Chapitre 6 Statistiques vers probabilités

Transcription

1 Chapitre 6 Statistiques vers probabilités Classe de seconde I. TP Lancers de dés avec un tableur... II. Expérience aléatoire, simulation, échantillon...5 III. Stabilisation des fréquences : loi des grands nombres...5 IV. Simulations avec la calculatrice TI...6 V. Simulations avec la calculatrice CASIO...7 VI. Pile ou face : évolution des fréquences...9 VII. Utiliser un tableur pour simuler un lancer de dés...0 VIII. Simulation, fréquence et probabilité à l aide d un tableur... page /

2 I. TP Lancers de dés avec un tableur Lancer d un dé : étude des fréquences des numéros Travail préparatoire : - Ouvrir Excel - Dans Feuille, créer un tableau jaune en suivant les instructions suivantes : - Dans A, écrire le titre «Echantillon de 00 lancers» - Surligner la plage de données A : J - Clic droit sur cette plage - Aller dans «Format de cellule» - Onglet «Alignement» - Cocher «Fusionner les cellules» - Surligner la plage de données A : J - Clic droit sur cette plage - Aller dans «Format de cellule» - Onglet «Motif» - Cliquer sur la couleur choisie comme fond pour le tableau - Onglet «Bordure» - Cliquer sur «Contour» et «Intérieur» - Sauvegarder le travail. L objectif est de simuler le lancer d un dé équilibré et d étudier la fréquence de sortie d un numéro à l aide d un tableur (grapheur Excel). ) Simulation sur un échantillon de 00 lancers a) Un lancer est simulé par le choix d un «nombre au hasard entre et 6». Le tableur dispose des fonctions : ALEA() et ENT() ALEA() donne un nombre au hasard de l intervalle [0 ; [. Donc 6*ALEA() + donne _ ENT() produit la partie entière d un nombre ; ENT(x) est l entier tel que ENT(x) x ENT(x) + Donc, ENT(6*ALEA( ) + ) donne un entier Pour remplir le tableau et réaliser la représentation graphique ci-dessous suivez les instructions I, I, I, I4 et I5 : I Dans Feuil!A écrivez la formule ci-dessus qui simule un lancer, puis complétez le tableau jaune de la manière suivante : - clic gauche sur A - positionner la souris dans le coin en bas à gauche de la cellule jusqu à ce que la petite croix noire apparaisse - clic gauche et descendre jusque A : vous venez de prolonger la formule de A à toute la ère colonne - faire de même pour compléter le reste du tableau avec la même formule Vous obtenez alors le tableau ci-dessous : Note : On remarque que la formule s adapte automatiquement selon la cellule dans laquelle on se place. page /

3 I Créer le tableau ci-dessous dans Feuill b) L effectif de la face est le nombre de qui apparaît dans le tableau de la Feuille. Le tableur dispose de la fonction : NB.SI( plage ; critère ) qui compte le nombre de cellules répondant à un critère. Donc, la formule =NB.SI( Feuille.$A$:$J$; A ) mise dans la cellule B de la feuille donne Note :Si on copie une formule contenant par exemple la référence $A, la référence à la colonne A sera conservée tandis que la référence de ligne sera adaptée. I Dans Feuill B, écrivez cette formule puis complétez pour la colonne des effectifs. c) Quelle formule faut-il placer dans C pour calculer la fréquence de la face? I4 Complétez la colonne des fréquences. I5 Pour la représentation graphique, sélectionnez les colonnes «issues» et «fréquences» puis choisissez dans l assistant graphique courbe». le type : «nuage de points reliés par une page /

4 ) Fluctuation d échantillonnages a) Les fréquences de sortie de chaque numéro sont-elles égales? b) Réalisez de nouvelles simulations en appuyant sur la touche F9. Les résultats varient-ils? Les statisticiens disent que pour un même échantillon (00 lancers), les fréquences fluctuent. ) Simulation sur des échantillons plus grands Stabilisation a) De même, réalisez, en ajoutant les formules, un tableau de simulations de 000 lancers sur la plage [A ; J0]. Modifier en conséquence les formules dans le tableau de Feuill. La fluctuation des fréquences semble-t-elle aussi importante? b) Reprenez enfin la question a) avec une simulation de 0000 lancers sur la plage[a ; J00]. 4) Il semble que plus les lancers sont nombreux, plus les fréquences se stabilisent. Vers quelle valeur les fréquences semblent-elles se stabiliser? page 4 /

