Inversion de Möbius et principe d inclusion-exclusion

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1 Iverso de Möbus et prcpe d cluso-ecluso Bruo Wckler Prérequs : coeffcet bomal ; ombres premers ; dcatrce d Euler (dspesable) ; algèbre léare et/ou matrcelle (dspesable) ; séres covergetes (dspesable). Sot µ : N {, 0, } la focto ommée d après Möbus qu, à u eter, assoce 0 s l est pas quadratfre (c est-à-dre s l est dvsble par le carré d au mos u ombre premer), s l est quadratfre et a u ombre par de facteurs premers, das les autres cas. Plus précsémet, s a pour décomposto e facteurs premers r = p, alors µ() = ( ) r. À oter que comme est le produt de zéro ombre premer, o a µ() = ( ) 0 =. La focto de Möbus joue u rôle cetral e arthmétque, plus partculèremet e théore aalytque des ombres. Par eemple, s o ote M() = µ() la focto de Mertes, le fat que M sot églgeable devat la focto detté au vosage de l f est équvalet au théorème des ombres premers, qu éoce que la quatté π() qu déombre l esemble des ombres premers féreurs à est équvalete à l() au vosage de l f. Pour plus de détals, vor [Ell] par eemple. Ic, je vas smplemet parler de la formule qu est à la base de l verso de Möbus, et motrer commet elle mplque le prcpe d cluso-d ecluso de Movre, qu o appelle auss formule du crble. Ce prcpe d cluso-d ecluso sera llustré avec tros eemples. Das la sute de l eposé, la otato a b sgfe que a dvse b, et s est u réel, alors [] désge sa parte etère. Iverso de Möbus L verso de Möbus dt que la focto de Möbus est l verse de la focto detquemet égale à pour le produt de covoluto, déf sur l esemble des foctos arthmétques (c està-dre défes de N das C) par f g : f(d)g(/d) = f()g(j), où f, g : N C sot j= deu foctos arthmétques. Autremet dt : Proposto (Iverso de Möbus) O a { s =, µ(d) = 0 so. Das le lagage des produts de covoluto de foctos arthmétques, cette proposto s écrt : µ = e, où e : N {0, } est l élémet eutre pour cette opérato, déf par e() =, e() = 0 s. Démostrato. S =, le résultat est évdet. Supposos doc, et écrvos sa décomposto e facteurs premers µ(d) = r = p α, où les α sot des eters o uls. O a alors : d p p r µ(d) = r j=0 ( r j) ( ) j = ( + ( )) r = 0, la premère égalté proveat du fat que µ(d) = 0 dès que d admet u facteur carré p, et la deuème égalté s eplquat par u déombremet du ombre de dvseurs de p p r : l y a

2 ( r j) faços de chosr j ombres premers parm ces p, et chacu de ces cho fourt u dvseur avec j facteurs, dot l évaluato de la focto de Möbus est doc ( ) j. La trosème égalté est ssue du bôme de Newto. O parle de formule d verso, parce qu elle permet d verser quelques égaltés dtes de covoluto : s g() = f(d) = (f )() pour tout, alors f() = g(d)µ(/d) = (g µ)() pour tout. La démostrato, élémetare, utlse de maère sous-jacete l assocatvté de la lo, et la formule d verso c-dessus. E voc u eemple d applcato : Proposto Sot ϕ l dcatrce d Euler, qu à assoce le ombre d eters k féreurs à qu lu sot étragers (.e. pgcd(k, ) = ). Alors lm ϕ() = 3 π. Cette proposto dt, e substace, que le ombre «moye» d eters féreurs à et qu lu sot étragers est de l ordre de 3 π 0, 3. Atteto, la démostrato de cette proposto écesste de coaître quelques résultats d aalyse qu sot au-dessus du veau de cet eposé. O peut la sauter e premère lecture. Démostrato. O sat que pour tout eter o ul, ϕ(d) = ; s o e le sat pas, l est bo de savor qu elle tradut le fat que l uque groupe cyclque à élémets (à somorphsme près) a eactemet u sous-groupe d ordre d pour chaque d dvsat. Comme chaque élémet est d u ordre d dvsat, l egedre l uque sous-groupe d ordre d, et u tel groupe a ϕ(d) géérateurs. E fasat le compte, o retrouve les élémets du groupe. O peut auss prouver cette formule de maère puremet calculatore, e procédat par récurrece et e remarquat que ϕ(m) = ϕ(m)ϕ() s m et sot premers etre eu (c est, par eemple, ue coséquece du lemme des restes chos). Alors, grâce au commetare précédet sur l verso de Möbus, o e dédut que ϕ() = µ(/d)d pour tout eter o ul. O poursut : et o sat que ϕ() = j / pus, e écrvat [ et e développat : ϕ() = j= µ()j = µ()j = j égale [ j j / µ()j = µ() j / ] ([ ] ) + : c est ue somme d eters cosécutfs. Alors, ϕ() = ( [ ] [ ] ) µ() +, ] = { } (où { } s appelle la parte fractoare de, et est etre 0 et ) µ() + µ() { } µ() µ() j, { } +. E fat, o peut prouver cette égalté drectemet, toujours grâce à l verso de Möbus. O a ϕ() = e(pgcd(m, )) = µ(d) = µ(d) = µ(d)(/d). m= m= d pgcd(m,) m= d m { } µ().

