Chapitre 4: Travail Energie

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1 Chaite 4: Tavail Enegie Intoduction Le tavail d'une foce est l énegie founie a une foce losque son oint d'alication se délace. Il est esonsable de la vaiation de l énegie cinétique du système qui subit cette foce. On note W le tavail (en Anglais, tavail=wok d où le W). Les foces sont dues aux inteactions ente le mobile considéé et une souce de foces. Pou cetaines de ces inteactions, on eut défini une énegie d inteaction qui taduit l imotance de l inteaction en fonction de la distance séaant le mobile et la souce de la foce. Cette énegie d inteaction a le otentiel de se tansfome en énegie cinétique d où le nom d énegie otentielle. 1

2 Chaite 4: Tavail Enegie I Tavail d une foce II Théoème de l énegie cinétique III Enegie otentielle Enegie mécanique IV Equilibe d un système mécanique

3 Chaite 4: Tavail Enegie I TRAVAIL D UNE FORCE 1) Foce constante su un acous ectiligne Le tavail d une foce constante ente les oints A (oint initial) et B (oint final) selon la ligne doite séaant A et B est : F F ste F = C F α α α A W A B ( F) = F.AB = F AB cosα B F AB ( W ) A B F = 0 F / /AB Si, α=π/ : Si, α=0 : W F = F A B ( ) AB 3

4 Chaite 4: Tavail Enegie I TRAVAIL D UNE FORCE ) Foce quelconque F Que se asse t il ou une foce quelconque, su un chemin AB non ectiligne? A F F F F W ( ) F? = A B B 4

5 Chaite 4: Tavail Enegie I TRAVAIL D UNE FORCE ) Foce quelconque On découe le chemin AB en éléments de longueu ectilignes infinitésimaux (on aoxime la tajectoie a sa tangente. Su cet élément de longueu, on eut aussi considée la foce constante F δw F (s(t)) M M' ( F) = F. MM' = F.d OM (Tavail élémentaie) MM' = OM' OM = d OM A x O M M Le tavail de A à B de la foce est alos la somme de tous les tavaux élémentaies B F 5

6 Le tavail de la foce oints A et B est alos : F F Chaite 4: Tavail Enegie I TRAVAIL D UNE FORCE ) Foce quelconque (qui déend de la osition) su la tajectoie (coube) eliant les A M M F (t) F W A B ( F) = δw = AB AB F.dOM B le long du chemin eliant A à B! L intégale ci dessus n est as l intégale habituelle, c est une intégale cuviligne 6

7 Chaite 4: Tavail Enegie W A B I TRAVAIL D UNE FORCE ) Foce quelconque ( F) = AB F.dOM L intégale est aelée, en mathématiques, ciculation du vecteu F le long du chemin AB Remaques : ) si W A B ( > 0, le tavail est moteu. ) si W A, le tavail est ésistant, c est le cas des foces de fottement. B ( F) < 0 ) si la foce est constamment eendiculaie au délacement ( tension du fil d un endule, éaction nomale d un suot ) : W F ( ) 0 A B = 7

8 Comment calcule cette intégale? Chaite 4: Tavail Enegie I TRAVAIL D UNE FORCE ) Foce quelconque W A B ( F) = AB F.dOM A une dimension : mouvement ectiligne, l intégale coesond à l intégale habituelle F = -k x i Exemle : (avec k=c ste >0) et délacement de A=Oigine (x=0) à B (x=). W A B = x= ( F) ( k xi )( dx i ) = k x dx = k x= 0 0 8

9 Comment calcule cette intégale? A deux dimensions : Chaite 4: Tavail Enegie I TRAVAIL D UNE FORCE ) Foce quelconque W A B ( F) = AB F.dOM ) en catésiennes, il faut écie les comosantes de la foce su les vecteus de base et : et donc Et i δw j F = F x i + Fy j OM = x i + y j d OM = dx i + dy j = F.d OM = F dx F dy x + Il suffit de faie alos l intégale su x comme d habitude y. En se délaçant de A à B, on acout la coube y=f(x) donc dy = f (x) dx que l on met dans l exession de δw : δw = Fx dx + F y f'(x)dx Exemle : F = k x i + -k y j ; A=(0,0) et B=(1,1) en allant tout doit de A à B. La doite eliant A à B est la doite y=x donc dy=dx donc δw = -kxdx + -ky dy = -k ( xdx + ydy) = k(xdx + xdx) = kxdx x= 1 1 W F k x dx = -k xdx = A B ( ) = k x= 0 0 9

