Le théorème de Moivre-Laplace.

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1 Le théorème de Moivre-Lplce. Ue démostrtio complète ds le cs p = 1/ Eocé du théorème. 2 - Démostrtio du théorème de Moivre-Lplce lorsque p = 1/2. - Les étpes de l démostrtio. b - Covergece de f (t vers e t2 / Clcul de l itégrle de Guss. 5 - Démostrtio du théorème de Moivre-Lplce lorsque p 1/ L loi des erreurs. 1 Eocé du théorème. Théorème 1. O suppose que pour tout, X suit l loi biomile B(, p vec p ], 1[. O pose Z = X p pq vec q = 1 p. Alors pour tous réels et b tels que < b, lim P( Z b = b dt Nous commeços pr le cs p = 1/2. Le résultt suivt se démotre vec des outils ccessibles u iveu termile (rppelos que cette démostrtio est hors progrmme. Théorème 2. O suppose que pour tout, X suit l loi biomile B(, 1/2. O pose Z = X /2 /2. Alors pour tous réels et b vérifit < b, il existe u réel K > idépedt de tel que P( Z b b dt K (1,86,85,84,83,82,81,8,79, Figure 1 L suite ( P( Z b coverge vers b dt ( = 1, b = 2. 1

2 Remrquos que X pred des vleurs etières comprises etre et, et doc Z pred les vleurs t = /2 /2. L vitesse de covergece e 1/ est optimle puisque si et b sot ds le même itervlle [t, t +1 ] vec > et b 1/ (possible cr t +1 t = 2/, lors P ( Z b = et doc P( Z b b dt b = dt /2 e b2 2 Démostrtio du théorème de Moivre-Lplce lorsque p = 1/2. Les étpes de l démostrtio. Nous llos costruire ue foctio e esclier f telle que P( Z b = b f (tdt, où est proche de et b est proche de b (P( Z b est l ire du domie représeté /2 sur l figure 1 lorsque = 1, b = 2 et = 192, et telle que f (t est proche de e t2.,5,3,1 K3 K2 K Figure 2 Représettio grphique de f et de l foctio t e t2 /2. Défiissos tout d bord l foctio e esclier f : pour tout tel que, f est costte égle à P(X 2 = sur J = [t 1, t + 1 [, et f est ulle e dehors de l uio de ces itervlles. Propositio 3. Si t = /2, = mi{; t [, b]} et = mx{; t [, b]}, /2 = t 1 et b = t + 1, lors P( Z b = Preuve. Pr l formule de l ire d u rectgle, O doc : P( Z b = P(t Z t = t +1/ t 1/ = P(Z = t = b f (tdt. f (tdt =P(X ==P(Z =t. = t +1/ t 1/ f (tdt = b f (tdt. 2

3 Propositio 4. Si A = sup{, b } et > A 2, lors I = b e t2/2 b dt dt 1,5,3,1 K3 K2 K Figure 3 L ire de l réuio des deux domies représetés est égl à I ( = 1, b = 2, = 192. Preuve. E effet, b e t2/2 b dt dt dt + e t2/2 b b dt = I 1 + I 2 Comme > A 2, lors t = < et t = > b, doc 1 1, d où t 1 = t 2 < t, et comme = t 1, o 1. De plus, /2 e t2 1/2, pr coséquet I De même, b b 1 et I Le résultt suivt motre que f est proche de e t2 / et est démotré e sectio 3. Propositio 5. Il existe C > tel que si t [, b ] et >4A 2, lors f (t e t2 /2 C. Le théorème de Moivre-Lplce découle fcilemet de ces propositios. E effet, d près l propositio 3 et l iéglité trigulire, P( Z b b b dt b f (tdt dt b + dt b dt D près l propositio 4, le deuxième terme de droite est mjoré pr 1/, et d utre prt, d près l propositio 5, b f (tdt b dt b f (t e t2/2 dt b 3 C dt C(b + 2