5 II. Expérience aléatoire, simulation, échantillon Lorsqu'on lance un dé, avant le lancer, nul ne peut savoir avec certitude quel chiffre apparaîtra. On dit que le lancé d'un dé est une expérience aléatoire. Définition : Une expérience est dite aléatoire lorsque le hasard en rend le résultat incertain. On appelle issue d'une expérience aléatoire tout résultat de cette expérience. L'ensemble des issues d'une expérience aléatoire est appelé univers. Tout ensemble d'issues est appelé événement. (exemple : l'événement «obtenir un nombre pair») Exemples d'expériences aléatoires : Lancer de dé, tirer au hasard une carte dans un jeu, lancer deux pièces Pour le lancer de dé : Une issue : 4 Univers : {;;;4;5;6} Événements : obtenir un nombre pair, obtenir un 5... Au lieu d'effectuer réellement une expérience aléatoire (par exemple lancer un dé), on peu simuler l'expérience. Les lancers réels sont remplacés par des lancers fictifs grâce à des listes de nombres aléatoires fournis par les calculatrices ou les tableurs. Définition : Un échantillon de taille n est constitué des résultats de n répétitions indépendantes de la même expérience aléatoire. Lors du TP sur les lancers de dés, nous avons simulé l'expérience aléatoire et créé des échantillons de taille 00, 000 et III. Stabilisation des fréquences : loi des grands nombres Théorème : Si l on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence de n importe quel événement finit par se stabiliser autour d un nombre que l on appelle la probabilité de cet événement. page 5 /

6 IV. Simulations avec la calculatrice TI page 6 /

7 V. Simulations avec la calculatrice CASIO page 7 /

8 page 8 /

9 VI. Pile ou face : évolution des fréquences On s intéresse à l évolution de la fréquence d apparition de FACE au cours d un grand nombre de lancers d une pièce monnaie. a) Expérience réelle. On lance 0 fois une pièce et on s intéresse à la face supérieure apparue. Compléter le tableau suivant en indiquant la fréquence d apparition de FACE obtenue depuis le premier lancer. On donnera une valeur décimale arrondie à 0,0. Par exemple si la séquence obtenue est FPFFPP. On aura N du lancer Nombre de faces A vous de jouer.. N du lancer Nombre de faces Fréquence de face b) Simulation à la calculatrice. Simuler 50 lancers de suite et placer les résultats dans la liste. On choisit 0 pour pile et pour face. Calculer la fréquence d apparition de face. Pour cela on pourra utiliser l instruction somme de la calculatrice qui permet d additionner tous les nombres de la liste (donc le nombre de faces) : Sum (L) c) Simuler 00 lancers de suite et calculer la fréquence d apparition de face. d) Exécuter plusieurs fois cette simulation puis augmenter le nombre de lancer 00, 00 Et calculer pour ces lancers la fréquence d apparition de face. Vers quel nombre se rapproche la fréquence d apparition de face lorsque le nombre de lancers augmente? Lancer de dé : distribution des fréquences. page 9 /

10 VII. Problème du Duc de Toscane - Tableur Le problème du Duc de Toscane Le problème du Duc de Toscane Le Duc de Toscane était un grand amateur de jeux de dés. A force de jouer, il lui semblait avoir remarqué qu en lançant trois dés et en additionnant les points obtenus, il obtenait plus souvent 0 points que 9 points. Il n arrivait à comprendre pourquoi parce que selon lui, il y avait autant de chances d avoir l un ou l autre des deux résultats, chacun pouvant être obtenu de six façons différentes : 9 = = = = = = = = = = = = Ce problème, appelé le problème du Duc de Toscane, fut à l époque (XVIIe siècle) source de nombreuses discussions. L objectif de cet exercice est de simuler un grand nombre de lancers de trois dés pour tester l observation du Duc de Toscane.. Ouvrir une feuille de calcul et complétez-la pour obtenir la présentation suivante : A B Nombre de 9 Nombre de 0 Lancer Somme C D E F Premier dé Deuxième dé Troisième dé. Inscrivez dans la cellule D5 la formule =ALEA.ENTRE.BORNES(;6) pour obtenir un entier au hasard entre et 6. Etirez cette formule vers la droite, puis vers le bas pour obtenir lancers de trois dés.. Dans la cellule B5, faites afficher la somme des cellules D5, E5 et F5 pour obtenir la somme des trois dés lors du premier lancer. Recopiez cette formule vers le bas pour obtenir cette somme lors de chaque lancer. 4. Pour compter combien de fois apparaît la somme 9 lors des lancers, écrivez la formule =NB.SI(B5:B0004; ' ' =9 ' ' ) dans la cellule C. Complétez la cellule C pour compter le nombre de fois où la somme 0 apparaît. 5. Simulez plusieurs fois cette expérience à l aide de la touche F9. L observation du Duc de Toscane semble-t-elle se confirmer? 6. Quelle erreur de raisonnement le Duc de Toscane a-t-il pu commettre? page 0 /

11 VIII. Planche de Galton - Tableur La planche de Galton est un jeu d obstacle formé de petits cylindres répartis géométriquement. On lâche une bille en haut de la planche : à chaque obstacle, elle peut passer indifféremment et avec autant de chance, à gauche ou à droite de l obstacle. Dans la suite, on suppose que la planche comporte 4 lignes d obstacles. On veut estimer la probabilité que la bille tombe dans les cases 0,,,, 4. Pour cela, on estime que la bille part de l abscisse et qu à chaque obstacle l abscisse augmente ou diminue de 0,5. Sur une feuille Excel, réaliser le tableur de la manière suivante : Abscisse de départ Obstacle Obstacle Obstacle Obstacle 4 Le faire 00 fois et calculer le nombre de 0,,,, 4 qui apparaissent dans la dernière colonne. Déterminer ensuite la fréquence d apparition des nombres 0,,, et 4. page /