10 !DIFFICILE Comment calcule cette intégale? Chaite 4: Tavail Enegie I TRAVAIL D UNE FORCE ) Foce quelconque W A B ( F) = AB F.dOM A deux dimensions : )enolaies, les vecteus et emlacent les vecteus et : donc F F u F θ u = + θ, OM u θ d OM d d = θ, = v = u + u θ, d OM = v dt = d u + dθ u dt dt dt Et. Une méthode est de considée qu en se δw = F.d OM = F d + F dθ délaçant de A à B, on acout la coube =f(θ) doncd=f (θ) dθ que l on met dans l exession de δw: θ ( θ ) dθ F f ( θ ) δ W = F f ' + u u Il suffit de faie alos l intégale su θ comme d habitude Exemle : F = -k u A=(0,0) et B=(1,1) (en catésiennes!) en allant tout doit de A à B. Si on taduit ceci en olaies, le oint B coesond à = et θ = π / 4. En allant de A à B, l angle θ este constant donc dθ=0. δw = F d + F dθ = kd + 0 θ y dθ = i W = kd = -k = 0 j 10 θ

11 Chaite 4: Tavail Enegie I TRAVAIL D UNE FORCE 3) Puissance F AB La uissance moyenne de la foce su le chemin (non nécessaiement ectiligne) eliant A, atteint à l instant t A, et B, atteint à l instant t B, est : P A B, moy La uissance instantanée de la foce F est : P δw dt ( ) W ( ) A B F F = t B t ( F) = = F. = F. v A d OM dt 11

12 Chaite 4: Tavail Enegie II Théoème de l énegie cinétique Soit F AB la ésultante de toutes les foces que subit un oint matéiel de masse m su le chemin (non nécessaiement ectiligne). Théoème de l énegie cinétique : Dans un éféentiel galiléen, la vaiation d énegie cinétique d un oint matéiel soumis à F une foce, ente un oint A et un oint B de sa tajectoie, est égal au tavail de su l ac de tajectoie AB. E c ( B) E ( A) = W ( F) c A B F E = c 1 mv est l énegie cinétique du oint matéiel 1

13 Chaite 4: Tavail Enegie III Enegie otentielle Enegie mécanique 1) Foce à ciculation consevative Pami toutes les foces, leu tavail eut déende du chemin acouu ou non. F Une foce est dite consevative (ou bien à ciculation consevative) si : ) elle ne déend que de la osition ) le tavail de cette foce ente deux oints A et B quelconques ne déend que de A et B et non du chemin suivi ente A et B. Foces nécessaiement non consevatives : ) fottements fluides ) foce magnétique F = -k v F = q v B ) fottements solides (su un lan incliné) 13

14 Chaite 4: Tavail Enegie III Enegie otentielle Enegie mécanique 1) Foce à ciculation consevative Comment savoi qu une foce, F, ne déendant que de la osition, est consevative? Il y a deux méthodes (au choix!) : ) on utilise la méthode des déivées coisées ) il existe une fonction U, qui déend de la osition, telle que : F = - gad U La méthode des déivées coisées : en catésiennes, F = F x i + F il faut : F x y F x y x (, ) y (, ) = y x Exemles : = k x i k y j F 1 F = k y i k x y j j. Pou que la foce soit à ciculation consevative, F x F y ( x, y) ( kx) = = 0 y y ( x, y) ( ky) = = 0 x x F x ( x, y) ( ky = ) = k y y F y ( x, y) ( kx ) = = kx x x Donc F 1 est consevative Donc F est non consevative 14

15 Chaite 4: Tavail Enegie III Enegie otentielle Enegie mécanique 1) Foce à ciculation consevative? F = - gad U en catésiennes, F = F x i + Fy j. Pou que la foce soit à ciculation consevative, il faut touve U(x,y) telle que : U ( x, y) ( ) = Fx x, y x U ( x, y) = Fy ( x, y) y Exemles : F 1 = k x i k y j U ( x, y ) 1 U( x, y) = kx U( x, y) = k x 1 ste + f(y) = f '(y) = ky f ( y ) = ky + C x U y ( x, y ) = ky y? 1 1 ste ( y) = k x + k y +C U x, La constante est définie a les conditions initiales et souvent telle que Usoitnulàl infinioueno 15