4 b Covergece de f (t vers e t2 /2. Nous llos motrer l propositio 5 : il existe C > tel que si > 4A 2, lors pour tout t [, b ], f (t e t2 C. Ceci résulte des deux propositios suivtes lorsque est pir. Le cs impir est trité e fi de sectio.,5,3,1 K3 K2 K Figure 4 Compriso des grphes de f et de l foctio x exp ( x 2 /2 /. Propositio 6. Si 2 est pir, lors 1 1 f ( 1. Ceci implique, d près le théorème des gedrmes, que lim f ( = 1. +, pir Propositio 7. Si 2 est pir, lors f (t f (. Si de plus 4A 2 et t A, il existe u réel L > tel que f (t f ( e t2 /2 L Preuve de l propositio 5 pour pir. Si 4A 2 et t [, b ], il existe tel que et t J cr l uio des J pour est égle à [, b ]. Pr coséquet, f (t = f (t et e t 2 /2 e t2 /2 t t 1 1. Comme, o t A, et doc, d près l propositio 6 et l propositio 7, f (t e t2 /2 f (t f ( f ( 1 + f (t f ( e t2 /2 + e t2/2 e t2 /2 1 + L + 1 L + 2 Nous démotros mitet les propositios 6 et 7. Les vleurs de l foctio f fot iterveir les coefficiets p, = P(X = où X suit l loi biomile B(, 1/2. Le lemme suivt doe ue propriété des p, (propriété évidete si o sit que (! =!(!. 1. voir exercice e prtie III 4

5 Lemme 8. p,+1 = + 1 p,. Démotrtio pr récurrece sur. Comme p, = (P pour tout 1, ( /2, il suffit d étblir : ( +1 = + 1 L propriété (P 1 est vérifiée puisque p 1,1 = p 1, = 1. Si (P est vérifié et si, ( +1 ( ( o lors, e utilist l reltio de Pscl = + et l reltio (P : ( + 1 ( ( ( = ( ( + 1 = ( +1 ( ( = ( = ( + 1 ( +1 = ( + 1 ( ( ( ( + ( ( ( 1 Lemme 9. Soit p m = p 2m,m l probbilité d obteir m piles près voir lcé ue pièce 1 2m fois. Alors mπp 2 m 1. 2m Notos m! le produit des etiers de 1 à m. E ppliqut le lemme 8, o obtiet Posos I m = p m =p 2m,m = m+1 m p 2m,m 1 = = 1 (m+1(m+2 2m p = m(m 1 1 (1 t 2 m 2 dt. L suite (Im est décroisste. (2m! 2 2m (m! 2 E effet, si t [, 1], lors (1 t 2 m+1 2 (1 t 2 m 2. E itégrt, I m+1 I m. ( 1 1,,8,6,6,8 1, Figure 5 grphe des foctios t (1 t 2 m/2. O I = 1, I 1 = π/4 (ire du qurt du disque uité, et l reltio de récurrece I m = m m + 1 I m 2. 5

