Brevet blanc de Mathématiques. Mai 2016

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1 Brevet blanc de Mathématiques Mai 2016 Correction Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice Exercice 6 Exercice 7 Maitrise de la langue points points 4 points 8 points 4 points points 7 points 2 points Exercice 1 Un chocolatier vient de fabriquer 2622 œufs de Pâques et 230 poissons en chocolats. il souhaite vendre des assortiments d œufs et de poissons de façon que : tous les paquets aient la même composition après la mise en paquet, il ne reste ni œufs, ni poissons. 1. Sans calculer le pgcd, dire en justifiant si les nombres 2622 et 230 sont premiers entre eux. Pour qu ils soient premiers entre eux, il faudrait que leur PGCD soit 1. Or ces deux nombres sont pairs, ils admettent donc au moins 2 comme PGCD. Ils ne sont donc pas premiers entre eux. 2. Le chocolatier peut-il faire 19 paquets? justifier. 19 est un diviseur de 2322 mais pas de 230. On ne peut donc pas faire 19 paquets sans qu il reste de poissons 3. Quel est le plus grand nombre de paquets qu il peut réaliser? Pour cela, nous avons besoin de calculer le PGCD de 2622 et 230. Utilisons la méthode par l algorithme d Euclide : a b reste Le PGCD de 2622 et 230 est donc 46. Le plus grand nombre de paquets qu on peut réaliser est donc 46 Dans ce cas, quelle sera la composition de chaque paquet? 2622 / 46 = / 46 = Chaque paquet contiendra 7 œufs et poissons au chocolat

2 Exercice 2 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n est demandée. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Pour chacune des cinq questions, indiquer le numéro de la question et recopier la réponse exacte. Quelles sont les s de 4 et l équation (x 4)(2x + 7 ) = 0? x 6 L équation 2 a pour 3 O, donne les deux équations (x 6)(x+1)=0 et x² - 3x = 18 Combien ont-elles de s communes? Le nombre qui est de l équation x (7x + 4 ) = 8 est L équation x² = 81 admet aucune commune et une commune 2 4 et 7 12 deux s communes aucune une deux s Exercice 3 Soit A = 4 1 (( a + b )² - ( a- b )²) 1. Calculer A pour a = 1 et b = A = 4 1 (( 1 + )² - ( 1- )²) = 4 1 (( 6 )² - ( -4 )²) = 4 1 (36 16 ) = 2. Calculer A pour a = -2 et b = -3 A = 4 1 (( -2 + (-3) )² - ( 2- (-3) )²) = 4 1 (( - )² - ( 1 )²) = 4 1 (2-1) = 6 3. Alex affirme que le nombre A est égal au produit des nombres a et b. A-t-il raison? Justifier. Si vous pensez qu il a raison, il ne suffit pas de le montrer avec des exemples mais de le prouver dans le cas général, c'est-à-dire avec les lettres a et b! Exercice 4 A = 4 1 (( a + b )² - ( a- b )²) = 4 1 ((a² + 2ab + b² ) - (a² - 2ab + b² )) = 4 1 (a² + 2ab + b² - a² + 2ab - b² ) = 4 1 ( 4ab ) = ab Donc l affirmation est vraie. M. Cotharbet décide de monter au Pic Pointu en prenant le funiculaire (1) entre la gare inférieure et la gare supérieure, la suite du trajet s effectuant à pied. (1) Un funiculaire est une remontée mécanique équipée de véhicules circulant sur des rails en pente.

3 1. À l aide des altitudes fournies, déterminer les longueurs SL et JK. SL = = 660m JK = = 70 m 2. a. Montrer que la longueur du trajet SI entre les deux gares est m. SL et JK sont de hauteur donc perpendiculaire au sol (KI) Le triangle SLI est rectangle en L donc d après le théorème de Pythagore SI² = SL² + LI² SI² = 660²+ 880² SI² = SI = SI = 1100 m b. Calculer une valeur approchée de l angle SI ˆ L. On arrondira à un degré près. Dans le triangle SIL rectangle en L, on connait les longueurs de tous les côtés, on peut donc utiliser n importe laquelle des formules : sinus, cosinus ou tangente. tan SI ˆ L = LI SL soit SI ˆ L = Arctan ( LI SL ) Arctan ( 660 ) Le funiculaire se déplace à la vitesse moyenne constante de 10 km.h 1, aussi bien à la montée qu à la descente. Calculer la durée du trajet aller entre les deux gares. On donnera le résultat en min et s. La distance entre les deux gares est de 1100m soit 1.1km on peut utiliser un tableau de proportionnalité ou la formule du temps t = v d Attention, on demande le temps en minute et seconde, il faut donc bien choisir ses unités de temps pour la formule! t = d = 1. 1 = 0.11h = = 6.6 min = 6 min s = 6min et 36 s v Entre la gare supérieure et le sommet, M. Cotharbet effectue le trajet en marchant. Quelle distance aura-t-il parcourue à pied? Pour ce calcul, il est nécessaire de connaitre tout d abord la distance IJ. (KJ) et (SL) sont parallèles car toutes les deux perpendiculaires à la même droite (KI), on peut donc utiliser le théorème de Thalès ou alors on peut utiliser la formule du sinus de l angle SI ˆ L Utilisons le théorème de Thalès : IS SL IK IL soit donc IJ = IJ KJ IK IJ 70 La distance à parcourir à pieds est donc = 10 m = 120 Exercice (Vous choisirez l un ou l autre des exercices pour n en traiter qu un seul! Sinon, la note prise en compte sera celle de l exercice le moins bien réussi) Un bus transporte des élèves pour une compétition multisports. Il y a là 10 joueurs de ping-pong, 12 coureurs de fond et 18 gymnastes. Lors d un arrêt, ils sortent du bus en désordre. 1. Quelle est la probabilité que le premier sportif à sortir du bus soit un joueur de ping-pong? Le nombre total d élèves dans le bus est 40. La probabilité que le premier soit un joueur de ping pong est donc P( ping-pong) = 10/40 = 1/4 2. Quelle est la probabilité que le premier sportif à sortir du bus soit un coureur ou un gymnaste? P( coureur ou gymnaste ) = = 30/40 = 3/ Après cet arrêt, ils remontent dans le bus et ils accueillent un groupe de nageurs. Sachant que la probabilité que ce soit un nageur qui descende du bus en premier est de 1/, déterminer le nombre de nageurs présents dans le bus. Détaillez votre raisonnement.

