Module : STATISTIQUE (1 e année) Document de cours

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1 ESCE-Lyo Méthodes Quattatves Module : STATISTIQUE ( e aée) par Robert Chapelo, chargé de cours et de TD Documet de cours Fare de la statstque, c'est : - collecter des doées, - trater ces doées pour e redre possble l'explotato (statstque descrptve), - terpréter ces doées e utlsat la théore des probabltés (statstque féretelle). S, à l orge, la statstque portat surtout sur des recesemets de populato, elle est aujourd hu utlsée das de ombreux domaes : - producto (cotrôles statstques de processus, de ormes, de qualté, ), - écoome (prévso de taux, d'dces, de rsques, ) - face (vestssemet, cours boursers, redemets ) - assurace (prévso de rsque, calcul de rete, ) - marketg (actvté commercale, stratége commercale, ) - démographe, scece physque, bologe, médece, sodage d'opo, etc E statstque descrptve, o se cotete de décrre ue populato ou u échatllo extrat de cette populato e les résumat à l'ade de gradeurs comme la moyee, la médae, l'écart type, la fréquece, la corrélato, la cocetrato, (statstque descrptve à ue varable) O peut auss aalyser pluseurs varables. Chaque varable prse séparémet peut s étuder comme c-dessus. O peut auss les étuder smultaémet e cherchat l exstece d ue laso etre ces deux varables (vore pluseurs) et e précsat l'testé du le. E statstque féretelle, o utlse la théore statstque pour évaluer, à partr de doées sur u échatllo, certaes gradeurs das ue populato dot l'échatllo est ssu e précsat la fablté des résultats obteus. E e aée à l'esce, ous étuderos des outls de statstque descrptve et commeceros ue tato à la statstque féretelle, les objectfs du module état résumés c-dessous : A. Méthodologe. Appredre commet sélectoer les formatos et les doées écessares à la résoluto du problème posé sur u échatllo extrat au hasard d'ue populato (pratque des sodages). Poser le problème e termes statstques. 3. S'assurer de la fablté de ces doées. 4. Appredre commet chosr les outls (méthodes et moyes scetfques) approprés à la résoluto du problème posé. 5. Vérfer et cotrôler les résultats doés par ces outls B. La prse de décso et détermato des rsques. Vérfer la valdté de la décso à predre RC/0 ESCE-Statstque e aée / Cours / Ch /

2 . Fxer et aalyser les rsques pedat et après la prse de décso. 3. Commet amélorer la valdté et la durée de ve de la décso C. Gééralser la prse de décso à la populato Quelques référeces Des stes pour avor des doées : Des ouvrages : Statstques descrptves de Berard Py (Edto 007-Ecoomca) Exercces corrgés de statstque descrptve de Berard Py (Edto 999-Ecoomca) Statstques descrptves de Berard Gras (Edto 003-Duod) Méthodes statstques de Berard Gras (Edto 003-Duod) Statstques pour l'écoome et la gesto de Aderso, Sweeey, Wllams, tradut par Clare Borseberger (3e édto 00-De Boeck, édteur) RC/0 ESCE-Statstque e aée / Cours / Ch /

3 Chaptre I - STATISTIQUE DESCRIPTIVE à ue varable A. Déftos géérales. Das ue populato doée de talle N, tout sous-esemble de talle est u échatllo. U élémet de la populato est ue uté statstque ou ecore u dvdu. U échatllo est dt dépedat s les trages de chacu des élémets ot leu avec remse du précédet (trages dépedats). Das le cas cotrare, l échatllo est dt exhaustf : les trages sot exhaustfs.e. sas remse. Cepedat s le taux d exhaustvté N peut être cosdéré comme dépedat. est féreur à 0, (.e. 0%), u échatllo exhaustf. Das ue populato o peut étuder ue ou pluseurs varables statstques (ou caractères) attachées à chaque uté statstque. Ces varables peuvet être : qualtatves (atoalté, professo ) ou quattatves (= umérques). Parm celles c, o dstgue :.. les varables dscrètes ou dscotues qu preet u ombre f de valeurs ou u ombre déombrable de valeurs (ombre de frères et sœurs, ombre d apparels méagers chez u couple, ). O ote x l ue des valeurs prses et le ombre d dvdus présetat cette valeur das l échatllo. O parle de la sére (x ; ), varat de à k s l y a k valeurs prses... les varables cotues : elles peuvet predre toutes les valeurs d u tervalle de (talle, pods, salare d u dvdu, ). Les résultats de l equête sur l échatllo peuvet être présetés par tervalles (dts classes) souvet du type [x, x + [ ; est l effectf de la classe uméro. Remarque : pour les varables dscrètes à fort effectf total, o est auss ameé à préseter les résultats e classes. O peut alors parler de la sére ([x, x + [ ; ) avec ecore varat de à k. Pour certas calculs, o aura beso d utlser le cetre c et l ampltude a des classes : c = x + x + et a = x + x. Atteto : das toute étude statstque, o vellera à défr systématquemet : - la populato et sa talle N, - l échatllo et sa talle, - l'uté statstque, - la varable utlsée, - la ature de cette varable 3. La somme otée souvet ou N est l effectf cumulé crossat relatf à x ou à la classe [x, x + [. O peut auss défr la oto d effectf cumulé décrossat relatf à x ou à la classe [x, x + [ : o le ote souvet ou N et l vaut k. O peut costrure les courbes des effectfs cumulés crossats ou décrossats dtes courbes cumulatves des effectfs. RC/0 ESCE-Statstque e aée / Cours / Ch 3/