6 E effet, si f(t = t(1 t 2 m 2, il suffit de clculer f (t et d itégrer l reltio obteue etre et 1. E itért l reltio de récurrece, I 2m = de même, 2m 2m + 1 I 2m 1 = I 2m 1 = 2m 1 2m 3 2m 2m I 1 = 2m 2m 2 2m + 1 2m I = 22m (m! 2 (2m + 1! = 1 (2 (2m + 1p m (2m! [ 2m(2m 2( 2 ] 2 π 2 = (2m! 2 2m (m! 2 π 2 = π 2 p m et doc I 2m 1 I 2m = ( m mπp2 m. Comme (I m est décroisste, I 2m I 2m 1 I 2m 2, et e divist pr I 2m, o 1 ( m mπp2 m I 2m 2 = 1 + 1, d où le résultt. I 2m 2m Preuve de l propositio 6. Si = 2m, lors ( π 2 p2 m 1. Ceci résulte du lemme 9. Or, f ( = p 2 m. O coclut e pret l rcie crrée. Nous utiliseros ds l démostrtio de l propositio 7 les résultts suivts : Lemme 1. 1 x 1 + x = exp{ 2x + ε(x}, vec ε(x x3 si x 1/2. U clcul doe ε(u = l(1 u l(1 + u + 2u et ε (u = 2u2 1 u 2. Si u 1/2, o 3u 2 ε (u 3u 2. E itégrt etre et x, o x 3 ε(x x 3. Lemme 11. Si l 1, lors l 1 i = l(l 1 2 et l 1 i 3 l 4 /4 (pr récurrece. Il résulte de ces deux lemmes que si l, m N et si 1 l m/2 et si v l = v l = exp ( l 2 m + l l 1 m + ε(i/m, vec l 1 ε(i/m l 1 ε(i/m l 1 (1 i m l 1 1 l 1 i 3 m 3 (1+ i m, lors l4 4m 3. Preuve de l propositio 7. Si = 2m, lors f (t f ( = p,. Comme ( ( p = m, o peut supposer que > /2. Le produit des reltios p 2m,i+1 = 2m i i+1 p 2m,i pour i vrit de m à 1, doe : f (t f ( = p, p m = p, p 2m,m = (2m + 1(2m + 2( m (m + 1(m + 2( 6

7 1,,9,8,7,6,5,3, Figure 6 L suite (v l (ici m = 96. E divist chque terme du umérteur et du déomiteur pr m, f (t f ( = m v m. Ceci implique f (t f (, ce qui est églemet vérifié si t est ds ucu J cr ds ce cs f (t =. Supposos de plus que t A et 4A 2. Comme m = t /2, ( m/m = t / 1/2 et ( m 2 /m = t 2 /2, o : et f (t f ( v m = m v m = exp { t2 } { t } exp + δ 2 v m m m vec δ = t A ( m4 4m 3 = t4 8 t4 8 Pr coséquet, v m e t2 /2 exp { (t + t 4 /8/ } 1 exp { C/ } 1, vec C = A + A 4 /8. D près l iéglité de covexité e x 1 xe x pour x >, v m e t2 /2 K/ vec K = Ce C D où, f (t f ( e t2 /2 f (t f ( v m + v m e t2 /2 A + K = L 1,,8, Figure 7 L foctio t et l suite de poits ( t, f (t /f ( (ici = 192. Preuve de l propositio 5 pour impir. O v se rmeer u cs pir de l fço suivte. Rppelos que t = /2 /2 et otos τ = ( 1/2 1/2 l subdivisio ssociée u 7

8 rg 1 ( 1 est pir. Pour tout 1 1, o τ 1 t τ. Si t J, lors t τ t t + t τ 3/ et t τ 1 3/. D près l reltio de Pscl, f (t = 2 p ( 1, = p 1, + p 1, 1 = 4 2 ( f 1 (τ + f 1 (τ 1 1 1/ 1 Or 1 1/, et d près l propositio 6, f 1 (τ 1 et f 1 (τ 1 1, 1 1/ doc ( 2f (t f 1 (τ f 1 (τ 1 2/. Pr coséquet 2 f (t 2 + f 1 (τ e τ 2 /2 + f 1 (τ 1 e τ 2 1 /2 + e τ 2 /2 + e τ 2 1 /2 D près le cs pir, f 1 (τ e τ 2/2 C/ et f 1 (τ 1 e τ 2/2 C/. De plus, e τ 2/2 e t2 /2 τ t 3/ et e τ 1 2 /2 e t2 /2 τ 1 t 3/. Il existe doc ue costte C telle que f (t e t2 C. 4 Clcul de l itégrle de Guss. Théorème 12. Si G(x = x x x lim x + x dt =. dt, il suffit de motrer que si = (x l prtie etière de x 2 /2, lors 1+1/2 G(x E effet, comme lim (x = +, le théorème des gedrmes permet de coclure que x + lim G(x existe et est égl à. Mjortio. Pour tout, P( x Z x 1, doc, d près le théorème de Moivre- Lplce : G(x = lim P( x Z x Miortio. Notos que 2 x. Pr illeurs, pour < v < 1, o (1 v e v (pour le voir, psser u logrithme et utiliser le cocvité de l foctio logrithme. Pr coséquet, vec le chgemet de vrible u = t/ 2, x dt 2 dt = 2 1 Pr coséquet, d près (2 et le lemme 9, G(x 2 2I 2 = e u2 du (2 + 1p (1 u 2 du = 2I 2