4 x On note x le nombre de nageurs : P ( nageur ) = 40 x Soit ( à l aide du produit en croix) x = 1 ( 40 + x ) x = 40 + x x x = 40 + x x 4x = 40 X = 10 Il a y donc 10 nageurs Ou 1 Pour gagner le gros lot dans une fête foraine, il faut d abord tirer une boule rouge dans une urne, puis obtenir un multiple de trois en tournant une roue. 1. L urne contient 6 boules vertes, boules blanches et des boules rouges. Le responsable annonce «0% de chances de tirer une boule rouge». Combien y a-t-il de boules rouges dans l urne? Si il y a 0% de chance de tirer une boule rouge c est donc que les boules rouges représentent la moitié du nombre total de boules. Il y a donc autant de boules rouges que de vertes et blanches donc 11 boules rouges 2. On fait maintenant tourner la roue séparée en 8 secteurs numérotés de 1 à 8 comme indiqué ci-contre. Quelle est la probabilité d obtenir un multiple de 3? P ( multiple de 3 ) = P( 3) + P ( 6 ) = 2/8 3. Pierre décide de participer au jeu. 1/2 Quelle est la probabilité qu il gagne le gros lot? 2/8 Rouge Multiple de 3 P ( gros lot) = 1 2 = 1/8 2 8 Exercice 6 Afin de faciliter l accès à sa piscine, Monsieur Joseph décide de construire un escalier constitué de deux prismes superposés dont les bases sont des triangles rectangles. Voici ses plans :

5 1. Démontrer que le volume de l escalier est égal à 1, m 3. V escalier = V prisme haut + V prisme bas = / /2 = m 3 2. Sachant que l escalier est un ouvrage en béton courant, déterminer le nombre de sacs de ciment de 3kg nécessaires à la réalisation de l escalier m 3 = L Sachant qu un sac permet de faire 100L il faut /100 = soit 13 sacs de ciment 3. Déterminer la quantité d eau nécessaire à cet ouvrage. Pour 100L de béton il faut 17L d eau donc 0.17L d eau pour un litre de béton. Pour faire l escalier, il faut donc = L Exercice 8 Soit un rectangle ABCD. Soit un rectangle ABCD. On donne : AB=CD= 12cm et AD=BC=9cm I est le centre du rectangle ABCD J est le milieu du segment [AB] M est un point de [AB] et on note AM = x 1. Calculer l aire du triangle AJD Aire AJD = AJ AD/2 = 6 9 / 2 = 27 cm² 2. Exprimer en fonction de x les aires des triangles AMC et BMC Aire AMC = AM BC / 2 = x 9 / 2 = 4.x Aire BMC = ( 12 x ) 9 / 2 = ( 12 - x ) 4. = x = 4 4.x 3. Associer chacune des expressions suivantes à l une des aires calculées aux questions précédentes : f(x) = 27 ; g(x) = 4.x et h(x) = 4 4.x f(x) = 27 Aire AJD g(x) = 4.x Aire AMC h(x) = 4 4.x Aire BMC 4. Tracer, sur le repère fourni, les représentations graphiques de ces trois fonctions. Ces trois fonctions sont des fonctions affines donc représentées par des droites. On se sert donc des tableaux suivants x 0 10 x 0 6 x 6 10 f(x) = g(x) = 4.x 0 27 h(x) = 4 4.x Répondre à cette question à l aide du graphique obtenu à la question précédente ( vous laisserez apparent les traits de lecture). Les 3 triangles peuvent-ils avoir la même aire? Si oui, combien vaut cette aire et où se situe alors le point M? Les 3 aires peuvent être égales car les 3 droites se croisent. L aire est alors de 27cm² pour x = 6cm

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