4 O déft égalemet les fréqueces f = relatves à x ou à la classe [x, x + [ et les fréqueces cumulées (crossates ou décrossates) : f = F = et f = F =. E probablté, la oto de fréquece cumulée crossate correspod à la oto de focto de répartto d'ue varable aléatore. O peut costrure les courbes des fréqueces cumulées crossates ou décrossates dtes courbes cumulatves des fréqueces. Remarque : les effectfs s'appellet auss les fréqueces absolues par opposto aux fréqueces f qu s'appellet alors les fréqueces relatves. 4. Pour ue sére de varable dscrète, o peut fare ue représetato de la sére (x ; ) das u repère orthogoal : o porte les valeurs x de la varable e abscsse et, e ordoée, o porte les effectfs ou les fréqueces f. O costrut auss des représetatos avec, e ordoée, les effectfs cumulés (crossats ou décrossats) ou les fréqueces cumulées (crossates ou décrossates). Le polygoe qu jot les pots s appelle courbe des effectfs ou des fréqueces ou des effectfs cumulés ou des fréqueces cumulées. Exemple : otes d'u étudat e ESCE e statstques. Notes Effectfs Dagramme e bâtos et courbe des effectfs RC/0 ESCE-Statstque e aée / Cours / Ch 4/

5 Courbe cumulatve des effectfs Courbe des fréqueces cumulées crossates = focto de répartto 00% 80% 60% 40% 0% 0% Pour ue sére de varable cotue, o costrut u hstogramme : le dess est formé de rectagles dot les côtés sot parallèles aux axes du repère orthogoal, les bases sot les classes d'ampltude a et les hauteurs sot proportoelles à, quotet des effectfs par les a ampltudes. f f O peut dre que les hauteurs sot auss proportoelles à ou ecore à a où a est a a l'ampltude la plus pette O e dédut que les surfaces S des rectagles sot proportoelles aux effectfs ou ecore aux fréqueces f. Cas partculer fodametal : s l'o pred comme hauteur h =, l'are totale des a rectagles (are "sous la courbe") est égale à. ( = ue uté d'are). Pour ue sére de varable cotue, o costrut auss les courbes des effectfs cumulés ou des fréqueces cumulées mas atteto! RC/0 ESCE-Statstque e aée / Cours / Ch 5/

6 O vellera à porter les effectfs (ou les fréqueces) cumulés crossates sur les bores de drote des classes et les effectfs (ou les fréqueces) cumulés décrossates sur les bores de gauche des classes. Il sufft d terpréter ces effectfs et fréqueces pour e avor la justfcato. Les deux courbes se coupet e u pot dot l'ordoée est la moté de l'effectf total (/) et dot l'abscsse est la médae (vor plus lo B.6.). Exemple : répartto des salares Le tableau c-dessous (coloes et ) présete la répartto des salares mesuels au se d ue etreprse de 00 persoes e cetaes d euros. a) Détermer les effectfs cumulés crossats et décrossats. b) Costrure l hstogramme e preat comme uté cm pour 00 sur le premer axe. c) Costrure le dess des courbes des effectfs cumulés crossats et décrossats e preat comme utés, cm pour 00 sur le premer axe et cm pour 0 persoes sur le deuxème. d) Costrure la courbe de la focto de répartto a) Calculs Salares Eff N N' f F F' a h = a are b) [6 ; 0[ ,0 0,0,00 4 0,050 0,0 [0 ; 4[ ,6 0,46 0,80 4 0,065 0,6 [4 ; 0[ ,36 0,8 0,54 6 0,060 0,36 [0 ; 8[ ,08 0,90 0,8 8 0,00 0,08 [8 ; 38[ ,0,00 0,0 0 0,00 0,0 Totaux 00 / /,00 / / / /,00 Hstogramme 0,080 0,070 0,060 0,050 0,040 0,030 0,00 0,00 0, Me RC/0 ESCE-Statstque e aée / Cours / Ch 6/