9 5 Démostrtio du théorème de Moivre-Lplce lorsque p 1/2. Notre but est de démotrer le théorème 1. Supposos que X suit l loi biomile B(, p et posos Z = X p vec q = 1 p. Si X =, lors Z = t = h ( p vec pq h = 1, et P(Z = t = P(X = = p, = ( pq p q. Soit f l foctio défiie pr f (t = 1 p, 1I [t h h /2,,t +h /2[(t. Le grphique suivt représete f pour = = 192 et p =, 2. L covergece est plus lete que pour p =, 5 (rectgles plus gros et f est plus pire.,5,3,1 K3 K2 K Figure 8 Représettio grphique de f et de l foctio t e t2 /2. De mière logue u cs p = 1/2, o motre que P( Z b = b f (tdt vec h /2 et b b h /2. Le résultt suivt géérlise l propositio 5. S démostrtio est d u iveu plus élevé et ous e l détilleros ps complètemet. Propositio 13. Il existe ue costte C > tel que pour tout t [ A, A], f (t e t2 C Preuve de l propositio 13. Rppelos l formule de Stirlig :! = ( (1+ε e vec lim ε =. Plus précisémet, pour tout, ε 1/. Pour et t fixés, il existe tel que t [t, t +1 [, d où, e ppliqut l formule de Stirlig trois fois, f (t = p, h vec M = ( = ( p q pq = p q ( 1, R =!!(! p q pq = M R (1 + ε, pq ( et 1 + ε, = (1 + ε (1 + ε (1 + ε Il existe ue costte S telle que pour tout, ε, S/. E effet, ε 1/, et, si est ssez grd, pour tout t [ A, A], /4 3/4 et doc ε 4/ et ε 4/. 9

10 Etude de M. Notos que = p + t h = p ( ( 1 + u et = q 1 + v, vec u = q t p et v = p t q, et doc M = exp { pϕ(u qϕ(v } où ϕ(u = (1+u l(1+u. O peut motrer que ϕ(u = u+u 2 /2+β(u vec β(u u 3 /3 si u [ 1/2, 1/2]. Pr coséquet, pϕ(u + qϕ(v = ( pu + pu 2 /2 + pβ(u + qv + qv 2 /2 + qβ(v = t 2 /2 + ( pβ(u + qβ(v Comme les t sot ds [ A, A] il existe K > tel que u, v K/ 1/2 si est ssez grd, et doc pβ(u + qβ(v K 3 / 3/2. Pr suite, M = e t2 /2 (1 + ε, et il existe ue costte M > tel que ε, M/ Etude de R. Comme R = 1 ( 1 + u ( 1 + v, o R = 1 (1 + ε, et il existe ue costte R > tel que ε, R/. E coclusio, f (t = e t2 /2 (1 + δ, et il existe C > tel que δ, C /. Comme t t h, o e déduit qu il existe ue costte C > tel que f (t e t2 /2 C. Remrque 14. Lorsque p = 1/2, il existe L > tel que f (t f ( e t2 /2 L pour tout et pour tout. Des simultios umériques idiquet qu o peut predre L =, 1 (voir figure 7. L ordre de grdeur de f (t e t2 /2 / est doc e 1/, tdis que l ordre de grdeur de f (t / est e géérl seulemet e 1/. Ceci cofirme /2 l impressio visuelle que l foctio f est très proche de l foctio e t2 ux poits t.,6,4,2 K4 K3 K2 K1 K, K,4 K,6 K,8 Figure 9 Suites (t, ( f (t e t2 /2 qud p = 1/2 pour diverses vleurs de. Pr cotre, lorsque p 1/2, l vitesse de covergece est e 1/. Plus précisémet les poits ( p(1 p ( t, f (t e t2 /2 pour ssez grd se trouvet tous proches d ue p 1/2 même courbe comme idiquée sur l figure 8. 1