16 Chaite 4: Tavail Enegie III Enegie otentielle Enegie mécanique ) Enegie otentielle Une foce, F, ne déendant que de la osition, déive d une énegie otentielle E, si on eut écie : F = - gad E Avec gad E gad E gad E E = E = E = ( x, y,z) E ( x, y,z) E ( x, y,z) x, y, z (, θ, z) E (, θ, z) E (, θ, z) 1, θ, z (, θ, φ ) E (, θ, φ) E (, θ, φ ) 1, θ 1, sin φ φ en catésiennes en cylindiques en shéiques 16

17 Chaite 4: Tavail Enegie III Enegie otentielle Enegie mécanique ) Enegie otentielle Physiquement, que eésente le gadient? Le gadient mesue l imotance de la vaiation de la quantité considéée en fonction de la osition Gadient de ession Gadient de teméatue Les flèches écisent le vecteu gadient de la quantité considéée. Plus les flèches sont longues, lus la quantité vaie su une etite distance. Les vecteus gadients sont oientés eendiculaiement aux lignes iso quantités (isobae, isotheme) et diigées de la valeu la lus élevée ves la valeu la lus basse 17

18 Chaite 4: Tavail Enegie III Enegie otentielle Enegie mécanique ) Enegie otentielle Physiquement, que eésente le gadient? Le gadient mesue l imotance de la vaiation de la quantité considéée en fonction de la osition Chaque ligne isohyse coesond à la même altitude et donc la même distance du cente de la Tee c est à die à une même intensité de la foce de gavitation. Mm F = - G F = - gad E u? OUI : () E = - G Mm Lignes isohyses (même altitude) avec gadient de couleu Au voisinage de la Tee, on écit : F = - gad E? F = m g = OUI : E ( z) = m g z COHERENCE???? Oui, tant que z<< ayon de la Tee m g k 18

19 Chaite 4: Tavail Enegie III Enegie otentielle Enegie mécanique ) Enegie otentielle Gavitation Gavitation (au voisinage de la suface de la Tee) Raideu d un essot Foce électique Foce électique Foce de ession dans un fluide Foce Mm F = - G F = m g u Enegie otentielle E = - G Mm E = m g z 1 F = - k xi E = k x 1 Qq 1 Qq F = u E = 4πε 0 4πε 0 F = q E E = q V F = ρ g E = P (Potentiel électique) (Pession) 19

20 Chaite 4: Tavail Enegie III Enegie otentielle Enegie mécanique ) Enegie otentielle Comment calcule facilement le tavail d une foce consevative? F = - gad E δw E E E = F.d OM = gad E dz x y z.d OM = dx + dy + = de W A B ( F) = δw = - de = de = E ( A) E ( B) AB AB B A 0

21 Chaite 4: Tavail Enegie III Enegie otentielle Enegie mécanique 3) Enegie mécanique On considèe un système mécanique soumis uniquement à des foces consevatives ou à des foces ne tavaillant as. On note E, l énegie otentielle totale coesondant à toutes les foces consevatives. L énegie mécanique totale du système est définie a : E = E + m c E En utilisant le théoème de l énegie cinétique, dans un éféentiel galiléen, ouun système soumis uniquement à des foces consevatives et à des foces ne tavaillant as, l énegie mécanique totale est consevée. L équation obtenue s aelle l intégale emièe du mouvement : E c + E = E = C ste 1

22 Chaite 4: Tavail Enegie III Enegie otentielle Enegie mécanique 3) Enegie mécanique E c + E = E = C A quoi set l intégale emièe du mouvement? dv d On avait déjà la elation fondamentale de la dynamique (RFD) F = m a = m = dt dt Il est souvent beaucou lus facile d utilise la consevation de l énegie mécanique que la RFD. Ceendant, il est souvent difficile de détemine la constante E. ste La RFD set à établi l équation du mouvement. En intégant l équation difféentielle obtenue, on eut détemine la osition en fonction du tems. Die que l énegie mécanique totale est consevée (ou constante) emet de die que : de m d( Ec + E ) = = 0 dt dt Ce qui donnea la même équation du mouvement que la RFD