7 c) Courbes des effectfs cumulés crossats et décrossats / Me d) Courbe des fréqueces cumulées crossates = focto de répartto 00% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 0% 0% Me 0% RC/0 ESCE-Statstque e aée / Cours / Ch 7/

8 B. Paramètres de posto ou de valeur cetrale Tous les paramètres c-dessous (de posto ou de dsperso), défs pour ue varable statstque peuvet être défs pour ue varable aléatore (e probablté) et ot la même terprétato. Les paramètres de posto sot des ombres qu résumet ue sére statstque.. Le mode Mo ou domate est la valeur la plus fréquete : elle correspod à u maxmum pour les effectfs. Il s'exprme avec l'uté de la varable. Atteto! Le mode est pas écessaremet uque (sére b ou mult-modale) Graphquemet, o lt le mode sur la courbe des effectfs : l correspod à u maxmum sur cette courbe, c'est l'abscsse du bâto le plus grad. Exemple : le mode est ; l correspod à l'effectf 5 qu est la plus grad. Pour ue varable cotue, o déft tout d abord la classe domate ou classe modale : elle correspod à u maxmum pour les et o pas pour les. a Les quotets a s'appellet les effectfs ormalsés. O se cotete souvet de la classe modale. Cepedat, pour ue varable cotue, o a parfos beso de doer ue valeur domate et o pas la classe domate. O l obtet au moye d ue terpolato léare. O ote : [x ; x + [ est la classe modale,, l effectf de la classe modale,, l effectf de la classe précédete, +, l effectf de la classe suvate, a, l ampltude de la classe modale, a, l ampltude de la classe précédete, a +, l ampltude de la classe suvate, alors, Mo = x + (x + x ) ( / a / a / a ) + ( / a / a + / a + ) ou ecore : Mo = x + a d d + d avec : x bore de gauche de la classe modale, a ampltude de la classe modale, d dfférece etre l effectf ormalsé de la classe modale et l effectf ormalsé précédet, d dfférece etre l effectf ormalsé de la classe modale et l effectf ormalsé suvat. Remarque : o peut remplacer par f. Exemple 3. O cosdère la sére : Classe eff ampl a ( /a )/*0 [0 ; 0[ [0 ; 30[ [30 ; 50[ RC/0 ESCE-Statstque e aée / Cours / Ch 8/

9 La classe modale est [0 ; 30[. Le mode, d'après la formule proposée, se calcule as : (60 40) Mo = 0 + (30 0) = 4. (60 40) + (60 30) Cela revet à fare pecher la balace du côté de la classe adjacete la plus forte. Sur l hstogramme, c'est l'abscsse du pot d'tersecto des segmets [AB] et [CD] : équato de (AB) : y = x ; équato de (CD) : y = 3x + 0 coordoées du pot I d'tersecto : I(4 ; 48) Le mode est be égal à 4. Hstogramme, classe modale et mode C B A D Mo La moyee arthmétque de réels. a + b La moyee arthmétque m de deux réels a et b est défe par : m =. Exemple : pour a = et b = 3, m =,5. Pour ue sére (x ; ), o déft la moyee arthmétque otée x pour u échatllo (m pour x ue populato) par : x =. Elle s'exprme avec l'uté de la varable. Pour les varables cotues, o utlse les cetres des classes. O peut auss écrre : x = f x. Proprété : α, (x x) ( x α). RC/0 ESCE-Statstque e aée / Cours / Ch 9/

