Repérage dans le plan

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1 Repérage dans le plan I Les repères a) Définition Définition : Un repère du plan est défini par la donnée de trois points distincts non alignés O, I et J. Le repère est alors noté (O ; I ; J). Le point O est appelé l'origine du repère, la droite (OI), l'axe des abscisses et la droite (OJ), l'axe des ordonnées. La longueur du segment [OI] (respectivement [OJ) représente une unité de l axe des abscisses (respectivement de l axe des ordonnées). On note parfois (Ox) l'axe des abscisses et (Oy) l'axe des ordonnées. Exemple de repère : Ici, l origine du repère est O, l axe des abscisses est (OI) et l axe des ordonnées (OJ) b) Des repères particuliers Définitions : Il existe trois repères particuliers. Le triangle OIJ est isocèle en O Le triangle OIJ est rectangle en O Le triangle OIJ est rectangle et isocèle en O Le repère (O ; I ; J) est normé Le repère (O ; I ; J) est orthogonal Le repère (O ; I ; J) est orthonormé Remarque : Si le triangle OIJ est quelconque alors on dira que le repère (O, I, J) est quelconque II Coordonnées d un point Définition : Soit (O; I; J) un repère du plan. A tout point M du plan, on associe un unique couple (x; y) de nombres réels appelé couple de coordonnées du point M dans le repère (O; I; J). x est appelé abscisse du point M et y est appelé ordonnée du point M. Exemple : Placer le point A(3,) dans le repère (O ; I ; J). Quelles sont les coordonnées des points I et J? Je trace la parallèle à l axe des abscisses passant par un point d ordonnée Je trace la parallèle à l axe des ordonnées passant par un point d abscisse 3 Le point A est alors l intersection de ces deux droites.

2 III Milieux et distance dans un repère du plan Dans cette partie du cours, on considère deux points A et B de coordonnées respectives (x A ; y A ) et (x B ; y B ) a) Milieu d un segment Définition : A et B sont points de coordonnées respectives (x A ; y A ) et (x B ; y B ) dans le repère (O ; I ; J). Les coordonnées du milieu du segment [AB] dans le repère (O ; I ; J) sont : ( x A+x B ; y A+y B ) Exemple : Dans le repère (O, I, J), quel sont les coordonnées du milieu K de [IJ]? On sait que I(1 ; 0) et J(0 ; 1) on a donc K( x I+x J ; y I+y J ) soit K( 1+0 ; 0+1 ) Donc K a pour coordonnées (1 ; 1 ) b) Distance d un segment Démonstration : On se place dans un repère orthonormé (O ; I ; J) et on prend deux points A et B de coordonnées respectives (x A ; y A ) et (x B ; y B ) avec x B > x A et y B > y A Plaçons un point H de façon à avoir ABH un triangle rectangle. La longueur AH est alors de x B x A car x B > x A La longueur BH est alors de y B y A car y B > y A D après le théorème de Pythagore on a : AB² = AH² + BH² = (x B x A ) + (y B y A )² Définition : La distance entre les points A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) dans le repère orthonormé (O ; I ; J) est égale à : AB = (x B x A ) + (y B y A )² Exemple : Soit A(3 ; -5) et B(- ; 4) dans le repère (O ; I ; J). Quel est la distance entre A et B dans ce repère? AB = (x B x A ) + (y B y A )² = ( 3)² + (4 ( 5)) = ( 5) + (9)² = 106

3 IV Equation de droite a) Propriétés et définitions Définition : - Toute droite D non parallèle à l axe des ordonnées est caractérisée par une relation de la forme y = mx + p avec m et p deux nombres réels. On dit que y = ax + b est une équation réduite de la droite D m est appelé coefficient directeur de la droite D et p est l ordonnée à l origine. - Toute droite parallèle à l axe des ordonnées est caractérisée par une relation de la forme x = k avec k un nombre réel. Remarque : Pour les droites caractérisées par y = ax + b : - si a = 0 alors la droite est dite horizontale. - si a 0 alors la droite est dite oblique. Une droite caractérisée par la relation x = k est une droite verticale Exemple : d 1 y = 3x + 1 est l équation d une droite oblique avec a = 3 et b = 1 d y = est l équation d une droite horizontale avec a = 0 et b = d 3 x = 1 est l équation d une droite verticale avec k = 1 d 4 3x y + 1 = 0 y = 3 x + 1 est l équation d une droite oblique avec a = 3 et b = 1 Propriétés : - Tout point M(x M ; y M ) appartenant à la droite D d équation y = ax + b a ses coordonnées qui vérifient l égalité y M = ax M + b - Si les coordonnées d un point M(x M ; y M ) vérifient l équation y M = ax M + b alors le point M appartient à la droite D d équation y = ax + b Exemple : Les points M(15 ; 13) et N(10 ; 4) appartiennent-ils à la droite D d équation y = x 17 Pour M : x M 17 = = 13 = y M Les coordonnées de M vérifient l équation de D donc M D Pour M : x N 17 = = 3 y M Les coordonnées de N ne vérifient pas l équation de D donc M n appartient pas à D

4 b) Déterminer l équation d une droite Définition : Soient deux points A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ). - Si A et B ont la même abscisse alors une équation de la droite (AB) est x = x A - Si A et B ont la même ordonnée alors une équation de la droite (AB) est x = y A - Si A et Bn ont pas la même abscisse alors une équation de la droite (AB) est de la forme y = ax + b et le coefficient directeur m est défini par : a = y B y A x B x A Exemple : Trouver l équation de la droite D passant par A(1 ; 3) et B(- ; 0). A et B n ont pas la même abscisse donc une équation de D est de la forme y = ax + b avec a = y B y A x B x A = = 1 donc on a maintenant y = 1x + b. De plus, le point A (ou B) appartient à D donc ses coordonnées vérifient l équation de la droite. Ainsi : y A = x A + b 3 = 1 + b = b L équation de la droite D est donc de y = x +. Propriété : c) Position relative de deux droites - Deux droites D et D, non parallèles à l axe des ordonnées, sont parallèles (ou confondues) si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Elles sont confondues si elles ont leurs équations de la forme y = ax + b identiques. - Deux droites verticales D et D sont parallèles (ou confondues) entre elles Exemple : Les droites D d équation y = 3 4 x et D d équation y = 0,75x + 5 sont parallèles non confondues car 3 4 = 0,75. d) Intersection de deux droites Propriété : Soient D une droite d équation y = ax + b et D une droite d équation y = a x + b. y = ax + b Soit S le système d équation : { y = a x + b 1 er cas : Si a = a et b = b alors D et D sont confondues et S admet une infinité de solution ème cas : Si a = a et b b alors D et D sont parallèles et S n admet aucune solution 3 ème cas : Si a a alors D et D sont sécantes et S admet un couple (x ; y) de solution. Ce couple correspond aux coordonnées du point d intersection entre D et D

5 Exemple : Quel est l intersection des droites D d équation et D d équation y = 3x. On remarque que D et D n ont pas le même coefficient directeur et pas la même ordonnée à l origine. Résolvons : { y = 3x { x + 5 = 3x { x = 7 { y = = 17 x = 7 Ainsi D et D sont sécantes en ( 7 ; 17 )