3 Seule la somme derrère le (qu est covergete, car coverge absolumet à l ade du ) compte : comme µ(){ }, la trosème somme de la parethèse est féreure à e valeur absolue, doc se lasse abattre par le. La derère somme auss, pour les mêmes rasos. Pour la premère somme, o va fare ue comparaso sére-tégrale pour l évaluer : comme µ() pour tout (o a µ() ), o a µ() = + µ() d + d, pus µ() µ() + d + = d = l( + ), et ce est pas u l( + ) qu va meacer otre. De la même maère, l avat-derère somme e pèse pas lourd. µ() Ef, o peut calculer la lmte de, provsoremet otée µ(), ecore ue fos = grâce à l verso de Möbus. E effet, comme les séres de terme gééral µ() et coverget absolumet, leur produt auss (par u théorème de Cauchy), et e partculer o peut permuter les termes de la sére qu e résulte, sas chager la valeur de la somme. Alors, µ() j = µ() µ() (j) = j=, = = j= j= = j= e regroupat les et j tels que j =. Par l verso de Möbus, o sat que cette derère somme vaut. Doc µ() = j. La somme de la sére sous la pussace a été calculée par Euler, résolvat as le problème de Bâle, et vaut π 6. Utlsez votre méthode d aalyse favorte pour le prouver (o peut e trouver ue partculèremet élémetare das [Ra]), ma méthode préférée se base sur la double detté suvate : ) s() = ( π = ( ) + + ( + )!, la premère detté état le produt de Weerstrass du sus (o «factorse» le sus tel u polyôme, grâce à ses races ±π) qu peut auss se prouver grâce à la théore des séres de Fourer, et la deuème detté état le développemet e sére etère du sus. E comparat le terme devat 3 das chaque égalté, o obtet π = 6. E combat tout ce qu o vet de racoter, o trouve la lmte aocée das la proposto. Prcpe d cluso-ecluso de Movre La formule suvate doe, de maère u peu dégusée, commet calculer le cardal d ue uo d esembles. O sat que s o a deu esembles fs A et B, alors A B est f, et le cardal de A B égale card(a) + card(b) card(a B) : o compte les élémets das A et B, et o dot elever ceu qu o a comptés deu fos, c est-à-dre ceu à la fos das A et B. S l y a plus que deu esembles fs, c est plus délcat : s o a, par eemple, tros esembles fs, pour compter le ombre d élémets de leur réuo, o compte le ombre d élémets de ces µ(). O peut motrer, mas c est dffcle, que lm = 0. C est, e fat, équvalet au théorème des ombres premers, et suggéré par le fat que la focto ζ a u pôle e.

4 tros esembles. Mas o dot retrer ceu comptés au mos deu fos : ceu qu sot das deu esembles à la fos. Mas e fasat ça, o e a peut-être trop elevé : s u élémet est das les tros esembles à la fos, l a été décompté ue fos de trop, et o dot le rajouter. D où card(a B C) = card(a)+card(b)+card(c) card(a B) card(a C) card(b C)+card(A B C). O peut fare de même pour esembles, et l detté qu e est ssue s appelle prcpe d cluso-ecluso de Movre, ou formule du crble. Je vas doer le résultat sous ue forme sesblemet dfférete, mas qu fera apparaître plus claremet la focto de Möbus. Proposto 3 (Prcpe d cluso-ecluso de Movre) Sot A u esemble de cardal f N, P = {(),..., (k)} u esemble de proprétés à vérfer, et A(I) le ombre d élémets de A satsfasat toutes les proprétés das I P. Alors : S(A, P) = N + k ( ) s A(I), où S(A, P) est l esemble des élémets e vérfat pas la modre proprété das P. E effet, pour vérfer aucue proprété de P, o commece par predre e compte les N élémets de A, et à retrer tous ceu qu e vérfet pas ue proprété. E fasat ça, o a retré trop souvet ceu qu e vérfet pas deu proprétés, doc o les rajoute pour compeser. Et as de sute. Démostrato. Soet = p < p < < p k les k plus petts ombres premers, et écrvos P = k p. Pour chaque élémet a de A, o assoce l eter F (a) = p. Alors, = S d = () I d où le résultat. 3 Applcatos S(A, P) = e(f (a)) = µ(d) = a A a A d F (a) d P p, alors o a be sûr µ(d) = ( ) card(i) et a A d F (a) = A(I), a () µ(d) a A d F (a) Je doe quatre applcatos varées du prcpe d cluso-ecluso de Movre. Proposto 4 Sot ϕ l dcatrce d Euler trodute das la secto précédete. Alors pour tout eter o ul, o a ϕ() = p. p. Démostrato. Écrvos sous la forme k = p α. Sot A l esemble des eters féreurs à, () la proprété «être dvsble par p». Les eters premers à sot ceu dvsbles par aucu des p. Alors, k ϕ() = S(A, P) = + ( ) s A(I),. Chaque () est u esemble, et o dt que vérfe () s l appartet à ().