10 Exemple : repredre l'exemple (répartto des salares) Détermer la moyee arthmétque de la sére à près. O cherche préalablemet les cetres c des classes (coloe 3). 3 O déterme tous les produts c. Pus : c = 3. D'où : x =, pus : x = 6, La moyee des salares est de 6,06 cetaes d'euros, sor 606 euros à euro près. Salares Effectfs Cetre c c [6 ; 0[ [0 ; 4[ 5 64 [4 ; 0[ [0 ; 8[ [8 ; 38[ Totaux 00 / 3 3. La moyee géométrque de réels strctemet postfs. La moyee géométrque g de deux réels a et b strctemet postfs est : g = ab. O peut remarquer : l g = (l a + l b). Autremet dt : le logarthme de la moyee géométrque est la moyee arthmétque des logarthmes des réels. Exemple : pour a = et b = 3, g = 6,4495. Pour ue sére (x ; ), o déft la moyee géométrque g par : l x k g = ( x x... xk ) ou l g =. Elle s'exprme avec l'uté de la varable. O a auss : g = x... f f f x x. Elle est utle das les problèmes d'évoluto de valeurs e pourcetage, d'dces,... Exemple Le prx d'u produt subt successvemet e deux as ue augmetato de 4% pus de 6%. a) Quel est le pourcetage d'augmetato sur l'esemble des deux aées? b) Motrer que le coeffcet multplcateur moye auel est la moyee géométrque des deux coeffcets multplcateurs auels utlsés. c) Quel est, à 0,00% près le pourcetage auel moye d'augmetato sur l'esemble des deux aées? Soluto : a) Sot P 0 le prx tal du produt, P so prx au bout d'u a, P so prx au bout de deux as. 4 6 O exprme l'évoluto des prx : P = P 0 + P0 =,04.P 0 ; P = P + P =,06.P ,04 est le coeffcet multplcateur de la e aée,,06 celu de la e. RC/0 ESCE-Statstque e aée / Cours / Ch 0/

11 0,4 O e dédut : P =,06.P =,06,04.P 0 =,04.P 0 = P 0 + P Le pourcetage d'augmetato sur l'esemble des deux aées est doc de 0,4%. b) Sot x le pourcetage auel moye d'augmetato sur l'esemble des deux aées. Ce pourcetage, applqué deux fos à P 0 dot permettre de retrouver le prx P. x x P = P 0 + P0 = ( + 0,0x).P 0 pus P = P + P = ( + 0,0x).P ( + 0,0x) est le coeffcet multplcateur de la e aée et de la e. P = ( + 0,0x).P = ( + 0,0x) P 0. D'où : ( + 0,0x) P 0 =,04.P 0. O e dédut : ( + 0,0x) =,04, pus : + 0,0x =, 04. O remarque doc : + 0,0x =,04, 06. As, le coeffcet multplcateur moye auel est la moyee géométrque des deux coeffcets multplcateurs auels utlsés. c) Calcul de x : + 0,0x =, 04 doe 0,0x =, 04 pus : x =,04, ef x 4,995%. 0,0 Le pourcetage auel moye d'augmetato sur l'esemble des deux aées est de 4,995%. 4. La moyee harmoque de réels o uls. La moyee harmoque h de deux réels a et b o uls est défe par : = a + b. h ab O a doc : h =. a + b L verse de la moyee harmoque est la moyee arthmétque des verses des réels. Exemple : pour a = et b = 3, h =,4. x Pour ue sére (x ; ), o déft la moyee harmoque h par : =. h Elle s'exprme avec l'uté de la varable. Elle est utle das les problèmes d'dces, de taux de chage, de débts sur des postes de traval. Exemple Vous échagez deux fos la somme de 09 euros cotre des fracs susses au cours de CHF pour 0,9 la premère fos et au cours de CHF pour 0,84 la deuxème fos. Quel est le cours moye du frac susse à 0 4 près sur l'esemble des deux opératos? Motrer que le résultat est la moyee harmoque de 0,9 et 0,84. Soluto : e opérato : o obtet 09 = 00 CHF pour les 09 échagés. 0,9 RC/0 ESCE-Statstque e aée / Cours / Ch /

12 e opérato : o obtet 09 = 300 CHF pour les 09 échagés.. 0,84 Au total, o a obteu 500 CHF pour 84 échagés. 84 Le prx moye de CHF sur l'esemble des deux opératos est doc de = 0, O peut remarquer : 0,8736 = + 0,9 0,84. 0,8736 est be la moyee harmoque de 0,9 et 0,84. Exemple 3 U cyclste parcourt 30 km à 5 km/h pus effectue le trajet retour à 5 km/h. Quelle est sa moyee horare sur l'esemble du trajet aller-retour? Motrer que le résultat est la moyee harmoque de 5 et 5. Soluto : Klométrage total : 60 km Temps aller : = heures ; temps retour : =, heures ( h m). 5 5 Temps total aller-retour : 3, heures. Vtesse moyee sur le trajet aller-retour : O peut remarquer : 8,75 = = 8,75. 3, 0,8736 est be la moyee harmoque de 0,9 et 0, La moyee quadratque de réels. La moyee quadratque q de deux réels a et b est défe par : q = a + b Le carré de la moyee quadratque est la moyee arthmétque des carrés des réels. Exemple : pour a = et b = 3, q = 6, 5, Pour ue sére (x ; ), o déft la moyee quadratque q par : q = Elle s'exprme avec l'uté de la varable. Elle est utle das les otos de varace et d'écart type. x. 6. Remarque : les moyees précédetes sot toujours classées das l'ordre : h g x q. 7. La médae Me est ue valeur qu partage la sére e deux partes de même effectf : la moté des valeurs sot au-dessus de la médae et l autre moté e dessous. O commecera toujours par classer les valeurs de la varable par ordre crossat. La médae s'exprme avec l'uté de la varable. RC/0 ESCE-Statstque e aée / Cours / Ch /