23 Chaite 4: Tavail Enegie III Enegie otentielle Enegie mécanique 3) Enegie mécanique Comment vaie l énegie mécanique si il y a des fottements? Le système mécanique est soumis à des foces consevatives, à des foces ne tavaillant as et à des foces non consevatives de ésultante f. On note E, l énegie otentielle totale coesondant à toutes les foces consevatives. En utilisant le théoème de l énegie cinétique, on obtient que E ( B) E ( A) = W ( f ) 0 m m A B < Où asse cette énegie qui disaait??? Dans le cas des fottements, elle se tansfome en chaleu. Cf cous themodynamique 3

24 Chaite 3: Dynamique III Enegie otentielle Enegie mécanique 3) Enegie mécanique On considèe un mobile de masse m su un lan incliné faisant un angle α avec l hoizontale. A l instant t=0, ce mobile ossède une vitesse nulle et se touve à une hauteu h de l extémité du lan incliné. Détemine la vitesse du mobile au bout de la ente inclinée. On négligea les fottements. t=0 R y A PFD : h P α x P + R = m Tès comliqué (cf chaite 3)! B La éaction du suot ne tavaille as Le oids déive de l énegie otentielle E = m g z. On eut donc alique le théoème de l énegie cinétique ou la consevation de l énegie totale a En A : E c (A)=0, E (A)=mgh En B : E c (B)=???, E (B)=0 1 = v B = gh Donc, Ec(B)+0=0+mgh, m vb mgh et donc 4

25 Chaite 4: Tavail Enegie IV Equilibe d un système mécanique 1) Equilibe et stabilité Un système mécanique est à l équilibe dans un éféentiel R si sa vitesse est nulle dans ce éféentiel. Pa conséquent, l accéléation est aussi nulle et donc dans un éféentiel galiléen, la ésultante des foces est nulle. Un équilibe est stable si la ésultante des foces auxquelles il est soumis losqu il est écaté légèement de sa osition d équilibe, tend à la amene ves sa osition d équilibe. 5

26 Chaite 4: Tavail Enegie IV Equilibe d un système mécanique ) Equilibe d un oint soumis à une foce consevative On considèe un système dont les oiétés ne déendent que d une seule vaiable x de et qu il est soumis à une foce consevative. F = - gad E = i dx de A l équilibe au oint x=x 0, F( x 0 ) = 0 et donc ( x 0 ) = 0, c est à die que x 0 est un dx extemum de la fonction E (x). E (x) Puits de otentiel Baièe de otentiel x 0 6

27 Chaite 4: Tavail Enegie IV Equilibe d un système mécanique ) Equilibe d un oint soumis à une foce consevative E (x) Puits de otentiel Baièe de otentiel x 0 E (x) E (x) F ( x) de = dx STABLE d E dx x INSTABLE d E > 0 < 0 dx x 7

28 Chaite 4: Tavail Enegie Tavail d une foce ente A et B : W A B IV RESUME ( F) = δw = AB AB F.dOM le long du chemin eliant A à B Théoème de l énegie cinétique : Dans un éféentiel galiléen, la vaiation d énegie cinétique d un oint matéiel soumis à F ( ) ( ) ( E B E A = W F) une foce, ente un oint A et un oint B de sa tajectoie, est égal au tavail de su l ac de tajectoie AB : F Une foce est dite consevative (ou bien à ciculation consevative) si : ) elle ne déend que de la osition ) le tavail de cette foce ente deux oints A et B quelconques ne déend que de A et B et non du chemin suivi ente A et B. c c A B Pou le savoi, il y a deux méthodes : ) on utilise la méthode des déivées coisées ) il existe une fonction U, qui déend de la osition, telle que : F = - gad U F 8

29 Chaite 4: Tavail Enegie IV RESUME Dans un éféentiel galiléen, ou un système soumis uniquement à des foces consevatives et à des foces ne tavaillant as, l énegie mécanique totale est consevée : E m = Ec + E = C Cette équation est l intégale emièe du mouvement. Si le système mécanique est soumis également à des foces non consevatives de f ésultante, E ( B) E ( A) = W ( f ) 0 ste m m A B < Unsystème mécanique està l équilibe dansun éféentiel R si sa vitesse est nulle dans ce éféentiel. Il est stable si la ésultante des foces auxquelles il est soumis, tend à la d E amene ves sa osition d équilibe, ceci imose > 0 dx 9