5 où A(I) représete l esemble des ombres dvsbles par chacu des p dqués par l esemble I, c est-à-dre l esemble des multples du produt p p s, e posat I = {( ),..., ( s )} P. Or, l y a eactemet p p s multples de p p s féreurs à. Je vous lasse vous covacre qu e développat le produt p, o obtet be des coeffcets de la forme ( ) s p p s. p Cette formule se motre auss faclemet à partr de la multplcatvté de la focto ϕ, dot l a déjà été questo, et de l égalté smple ϕ(p ν ) = p ν p ν pour p premer et ν (ça revet à compter le ombre de multples de p féreurs à p ν ). Proposto 5 Soet et k deu eters tels que k, et s k le ombre de surjectos de, das, k. Alors s k = s=0( ) k k k s s s. Démostrato. Sot A l esemble des applcatos de, das, k, et sot () la proprété «est pas das l mage de l applcato», défe as pour tout, k. Ue applcato surjectve cotet tous les, k das so mage, doc vérfe aucue des proprétés (). As, où s k = k + k ( ) s A(I), A(I) est le ombre d applcatos attegat pas (au mos) s pots de, k. Il est clar que ça revet à déombrer le ombre d applcatos de, das u esemble à k s élémets (l y e a (k s) ),( ce qu o ) dot ecore multpler par le ombre d esembles à k s k élémets das, k (l y e a ). E fasat le chagemet d dce de sommato s k s k s das la somme, o obtet le résultat voulu. Proposto 6 Sot D le ombre de permutatos sas pot fe de,. Alors D =! Démostrato. Sot A l esemble des permutatos de, ; l y e a!. Notos () la proprété «est u pot fe». Comme das la démostrato précédete, o dot calculer les A(I), qu c représetet le ombre de permutatos qu fet (au mos) s pots. Ue permutato de, qu lasse fe s pots déft ue permutato du complémetare de ces s pots, et l y a ( s)! telles permutatos. Pour avor A(I), o dot ecore multpler ( s)! par le ( ombre de cho de s pots das,, et l y a s) ( ) s+ s!. ( tels cho. Comme ( s)! = s)! s!, o obtet le résultat désré. Remarque. Comme D et s k vérfet les relatos! = D k=0 k k = D k=0 k k et k = k k s j=0 j j, o pouvat dédure D et s k d ue autre formule d verso : a k k pour tout Lemme 7 Soet (a ) 0 et (b ) 0 deu sutes vérfat les relatos b = k=0 0. Alors a = k=0( ) k b k k pour tout 0. (. Pour costrure ue permutato, o chost k pots fes sur les de,, fourssat possbltés, k) pus o fat ue permutato sas pot fe sur le complémetare, d où la multplcato par D k.. Pour costrure ue applcato ( de, das, k, o déterme le cardal j de so mage, pus o chost k l mage e questo parm les possbles, et o déft ue surjecto de, sur cette mage ; l y e a s j) j.

6 Cette démostrato tet e peu de choses matrcellemet : elle dt que s A est la matrce de P P (X + ) das la base caoque de R [X], Y le vecteur coloe avec b e coeffcets, et X le vecteur coloe avec a e coeffcets, alors Y = t AX mplque X = t A Y. L verse de A est facle à calculer, pusqu l s agt de la matrce de P P (X ) das la base caoque. Avec ce lemme, o retrouve les formules pour D et s k. Ef, ue derère applcato, arthmétque cette fos, du prcpe d cluso-ecluso : Proposto 8 Sot G() le ombre de couples d eters féreurs à qu sot premers etre eu. Alors, G() lm = 6 π. Autremet dt, la desté des couples de ombres premers etre eu ted vers 6 π. Ébauche de démostrato. Le prcpe d cluso-ecluso aboutt à G() = [ µ() ] = µ() + O, et o a vu précédemmet que la somme µ() ( coverge, ayat pour lmte ) = 6 π. Référeces [Ell] Wllam J. Ellso, Les ombres premers, 44 pages, Herma, 975. [Ra] Mart Ager, Guter M. Zegler, Rasoemets dvs, 70 pages, Sprger, 006. [W] Bruo Wckler, La dstrbuto des ombres premers (TIPE), 7 pages, 008.