11 ,15,1,5 K4 K3 K2 K1 K, K,1 K,15 Figure 1 Suites ( t, 6 L loi des erreurs. p(1 p p 1/2 ( f (t e t2 /2 qud p 1/2 pour diverses vleurs de et p. Ue vrible X de loi biomile représete le ombre de succès lors d ue suite de épreuves idépedtes vec probbilité de succès p à chque épreuve. Pour 1, o ote Y l vrible létoire égle à 1 si o u succès à l -ème épreuve et sio. O doc X = Y. D utre prt, l espérce commue ux Y est m = p, l vrice de =1 Y est E(Y 2 E(Y 2 = m m 2 = p(1 p et l écrt-type de Y est doc σ = p(1 p. Rppelos le théorème de Moivre-Lplce ( lim P Y m =1 σ b = b dt (3 Le théorème limite cetrl éoce que (3 reste vri si o suppose que les vribles Y sot idépedtes, de même loi, d espérce m et d écrt-type σ fii (o e défiir ps l idépedce de vribles létoires et o s ppuier sur l ituitio. O peut doc supposer que les Y suivet ue loi uiforme sur [, 1], ou qu elles suivet ue loi expoetielle. Ds ce cs bie etedu, X = Y e suit plus ue loi biomile, mis d près =1 l reltio (3, les itervlles de fluctutio symptotiques restet les mêmes. L figure Y m =1 suivte représete les desités f des vribles Z = σ lorsque les vribles Y suivet ue loi expoetielle et que = 4, 16, 35, 64 et 1.,3,1 K3 K2 K Figure 11 Compriso des grphes de f et de l foctio x exp ( x 2 /2 /. 11

12 Le théorème limite cetrl exprime le fit qu ue somme X d u grd ombre de vribles idépedtes, de même loi, et de vrice fiie ue distributio à peu près gussiee. L loi des erreurs géérlise ce fit là à ue somme de petites vribles idépedtes dot ucue est prépodérte. C est e riso de cette uiverslité que les vribles létoires itervet e modélistio sot souvet supposées suivre des lois ormles. Nous llos illustrer ce fit pr l exemple du tireur à l crbie K2 K1 1 2 K1 K2 K1 1 2 K1 K2 K2 Figure 12 1 rélistios de (X, Y où X, Y sot des gussiees cetrées d écrt-type 1, puis d écrt-type, 4. Observez pr exemple l figure ci-dessus. Elle est obteue e effectut rélistios de couples (X, Y (1 de vribles gussiees idépedtes cetrées. Elle correspod bie ux résultts obteus à u tir à l crbie sur ue cible. Expliquos pourquoi. Si (X, Y sot les coordoés du -ième tir, X et Y sot des sommes de petites vribles idépedtes (erreur de visée, tremblemet, défut de cocetrtio, recul, perturbtio pr u élémet extérieur comme u cotrejour ou u cri,... D près l loi des erreurs, il est doc risoble de supposer que (X, Y est u couple de vribles gussiees. De plus, l idépedce des tirs est exprimée pr le fit que les couples (X, Y sot idépedts etre eux. Efi, l écrt-type de ces gussiee mesure l dresse du tireur : plus il est petit, et plus le tireur est droit. 12