et ( b ) sot dex sites adjacetes ( a ) et ( ) la même limite Soit l ler limite comme lim a + b l 8 l 4 Exercice : + v est e site costate b sot covergetes et elles coverget vers + v ; + + v v ; v + 5 Motros par récrrece qe por tot de IN, v : Sites réelles 4 ème Maths 9 wwwespacemathscom

13 Por, v Por, spposos qe v et motros qe + v+ E effet : v v + v 9 + 6v 5v v v + + Aisi IN, v Mootoie de la site ( ) : + v v + La site ( ) est croissate v : Mootoie de la site ( ) + v ( v) La site ( v ) v+ v v est décroissate 5 5 O pose t v, das la répose de la qestio, o a motré qe t v v t 5 5 lim v ( ) la site ( t ) est géométriqe de raiso ],[ + + N+ + ( ) ( v ) est croissate est décroissate Aisi o a : les sites ( ) v v lim v + sot covergetes et elles coverget vers la même limite 4 w 9 + 5v et ( ) 5 sot adjacetes et par site elles a) w 9 + 5v + v + v 8 + 9v / 5 / + + v 7 + 5v 9 + 5v w ( ) b) Soit l la limite comme de ( ) et ( v ) w est e site costate et o a : IN, w 9 + 5v w 9 + 5v 5 O a : 5 lim w lim v l l l l Sites réelles 4 ème Maths 9 wwwespacemathscom

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