13 + - Cas d'ue sére avec u effectf mpar : Me est la valeur de la sére qu est classée. - Cas d'ue sére avec u effectf par : o pred courammet comme médae Me la + moyee arthmétque etre les deux valeurs de la sére qu sot classées et. - Pour ue varable cotue dot les valeurs sot doées par classes, (l'effectf est alors souvet mportat), o recherche tout d'abord la classe médae : c'est la classe qu cotet la valeur de la varable classée, que sot par ou mpar. O peut se coteter de la classe médae mas o a parfos beso de précser doer ue valeur médae. O l obtet au moye d ue terpolato léare. O supposera toujours, sauf meto cotrare explcte, que les valeurs sot équrépartes das chacue des classes. La médae se calcule par terpolato léare, ce qu est résumé par la formule suvate : N Me = x + a avec : x bore de gauche de la classe médae, a ampltude de la classe médae, N effectf cumulé crossat de la classe qu précède la classe médae, effectf de la classe médae. O peut remplacer le mot effectf par fréquece (/ par 0,5, N - par F -, par f ). Exemple : repredre l'exemple. Détermer la médae de la sére à près. O suppose que les salares sot uformémet réparts das les classes (équrépartto). L'effectf de l'échatllo est = 00. O a doc / = 00. O retrouvera c-dessous u extrat du tableau déjà costrut : E examat la coloe N de ce tableau, o remarque que la valeur classée 00e est as la classe [4 ; 0[. C'est la classe médae. Salares Eff N [6 ; 0[ [0 ; 4[ 5 9 [4 ; 0[ 7 64 [0 ; 8[ 6 80 [8 ; 38[ 0 00 Totaux 00 / O a alors : x = 4 : c'est la bore de gauche de la classe médae, a = 6 : c'est l'ampltude de la classe médae, N = 9 : c'est l'effectf cumulé crossat de la classe qu précède la classe médae, = 7 : c'est l'effectf de la classe médae. RC/0 ESCE-Statstque e aée / Cours / Ch 3/

14 N Avec la formule de la médae, o obtet : Me = x + a 00 9 = As : Me 4,67 (cetaes d'euros). O peut doc dre que 50% des salares sot féreurs (ou égaux) à 467 et que 50% des salares sot supéreurs (ou égaux) à 467. Iterprétato graphque de la médae. La médae est l'abscsse du pot d'tersecto des courbes des effectfs cumulés (cf A.5.). C'est sur chacue des courbes des effectfs cumulés l'abscsse du pot dot l'ordoée est /. Sur u hstogramme, la parallèle au deuxème axe d'équato x = Me partage la surface sous la courbe e deux partes de même are. Hstogramme 0,080 0,070 0,060 0,050 0,040 0,030 0,00 0,00 0, Me Proprété : α, x Me x α. Ef, o retedra : Pour ue sére à peu près symétrque, mode, médae et moyee arthmétque sot voses, o parlera u peu plus tard de dstrbuto "ormale" das ce cas, avec ue défto rgoureuse. 8. La médae fat parte des quatles ou fractles : c est le fractle d ordre 0,5. S α est u réel comprs etre 0 et, le fractle F α d ordre α est ue valeur telle que parm la sére, le pourcetage de valeurs e dessous de F α est α et le pourcetage de valeurs au dessus de F α est α. S α = 0,5, F 0,5 est le premer quartle (oté auss Q ). S α = 0,50, F 0,5 est le deuxème quartle (oté auss Q, c est la médae). S α = 0,75, F 0,75 est le trosème quartle (Q 3 ). S α = 0,0, F 0, est le premer décle et, par exemple, s α = 0,30, F 0,3 est le trosème décle, O les ote auss D, D, D 9. S α = 0,0, F 0,0 est le premer cetle, s α = 0,07, F 0,07 est le septème cetle, RC/0 ESCE-Statstque e aée / Cours / Ch 4/

15 Tous ces fractles (quartles) se calculet avec le même prcpe que celu de la médae. Ils s'exprmet tous avec l'uté de la varable. Il y a 3 quartles, 9 décles, 99 cetles, etc Exemple : repredre l'exemple. Détermer le er et le 3e quartle de la sére à près. Calcul du er quartle Q. Le er quartle se calcule par terpolato léare comme la médae. C'est la valeur de la varable classée /4. L'effectf de l'échatllo est = 00. Ic : /4 = 50. O suppose que les salares sot uformémet réparts das les classes (équrépartto). E examat la coloe N du tableau c-après, o remarque que la valeur classée 50e est as la classe [0 ; 4[. C'est la classe du er quartle Q. Salares Eff N [6 ; 0[ [0 ; 4[ 5 9 [4 ; 0[ 7 64 [0 ; 8[ 6 80 [8 ; 38[ 0 00 Totaux 00 / O a alors : x = 0 : c'est la bore de gauche de la classe de Q, a = 4 : c'est l'ampltude de la classe de Q, N = 40 : c'est l'effectf cumulé crossat de la classe qu précède la classe de Q, = 9 : c'est l'effectf de la classe de Q. N O e dédut : Q = x + a 4 = As : Q 0,43 (cetaes d'euros). O peut doc dre que 5% des salares sot féreurs (ou égaux) à 043 et que 75% des salares sot supéreurs (ou égaux) à 043. Calcul du 3e quartle Q 3. Le 3e quartle se calcule par terpolato léare comme la médae. C'est la valeur de la varable classée 3/4. Ic, = 00, doc : 3/4 = 50. O suppose que les salares sot uformémet réparts das les classes (équ-répartto). E examat la coloe N du tableau, o remarque que la valeur classée 50e est as la classe [4 ; 0[. C'est la classe du 3e quartle Q 3. O a alors : x = 4 : c'est la bore de gauche de la classe de Q 3, a = 6 : c'est l'ampltude de la classe de Q 3, N = 9 : c'est l'effectf cumulé crossat de la classe qu précède la classe de Q 3, RC/0 ESCE-Statstque e aée / Cours / Ch 5/

16 = 7 : c'est l'effectf de la classe de Q 3. 3 N O e dédut : Q 3 = x + a = As : Q 3 8,83 (cetaes d'euros). O peut doc dre que 75% des salares sot féreurs (ou égaux) à 883 et que 5% des salares sot supéreurs (ou égaux) à 883. C. Paramètres de dsperso Pour des séres de même ature ayat à peu près les mêmes valeurs cetrales, ces ouveau paramètres permettet de comparer la répartto des valeurs de la sére autour des valeurs cetrales. O dt auss qu ls mesuret la dsperso.. L étedue, le plus smple, est l écart etre la plus pette et la plus grade valeur observées ou susceptbles de l être (sére défe par des classes). Elle s'exprme avec l'uté de la varable.. L tervalle terquartle est l'tervalle [F 0,5 ; F 0,75 ] = [Q ; Q 3 ]. So ampltude est l'terquartle : c'est F 0,75 F 0,5 = Q 3 Q, c est l écart etre le 3 e et le er quartle : c est l étedue de la sére quad o a supprmé les 5% des valeurs les plus fables et les 5% des valeurs les plus fortes. Il cotet 50% des valeurs. Il amélore la oto d étedue qu, elle, e tet compte que des valeurs extrêmes. Il s'exprme avec l'uté de la varable. Exemple : repredre l'exemple. Détermer l'tervalle terquartle et l'terquartle de la sére de l'exemple. L'tervalle terquartle est [Q ; Q 3 ] = [043 ; 883] e euros. L'terquartle vaut alors Q 3 Q = 840 e euros. Quad o a élmé les 5% des salares les plus fables et les 5% des salares les plus élevés, l y a 840 euros d'écart etre le salare le plus élevé et le salare le plus fable de la sére troquée. 3. L tervalle terdécle est [D ; D 9 ] avec D = F 0, et D 9 = F 0,9 ; l'terdécle est D 9 D. Même rôle. O utlse auss le rapport terdécle D 9 /D (atteto, c'est u ombre sas uté). 4. S x est la moyee de la sére, x x est l écart de la valeur x par rapport à x. S o calcule ( x x), cette somme est toujours ulle : les écarts se compeset. S o veut u écart moye par rapport à x, o dspose de deux paramètres de dsperso : l écart moye arthmétque par rapport à x et l écart-type. x x 5. L écart moye arthmétque par rapport à x : e m =. Il est mos utlsé que l écart-type déf c-après qu a d autres usages. Il s'exprme avec l'uté de la varable. x x 6. La varace otée S : S ( ) = ou S x = ( x) (formule de Huyges). Pour ue varable cotue, o utlse le cetre c des classes. Elle e s'exprme pas avec l'uté de la varable mas avec le carré de celle-c. RC/0 ESCE-Statstque e aée / Cours / Ch 6/

17 L écart-type (térêt majeur e statstque) oté S ou S(x) pour u échatllo et σ das la populato est la race carrée postve de la varace. Il s'exprme avec l'uté de la varable. L'écart-type est la moyee quadratque des écarts etre les valeurs de la varable et la moyee arthmétque. La formule c-dessus prouve que S et S sot des paramètres de dsperso. O peut auss écrre : S = f ( x ) Pour les varables cotues, o utlse les cetres des classes. x. O a ue défto semblable e probablté. Exemple : repredre l'exemple. Détermer la varace S à 0 4 près et l'écart-type S à près. O repred le tableau précédet e ajoutat la coloe 5 des produts c. Atteto! Seul c est au carré!!! Pus : c = 685. D'où : S = 685 6,06, pus : S = 5,3364 et S 7,6. 00 L'écart type vaut evro 7,6 cetaes d'euros, sot 76 euros. Salares Effectfs Cetre c c c [6 ; 0[ [0 ; 4[ [4 ; 0[ [0 ; 8[ [8 ; 38[ Totaux t = x x S est la varable statstque rédute assocée à x. 8. Paramètres de dsperso relatve Ils permettet de comparer la dsperso de séres qu dffèret fortemet par leur ordre de gradeur ou qu e s'exprmet pas avec la même uté. Par exemple, comparaso de la sére des pods de fourms et d'ue autre de pods d'éléphats. Pour la sére (x ; ), o déft : - le coeffcet de varato : x S, quotet de l'écart type par la moyee arthmétque. - l'terquartle relatf Q Q 3 Q Ce sot des ombres sas uté., quotet de l'terquartle par la médae. RC/0 ESCE-Statstque e aée / Cours / Ch 7/

18 9. Ifluece d u chagemet de varable affe sur moyee, varace et écart type. S l o pose X = αx + β, les moyees et varaces des séres (x ; ) et (X ; ) sot lées par les relatos : X = α x + β et S (X) = α S (x). O a auss : S(X) = α.s(x). Exemple : s la sére (x ; ) a pour moyee 40 et pour écart type 40, e posat X = x 00, la 0 ouvelle sére (X ; ) a pour moyee et pour écart type. (O a chos α = et β = 0). 0 D. Courbe et dce de cocetrato L'dce de cocetrato est u dce de dsperso qu cocere certaes dstrbutos tels que les celles des salares, des reveus, des etreprses suvat leur talle, des surfaces des explotatos agrcoles, des factures au se d'ue etreprse, etc Les varables sot postves.. Courbe de cocetrato dte de Lorez O cosdère ue sére postve de varable dscrète (x ; ) avec k valeurs ou de varable cotue la sére ([x, x + [ ; ) défe par k classes. O calcule successvemet : f = les fréqueces relatves à la valeur x ou à la classe [x, x + [, F les fréqueces cumulées crossates, les produts S = c avec c le cetre de la classe [x, x + [, les k cumuls des S que ous oteros S cum, o otera S le derer cumul qu est la somme de toutes les valeurs S, S cum pour = à k, les k quotets : q =. S (q représete la proporto cumulée de la somme totale des premères valeurs classées) Das u repère orthoormé, o porte alors les k pots de coordoées (F, q ). Il y a autat de pots que de classes. Le derer pot est toujours le pot ( ; ). O rajoute le pot orge O(0 ; 0). La courbe de cocetrato est la lge polygoale jogat l'orge O et les k pots. Cette courbe est stuée das le carré formé par les pots O(0 ; 0), I( ; 0), J( ; ) et K(0 ; ). Elle est toujours e dessous de la dagoale (OJ). La surface comprse etre la dagoale (OJ) et la courbe de cocetrato s'appelle la surface de cocetrato. Quatre exemples smples : Il s'agt de 4 etreprses avec 4 salarés dot o étude la répartto des salares. Costrure la courbe de cocetrato de Lorez pour chacue des etreprses. Commeter. Etreprse Salare x Effectf Etreprse Salare x Effectf RC/0 ESCE-Statstque e aée / Cours / Ch 8/

19 Etreprse 3 Salare x Effectf Etreprse 4 Salare x Effectf Voc les résultats et les courbes : Etreprse Salare x Effectf f F S S cum q ,75 0, , ,5, ,00 4, Etreprse Salare x Effectf f F S S cum q ,75 0, , ,5, ,00 4, Etreprse 3 Salare x Effectf f F S S cum q 000 4,00, , ,00, ,00 4, Etreprse 4 Salare x Effectf f F S S cum q 0 3 0,75 0, , ,5, ,00 4, Etreprse Etreprse q q 0,8 0,8 0,6 0,6 0,4 0,4 0, 0, 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 F 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 F RC/0 ESCE-Statstque e aée / Cours / Ch 9/

20 Etreprse 3 Etreprse 4 q q 0,8 0,8 0,6 0,6 0,4 0,4 0, 0, 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 F 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 F Comparaso des cocetratos. Das le cas de l'etreprse 3, la courbe est cofodue avec le segmet [OJ] qu s'appelle la courbe d'équ-répartto : das l'etreprse 3, la cocetrato est ulle. Das l'etreprse 4, la cocetrato est très forte. La cocetrato est plus forte das l'etreprse que das l'etreprse. U exemple plus élaboré : Le tableau c-dessous décrt la répartto des surfaces agrcoles d'u pays vos (Coloes et ). Les effectfs ot été arrods à 0 près pour alléger les calculs. Costrure la courbe de cocetrato de Lorez. O calcule comme précédemmet les fréqueces f, les fréqueces cumulées crossates F, les cetres des classes c, les ares totales par classe S et ef les ares totales relatves cumulées q. Surfaces x Effectfs f F Cetres c S S cum q mos de ha ,58 0,58 0, ,005 de à mos de ha 800 0,087 0,44, ,04 de à mos de 5 ha 400 0,50 0,395 3, ,049 de 5 à mos de 0 ha ,5 0,547 7, ,6 de 0 à mos de 0 ha ,05 0, ,33 de 0 à mos de 30 ha , 0, ,5 de 30 à mos de 50 ha ,088 0, ,756 de 50 à mos de 80 ha 300 0,034 0, ,904 de 80 à mos de 00 ha 650 0,007 0, , ha et plus 700 0,007, ,000 Totaux 94550, RC/0 ESCE-Statstque e aée / Cours / Ch 0/

21 Répartto des surfaces agrcoles,0 q,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,0 0,0 0,00 0,00 0,0 0,0 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90,00,0 F. Idce de cocetrato dt de G L'dce de cocetrato est déf comme le quotet de l'are de la surface de cocetrato par l'are du tragle (OIJ). L'are de ce tragle vaut toujours 0,5 e utés d'are. Autremet dt, l'dce de cocetrato est le double de l'are de la surface de cocetrato exprmée e utés d'are. Il vaut meux, e gééral, calculer l'are sous la courbe, pus e dédure l'are de la surface de cocetrato pus l'dce de G. Exemple : Calculer l'dce de G pour les 4 séres portat sur les salares au se de 4 etreprses. Etreprse 0,45 Etreprse 0,5 Etreprse 3 0 Etreprse 4 0,75 Exemple de calcul pour l'etreprse : la surface sous la courbe est formée d'u tragle et d'u trapèze. RC/0 ESCE-Statstque e aée / Cours / Ch /

22 B h 0,75 0,3 Tragle : base B = 0,75, hauteur h = 0,3, are = = = 0,5. Trapèze : grade base B =, pette base b = 0,3, hauteur h = 0,75 = 0,5, ( B + b) h ( + 0,3) 0,5 are = = = = 0,65. Are sous la courbe : = + = 0,75. Are de la surface de cocetrato (are etre la courbe et la dagoale (OJ)) : 0,5 0,75 = 0,5. Idce de cocetrato (de G) : IG = Remarque : IG =. 0,5 0,5 = 0,45. Exemple plus élaboré : Calculer l'dce de G pour la sére portat sur la répartto des surfaces agrcoles. La surface sous la courbe est costtuée d'u tragle et de 9 trapèzes. Le tragle état u trapèze dot la pette base est ulle, o peut cosdérer que l'o a 0 trapèzes. Les pettes bases sot les valeurs de q de q 0 = 0 à q 9 = 0,945. Les grades bases sot les valeurs de q de q = 0,05 à q 0 =,000. Les hauteurs sot les dfféreces F + F autremet dt les valeurs de f! Le trapèze uméro a doc pour pette base q -, pour grade base q, pour hauteur f. 0 ( q As, l'are sous la courbe se calcule comme sut : Ces calculs sot résumés das le tableau c-dessous : = q + ) f. q - +q f are 0,005 0,58 0,000 0,09 0,087 0,00 0,063 0,50 0,005 0,75 0,5 0,03 0,458 0,05 0,047 q - +q f are 0,853 0, 0,048,77 0,088 0,056,660 0,034 0,08,849 0,007 0,006,945 0,007 0,007 L'are totale sous courbe est = 0, et l'dce de G vaut doc : IG 0,58. O peut cosdérer que la cocetrato est forte. RC/0 ESCE-Statstque e aée / Cours / Ch /